广东省2016届高三数学一轮复习 专题突破训练 数列 文

广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练

数列

2016年广东省高考将采用全国卷,下面是近三年全国卷的高考试题及2015届广东省部分地区的模拟试题,供同学们在复习时参考。 一、选择、填空题

1、(2015年全国I 卷)已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则

10a =( )

(A )

172 (B )19

2

(C )10 (D )12 2、(2015年全国I 卷)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和,若126n S =,则

n = .

3、(2013年全国I 卷)设首项为1,公比为2

3

的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( )

A .S n =2a n -1

B .S n =3a n -2

C .S n =4-3a n

D .S n =3-2a n

4、(佛山市2015届高三二模)已知等差数列{}n a 满足3412a a +=,253a a =,则6a = 。

5、(广州市2015届高三一模)已知数列{}n a 为等比数列,若4610a a +=,则()713392a a a a a ++的值为

A.10

B. 20

C.100

D. 200

6、(华南师大附中2015届高三三模)设{n a } 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,且

12380a a a =,则111213a a a ++等于(***)

A .120

B . 105

C . 90

D .75

7、(惠州市2015届高三4月模拟)已知数列{}n a 为等差数列,且12a =,2313a a +=,则

456a a a ++= ( )

A .45

B .43

C . 40

D .42

8、(茂名市2015届高三二模)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,63=S ,则10a 的值为( )

A .1

B .3

C .10

D .55

9、(梅州市2015届高三一模)已知等比数列{n a }的公比为正数,且2

39522,1a a a a == ,则1a =___

10、(深圳市2015届高三二模)等差数列{}n a 中,44a =,则1592a a a ++= . 11、(湛江市2015届高三二模)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,530S =,则14a a +=( )

A .7

B .9

C .13

D .39

12、(珠海市2015届高三二模)已知{}n a 为等差数列,其公差为-2,且7a 是3a 与10a 的等比中项,则=10s _______

13、(汕尾市2015届高三上期末)已知{}n a 为等差数列,且388a a +=,则10S 的值为( ) A .40

B .45

C .50

D .55

14、(东莞市2015届高三上期末)在数列

中 ,

, 如 果 数 列

等差数列, 那么=___________

15、(韶关市2015届高三上期末)已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在

不同的两项m a 和n a ,使得2116m n a a a ?=,则

14

m n

+的最小值是________

二、解答题

1、(2014年全国I 卷)已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2

560x x -+=的根。

(I )求{}n a 的通项公式; (II )求数列2n n a ??

?

???

的前n 项和.

2、(2013年全国I 卷)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5.

(1)求{a n }的通项公式;

(2)求数列??

????1

a 2n -1a 2n +1的前n 项和.

3、(佛山市2015届高三二模)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,数列{}n a 满足11a =,(21)n n n S a =-,其中0a <.

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)设21

log n

n n a b a a =-,n T 为数列{}n b 的前n 项和,若当且仅当4n =时,n T 取得最小值,求a 的取值范围.

4、(广州市2015届高三一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =,

()()1112

n n n n nS n S ++-+=

, n ∈N *

. (1)求2a 的值;

(2)求数列{}n a 的通项公式;

(3)是否存在正整数k ,使k a ,2k S , 4k a 成等比数列? 若存在,求k 的值; 若不存

在,请说明理由.

5、(华南师大附中2015届高三三模)已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,且满足2

1n n n ta S S =+-(其

中t 为常数,0>t ,2≥n ),已和01=a ,且当2≥n 时,0>n a . (1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)若对于2≥n ,*

N n ∈,不等式21

1111

544332<+++++n n a a a a a a a a 恒成立,

求t 的取值范围.

6、(惠州市2015届高三4月模拟)若正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =,点(

)

1

,n n P S S +(*

n N ∈)在曲线2

(1)y x =+上.源: (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)设1

1

n n n b a a +=?,n T 表示数列{}n b 的前n 项和,求证:12n T <.

7、(茂名市2015届高三二模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且有

)(1*N n a s n n ∈-=,点),(n n b a 在直线nx y =上.

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求n T ;

(3)试比较n T 和n n 2

22

-的大小,并加以证明.

8、(梅州市2015届高三一模)数列{n a }中,148,2a a ==,且满足212n n n a a a ++=-,*n N ∈。

(1)求数列{n a }的通项公式; (2)设

,求

(3)设121

(*),(*),(12)

n n n n b n N T b b b n N n a =∈=++???+∈-是否存在最大的整数m ,使得对

任意*n N ∈,均有32

n m

T >成立?若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由。

9、(深圳市2015届高三二模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =-,1320n n a S +++=(*

n ∈N ).

(1)求2a ,3a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;

(3)是否存在整数对(,)m n ,使得等式248n n a m a m -?=+成立?若存在,请求出所有满足条件的(,)m n ;若不存在,请说明理由.

10、(湛江市2015届高三二模)数列{}n a 的前n 项和记为n S ,对任意正整数n ,均有()2

41n n S a =+,且0n a >.

()1求1a ,2a 的值;

()2求数列{}n a 的通项公式;

()3若3n

n n

a

b =(n *∈N ),求数列{}n b 的前n 项和n T .

11、(珠海市2015届高三二模)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .

(1)若2

4210n n n S a a ---=,求{}n a 的通项公式;

(2)若{}n a 是等比数列,公比为q (1q ≠,q 为正常数),数列{}lg n a 的前n 项和为n T ,(1)k n kn

T T +为

定值,求1a .

12、(清远市2015届高三上期末)已知数列{}n a 的各项均为正数,n S 表示数列{}n a 的前n 项的和,

且22n n n S a a =+.

(1)求1a ; (2)数列{}n a 的通项公式; (3)设1

1n n n b a a +=

?,记数列{}n b 的前n 项和n T .若对n N *

∈,()4n T k n ≤+ 恒成立,求实数k

的取值范围.

13、(汕头市2015届高三上期末)已知等差数列{}n a 满足23a =,3412a a +=.

()1求{}n a 的通项公式;

()2设12n

a n

b +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .

参考答案

一、选择、填空题 1、【答案】B 【解析】

试题分析:∵公差1d =,844S S =,∴11118874(443)22a a +

??=+??,解得1a =1

2

,∴101119

9922

a a d =+=

+=,故选B. 2、【答案】6 【解析】

试题分析:∵112,2n n a a a +==,∴数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列,

∴2(12)

12612

n n S -=

=-,∴264n =,∴n=6. 3、D [解析] a n =? ??

??23n -1,S n =1-(23)n

1-23=3(1-23a n )=3-2a n .

4、11

5、C

6、B

7、D 【解析】试题分析:2311113,213,23a a a d a d a d +=∴+++==∴= ,

45613123212342a a a a d ++=+=?+?=

8、C 9、

2

2 10、16 11、B 12、270 13、A

14、12 15、32

二、解答题

1、【解析】:(I )方程2

560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =,43a =,设数列{}n a 的公

差为 d ,,则422a a d -=,故d=12

,从而13

2a =

所以{}n a 的通项公式为:1

12

n a n =+ …………6 分 (Ⅱ)设求数列2n n a ??

????

的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n n n a n ++=, 则:234134512

22222n n n n n S +++=

+++++ 34512134512

222222

n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得 341212131112311212422224422

n n n n n n n S ++++++????=++++-=+-- ? ????? 所以1

4

22n n n S ++=-

………12分 2、解:(1)设{a n }的公差为d ,则S n =na 1+n (n -1)

2

d.

由已知可得?

????3a 1+3d =0,

5a 1+10d =-5, 解得a 1=1,d =-1.

故{a n }的通项公式为a n =2-n.

(2)由(1)知1a 2n -1a 2n +1=1(3-2n )(1-2n )=12? ????12n -3-12n -1,

数列??????1a 2n -1a 2n +1的前n 项和为12? ????1-1-11+11-13+…+12n -3-12n -1=n

1-2n . 3、

4、(1)解:∵11a =, ()()

1112

n n n n nS n S ++-+=,

∴2112

212

S S ?-=

=. …………………………1分 ∴ 21112123S S a =+=+=. …………………………2分 ∴ 2212a S a =-=. …………………………3分

(2)解法1: 由()()1112

n n n n nS n S ++-+=

, 得11

12n n S S n n +-=+. ……………………4分

∴ 数列n S n ??

??

??

是首项为111S =, 公差为12的等差数列. ∴

()()11

11122

n S n n n =+-=+. …………………………5分 ∴ ()

12

n n n S +=

. …………………………6分 当2n ≥时, 1n n n a S S -=- …………………………7分

()()1122

n n n n

+-=

- n =. …………………………8分

而11=a 适合上式,

∴ n a n =. …………………………9分

解法2: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=

, 得()()

112

n n n n n n S S S ++--=, ∴()

112

n n n n na S ++-=

. ① …………………………4分 当2n ≥时,()()

1112

n n n n n a S ----=

,② ①-②得()()()()

1111122

n n n n n n n n na n a S S +-+-----=

-, ∴1n n na na n +-=. …………………………5分 ∴11n n a a +-=. …………………………6分 ∴ 数列{}n a 从第2项开始是以22a =为首项, 公差为1的等差数列. ………7分 ∴ ()22n a n n =+-=. …………………………8分

而11=a 适合上式,

∴ n a n =. …………………………9分

(3)解:由(2)知n a n =, ()12

n n n S +=

. 假设存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列,

则2

24k k k S a a =?. …………………………10分

即()2

22142k k k k +??

=?????

. …………………………11分

∵ k 为正整数, ∴()2

214k +=.

得212k +=或212k +=-, …………………………12分 解得12k =

或3

2

k =-, 与k 为正整数矛盾. …………………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列. …………………………14分

5、

6、解:(1)因为点(

)

1,n n P

S S +在曲线2(1)y x =+上,所以2

1(1)n n S S +=+. …………1分

由21(1)n n S S +=+得11n n S S +-=. ……………3分

且111S a ==

所以数列

{}n

S 是以1为首项,1为公差的等差数列 ……………4分

所以1+(1)1n S S n =

-?n =, 即2n S n = ……………5分

当2n ≥时,221(1)n n n a S S n n -=-=--21n =- ……………6分 当1n =时,2111n a =?-=也成立 ……………7分 所以*

n N ∈, 21n a n =- ……………8分 (2) 因为111

(21)(21)

n n n b a a n n +=

=?-?+,所以0n b >, ……………9分

111

1335(21)(21)

n T n n =

+++

??-?+…… 11111111=++++233523212121n n n n -------+ (1) ……………12分 11=(1)221n -+1122(21)n =-+12

< ……………14分 7、解:(1)当1n =时, 1111a s a ==-, 解得:11

2

a =

, ………………………………1分 当2n ≥时, 11(1)(1)n n n n n a s s a a --=-=---, 则有12n n a a -= ,即: 112

n n a a -=, ∴数列{}n a 是以112a =

为首项,1

2

为公比的等比数列. ………………………3分 ∴*1()2n

n a n N ??

=∈ ???

……………………………………………………………4分

(2)∵点),(n n b a 在直线nx y =上

∴ 2

n n n n

b na ==

. …………………………………………………………………5分 因为1231232222n n n T =+++???+①,所以2341112322222n n n

T +=+++???+②.

由①-②得,123111*********

n n n n

T +=+++???+-,

所以121111112212122222212

n

n n n n n

n n n T --+=+++???+-=-=--. ………………8分 (3)令n n n B 222

-=,则n n n n n n B T 2222++-=-=n

n n 222--=n n n 2)1)(2(+- ……10分 1=∴n 时, 011<-B T ,所以11B T <; 2=n 时, 022=-B T ,所以22B T =;

3≥n 时, 0>-n n B T ,所以n n B T >. …………………………………………13分

综上:①1=n 时,n n n T 222-<,②2=n 时,n n n T 222-=,③3≥n 时,n n n T 2

22

-> …14分

8、解:(1)由题意,n n n n a a a a -=-+++112,}{n a ∴为等差数列, …………1分

设公差为d ,由题意,得2382-=?+=d d , …………3分

n n a n 210)1(28-=--=∴. . …………4分

(2)若5,0210≤≥-n n 则, …………5分 当

||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时

21281029,2n n

a a a n n n +-=+++=

?=-

…………6分 当6n ≥时,n n a a a a a a S ---+++= 76521

4092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n . ………8分

故?????≥+-≤-=.6,409,

5,922

n n n n n n s n

…………9分

(3)

)11

1(21)1(21)12(1+-=+=-=

n n n n a n b n n .

…………10分

得n T )]111()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n

.)

1(2+=

n n

…………12分

若32m T n >

对任意*N n ∈成立,即16

1m n n >+对任意*

N n ∈成立,

)(1

*N n n n

∈+ 单调递增,当1=n 时,取得最小值21. …………13分

,2

1

16<∴

m m ∴的最大整数值是7. 即存在最大整数,7=m 使对任意*

N n ∈,均有.32

m

T n >

…………14分 9、解:(1)当1n =得21320a S ++=,解得24a =,………………………………………1分 当2n =得32320a S ++=,2122S a a =+=,

解得38a =-,…………………………………………………………………………………3分 (2)当2n ≥时,11()3()0n n n n a a S S +--+-=,

即1()30n n n a a a +-+=,12n n a a +=-(2n ≥),…………………………………………4分 另由212a a =-得12n n a a +=-,

所以数列{}n a 是首项为2-,公比为2-的等比数列,……………………………………5分

(2)n n a ∴=-.…………………………………………………………………………………6分

(2)把(2)n n a =-代入248n n a m a m -?=+中得2(2)(2)48n n m m --?-=+,

即2(2)8(2)4n n

m --=-+,……………………………………………………………………………7分 2(2)1688(2)4(2)4(2)4

n n

n n m --+∴==--+

-+-+,…………………………………………8分 要使m 是整数,则须有

8

(2)4

n -+是整数,

(2)4n ∴-+能被8整除,……………………………………………………………………9分

当1n =时,(2)42n -+=,

8

4(2)4

n =-+,此时2m =-,……………………………10分

当2n =时,(2)48n -+=,

8

1(2)4

n

=-+,此时1m =,………………………………11分 当3n =时,(2)44n -+=-,

8

2(2)4

n

=--+,此时14m =-,………………………12分 当4n ≥,(2)420n

-+≥,

8

(2)4

n -+不可能是整数,…………………………………13分

综上所求,所求满足条件的整数对有(2,1)-,(1,2),(14,3)-.………………………14分 【说明】本题主要考查等比数列的定义,会根据数列的递推关系求数列的前几项以及通项公式,考查考生运算求解、推理论证、处理变形的能力. 10、

11

(

)

2

4210

n n n S a a -

--=……① 得

22211111142121(1)0a a a a a a ---=-+-=--=

∴11a =

……………………1分

由①得,当2n ≥时,2

1114210n n n S a a ------= ………②

①-②得:11()(2)0n n n n a a a a --+--=

0n a >

∴120n n a a ---=,即12n n a a --=

…………………………2分

∴{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列 ………………………………3分

∴12-=n a n

…………………………………………4分

(2)解:由题设1

1n n a a q

-=,……………………………5分

令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-

故{}lg n a 是1lg a 为首项,lg q 为公差的等差数列………………………6分 若

(1)k n kn

T T +为定值,令

(1)k n kn

T p T +=(定值)

11(1)[(1)1]

(1)lg lg 2(1)

lg lg 2

k n k n k n a q

p kn kn kn a q

++-++

=-+…………………………………7分

即22

2

1{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k pk q n k pk q q

+-++-=对n N *

∈恒成立…………………8分

10q q ≠>,

∴等价于22

1

(1)0(1)0k pk k pk a q ?+-=?+-==? ①

或②…………………………………………9分 由①得:

+1k p k

=代入(1)0k pk +-=得0p =或1p =…………………………10分

k N *∈,∴0p >且1p ≠…………………11分

∴21a q =…………………………………………12分

0n a >,∴0q >,∴1a q =………………14分

12、解析:(1)∵2

2n n n S a a =+,∴21112S a a =+ 且0>n a ,11a ∴=,…………2分

(2)∵22n n n S a a =+,∴当2n ≥时,12

11---+=n n n a a S …………3分

∴ )

(12121-----++=n n n n n n a a a a S S …………4分 ∴0)1)11=--+--n n n n a a a a (( …………5分

又0n a > , ∴11=--n n a a ,…………6分(没有0n a > 扣1分)

{}n a ∴是以1为首项,以1为公差的等差数列, …………7分

故1(1)n a a n d n =+-= …………8分 (3)由b n =

11n n a a +=()11n n +=1n -1

1

n +,…………9分

T n =1-12+12-13+…+1n -11n +=1-11n +=1

n n +.…………10分 ∵

1

n

n +≤k(n+4), ∴k≥21454

n n

n n n n =(+)(+)++=

1

45

n n

++. …………11分 ∵n +

4n +5≥24n n +5=9,当且仅当n =4

n

,即n =2时等号成立,…………13分

145n n

++≤19,因此k≥19, 故实数k 的取值范围为1,9??

+∞???? ……14分 13、【答案】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d .由题意知

??

?=+++=+12

323

111d a d a d a ……2分(每式1分) 解得,2,11==d a …… 4分(每式1分) ∴12-=n a n (n N *∈) ……6分 (2)由题意知, n a n n b 21

22

==+ (n N *∈), …… 7分

n n T 26422222++++=

4

1)41(4--=n …… 10分

)14(3

4-=n

…… 12分

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