广东省2016届高三数学一轮复习 专题突破训练 数列 文
广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练
数列
2016年广东省高考将采用全国卷,下面是近三年全国卷的高考试题及2015届广东省部分地区的模拟试题,供同学们在复习时参考。 一、选择、填空题
1、(2015年全国I 卷)已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则
10a =( )
(A )
172 (B )19
2
(C )10 (D )12 2、(2015年全国I 卷)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和,若126n S =,则
n = .
3、(2013年全国I 卷)设首项为1,公比为2
3
的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( )
A .S n =2a n -1
B .S n =3a n -2
C .S n =4-3a n
D .S n =3-2a n
4、(佛山市2015届高三二模)已知等差数列{}n a 满足3412a a +=,253a a =,则6a = 。
5、(广州市2015届高三一模)已知数列{}n a 为等比数列,若4610a a +=,则()713392a a a a a ++的值为
A.10
B. 20
C.100
D. 200
6、(华南师大附中2015届高三三模)设{n a } 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,且
12380a a a =,则111213a a a ++等于(***)
A .120
B . 105
C . 90
D .75
7、(惠州市2015届高三4月模拟)已知数列{}n a 为等差数列,且12a =,2313a a +=,则
456a a a ++= ( )
A .45
B .43
C . 40
D .42
8、(茂名市2015届高三二模)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,63=S ,则10a 的值为( )
A .1
B .3
C .10
D .55
9、(梅州市2015届高三一模)已知等比数列{n a }的公比为正数,且2
39522,1a a a a == ,则1a =___
10、(深圳市2015届高三二模)等差数列{}n a 中,44a =,则1592a a a ++= . 11、(湛江市2015届高三二模)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,530S =,则14a a +=( )
A .7
B .9
C .13
D .39
12、(珠海市2015届高三二模)已知{}n a 为等差数列,其公差为-2,且7a 是3a 与10a 的等比中项,则=10s _______
13、(汕尾市2015届高三上期末)已知{}n a 为等差数列,且388a a +=,则10S 的值为( ) A .40
B .45
C .50
D .55
14、(东莞市2015届高三上期末)在数列
中 ,
, 如 果 数 列
是
等差数列, 那么=___________
15、(韶关市2015届高三上期末)已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在
不同的两项m a 和n a ,使得2116m n a a a ?=,则
14
m n
+的最小值是________
二、解答题
1、(2014年全国I 卷)已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2
560x x -+=的根。
(I )求{}n a 的通项公式; (II )求数列2n n a ??
?
???
的前n 项和.
2、(2013年全国I 卷)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5.
(1)求{a n }的通项公式;
(2)求数列??
????1
a 2n -1a 2n +1的前n 项和.
3、(佛山市2015届高三二模)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,数列{}n a 满足11a =,(21)n n n S a =-,其中0a <.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设21
log n
n n a b a a =-,n T 为数列{}n b 的前n 项和,若当且仅当4n =时,n T 取得最小值,求a 的取值范围.
4、(广州市2015届高三一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =,
()()1112
n n n n nS n S ++-+=
, n ∈N *
. (1)求2a 的值;
(2)求数列{}n a 的通项公式;
(3)是否存在正整数k ,使k a ,2k S , 4k a 成等比数列? 若存在,求k 的值; 若不存
在,请说明理由.
5、(华南师大附中2015届高三三模)已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,且满足2
1n n n ta S S =+-(其
中t 为常数,0>t ,2≥n ),已和01=a ,且当2≥n 时,0>n a . (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若对于2≥n ,*
N n ∈,不等式21
1111
544332<+++++n n a a a a a a a a 恒成立,
求t 的取值范围.
6、(惠州市2015届高三4月模拟)若正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =,点(
)
1
,n n P S S +(*
n N ∈)在曲线2
(1)y x =+上.源: (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)设1
1
n n n b a a +=?,n T 表示数列{}n b 的前n 项和,求证:12n T <.
7、(茂名市2015届高三二模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且有
)(1*N n a s n n ∈-=,点),(n n b a 在直线nx y =上.
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求n T ;
(3)试比较n T 和n n 2
22
-的大小,并加以证明.
8、(梅州市2015届高三一模)数列{n a }中,148,2a a ==,且满足212n n n a a a ++=-,*n N ∈。
(1)求数列{n a }的通项公式; (2)设
,求
;
(3)设121
(*),(*),(12)
n n n n b n N T b b b n N n a =∈=++???+∈-是否存在最大的整数m ,使得对
任意*n N ∈,均有32
n m
T >成立?若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由。
9、(深圳市2015届高三二模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =-,1320n n a S +++=(*
n ∈N ).
(1)求2a ,3a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;
(3)是否存在整数对(,)m n ,使得等式248n n a m a m -?=+成立?若存在,请求出所有满足条件的(,)m n ;若不存在,请说明理由.
10、(湛江市2015届高三二模)数列{}n a 的前n 项和记为n S ,对任意正整数n ,均有()2
41n n S a =+,且0n a >.
()1求1a ,2a 的值;
()2求数列{}n a 的通项公式;
()3若3n
n n
a
b =(n *∈N ),求数列{}n b 的前n 项和n T .
11、(珠海市2015届高三二模)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .
(1)若2
4210n n n S a a ---=,求{}n a 的通项公式;
(2)若{}n a 是等比数列,公比为q (1q ≠,q 为正常数),数列{}lg n a 的前n 项和为n T ,(1)k n kn
T T +为
定值,求1a .
12、(清远市2015届高三上期末)已知数列{}n a 的各项均为正数,n S 表示数列{}n a 的前n 项的和,
且22n n n S a a =+.
(1)求1a ; (2)数列{}n a 的通项公式; (3)设1
1n n n b a a +=
?,记数列{}n b 的前n 项和n T .若对n N *
∈,()4n T k n ≤+ 恒成立,求实数k
的取值范围.
13、(汕头市2015届高三上期末)已知等差数列{}n a 满足23a =,3412a a +=.
()1求{}n a 的通项公式;
()2设12n
a n
b +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .
参考答案
一、选择、填空题 1、【答案】B 【解析】
试题分析:∵公差1d =,844S S =,∴11118874(443)22a a +
??=+??,解得1a =1
2
,∴101119
9922
a a d =+=
+=,故选B. 2、【答案】6 【解析】
试题分析:∵112,2n n a a a +==,∴数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列,
∴2(12)
12612
n n S -=
=-,∴264n =,∴n=6. 3、D [解析] a n =? ??
??23n -1,S n =1-(23)n
1-23=3(1-23a n )=3-2a n .
4、11
5、C
6、B
7、D 【解析】试题分析:2311113,213,23a a a d a d a d +=∴+++==∴= ,
45613123212342a a a a d ++=+=?+?=
8、C 9、
2
2 10、16 11、B 12、270 13、A
14、12 15、32
二、解答题
1、【解析】:(I )方程2
560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =,43a =,设数列{}n a 的公
差为 d ,,则422a a d -=,故d=12
,从而13
2a =
,
所以{}n a 的通项公式为:1
12
n a n =+ …………6 分 (Ⅱ)设求数列2n n a ??
????
的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n n n a n ++=, 则:234134512
22222n n n n n S +++=
+++++ 34512134512
222222
n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得 341212131112311212422224422
n n n n n n n S ++++++????=++++-=+-- ? ????? 所以1
4
22n n n S ++=-
………12分 2、解:(1)设{a n }的公差为d ,则S n =na 1+n (n -1)
2
d.
由已知可得?
????3a 1+3d =0,
5a 1+10d =-5, 解得a 1=1,d =-1.
故{a n }的通项公式为a n =2-n.
(2)由(1)知1a 2n -1a 2n +1=1(3-2n )(1-2n )=12? ????12n -3-12n -1,
数列??????1a 2n -1a 2n +1的前n 项和为12? ????1-1-11+11-13+…+12n -3-12n -1=n
1-2n . 3、
4、(1)解:∵11a =, ()()
1112
n n n n nS n S ++-+=,
∴2112
212
S S ?-=
=. …………………………1分 ∴ 21112123S S a =+=+=. …………………………2分 ∴ 2212a S a =-=. …………………………3分
(2)解法1: 由()()1112
n n n n nS n S ++-+=
, 得11
12n n S S n n +-=+. ……………………4分
∴ 数列n S n ??
??
??
是首项为111S =, 公差为12的等差数列. ∴
()()11
11122
n S n n n =+-=+. …………………………5分 ∴ ()
12
n n n S +=
. …………………………6分 当2n ≥时, 1n n n a S S -=- …………………………7分
()()1122
n n n n
+-=
- n =. …………………………8分
而11=a 适合上式,
∴ n a n =. …………………………9分
解法2: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=
, 得()()
112
n n n n n n S S S ++--=, ∴()
112
n n n n na S ++-=
. ① …………………………4分 当2n ≥时,()()
1112
n n n n n a S ----=
,② ①-②得()()()()
1111122
n n n n n n n n na n a S S +-+-----=
-, ∴1n n na na n +-=. …………………………5分 ∴11n n a a +-=. …………………………6分 ∴ 数列{}n a 从第2项开始是以22a =为首项, 公差为1的等差数列. ………7分 ∴ ()22n a n n =+-=. …………………………8分
而11=a 适合上式,
∴ n a n =. …………………………9分
(3)解:由(2)知n a n =, ()12
n n n S +=
. 假设存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列,
则2
24k k k S a a =?. …………………………10分
即()2
22142k k k k +??
=?????
. …………………………11分
∵ k 为正整数, ∴()2
214k +=.
得212k +=或212k +=-, …………………………12分 解得12k =
或3
2
k =-, 与k 为正整数矛盾. …………………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列. …………………………14分
5、
6、解:(1)因为点(
)
1,n n P
S S +在曲线2(1)y x =+上,所以2
1(1)n n S S +=+. …………1分
由21(1)n n S S +=+得11n n S S +-=. ……………3分
且111S a ==
所以数列
{}n
S 是以1为首项,1为公差的等差数列 ……………4分
所以1+(1)1n S S n =
-?n =, 即2n S n = ……………5分
当2n ≥时,221(1)n n n a S S n n -=-=--21n =- ……………6分 当1n =时,2111n a =?-=也成立 ……………7分 所以*
n N ∈, 21n a n =- ……………8分 (2) 因为111
(21)(21)
n n n b a a n n +=
=?-?+,所以0n b >, ……………9分
111
1335(21)(21)
n T n n =
+++
??-?+…… 11111111=++++233523212121n n n n -------+ (1) ……………12分 11=(1)221n -+1122(21)n =-+12
< ……………14分 7、解:(1)当1n =时, 1111a s a ==-, 解得:11
2
a =
, ………………………………1分 当2n ≥时, 11(1)(1)n n n n n a s s a a --=-=---, 则有12n n a a -= ,即: 112
n n a a -=, ∴数列{}n a 是以112a =
为首项,1
2
为公比的等比数列. ………………………3分 ∴*1()2n
n a n N ??
=∈ ???
……………………………………………………………4分
(2)∵点),(n n b a 在直线nx y =上
∴ 2
n n n n
b na ==
. …………………………………………………………………5分 因为1231232222n n n T =+++???+①,所以2341112322222n n n
T +=+++???+②.
由①-②得,123111*********
n n n n
T +=+++???+-,
所以121111112212122222212
n
n n n n n
n n n T --+=+++???+-=-=--. ………………8分 (3)令n n n B 222
-=,则n n n n n n B T 2222++-=-=n
n n 222--=n n n 2)1)(2(+- ……10分 1=∴n 时, 011<-B T ,所以11B T <; 2=n 时, 022=-B T ,所以22B T =;
3≥n 时, 0>-n n B T ,所以n n B T >. …………………………………………13分
综上:①1=n 时,n n n T 222-<,②2=n 时,n n n T 222-=,③3≥n 时,n n n T 2
22
-> …14分
8、解:(1)由题意,n n n n a a a a -=-+++112,}{n a ∴为等差数列, …………1分
设公差为d ,由题意,得2382-=?+=d d , …………3分
n n a n 210)1(28-=--=∴. . …………4分
(2)若5,0210≤≥-n n 则, …………5分 当
||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时
21281029,2n n
a a a n n n +-=+++=
?=-
…………6分 当6n ≥时,n n a a a a a a S ---+++= 76521
4092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n . ………8分
故?????≥+-≤-=.6,409,
5,922
n n n n n n s n
…………9分
(3)
)11
1(21)1(21)12(1+-=+=-=
n n n n a n b n n .
…………10分
得n T )]111()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n
.)
1(2+=
n n
…………12分
若32m T n >
对任意*N n ∈成立,即16
1m n n >+对任意*
N n ∈成立,
)(1
*N n n n
∈+ 单调递增,当1=n 时,取得最小值21. …………13分
,2
1
16<∴
m m ∴的最大整数值是7. 即存在最大整数,7=m 使对任意*
N n ∈,均有.32
m
T n >
…………14分 9、解:(1)当1n =得21320a S ++=,解得24a =,………………………………………1分 当2n =得32320a S ++=,2122S a a =+=,
解得38a =-,…………………………………………………………………………………3分 (2)当2n ≥时,11()3()0n n n n a a S S +--+-=,
即1()30n n n a a a +-+=,12n n a a +=-(2n ≥),…………………………………………4分 另由212a a =-得12n n a a +=-,
所以数列{}n a 是首项为2-,公比为2-的等比数列,……………………………………5分
(2)n n a ∴=-.…………………………………………………………………………………6分
(2)把(2)n n a =-代入248n n a m a m -?=+中得2(2)(2)48n n m m --?-=+,
即2(2)8(2)4n n
m --=-+,……………………………………………………………………………7分 2(2)1688(2)4(2)4(2)4
n n
n n m --+∴==--+
-+-+,…………………………………………8分 要使m 是整数,则须有
8
(2)4
n -+是整数,
(2)4n ∴-+能被8整除,……………………………………………………………………9分
当1n =时,(2)42n -+=,
8
4(2)4
n =-+,此时2m =-,……………………………10分
当2n =时,(2)48n -+=,
8
1(2)4
n
=-+,此时1m =,………………………………11分 当3n =时,(2)44n -+=-,
8
2(2)4
n
=--+,此时14m =-,………………………12分 当4n ≥,(2)420n
-+≥,
8
(2)4
n -+不可能是整数,…………………………………13分
综上所求,所求满足条件的整数对有(2,1)-,(1,2),(14,3)-.………………………14分 【说明】本题主要考查等比数列的定义,会根据数列的递推关系求数列的前几项以及通项公式,考查考生运算求解、推理论证、处理变形的能力. 10、
11
、
(
1
)
证
明
:
由
2
4210
n n n S a a -
--=……① 得
22211111142121(1)0a a a a a a ---=-+-=--=
∴11a =
……………………1分
由①得,当2n ≥时,2
1114210n n n S a a ------= ………②
①-②得:11()(2)0n n n n a a a a --+--=
0n a >
∴120n n a a ---=,即12n n a a --=
…………………………2分
∴{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列 ………………………………3分
∴12-=n a n
…………………………………………4分
(2)解:由题设1
1n n a a q
-=,……………………………5分
令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-
故{}lg n a 是1lg a 为首项,lg q 为公差的等差数列………………………6分 若
(1)k n kn
T T +为定值,令
(1)k n kn
T p T +=(定值)
则
11(1)[(1)1]
(1)lg lg 2(1)
lg lg 2
k n k n k n a q
p kn kn kn a q
++-++
=-+…………………………………7分
即22
2
1{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k pk q n k pk q q
+-++-=对n N *
∈恒成立…………………8分
10q q ≠>,
∴等价于22
1
(1)0(1)0k pk k pk a q ?+-=?+-==? ①
或②…………………………………………9分 由①得:
+1k p k
=代入(1)0k pk +-=得0p =或1p =…………………………10分
k N *∈,∴0p >且1p ≠…………………11分
∴21a q =…………………………………………12分
0n a >,∴0q >,∴1a q =………………14分
12、解析:(1)∵2
2n n n S a a =+,∴21112S a a =+ 且0>n a ,11a ∴=,…………2分
(2)∵22n n n S a a =+,∴当2n ≥时,12
11---+=n n n a a S …………3分
∴ )
(12121-----++=n n n n n n a a a a S S …………4分 ∴0)1)11=--+--n n n n a a a a (( …………5分
又0n a > , ∴11=--n n a a ,…………6分(没有0n a > 扣1分)
{}n a ∴是以1为首项,以1为公差的等差数列, …………7分
故1(1)n a a n d n =+-= …………8分 (3)由b n =
11n n a a +=()11n n +=1n -1
1
n +,…………9分
T n =1-12+12-13+…+1n -11n +=1-11n +=1
n n +.…………10分 ∵
1
n
n +≤k(n+4), ∴k≥21454
n n
n n n n =(+)(+)++=
1
45
n n
++. …………11分 ∵n +
4n +5≥24n n +5=9,当且仅当n =4
n
,即n =2时等号成立,…………13分
∴
145n n
++≤19,因此k≥19, 故实数k 的取值范围为1,9??
+∞???? ……14分 13、【答案】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d .由题意知
??
?=+++=+12
323
111d a d a d a ……2分(每式1分) 解得,2,11==d a …… 4分(每式1分) ∴12-=n a n (n N *∈) ……6分 (2)由题意知, n a n n b 21
22
==+ (n N *∈), …… 7分
n n T 26422222++++=
4
1)41(4--=n …… 10分
)14(3
4-=n
…… 12分