新高考数学易错点及盲点归纳

注意点及易错点归纳 一．集合与简易逻辑

1.注意集合的代表元素及元素的“确定性、互异性、无序性”。

例：集合A={x |)ln(x y -=}，集合{}

65,62+-=x x B ，若A ∩B=?，求x 的取值范围。

解：∵集合A 的代表元素为x (不为y ）∴)0,(-∞=A 0652≥+-?x x …① 又∵元素的“互异性”∴6652≠+-x x 052≠-?x x …② 结合①②知，()()()()+∞???∞-∈,55,32,00,x

2.整数集Z 可以表示为{}整数，但不能表示为{}全体整数。

3.当讨论B A ?时，不要忘了讨论?=A 的情况。

4.集合S 中A 的补集是有限集，则集合A 不一定是有限集。

{}0,,===+A C N A N S S 则例：

5.点集与数集的交集是?。

6. n 个元素组成的集合，其子集有n 2个，真子集有()

12-n 个，非空子集有()

12-n 个，非空真子集有()

22-n 个。

7.)(B A C B C A C U U U ?=? )(B A C B C A C U U U ?=?

8.)()()(C A B A C B A ???=?? )()()(C A B A C B A ???=?? 9.)()()(B C A C B A C U U U ?=? )()()(B C A C B A C U U U ?=? 10.在原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，对角线命题必同真同假。 11.21≠≠y x 且?/3≠+y x ，即21≠≠y x 且是3≠+y x 的既不充分也不必要条件。 12.325≠≠?≠+y x y x 或

13.设集合A 代表条件p ，集合B 代表条件q 。若p 是q 的充分条件，则B A ?；

又若p 是q 的必要条件，则A B ?。即小范围推出大范围，大范围推不出小范围。此时，亦不要忘了讨论?=B A 或的情况。

14.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，不要混淆原命题的否命题和原命题的否定形式。

15.注意命题"2023""1023"22==+-==+-x x x x x x 的解为或的解为是假命题，命题"21023"2===+-x x x x 或的解为才是真命题。 16.学会运用反证法或求解补集思想来解决难题。 二．函数与导数

1.对于映射B A f →:,存在这样的性质：A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性。

2.函数三要素：定义域、对应法则、值域。

3.在求与函数有关的问题时，始终坚持定义域优先原则，尤其判断函数奇偶性时，须检验其定义域是否关于原点对称。

4.掌握已学过的所有函数的定义域和值域。尤其要牢记对数函数、指数函数、幂函数中的限制条件。另外要注意对数函数、指数函数、幂函数前的实系数只能为1。

5.常用判断和证明函数单调性的方法：定义法（取值、作差、作商、判正负）、导数法。

6.建议答题一律用区间表示范围（除非要求用不等式表示）。

7.求函数单调性时，不要错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”、“或”。 8.在做“实系数方程有实数解”类型的题目时,要注意到，如果题目中没有指出是二次方程、二次函数或二次不等式，那么就要考虑二次项系数可能为零的情形。

9.用换元法解题时，应先求解换元后参数的范围。

10.求解复合函数定义域的一般方法：若已知()x f 的定义域为[]b a ,，其复合函数

)]([x g f 的定义域由不等式b x g a ≤≤)(解出即可；若已知)]([x g f 的定义域为

],[b a ，求)(x f 的定义域相当于求)(x g 在],[b a 上的值域。

11.函数)(x f 为周期函数，若满足)()(x f a x f -=+()0>a ，则其周期为a 2；若

)(x f 有两条对称轴b x a x ==,即)()(x a f x a f -=+，)()(x b f x b f -=+，则)(x f 的周期为b a -2。 12.常用的函数图象变换：

①对称轴的图象关于与y x f x f )()(- ②对称轴的图象关于与x x f x f )()(- ③对称原点的图象关于与)()(x f x f -- ④()对称点的图象关于与0,)2()(a x a f x f -- ⑤对称直线的图象关于与a x x a f x f =-)2()(

⑥对称（了解即可）直线的图象关于与x y x f x f =-)()(1 注：对数函数与指数函数互为反函数 ⑦函数图象平移时：左加右减，上加下减 ⑧方程图形平移时：左加右减，上减下加 13.反比例函数：()0≠=

k x k

y 推广为()0≠-+=k a

x k b y 是中心()b a O ,'的双曲线。 14.对数换底公式：a

b

b c c a log log log =

15.抽象函数的解法(赋值法、结构变换法）

例:为奇函数证明满足)(),()()()(,x f y f x f y x f x f R x +=+∈ 解：先令0)0(0=?==f y x ，再令x y -=，……

例：)()()()(,y f x f xy f x f R x +=∈满足，证明)(x f 是偶函数

解：先令)()])([(t t f t t f t y x ?=--?-==

)()()])([()()()(t f t f t t f t f t f t t f -+-=--=+=?Θ )()(t f t f =-∴……

16.解函数应用题时，不要忘了写“答：……”；做讨论类型综合题时，也不要忘了写“综上所述：……”。 17.常用对数值：

693.02ln = 099.13ln = 609.15ln = 301.02lg = 477.03lg = 699.05lg = 7183.2=e

18.常用的函数变换：

)()()()()()(;)()()()()()(y f x f y x f y f x f y

x

f y f x f y x f y f x f y x f +=??-==

-?=+19.注意：()

()M n M a n a log log =

例：()

x x a a log 2log 2≠ ()(

)00log 0log 22><>x x x x x a a 或中而中Θ 20.函数中还须注意以下问题:

①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；……

21.()条件必要不充分处可导的在点处连续是在点函数00)(x x f y x x f y == 22.注意函数极大（小）值、最大（小）值的区别。

23.注意导函数为0时，函数在该点有可能为拐点。故：()0)(0)(<'>'x f x f 是)(x f 递增（减）的充分不必要条件。

24.0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是其导函数为0。此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点。

25.可导奇函数的导函数为偶函数；可导偶函数的导函数为奇函数。

26.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则

它们的和、差、积、商不一定不可导。

27.牢记非常用函数的导函数。如：指数函数、对数函数、三角函数等。

28.其他结论：①()x

x 1

ln ='；②形如()()()n a x a x a x y -???--=21或

()()()()()()

n n b x b x b x a x a x a x y -???---???--=

2121两边同取自然对数，可转化求代数和形式。 ③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为

x x y ln ln =，对两边求导可得

x x x x x y y x y y x

x x y y +='?+='??+='ln ln 1

ln 。 29.已知函数)(x f y =的定义域为A ，)(x f y '=的定义域为B ，则两定义域的关系为A B ?。 三．数列与不等式

1.判断数列是不是等差数列的方法：

①()为常数d n d a a n n ,21≥=--；②()2211≥+=-+n a a a n n n ；③

()为常数、k n b kn a n +=

2.判断数列是不是等比数列的方法：

①()为非零常数q n q a a n n ,21≥=-，即前后两项之比为非零常数

②()0112

各项均不为-+?=n n n

a a a 注i ：为等比、、c

b a a

c b ?/= 注ii ：仅当0>ac 时，才有等比中项 ③()为非零常数、q c cq a n n =

3.()()???≥-===-211

11n s s n a s a n n n

4.非零常数列既为等差数列，也为等比数列。

5.等差（比）数列中的重要性质：

①若数列}{n k 成等差数列（+∈N k n ），则数列}{n k a 也成等差数列。 ②若数列}{n k 成等比数列（+∈N k n ），则数列}{n k a 也为等比数列。

③若等差数列}{n a 的前n 项和为}{n s ，则n n n n n s s s s s 232,,--成等差数列。其公差为原公差的2n 倍。

④若等比数列}{n a 的前n 项和为}{n s ，则n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。

⑤若等差数列的项数为()

+

∈N n n 2，则nd s s =奇偶-，

1

+=n n a a

s s 偶奇 ⑥若等差数列的项数为()()

+∈-N n n 12，则()n n a n s 1212-=-，n a s s =-偶奇，

1

-=n n s s 偶奇 ?代入n 到2n-1得到所求项数。

6.常用公式：

①()21321+=

+???+++n n n ；②()()61213212222++=+???+++n n n n ③()2

3333]2

1[321+=+???+++n n n ；④()212531n n =-+???+++

⑤

()q p q p p q pq

?

??--=1111 ⑥数列},555,55,5{???的通项公式为：()()

+∈-=

N n a n

n 1109

5 7.注意应用等比数列前n 项和公式的常见应用题。 8.如何求数列}{n a 的前n 项和}{n s 的最大项为第几项：

①???=???

?≤≥+n a a n n 001 ②???=????≥≥+-n s s s s n n

n n 11

注：同理可以求最小项。

9.熟练运用“累加（乘）法”、“错位相减法”、“裂项相消法”、“倒序相加法”、“数学归纳法”。

10.通项公式后不要忘了写上n 的取值范围；注意有的数列，前几项与其它项的通项公式不同，这时需分段表示。 11.在等比数列中，注意讨论1=q 的情况。

12.不等式证明的几种基本方法：比较法、分析法、综合法、换元法、反证法、放缩法、构造法、数学归纳法等。 13.常见不等式的放缩法：

①()()()21

11111111112≥--=-<<+=+-

n n

n n n n n n n n ②()111

1211

11≥--=-+<

<

++=

-+n n n n n n

n n n n

14.几个重要不等式：

①;222ab b a ≥+ ;2ab b a ≥+ 2

2??

? ??+≤b a ab 0>b a 、均须满足

时，等号成立且仅当b a =

注i ：积定和小，和定积大 注ii ：基本不等式求最值的必要条件：一正、二定、三相等。

②()0222≥++++≥++c b a ca bc ab c b a 只要；

()03333≥++≥++c b a abc c b a 只要

注：()()上述不等式成立∴---++++=-++ca bc ab c b a c b a abc c b a 2223333Θ 且仅当0=++==c b a c b a 或时，等号成立。 ③()()时取等号仅当b a b a ab b a b a =>+≥+0,2233

()()时取等号仅当c b a c b a ac bc ab ==++≤

++23

1

④柯西不等式：()()()()R d c b a bd ac d c b a ∈+≥++、、、,2

2222

⑤()时等号成立仅当即若b a b a b a ab b a ab b

a R

b a =+≤+≤

≤???

??++∈+

2

22112

,,2

2，即平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均。特别地，22222

b a b a ab +≤

??

?

??+≤ ()时取等号，仅当各项均大于n n

n n a a a a a a n

a a a =???==???≥+???++2121210

⑥()时取等号仅当c b a R c b a c b a c b a ==∈??

? ??++≥++,,,332

222

⑦()0,,3333

333

3

>++≤

??? ??++≤?++≤c b a c

b a

c b a abc c b a abc ⑧幂平均不等式：()2212

22211

n n a a a n

a a a +???++≥

+???++ ⑨绝对值不等式：b a b a b a +≤±≤-

⑩b

a

n b n a m a m b a b n m b a <++<<++<>>>>1,0,0,0则

15.在对数不等式与指数不等式中，要注意真数、底数、指数的限制条件。 16.掌握“穿轴法”（即“穿针引线”）解高次不等式—“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始。若求不等式大于0的解，则取数轴上部分为解；若求不等式小于0的解，则取数轴下部分为解。 注：一次项系数都为正数

17.分式不等式的解法：先移项通分标准化，待一次项系数变为正数，用穿轴法解得结果。 例：

()();00)()(>?>x g x f x g x f ()()()()()??

?≠≥?≥0

00x g x g x f x g x f 18.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论。以定义域为前提，函数的单调性为基础。解完后注意写上：“综上所述，原不等式的解集是……”。 19.运用分类讨论法、数形结合法、化归法解含有绝对值的不等式。

20.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘。

21.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。 22.常用不等式的解法举例（x 为正数）：

①()()()27

432211122113

2

=??? ??≤--?=-x x x x x

②()

()()

9

3

22743221211213

2222

2

≤

?=??? ??≤--=?-=y x x x y x x y 类似于()x x x x y 22sin 1sin cos sin -== ③??

?

??≥+=+

同号与x x x x x x 1211 23.解类似()N x f M <<的不等式常有如下转化：

()()()()2

20]][[M

N N M x f N x f M x f N x f M -<+-?<--?<< ()()()M

N M x f x f N M x f ->-?>--110

四．三角函数与解三角形

1.;2360π=ο ;01745.01=ο 815730.571'==οο

2.弧长公式与扇形面积公式：

22

1

21,R R l s R l ?=?=?=αα扇

3.应用单位圆，可推如下不等式：x x x x tan sin ,2,0<

?

??∈π

4.注意锐角和第一象限角的区别；注意终边相同的角不是相等的角。

5.掌握特殊角的三角函数值；另外还要记住οοοο75721815、、、的三角函数值，并能够

以此推导其它角。

6.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、周期等基本性质。注意正切函数的最小正周期为π。

7.牢记正弦、余弦、正切诱导公式；同角三角函数的基本关系式；两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式、卷帘公式等。

8.补充如下公式：i ：C B A C B A ABC tan tan tan tan tan tan ++=?中，

ii ：2

332sin 32sin sin 222=??? ??++??? ??-+παπαα

iii ：()()()x

x

nx x n nx x x sin 2sin sin 1sin cos 2cos cos -++=

+???++

iv ：()()()

()

x

x

x x x x n n n

sin 22sin 2cos 4cos 2cos cos 11++=???

v ：??

? ??=???

???????? ????? ????? ??n n n x x x x x x 2sin

2sin 2cos 8cos 4cos 2cos

9.常用角的变形：

①()ββαα-+=；②()()βαβαα++-=2；③()()βαβαβ--+=2 ④

??

? ??--??? ??-=+βαβαβ

α222

10.三角形内角和定理：

()()B A C B

A C

B A

C C B A +-=?+-=?

+-=?=++2222

22ππππ 11.在“解三角形”问题中，灵活运用角的变形、名的变换（化弦或化切）、次数的变换（升幂或降幂）、形的变换（函数表达式化简）；另外又要注意边、角的互相转化。

12.求某一个角的大小时，一定要先判断角的合理范围。

13.在正弦定理中，一定要注意：边长与该边对应角的正弦值的比值为R 2（即两倍的半径）。

14.补充正切定理（了解）：

2

tan 2tan

B

A B

A b a b a -+=-+ 15.用余弦定理判定ABC ?（假定C 为最大角）：

①??>锐角0cos C ；②??=直角0cos C ；③??<钝角0cos C 16.在ABC ?中，D 为BC 上任意一点，则有如下定理：

①()由余弦定理推导DC BD BC

BC

AB BD AC AD ?-?+?=

222

②当D 为BC 中点，则中线长222222

1

BC AB AC AD -+=（由余弦定理推导） ③若AD 为BC 上的高，则()()()()为半周长其中P c P b P a P P a

h a ---=2

17.牢记面积公式。

注：设ABC ?的三边为c b a ,,，其高分别为c b a h h h ,,，半周长为P ,外接圆、内切圆的半径为r R ,

①c b a ch bh ah s 2

1

2121===

?； ②Pr =?s ； ③R abc s 4=?；

④B ac A bc C ab s sin 2

1

sin 21sin 21===?； ⑤()()()c P b P a P P s ---=?

18.准确用“五点法”作出三角函数图象。

19.三角函数为周期函数，故单调区间后要写上“Z k ∈”。 20.三角函数图象的两条性质：

①在()?ω+=x y sin 中，若0<ω，则必须先把括号内的负号提出来，再求单调区间。

例：求??? ?

?

+-=42sin πx y 的单调增区间。

误解：422432224222π

ππππ

ππππ+≤-≤-

?+

≤+

-≤-

k x k k x k

()Z k k k k x k ∈+-?+≤≤-?]8

3,8[838π

πππππππ增区间为

正解：??? ?

?

--=42sin πx 原式 2324222πππππ+≤-≤+k x k 故

??? ?

?

-≤≤-+≤≤+

?8858

783ππππππππk x k k x k 即 ()Z k k k ∈--

?]8

,85[π

πππ增区间为 ②图象平移的两种方法：

例：的图象？才能得到的图象经过怎样的变换函数x y x y sin 142sin 2=-??? ??

-=π

方法1：1]4

212sin[2142sin 22--??? ??=??????→?-??? ??-=ππx y x y 倍

横坐标伸长到原来的

x y x y x sin 21sin 214sin 214

=????→?-=????→?-??

? ??-=个单位上移个单位左移π

π

x y sin 2

1

=??????→?倍

纵坐标缩短到原来的

方法2：1]482sin[2142sin 28

--??? ??+=???

?→?-??? ??-=ππππ

x y x y 个单位左移 ()x y x y x sin 21sin 212sin 212=????→?-=??????→?-=个单位

上移倍横坐标伸长到原来的

x y sin 2

1

=??????→?倍

纵坐标缩短到原来的

21.x y sin =不是周期函数，x y sin =的周期π=T ，

x y cos =是周期函数，x y cos =的周期π=T ， 2

1

2cos +

=x y 的周期π=T 五．平面向量与复数

1.向量的基本要素是大小和方向。

2.单位向量:a a

e ρρρ=.单位向量只表示向量的模长为1，并未指明向量的方向。

判断正误：b a b a ρ

ρρρ=为单位向量，则若, （×)

3.两个相等的向量必须满足大小相等、方向相同。

4.向量没有大小，故不能说一个向量大于或小于另外一个向量；只有向量的模才

有大小。

5.共线向量（平行向量）方向可以相同，也可以相反。另外，共线向量所在的直线可能平行，也可能重合。

6.零向量有方向，但方向不定，它与任意向量都平行，与任意向量都不垂直；另

外00ρ

ρ-=成立

7.两个向量平行（共线）的充要条件：

()

00//1221=-?≠=?y x y x b b a b a ρρρρ

ρρλλ，使存在唯一实数

判断正误：.,n m a n a m ==则有ρ

ρ （×）（当0ρρ=a 时就不成立） 判断正误：c a c b b a ρ

ρρρρρ//,//,//则若. (×)(当0ρρ=b 时就不成立）

8.两个向量垂直的充要条件：

()

0,0002121ρρρρρρρρ≠≠=+?=??⊥b a y y x x b a b a 注：

9.实数与向量的积的运算律：交换律、结合律、分配律。

10.两个向量的点积（数量积）为实数，不再是向量。数量积的几何意义：a

a ρ

ρ的长度与θcos ?b a b ρ

ρρ的方向上的投影在的乘积。

11.数量积的运算律：交换律、分配律，但不满足结合律。

12.b a b a y x a a ρρρρρρ?≤?+==,212122

13.两向量夹角（πθ≤≤0范围：

）的余弦值：22

22

21

21

2121cos y

x y x y y x x b

a b

a +?++=??=ρρρ

ρθ

14.平面向量基本定理：

共线向量，是同一平面内的两个不如果21,e e ρ

ρ任一向量，那么对于这一平面内的 221121e e a ρρρλλλλ+=，使得、有且只有一对实数

有向量的一组基底叫做表示这一平面内所、不共线的向量21e e ρ

ρ

15.线段的定比分公式:

()()()是实数，且的分点，是线段的端点坐标设线段λ2122211121,,,,,P P y x P y x P y x P P P

则,21PP P P λ=

()??? ??+=-+=?++=????

????++=++=λλλλ

λλλ1111112121212

1t OP t OP t OP OP OP OP y y y x x x 注：

16.三角形的重心坐标公式:

()()()332211,,,y x C y x B y x A ABC 、、三个顶点的坐标分别为?

则三角形重心的坐标??

?

??++++3,3321321y y y x x x G

17.“向量平移”的几条结论：

①()()()k y h x P k h a y x P ++'=,,,平移后得到点按向量点ρ

②()()的函数解析式为则平移后得到图象按向量的图象函数C C k h a C x f y ''==,,ρ

()k h x f y +-=

③()()--''==y h x f C C k h a y x f C ,(,,0,:的方程为则平移后得到图象按向量曲线ρ

0)=k

④()()()y x m k h a y x m ,,,===ρ

ρρ为平移后得到的向量仍然按向量向量

18.三角形五“心”向量形式的充要条件： ①2

2

2

OC OB OA ABC O ==??的外心为 ②0=++??OC OB OA ABC O 的重心为

③OA OC OC OB OB OA ABC O ?=?=???的垂心为 ④0=++??OC c OB b OA a ABC O 的内心为 ⑤OC c OB b OA a A ABC O +=?∠?的旁心的为

19.平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和

20.两个非实数复数没有大小之分，故非实数复数不能比大小（仅当两复数是实

数时，才能比大小）。而两个复数相等的充要条件是实部和虚部均相等。 判断正误：.0,2121<-

22.掌握复数的乘法运算律（交换律、结合律、分配律）。 23.掌握复平面上两点的距离计算公式。

24.若两个非零复数di c z bi a z +=+=21,对应的向量分别为21,OZ OZ ，则

2

2212211

22121z z z z z z z z OZ OZ +=+??

??⊥为纯虚数的实部为零()002121212

22

12

21≠=?=+?-=+?+=-?λλiz z bd ac z z z z z z z z 25.虚数bi a z +=的实部为a ，虚部为b （不是bi ） 26.曲线方程的复数形式：

①为半径的圆的方程为圆心，表示以r z r z z 00=- ②的垂直平分线的方程表示线段2121z z z z z z -=-

③()的椭为焦点，长半轴长为表示以且a z z z z a a a z z z z 212121,202>>=-+-

()2121,2.z z z z a 此方程表示线段若圆的方程=

④()的双曲为焦点，实半轴长为表示以a z z z z a a z z z z 212121,202<<=---

此方；若虑是否是双曲线的一支若没有绝对值，则须考线的方程,2(21z z a =

程表示两条射线）

27.绝对值不等式也适用于复数。 28.共轭复数的性质（设bi a z +=）：

①2121z z z z ±=± ②a z z 2=+ ③*=-bi z z 2 ④2

2

z z z z ==?

⑤2121z z z z ?=? ⑥()02

2121≠=???

? ??z z z z z ⑦()n n

z z =

29.复数的乘方： ①()

()n n n

n m n

m

n m n m z z z z z z z z z 2

121,,?=?==??+ 注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果

()

112

12

142

===i

i 的形式，则有如果拓展到分数指数幂，而事实上12-=i

②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法

③常用结论：()Z n i i i i i i i n n n n ∈=-=-==-=+++1,,1,,143424142

()Z n i i i i n n n n ∈=++++++0321

()i i

i i i

i i i -=+-=-+±=±11,11,212

ωωωωωωω1

1,2321-123===±=，，则的立方虚数根，即是若i ，

()Z n n n n ∈=++=++++0,01212ωωωωω

30.在复数集内解x 关于的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当0,,≠∈a R c b a 且时，若0>?，则有两个不等实根；若0=?，则有两个相等的实根； 若0

i b x 22,1?±-=

（注：共轭复数根总是成对出现）

②当c b a ,,不全为实数时，不能通过?来观察根的情况

③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 31.注意：解复数方程时，千万不能移项！！！ 六．立体几何与空间向量

1.牢记四条公理、推论、定理；掌握并熟练应用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理。

2.掌握几条重要的唯一性定理；了解三垂线定理及其逆命题。

三垂线定理：PO a OA a a PO AO PA ⊥?⊥?⊥且面内的射影，若在为，面ααα；

同样，若AO a PO a a ⊥?⊥?且面α

3.证明题中不要跨步骤；遇到不会证明的命题时，可尝试应用反证法。

4.区分几个“角”的范围：

①异面直线所成的角θ，οο900≤<θ；②直线与平面所成的角θ，οο900≤≤θ ③二面角θ，οο1800≤≤θ；④两个向量所成的角θ，οο1800≤≤θ

5.

A

O B

γ C D

α

θ

β 三余弦定理：βθγcos cos cos ?=

6.如何求空间中的几种距离（点点、点线、点面、线线、线面、面面）：将空间距离转化为两点间的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

7.在求空间角时，一定要注意：你所求的角是题目要求的角还是其补角。 8.几条须注意的性质：

①经过不在同一条直线上的三个点确定一平面；经过一条直线和直线外一点确定一平面；两条平行或相交的直线确定一平面；过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面

②两个平面可将空间分成3或4个部分；三个平面最多可把空间分成 8 个部分 ③两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，也可能是点和直线；另外，两条平行直线在同一平面内的射影是一条直线或两条平行直线或两点

④直线在平面外是指：与平面平行或相交

⑤21,l l 是两条异面直线，过21,l l 外一点P ，且与21,l l 都平行的平面存在一个或没有 直线a 与平面α内一条直线平行，不一定()内在平面面ααa a // 直线a 与平面α内一条直线相交，不一定a 与平面α相交()α面//a 直线l 与平面βα,所成角相等，不一定()可能相交βα// 9.最小角定理的应用：

①成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角的补角一半大，一定有4条 ②成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角小，一定有2条 ③成角比交线夹角一半大，且又与交线夹角相等，一定有3条或者2条 ④成角比交线夹角一半小，且又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有 10.理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质 ①正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

②正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心

11.在平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题中，要注意翻折、展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”。

12.牢记各种柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积公式。 13.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

14.若棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直，不可推测该棱柱是直棱柱。 15.平行六面体的对．．．．．．．角线交于一点．．．．．．，并且在交点处互相平分。而四棱柱的对角线不一定相交于一点。

16.长方体（正方体）中的几条性质：

①长方体的一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和 ②长方体的一条体对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则

1cos cos cos 222=++γβα

③长方体的一条体对角线与同一个顶点的三个侧面所成的角为γβα,,，则

2cos cos cos 222=++γβα

17.棱锥的几条性质：

①一个棱锥可以四各面都为直角三角形

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱锥棱柱V Sh V 3== ③注意区分正三棱锥和正四面体

④正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形

⑤i ：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心 ii ：棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心

iii ：棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心

iv ：棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心 v ：三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心

vi ：三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心 ⑥每个四面体都有外接球，球心O 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径

⑦每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径

⑧一个三棱锥，若两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直

⑨空间四边形OABC 四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形 ⑩空间四边形OABC 四边长相等，且其对角线也相等，则顺次连结各边的中点的四边形是正方形 18.球体的几条性质：

①球的截面是一个圆，球心与截面的距离（即球心与截面圆心的距离）

2

2-圆球r R d =

②球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ ③球内接长方体的对角线是球的直径

④正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为1:3:=r R ；r h 4=正四面体 ⑤设正四面体的边长为a ，则正四面体外接球半径a

R 4

6=

；内切球半径a r 12

6= ⑥球内切于正四面体：正四面体底底侧正四面体h S r S r S V ?=??+???=3

1

331（正三棱锥同理）

19.判断下列命题正误：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）

②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（底面应是正多边形） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（推不出底面为矩形） ④各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等） 20.射影面积公式：

()αα面角为设侧面与底面所成的二底

侧cos S S =

21.空间向量的基本性质与平面向量相同。