北京航空航天大学概率统计08-09第一学期试题及答案

2008－2009 学年 第一学期期末

考试统一用答题册

一、单项选择题（每小题3分，满分18分）

1、设1234,,,X X X X 是来自正态总体2

(0,)N σ的样本，设∑==4

1

41i i X X ，

当2

σ= ( )时， 概率}21{≤≤X P 最大。

（A

， （B ）6ln2 ， （C

， （D ） 32ln 2 。

2、 设总体X 的密度函数为1(1)01

(;)0x x x f x θθθθ-?+<<=?

?

(1-)，，其它，其中0θ>，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，则参数θ的矩估计量为（ ）。 （A ）

1X X - ， （ B ）22X X - ， （C ） 2X X

- ， （ D ） 21X

X -。 3、设1,,n X X 是来自正态总体2

(,)N μσ的样本，当c =（ ）时，2

2

2

??X c μ

σ=+是 2

μ的无偏估计，其中2

2

1

1?()n i i X X n σ

==-∑，∑==n i i X n X 11 。 （A ）11n -

- ， （B ）11n - ， （ C ） 1n - ， （ D ）1

n

。 4、设随机变量),(~2

σμN X ,则=-||μX E [ ].

(A) 0, (B) σ, (C)

σπ

22, (D) μ.

5、两人约定在某地相会,假定每人到达的时间是相互独立的,且到达时间在中午12时

到下午1时之间服从均匀分布,则先到者等待10分钟以上的概率为[ ].

(A) 3625, (B) 7225, (C)5247, (D)36

11.

6、设n X X X ,,,21???是总体),(2

σμN 的样本,μ已知,下列几个作为2

σ的估计量中,

较优的是[ ].

(A) 2121

)(1?X n n i i -=∑=σ, (B) 21

22)(11?X n n i i --=∑=σ,

(C) 212

3

)(1?μσ-=∑=n i i X n , (D) 211

2

4)(11?μσ--=∑-=n i i X n . 二、填空题（每小题3分，满分18分）

1、有n 个白球与n 个黑球任意地放入两个袋中,每袋装n 个球.现从两袋中各取一 球,则所取两球颜色相同的概率为 。

2、在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清 和1的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1时,收到信号为1、不清和0 的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中发出0和1的概率分别是0.4和 0.6。当收到信号为不清时,原发信号是1的概率为 。

3、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率 分别为0.6、0.5、0.3,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为0.3、 0.6、0.9.则敌舰被击沉的概率为 。

4、 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，随机变量Y 服从两点分布：

,}{p a Y P ==,1}{p b Y P -==)10(<

则随机变量Y X Z +=的分布函数=)(z F Z 。

5、设12,,,n X X X 是来自正态总体20(,)N μσ的样本，μ未知，2

σ已知。对给定置信水平1α-（01α<<），满足

{}1X P a b α≤

≤=-

， 即满

足{}1P X X μα≤≤=-的实数,a b ()a b <有无穷多组，当=a ，

=b 时，就可使得μ的置信水平为1α-

的置信区间,X X ?

????

?

的长度最短。（用标准正态分布的分位点表示出所求的b a ,即可。）

6、设总体()2

,~σμN

X ,

x

x x ,,,21 为X 的样本. 记 ∑==n

i i x n x 11 ，这里规定

2

1

2

)(1∑=-=n

i i x x n s ,2

2

s n

σ

2

1

2

)(1

∑=-=

n

i i

x x

σ

.在未知方差2

σ

， 检验假设0H :0μμ=时，

选取检验用的统计量是 。

三、（满分12分）

对同一目标进行三次独立射击,第一、二、三次射击的命中概率分别为0.4,0.5,0.7,试求:

(1)在这三次射击中,恰好有一次击中目标的概率; (2)至少有一次击中目标的概率.

四、（满分12分） 已知随机变量X 的概率密度为??

???<<=其它,00,2)(2π

πx x

x f ,

试求X Y sin =的分布函数)(y F Y 和概率密度)(y f Y .

五、（满分8分）设随机变量X 的二阶矩存在，

证明:当EX k =时,2)(k X E -的值最小,最小值为DX .

六、（满分12分）设总体)3,0(~2N X ,从此总体中取一容量为4的样本4321,,,X X X X ,设

243221)43()2(X X b X X a Y -+-=,

（1）求212X X -服从的分布；（2）求4343X X -服从的分布； （3）试决定常数b a ,,使随机变量Y 服从2χ分布.

七、（满分8分）（此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做）

设 t Y t X t Z ωωcos sin )(+= ,其中ω是常数, X 与Y 是相互独立的随机变量,

且)1,0(~N X ,]3,3[~-U Y , 试求:

（1）2

EX ，2

EY ； （2）)]([t Z E ，)]()([τ+t Z t Z E ，)]([2t Z E ； （3）问)(t Z 是否为广义平稳过程？

[七]、（满分8分）（此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做）

有甲、乙两炮向同一目标轮流射击,直至有一炮击中目标为止.甲、乙两炮击中的概率分别为0.3和0.7,规定甲炮先射.以X 和Y 分别表示甲、乙两炮所用炮弹数. （1）试写出X 的分布律，求Y 的分布律； （2）求EY EX ,。

八、（满分12分）（此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做）

四个位置:1,2,3,4在圆周上逆时针排列.粒子在这四个位置上随机游动.粒子从任何一个位置,以概率

32逆时针游动到相邻位置; 以概率3

1

顺时针游动到相邻位置;以j n X =)(表示时刻n 粒子处在位置)4,3,2,1(=j j ,

试作:(1)写出齐次马尔可夫链},2,1),({ =n n X 的状态空间； (2)求齐次马尔可夫链},2,1),({ =n n X 的一步转移概率矩阵; （3） 求两步转移概率矩阵)

2(P

； (4)求该齐次马尔可夫链的平稳分布.

[八]、（满分12分）（此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做）

设??????,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列,且其分布律为

,3

1}{1

+=

-=n n n X P ,3

1}{1

+==n n n X P ,3

21}0{1

+-==n n X P ),2,1(???=n ；

记∑==n i i n X n Y 1

1,),2,1(???=n 。 (1)求n EX ，2n EX ，n DX ； (2)求n EY ，n DY ;

（3）证明: 对任给0>ε，成立1}|{|lim =<∞

→εn n Y P 。

A 卷 ：一、单项选择题（每小题3分，满分18分）

1、B ；

2、D ；

3、A ；

4、C ；

5、A ；

6、C 。

二、填空题（每小题3分，满分18分）

1、121)(--=n n A P , 或121)(2

2212--==n n C C C A P n

n . 2、42857.073

= ；3、75.0；

4、 }{)(z Y X P z F Z ≤+=)()1()(b z F p a z pF --+-= ；

5、1

(1)2

a α

-=-Φ-

22

1αα

z z

=-=-

，1(1)2b α

-=Φ-21α-=z ；

6、()1~11

0---=

--=n t n s x n s x T μμ 。

三、（满分12分）

解 设=i A 第i 次射击时击中目标,3,2,1=i ,321,,A A A 相互独立,

7.0)(,5.0)(,4.0)(321===A P A P A P ;

（1） 设=1B 恰好有一次击中目标,则3213213211

A A A A A A A A A

B ++=,

于是)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++=

)

()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=??+??+??=;……………….6分

（2） 设=A 至少有一次击中目标,则321A A A A ++=, 故)()()(1)()(321321A P A P A P A A A P A P -=++=

91.03.05.06.01=??-=.……………………………………………………..6分

四、（满分12分）

解 }{sin }{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=,

(1)当1≥y 时, }{sin }{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=1}{==S P ; (2) 当1-

≤==y

dx x f sin 0)( ;

(4)当 10<≤y 时, }{sin }{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤= ?

≤=

y

x dx x f sin )(dx x

dx x

y

y

?

?

-+=arcsin 0

arcsin 2

2

22π

ππ

π

y arcsin 2

π

=,

??

???

≥<≤<=1

,110,

arcsin 2

,0)(y y y y y F Y π

；………………………………………………………8分 (2)所以 ?

????<≤-=其它

,010,112

)(2

y y

y f Y π . ………………………………………………4分

五、（满分8分）

证明 由22)]()[()(k EX EX X E k X E -+-=-

])())((2)[(22k EX k EX EX X EX X E -+--+-=

22)()(k EX EX X E -+-=,

DX EX X E =-≥2)(,………………………………………………6分

知当EX k =时,2

)(k X E -的值最小,最小值为DX .……………………………………2分

(用2

2

2

2)()(k k EX EX k X E k f +?-=-=2

2

2

)()(EX k EX EX -+-=,

或利用导数求极值也可.)

六、（满分12分）

解 因为 )3,0(~2N X i ,4,3,2,1=i ,且4321,,,X X X X 相互独立,

0=i EX ，23=i DX ；

（1）因为0)2(21=-X X E ，22135)2(?=-X X D ，所以)35,0(~2221?-N X X ,4分 （2）由0)43(43=-X X E ,243325)43(?=-X X D ，得)15,0(~43243N X X -； 4分 （3）

)1,0(~)2(5

3121N X X -,

)1,0(~)43(15

1

43N X X - 故)1(~)]2(5

31[

2221χX X -，)1(~)]43(15

1

[

2243χX X - 由2χ分布的可加性,得)2(~)43(225

1)2(4512243221χX X X X -+-, 由Y 所给的表达式,即知225

1,451==b a ;……………………………………4分

[七]、（满分8分）（此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做）

解 （1） 以i A 和i B 分别表示甲乙在第i 轮射击中击中目标.显然Y X ,是离散型随机变量. 根据题意知

111}1{B A A X +==,)()(}1{111B A P A P X P +==79.0)()()(111=+=B P A P A P ; 2211211}2{B A B A A B A X +==,

21.079.0)()()]()()([}2{11222?=+==B P A P B P A P A P X P ;…

+==--k k k A B A B A k X 1111}{ k k k k B A B A B A 1111-- ,

)]()()([}{k k k B P A P A P k X P +==11111)21.0(79.0)(---?=k k k B A B A P ,

于是,X 的分布律为1)21.0(79.0}{-?==k k X P , ,2,1=k . ………………………2分

Y 的可能取值为: ,2,1,0,1}0{A Y ==, 3.0)(}0{1===A P Y P ;

21111}1{A B A B A Y +==,553.0)()(}1{21111=+==A B A P B A P Y P ;

)

(}2{322112211A B A B A B A B A P Y P +==21.0553.0)()]()([2132222?=+=B A P A B A P B A P ,…

11111121.0553.0)()]()([}{---+?=+==k k k k k k k k B A B A P A B A P B A P k Y P ，

于是, Y 的分布律为

3.0}0{==Y P ,1)21.0(553.0}{-?==k k Y P , ,2,1=k . ………………………2分

（2）∑+∞

=-??=

1

1

)

21.0(79.0k k k EX 11

)21.0(79.0-+∞

=∑?=k k k

2658.179

.01

)21.01(179.02==-?

=； ………………………………………2分

∑+∞

=-??+?=1

1

)

21.0(553.03.00k k k EY 11

)21.0(553.0-+∞

=∑?=k k k

22)79.0(533.0)21.01(1553.0=

-?

=88607.079

.07.0== 。…………………………………2分 [八]、（满分12分）（此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做）

证明 （1）由数学期望和方差的性质及条件,有

0031

31

11=+?

+?

-=++n n n n n EX ，1

1

2122

32031

)(31

)(+++=

+?

+?

-=n n n n n

n n EX ， 12

3

2+==n n n n EX DX ，…………………………………………………………………3分

（2）)1(1∑==n i i n X n E EY 011

==∑=n

i i EX n ,

)1(1

∑==n

i i n X n D DY ∑==n

i i

DX n 1

2

1∑=+=n

i i i

n 11

2321

,………………………………………4分 （3）)1(1

∑==n i i n X n D DY n n n

DX n n

i i 1

112

1

2

=≤

=∑=； 对任意

0>ε,由契比雪夫不等式,得

}|{|1ε<≥n Y P }|{|ε<-=n n EY Y P 22

1

11ε

εn DY n

-

=-

≥, 于是成立 1}|{|lim =<∞

→εn n Y P 。…………………………………………………………………5分