高考专用二次含参绝对值函数16个题及参考答案蔡军挺

[高考专用]二次含参绝对值函数16个题及参考答案

诸暨里浦中学蔡军挺整理

1、设函数f（x）=x|x﹣a|+b．

（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．

（2）设常数b＜﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

（1）证明：充分性：若a2+b2=0，则a=b=0，

∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0

∴f（x）为奇函数，故充分性成立

必要性：若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，

∴f（0）=0，解得b=0，

∴f（x）=x|x﹣a|，

由f（1）+f（﹣1）=0，即|1﹣a|﹣|a+1|=0，|1﹣a|=|1+a|得：a=0．

∴a2+b2=0．

故f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0

（2）解：由b＜﹣1＜0，

当x=0时a取任意实数不等式恒成立

当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x﹣恒成立

令g（x）=x+在0＜x≤1上单调递增，

∴a＞g（x）max=g（1）=1+b

令h（x）=x﹣，则h（x）在（0，]上单调递减，[，+∞）单调递增，

当b＜﹣1时h（x）=x﹣在0＜x≤1上单调递减，

∴a＜h（x）min=h（1）=1﹣b．

∴1+b＜a＜1﹣b

2、已知函数f(x)=∣x-a∣-9/x+a,x∈【1,6】，a∈R。

（1).a=1,试判断并证明函数f(x)的单调性；

（2).当a∈（1,6）时，求函数f（x)的最大值的表达式M(a).

(1)∵函数f(x)=|x-a|-9/x+a, x∈[1，6]，a∈R.令a=1，f(x)=|x-1|-9/x+1当x>=1时，f(x)=x-9/xF’(x)=1+9/x^2>0∴函数f(x)单调递增

3、已知函数f（x）=x2+|x-a|+1（x∈R） a是实数，（1）判断f(x)的奇偶性

（2）求f（x）最小值。

解：

（1）首先看函数定义域，函数定义域为R，因此根据函数奇偶性的定义，只要判断f(-x)与f(x)的关系即可：

f(x)=x^2+|x-a|+1

f(-x)=x^2+|x+a|+1

显然，当a=0时，f(x)=f(-x），函数为偶函数；

当a不等于0时，f(x)不等于f(-x）也不等于-f(-x），函数既不是奇函数，也不是偶函数

综上：

当a=0时，函数为偶函数；

当a不等于0时，函数既不是奇函数也不是偶函数。

（2）本问关键得把你感到无从下手的因素“| |”解决掉，那样就转化成了一元二次函数问题。

带绝对值的函数本质是分段函数。

x^2+x-a+1 x>=a

f(x)={

x^2-x+a+1 x

因为已知-1/2≤a≤1/2,

而y1=x^2+x-a+1 x>=a的对称轴为x=-1/2,

y2=x^2-x+a+1 x

你可以画出函数

x^2+x-a+1 x>=a

f(x)={ 的图象，显然x=a时，取得最小值a^2+1

x^2-x+a+1 x

4、已知函数f（x）=-x2+2|x-a|，当a＞0时，若对任意的x∈【0，+∞),不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求实数a的取值范围。

当a＞0时，对任意的x∈[0，∞），不等式f(x-1)≥2f(x)恒成立，

<==>-(x-1)^2+2|x-1-a|>=2[-x^2+2|x-a|],

<==>x^2+2x-1>=4|x-a|-2|x-1-a|,

化为3个不等式组：

1）x>=a+1,x^2+2x-1>=2x-2a+2,

2)a=6x-6a-2,

3)0<=x<=a,x^2+2x-1>=-2x+2a-2.

由1),x^2>=3-2a,

(a+1)^2>=3-2a,a^2+4a-2>=0,a>=√6-2.

由2),x^2-4x+4>=3-6a,

i)a<2=3-6a,

解得1

ii)2=3-6a,a^2+2a+1>=0,恒成立。

iii)a+1<2,(a-1)^2>=3-6a,

a<1,a^2+4a-2>=0,1>a>=√6-2.

对于2),a>=√6-2.

由3),x^2+4x+4>=2a+3,

4>=2a+3,0

求1),2),3)的交集得√6-2<=a<=1/2,为所求。

5、已知函数f(x)=|x-a|+1/x(x>0),若f(x)≧1/2恒成立，则a的取值范围 ?(a ≦2)。

f(x)=|x-a|x-2。

不等式f(x)＜(1/2)x-1对任意x∈(0，1]恒成立,①

令x=1,得|1-a|-2<-1/2,

|a-1|<3/2,

-3/2

解得-1/2

i)x>=a,①变为x^2-(a+1/2)x-1<0，当x=0或1时成立，因而①成立。

ii)x

即x^2+(1/2-a)x+1>0,

<==△=(1/2-a)^2-4<0,

<==>-3/2<=a<5/2,

<==②。

∴-1/2

6、已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．

（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值

（2）若函数f(x)在R上是增函数，求a的取值范围

1)a=4, f(x)=x|x-4|+2x-4

当4

当2=

综合得f(x)的最大值为f(5)=11.

2)x>=a时, f(x)=x(x-a)+2x-3=x^2+(2-a)x-3, 对称轴为x=(a-2)/2, 此区间为增函数,则(a-2)/2<=a,得:a>=-2

x=a, 得:a<=2

综合得a的取值范围是[-2,2]

7、已知函数f(x)= |x-a|,g(x)= x2+2ax+1(a为正常数)且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等.(1)求a的值.

(2)求函数f(x)+g(x)的单调递增区间.

(3)若n为正实数,证明10^f(a)[(4/5)^g(n)]<4

8、已知a为实数，函数f(x)=2x2+（x+a）|x-a|

(1)若f（1）≧1，求a的取值范围。

（2）求函数f（x）的最小值。

9、f(x)=a x2+x-a定义在区间【-1,1】上（1）若绝对值a≤1，求证绝对值f(x)≤5/4（2）求a的值，使函数f（x）有最大值17/8。

证明:由于σ=1+4a^2>0,必有两个不同的交点

1..a=0时,f(x)=x,x在【-1,1】,|f(x)|在【0,1】,最大值:1,最小值0

a在[-1,0),开口向下,f(x)=ax^2+x-a,对称轴-1/2a在[1/2,+oo],

当对称轴在[1/2,1],之间时,在对称轴处取最大值结果为:-5a/4,a取-1的时候有最大值5/4, 在x=-1处取最小值:-1

当对称轴在[1,+00]之间时,在x=1处取最大值结果为:1,在x=-1处取最小值:-1 a在(0,1],开口向上,f(x)=ax^2+x-a,对称轴-1/2a在[-oo,-1/2],

当对称轴在[-oo,-1]之间时,在x=1处取最大值结果为:1,在x=-1处最小值:-1

当对称轴在[-1,-1/2]之间,在x=1处取最大值结果为:1,在对称轴处取最小值::-5a/4,a取1的时候有最小值-5/4

综上,-5/4≤f(x)≤5/4

10、设函数f(x)= |x+1/a| +|x-a|（a﹥ 0）

（1）证明f（x）≧2

（2）若f(3)﹤5,求a的取值范围。

1）证明：

f(x)=|x+1/a|+|x-a|，a>0

表示x轴上点x到点-1/a和点a的距离之和

当且仅当-1/a<=x<=a时，f(x)取得最小值：

f(x)>=|a-(-1/a)|=a+1/a>=2

所以：

f(x)>=2

2）

f(3)=|3+1/a|+|3-a|<5

3+1/a+|3-a|<5

0<=|3-a|<2-1/a

所以：

1/a<2，a>2

20，a^2-a-1>0，解得：2

a>3时，a-3<2-1/a，a+1/a-5<0，a^2-5a+1<0，解得：3

综上所述，2

11、设函数f(x)=|x-5/2|+|x-a|,x属于全体实数，

（1）求证,当a=-1/2时,不等式lnf(x)>1成立。

（2）若关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值。

1.a=-1/2时,f(x)=|x-5/2|+|x+1/2|>=|1/2+5/2|=3

故有lnf(x)>=ln3>1 成立.

2.f(x)=|x-5/2|+|x-a|>=a在R上恒成立.即f(x)的最小值要大于等于a成立.

又f(x)的最小值等于|a-5/2|,故有|a-5/2|>=a

a>=5/2时,a-5/2>=a,无解,a<5/2时,5/2-a>=a

a<=5/4

故a的最大值是5/4.

12、已知函数f(x)=(x-a)|x-2|,g(x)=2^x+x-2,其中a∈R（1）写出f(x)的单调区间（2）如果对任意实数m∈【0.1】,总存在实数n∈【0,2】,使得不等式f(m)≦g(n)成立,求实数a的取值范围。

解：一：由题意，当x〉2时f（x）=（x-a）*(x-2);x<=2时f（x）= -（x-a）*(x-2);

故a<2时

此时单调区间：负无穷到2为增；2到2/（a+2）为减；a到正无穷为增

同理，a<2时负无穷到2/（a+2）为增；2/（a+2）到2为减；2到正无穷为增

a=2时负无穷正无穷为增。毕。

二：若要存在n 使f(m)≤g(n)只需f(m)min<=g(n)max即可

而g(n)在0~2上为增故g(n)max=g(2)=4;

若a>=2,则f(m)在0 ~1上单增，f(m)min=f(0)=-2a<4故成立

同理若2>a>=0,则f(m)min<0<4故成立；a<=0时，f(0)f(1)且f(1)<4解得a>=-3

综上a>=-3满足条件

13、已知函数f（x）=x|x-a|+b，g（x）=x+c（其中a，b，c，为常数）

（1）当a=3，b=2，c=4时，求函数F（x）=f（x）-g（x）在[3，﹢∞）上的值域。

（2）当b=4，c=2时，方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求实数a的取值范围。

（3）当a=3，b=2，c=4时，判断函数G（x）=f（x）×g（x）在[3，﹢∞）上的单调性并加以证明。

解（1）F（x）=f（x）-g（x）=x2-4x-2=（x-2）2-6

F（x）在[3，+∞）上单调递增，

当x∈[3，+∞）时，F（x）的值域为[-5，+∞）-

（2）G（x）=f（x）?g（x）=（x2-3x+2）（x+4）=x3+x2-10x+8

对任意x

1，x2∈[3，+∞），且x1＜x2

由G（x

1）-G（x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22+x1+x2-10）＜0

知G（x）=f（x）?g（x）在[3，+∞）上的单调递增．分）（3）由f（x）=g（x）得x|x-a|+4=x+2即x|x-a|=x-2

令h(x)＝x|x?a|＝

x2?axx≥a

?(x2?ax)x

＜a

＝

(x?

a

2

)2?

a2

4

x≥a

?(x?

a

2

)2+

a2

4

x＜

a

，p（x）=x-2

由图象容易得到

当a=0时，两图象只有一个交点，不合题意；

当a＜0时，由x2-（a+1）x+2=0，令△＝0?a＝?2

2

?1

所以，当a＜?2

2

?1时，符合题意---------------------------------

当a＞0时，令p（x）=x-2=0?x=2，所以要使得两图象有三个交点，必须a＞2，

14\已知函数f（x）=x|x-a|（x∈R）．

（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；

（2）求实数a的取值范围，使函数g（x）=f（x）+2x+1在R上恒为增函数．

（1）当a=0时，f（x）=x|x|，定义域为R，

又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函数．

当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a），

∴f（x）是非奇非偶函数．

∴当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．

（2）g(x)＝x|x?a|+2x+1＝

x2+(2?a)x+1，

x≥a

?x2+(2+a)x+1，x

＜a

在R上恒为增函数，

∴y=x2+（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函数，且y=-x2+（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函数，…（10分）

∴

?

2?a

2

≤a

2+a

2

≥a

，…（14分）

∴-2≤a≤2．

15、

对于函数f（x）=ax 2 +b|x-m|+c （其中a、b、m、c为常数，x∈R），有下列三个命题：

（1）若f（x）为偶函数，则m=0；

（2）不存在实数a、b、m、c，使f（x）是奇函数而不是偶函数；

（3）f（x）不可以既是奇函数又是偶函数．其中真命题的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

（1）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），

∴a（-x）2 +b|-x-m|+c=ax 2 +b|x-m|+c

∴b|x-m|=b|x+m|

∴m=0或b=0

故（1）错误

（2）若f（x）是奇函数而不是偶函数则f（0）=b|m|+c=0且bm≠0

此时f（x）=b|x-m|-b|m|不可能是奇函数，故（2）正确

（3）若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0

此时只要a=b=c=0，m为任意的数，故（3）错误

故选：B

16、已知函数f(x)=ax^2-|x|+2a-1(a为实常数)

1。设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式

2。设h(x)=f(x)/x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围1，当a=0，f(x)=-|x|-1在[1,2]上最小值为-3

当a不等于0，只需讨论x>0的情况。

因为x属于【1.2】，所以可以去绝对值，然后配方得：

f(x)=ax^2-x+2a-1=a(x-1/2a)^2+2a-1/4a-1

（i)当1/2a>2,g(a)=f（2）=6a-3

（ii）当1/2a<1,g(a)=f(1)=3a-2

（iii)当1<=1/2a<=2,g(a)=f(1/2a)=2a-1/4a-1

2,分母上是增函数，当a=0，不满足题意。

当a>0，对称轴1/2a<=1,a>=1/2

当a<0，对称轴1/2a>=2,不满足题意。综上a>=1/2