n n
n b a b →∞-=_ ____.
③ 若(1)1
lim 2n a n n a
∞++=+→，则a = ．
④
n 等于 ．
⑤ 数列2141n ??
?
?-??
的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞＝________. ⑥ 已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim n
n n
a S →∞= .
2、函数极限：
（1）公式：lim x C C →∞
= （C 为常数）；1
lim
0p x n →∞= （p>0）
； 0 1lim 1 1
11x x a a a a a →+∞?=-?不存在或；0 1lim 1 1 11x x a a a a a →-∞
?>?
==??<=-?
不存在或. （2）运算法则：
若函数()f x 和)(x g 的极限都存在，则函数)(x f 和)(x g 的和、差、积、商的极限等于)(x f 和
)(x g 的极限的和、差、积、商.
习题：① 21
1lim
______34x x x x →-=+-；2241
lim()42x x x
→--=-+ . ② 已知22lim 7x ax cx bx c →∞+=+，lim 5x bx c
cx a
→∞+=+，且0bc ≠，则22
lim x ax bx c cx ax b →∞++=++ . ③ 22
2
sin lim(
tan )cos x x
x x
π
→
-= . 3、函数的连续性：
函数)(x f 在0x x =处连续的充要条件是0
0lim ()()x x f x f x →=.
习题：① 已知函数2 3 ( 0 )
() (0 )x x f x a x +≠?=?
=?
在x =0处连续，则a = .
② 已知2 3 , 1
() 2 , 1
x x f x x +≠?=?
=?，下面结论正确的是 （ ）
（A ）()f x 在1x =处连续 （B ）(1)5f =
（C ） 1
lim ()2x f x -
→= （D ） 1
lim ()2x f x →= ③ 若2
1
lim(
)111x a b
x x →-=--，则常数b a ,的值分别为 .
三、导数
1、导数的概念：
（1）导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的导数/
0000()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-=?.
（2）导数的几何意义：曲线()y f x =上点00(,())x f x 处的切线的斜率为/
0()f x .因此曲线
()y f x =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为/000()()()y f x f x x x -=-.
（3）导数的物理意义：
若质点运动的位移函数为S =s (t ),则0t t =时质点运动的瞬时速度是0'()s t . 例题：① 若000
(2)()
lim 13x f x x f x x
?→+?-=?，则0'()f x 等于 .
② 若曲线12
y x
-
=在点12
(,)a a
-
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = .
③ 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()
00S t S =，则导函数()y S t '=的图像大致为
④ 已知曲线314()33
f x x =
+. (1) 求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； (2) 求曲线过点(2,4)P 的切线方程. ⑤ 求抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值.
习题：① 若000()()
lim
1x f x x f x x
?→-?-=?，则0'()f x 等于 .
② 运动曲线方程为2
212t S t t
-=+，则t=3时的速度是 .
③ 已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是
④ 曲线2
21
x
y x =+在点（1，1）处的切线方程是 . ⑤ 已知点P 在曲线y=4
1
x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围
是 .
2、导数的运算：
（1）常见函数的导数：
'0C =；1()'n n x nx -=；(sin )'cos x x =；(cos )'sin x x =-. 1(ln )'x x =
；1(log )'log a a x e x
=；()'x x e e =；()'ln x x
a a a =. （2）导数的四则运算法则： '
'
'
[()()]()()u x v x u x v x ±=±；
[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()C u x C u x '?=?；
'
2()'()()()'()
(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ??-=≠????
.
（3）复合函数的求导法则：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y =f (μ)，μ=f (x )；然后将已知函数对中间变量求导(')y μ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求''x y μμ?，并将中间变量代回为自变量的函数
习题：① 若42
()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-= . ② 等比数列{}n a 中，12a =，84a =，()128()()()f x x x a x a x a =---，则()0f '= .
③ 求下列函数的导数：
（1）
y =(1)x > （2）4
y = 3、导数的应用：
（1）求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求()f x '；()f x '>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；()f x '<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
例题：① 函数2()x
f x x e -=的单调递增区间为 . ② 已知函数2
()ln(1)(0)2
k f x x x x k =+-+≥，求f (x )的单调区间. ③ 若函数32
11()(1)132
f x x ax a x =
-+-+在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.
④已知函数4
2
()32(31)4f x ax a x x =-++在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围. 习题：① 函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . ② 若3
()f x ax x =+恰有三个单调区间，则a 的取值范围是 .
③ 已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 .
④ 求函数3211
()(1)32
f x x a x ax b =-+++（,R a b ∈）的单调性. ⑤ 是否存在这样的k 值，使函数2432
21()232
f x k x x kx x =--++在（1，2）上递减，在（2，
+∞）上递增
（2）求函数的极值：求导数()f x '；求方程()f x '=0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值.
例题：① 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值，求f （x ）的极大值和极小值. ② 函数f （x ）=x 3－6bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围为 . ③ 已知函数3
21()(2)13
f x ax bx b x =
-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围.
习题：① 已知函数()f x =x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10，则(2)f =______
② 设a 为实数，函数32
()f x x x x a =--+，求()f x 的极值. ③ 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02
x π
<<，求函数()f x 的极值.
（3）求函数的最值：利用导数求函数的最值步骤:求()f x 在(,)a b 内的极值；将()f x 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数()f x 在[],a b 上的最值.
例题：① 函数3
2
()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 .
② 求抛物线2
12y x =上与点)0,6(A 距离最近的点. ③ 设函数32
1()(1)4243
f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >.
（1）讨论()f x 的单调性；（2）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.
高中数学导数知识点归纳
高中数学选修2----2 知识点 第一章导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数y f ( x) 在x x0处的瞬时变化率是 lim f ( x0x)f ( x ) ， x0x 我们称它为函数y f ( x) 在x x0处的导数，记作 f ( x0 ) 或 y |x x， 即 f (x0 ) =lim f ( x0x) f (x0 ) x 0x 2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像 ,我们可以看出当点P n趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易 知道，割线 PP n的斜率是k n f ( x n )f ( x ) ，当点 P n趋近于P时，函数y f ( x) 在x x0处的导 x n x0 数就是切线 PT 的斜率 k，即k f (x n ) f ( x0) lim f ( x0 ) x 0x n x0 3.导函数：当 x变化时， f ( x) 便是x的一个函数，我们称它为 f (x) 的导函数.y f ( x) 的导函数有 时也记作 y ,即 f ( x)lim f ( x x) f ( x) x 0x 二 .导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 2若 f ( x)x ,则 f (x)x 1 ; 3若 f ( x)sin x ,则 f(x)cos x 4若 f ( x)cos x ,则 f(x)sin x ; 5若6若f ( x) a x,则 f ( x) a x ln a f ( x)e x,则 f ( x) e x 7若 f ( x)log a x,则f ( x)1 x ln a 8若 f ( x)ln x ,则 f ( x)1 x 2）导数的运算法则 2.[ f (x)g( x)] f ( x)g( x) f ( x) g (x)
高中数学知识点精讲精析 不等关系
13.1 不等关系 （一）不等关系与不等式 1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。 2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。 3. 对于任意两个实数a 和b ，在三种关系中有且只有一种关系成立。 4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差 的符号来确定。 5. 若a 、b ∈R ＋，则 这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通 过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。 （二）不等式的性质 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。 1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a （或代数式），结果有三种： （1）当a ＞0时，得同向不等式。 （2）当a ＝0时，得等式。 （3）当 a ＜0时，得异向不等式。 a b,a b,a b =><
2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。若 或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于 小数减大数。” 3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。若 ，这个结论也常用。不妨记为：“大正数除以小正 数大于小正数除以大正数。” 4. 不等式性质有 .不能忽略a 、b 均为正数 这个条件，即由 是不一定成立的。 5. 由 成立。但不一定成立。反过来也不一定成立。事实上。 （三）均值不等式 1. 对于任意实数a ，b 都有 ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 2. 对于任意正实数a ，b ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 3. 对于任意正实数a, b 都有 ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 4. 的几何解释：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE 是过C 点垂直于AB 的弦。若AC ＝a, BC ＝b 则AB ＝a ＋ b ，⊙O 的半径 ， Rt △ACD ∽Rt △BCD ，,。 a b,c d a c b d >>?->- c b d a ->-a a b 0,c d 0d >>>>? >b c d c b a > 或n n a b 0a b (n N,n 1)>>?>∈>n n a b a b (n N,n 1)>?>∈>11a b 0a b >>? <11a b a b >?<11a b a b 11 a b ab 0a b >>? < 且22a b 2ab +≥a b 2+2 a b ab 2+??≤ ? ??a b 2+a b r 2+= 2 CD AC CB ab =?=CD =
人教版高中数学《导数》全部教案
导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.
高中数学导数及微积分练习题
1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，
底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
重点高中数学导数知识点归纳总结
高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±????
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导
高中数学知识点精讲极限和导数
第十二章 极限和导数 第十四章 极限与导数 一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞ →， 另外)(lim 0 x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小 于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2 极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且0 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因
变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x y x ??→?0lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限 值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ，即 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。若f(x)在 区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1 )'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3） ;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1 = ；（8）.1)'(ln x x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则 （1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）)(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）；（4）)()(']')(1[ 2x u x u x u -=；（5）) () ()(')(')(]')()([2 x u x v x u x v x u x u x u -=。 8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=?(x))处可导，则复合函数y=f[?(x)]在点x 处可导，且（f[?(x)])'=)(')](['x x f ??. 9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若0)(''0高中数学-公式-极限与导数
极限与导数 一、极限 1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→n n ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式q a S S n n -==∞→1lim 1(0<1高考积分,导数知识点精华总结
定积分 一、知识点与方法： 1、定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式 1 ()n n i i I f x ξ== ?∑ （其中x ?为小区间长度） ，把n →∞即0x ?→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝1 lim ()n i n i f x ξ→∞ =?∑ 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。 (1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ?的几何意 义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ① ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；② ???± = ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③???+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。 2、微积分基本定理 如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 3、定积分的简单应用 (1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线 ,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的 曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a 函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题
知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)
(完整)高中数学导数典型例题
高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e2013白蒲中学高二数学教案：极限与导数：导数的概念(苏教版)
导数的概念（5月4日） 教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课： 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也 叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 )(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。 3. x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线 )(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率。 4.导数x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率， 它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线) (x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/ 0x x x f x f y -=-。 5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ?无关。 6.在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因
高中数学导数知识点归纳
导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于 P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作y ',即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 例一： 若2012)1(/=f ，则x f x f x ?-?+→? )1()1(l i m 0 = ，x f x f x ?--?+→?) 1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=
高中数学知识点精讲精析 数学符号
3 数学符号 1．数学符号的来历 例如加号曾经有好几种，现在通用“＋”号。 “＋”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“μ”最后都变成了“＋”号。 “－”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“－”了。 也有人说，卖酒的商人用“－”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“－”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“＋”号。 到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“＋”用作加号，“－”用作减号。 乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“·”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”号象拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“·”号。他自己还提出用“п”表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。 到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号。他认为“×”是“＋”斜起来写，是另一种表示增加的符号。 “÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。 平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“√”表示根号。“√”是由拉丁字线“r”变，“——”是括线。 十六世纪法国数学家维叶特用“＝”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“＝”就从1540年开始使用起来。 1591年，法国数学家韦达在菱形中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十
高中数学教案：极限与导数极限的概念
极 限 的 概 念（4月27日） 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1， 21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…；
(完整word)高中数学导数练习题
专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴
高中数学导数知识点归纳总结
核心出品 必属精品 免费下载 导 数 考试内容： 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做
)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时， 1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） )0(2''' ≠-=?? ? ??v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，x x x g 2 cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导. 5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
