(2015-2017)三年高考真题专家解读精编解析一专题07 导数的应用求函数的最值、单调性等
【2017年】
1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值
为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1 【答案】A 【解析】
试题分析：由题可得
12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a e x ax e x a x a e ---'=+++-=+++-
因为(2)0f '-=，所以1a =-，
21()(1)x f x x x e -=--，故21()(2)x f x x x e -'=+-
令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减
所以()f x 极小值为
()111(111)1f e -=--=-，故选A 。
【考点】函数的极值；函数的单调性
不同。
2.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是
【答案】D
【解析】
试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 【考点】导函数的图象
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，
且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间． 3.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
(1)求a ； (2)证明：
()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<。
【答案】(1)1a =；(2)证明略。 【解析】
试题解析： （1）()f x 的定义域为()0，
+∞。 设()ln g
x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥。
因为()()10,0g
g x =≥，因()'10g =，而()()1','11g x a g a x
=-=-，得1a =。
若1a =，则()1
'1g x x
=-。当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减； 当1x >时，()'
0g x >，()g x 单调递增。所以1x =是()g x 的极小值点，故()()10g x g ≥=
综上，1a =。 （2）由（1）知()2ln f x x x x x =--，()'22ln f x x x =--。
设()22ln h
x x x =--，则()1'2h x x
=-。
当10,2x ??∈ ???时，()'0h x <；当1,2x ??∈+∞ ???
时，()'0h x >，
所以()h x 在10,
2?
? ???单调递减，在1,2??
+∞ ???
单调递增。
又()2
0h e ->，102h ??< ???
，()10h =， 所以()h x 在10,
2?? ???有唯一零点0x ，在1,2??
+∞????
有唯一零点1，
且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <，
当()1,x ∈+∞时，()0h x >。
因为()()'f x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点。
由
()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-。
由()00,1x ∈
得()0
14
f x <。
因为0x x =是()f x 在（0,1）的最大值点，
由()1
0,1e
-∈，()1'0f e -≠得()()120f x f e e -->=。
所以()2
202e
f x --<<。
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
4.【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =--.
（1）若
()0f x ≥，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n 2111111222n m ??????
+++< ??? ??
?????
，求m 的最小值. 【答案】(1)1a =； (2)3 【解析】
试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x =a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点，列方
程解得1a =；
(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得2111111222n e ??????
+++< ??? ??????? ，结合
231111112222???
???+++> ???????????
可知实数m 的最小值为3 试题解析：解：（1）
()f x 的定义域为()0，+∞.
①若0a ≤，因为11=-+2＜022
f aln ?? ???，所以不满足题意； ②若＞0a ，由()1a x a
f 'x x x
-=-
=
知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x =a 是()f x 在()
0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于
()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥.故a =1.
(2)由(1)知当()1,x ∈
+∞时，1ln 0x x -->.
令112n x =+
得11
ln 12
2
n
n ??+< ???.从而 221111111ln 1ln 1ln 11122222
22n n n ?????
?++++++<+++=-< ? ? ??????? .
故2111111222n e ?
?????+
++< ??? ???????
. 而231111112222???
???+++> ???????????
，所以m 的最小值为3. 【考点】导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式
5.【2017浙江，20】（本题满分15分）已知函数f (x )=（x e x -（12
x ≥）．
（Ⅰ）求f (x )的导函数；
（Ⅱ）求f (x )在区间1
[+)2
∞，上的取值范围． 【答案】（Ⅰ）x e x x x f ----=)1
22
1)(1()('；（Ⅱ）[0，1212e -]．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用求导法则及求导公式，可求得)(x f 的导数；（Ⅱ）令0)('=x f ，解得
1=x 或2
5，进而判断函数)(x f 的单调区间，结合区间端点值求解函数)(x f 的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）因为
所以
=．
（Ⅱ）由
解得或．
因为
（
（
又
，所以f （x ）在区间[）上的取值范围是．
【考点】导数的应用
或最值。
6.【2017江苏，20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值
点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;
（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于7
2
-，求a 的取值范围. 【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤
【解析】解：（1）由3
2
()1f x x ax bx =+++，得2
2
2()323()33
a a f x x ax
b x b '=++=++-.
当3
a
x =-时，()f x '有极小值2
3a b -.
因为()f x '的极值点是()f x 的零点.
所以33()1032793a a a ab f -=-
+-+=，又0a >，故223
9a b a
=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231
(27a )039a b a
-
=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；
3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x ，2x 列表如下
故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，
因此223
9a b a
=
+，定义域为(3,)+∞.
因为3a >，所以>(g g
. 因此2>3b a .
（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223
x x a +=-，2
2212
469a b x x -+=. 从而
3232
12111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++
2222
121122121212(32)(32)()()23333
x x x ax b x ax b a x x b x x =
++++++++++ 346420279
a a
b ab -=-+=
记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，
因为()f x '的极值为
2213
39a b a a -=-+，所以213()=9h a a a
-+，3a >. 因为223
()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7
(6)=2
h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.
因此a 的取值范围为(36]，.
【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点
【2016年】
1.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）
已知函数
()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.
设1
2,2
a b ==
. （1）求方程()2f x =的根;
（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】
试题解析：（1）因为1
2,2
a b ==
，所以()22x x f x -=+.
①方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2
(2)2210x x -?+=，
所以2(2
1)0x
-=，于是21x =，解得0x =.
②由条件知
2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-.
因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，
所以2(())4
()
f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.
而2(())44()4
()()f x f x f x f x +=+≥=，且2
((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.
（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=，
所以0是函数()g x 的唯一零点. 因为'
()ln ln x x g
x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>，
所以'
()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a
a
x b
=-
. 令'
()()h x g
x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+，
从而对任意x R ∈，'
()0h x >，所以'
()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，
于是当0(,)x x ∈-∞，'
'0()()0g
x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=.
因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =.
若0
0x <，则0002x x <
<，于是0()(0)02
x
g g <=， 又log 2
log 2log 2(log 2)220a a a a g a
b a =+->-=，且函数()g x 在以02
x 和log 2a 为端点的闭区间
上的图象不间断，所以在
02
x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以
log 20a <，又0
02
x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾.
若0
0x >，同理可得，在02
x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.
因此，00x =.
于是ln 1ln a
b
-
=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点
2.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）
设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈, (I)求)(x f 的单调区间； (II) 若)(x f 存在极值点0x ，且
)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=；
（Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．4
1
. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：
a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，
分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3
)1(20a
x =
-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)
()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，
|(|f f 的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331a a +≤<≤-，
②当
334a ≤<时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，③当3
04a <<时，23
313310<+<-
a . 试题解析：（Ⅰ）解：由 b ax x x f ---=3)1()(，可得a x x f --=2)1(3)('. 下面分两种情况讨论： 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表： ，),3 31(+∞+ a . （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且 10≠x ，由题意，得 0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20a x =-， 进而b a x a b ax x x f ---=---=3 32)1()(00300. 又b a ax x a b x a x x f --+-=----=-32)1(3 8)22()22()23(000300 )(3 3200x f b a x a =---=，且0023x x ≠-，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 )()(01x f x f =，且01x x ≠，因此0123x x -=，所以3201=+x x ； （Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面 分三种情况同理： （1）当3≥a 时，3 3120331a a +≤<≤- ，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此 |}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-= ?? ?<++--≥+++-=0 ),(10 ),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M . 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]3 31(),331([a f a f -+ ，因此 |}39 2||,392max{||})331(||,)331(max{|b a a a b a a a a f a f M -----=-+ = |})(39 2||,)(392max{|b a a a b a a a +-+-- = 4 14334392||392=???≥++= b a a a . （3）当4 3 0< <，)3 31()3321()2(a f a f f -=+>， 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]2(),0([f f ，因此 |}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-= 4 1 ||1> ++-=b a a . 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于4 1. 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集． (4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间． 是否可以取到。 3.(本小题满分14分)设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2(k∈R). (1)当k＝1时,求函数f(x)的单调区间； (2)当k∈ 1 ,1 2 ?? ? ?? 时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M. 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【解析】(1)当k＝1时, f(x)＝(x－1)e x－x2,f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2x＝xe x－2x＝x(e x－2), 令f′(x)＝0,得x1＝0,x2＝ln2, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表： 由表可知 (2)f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2kx＝xe x－2kx＝x(e x－2k), 令f′(x)＝0,得x1＝0,x2＝ln(2k), 令g(k)＝ln(2k)－k,k∈ 1 ,1 2 ?? ??? , 则g′(k)＝1 k －1＝ 1k k - ≥0, 所以g(k)在 1 ,1 2 ?? ? ?? 上单调递增. 所以g(k)≤ln2－1＝ln2－lne＜0. 从而ln(2k)＜k,所以ln(2k)∈(0,k). 所以当x∈(0,ln(2k))时,f′(x)＜0；当x∈(ln(2k),＋∞)时,f′(x)＞0；所以M＝max{f(0),f(k)} ＝max{－1,(k－1)e k－k3}. 令h(k)＝(k－1)e k－k3＋1, 则h′(k)＝k(e k－3k), 令φ(k )＝e －3k ,则φ′(k )＝e －3≤e －3＜0. 所以φ(k )在1,12?? ??? 上单调递减, 而12??? ???·φ(1) ＝32?-??(e －3)＜0, 所以存在x 0∈1,12?? ???使得φ(x 0)＝0,且当k ∈01,2x ?? ??? 时,φ(k )＞0, 当k ∈(x 0,1)时,φ(k )＜0, 所以φ(k )在01,2x ?? ??? 上单调递增,在(x 0,1)上单调递减. 因为17>028h ??= ? ?? ,h (1)＝0, 所以h (k )≥0在1,12?? ??? 上恒成立,当且仅当k ＝1时取得“＝”. 综上,函数f (x )在[0,k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3. 【考点定位】本题考查导数的应用,属于拔高题 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4.【2016高考新课标3理数】设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为 A ． （Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求 A ； （Ⅲ）证明|()|2f x A '≤． 【答案】（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---；（Ⅱ）2 123,05611 ,18532,1a a a a A a a a a ? -<≤??++?=< -≥??? ； （Ⅲ）见 解析． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）直接可求()f x '；（Ⅱ）分1,01a a ≥<<两种情况，结合三角函数的有界性求出 A ，但须注意当01a <<时还须进一步分为110,155 a a <≤<<两种情况求解；（Ⅲ）首先 由（Ⅰ）得到|()|2|1|f x a a '≤+-，然后分1a ≥，11 0,155 a a <≤<<三种情况证明． 试题解析：（Ⅰ） '()2sin 2(1)sin f x a x a x =---． （Ⅱ）当1a ≥时， '|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f = 因此，32A a =-．………4分 当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--． 令2 ()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-， 且当14a t a -=时，()g t 取得极小值，极小值为2 2 1(1)61()1488a a a a g a a a --++=--=-． 令1114a a --< <，解得13a <-（舍去） ，1 5 a >． 又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a --+--=>，所以 2 161|()|48a a a A g a a -++==． 综上，2 123,05611 ,18532,1a a a a A a a a a ? -<≤??++?=< -≥??? ． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当1 05 a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当 115a <<时，131884 a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'| ()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤. 考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性． 进行求解。 5.【2016高考浙江理数】（本小题15分）已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x ?1|，x 2?2ax +4a ?2}， 其中min{p ，q }=,>p p q q p q. ≤???，， （I ）求使得等式F （x ）=x 2?2ax +4a ?2成立的x 的取值范围； （II ）（i ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ii ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）. 【答案】（I ）[]2,2a ； （II ）（i ）( )2 0,3242,2a m a a a a ?≤≤?=?-+->+??ii ）()348,342,4a a a a -≤ 试题分析：（I ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论 ()F x ，进而可得使得等式 ()2F 242x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（II ）（i ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（ii ）分 别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大 值()a M ． 试题解析：（I ）由于3a ≥，故 当1x ≤时，() ()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->， 当1x >时，() ()()22422122x ax a x x x a -+---=--． 所以，使得等式()2F 242x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为 []2,2a ． （II ）（i ）设函数 ()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则 ()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-， 所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即 ( )20,3242,2a m a a a a ?≤≤?=?-+->+?? （ii ）当02x ≤≤时， ()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==， 当26x ≤≤时， ()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=． 所以， ()348,34 2,4 a a a a -≤ ≥?． 考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式． 6.【2016年高考四川理数】（本小题满分14分） 设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性； （Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得11()x f x e x ->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数). 【答案】（Ⅰ）当x ∈ （时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增； （Ⅱ）1 [,)2 a ??. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）对()f x 求导，对a 进行讨论，研究'()f x 的正负，可判断函数的单调性；（Ⅱ） 要证明不等式11()x f x e x -> -在(1,)+∞上恒成立， 基本方法是设11()()()(1)x h x f x e x x -=--?，当1x >时，1211 ()2e x h x ax x x -￠ =-+-，'()0h x =的解不易确定，因此结合（Ⅰ）的结论，缩小a 的范围，设()g x =1 11e x x --1 1x x e x xe ---，并设()s x =1 e x x --，通过研究()s x 的单调性得1x >时，()0g x >，从而()0 f x >，这样得出0a ≤不合题意，又1 02 a << 时，()f x 的极小值点1 x = >，且(1)0f f <=，也不合题意，从而12a ≥，此时考虑 1211()2e x h x ax x x -￠=- +-得'()h x 2111 x x x x >-+-0>，得此时()h x 单调递增，从而有 ()(1)0h x h >=，得出结论． 试题解析：（I ）2121 '()20).ax f x ax x x x -=-= >( 0a ≤当时，'()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减. 0a >当时， 由'()f x =0，有 x =此时，当x ∈ （时，'()f x <0，()f x 单调递减； 当x ∈ +) ∞时，'()f x >0，()f x 单调递增. 所以()s x 在区间1+)∞（，内单调递增. 又由(1)s =0，有()s x >0， 从而当1x >时，()f x >0. 当0a ≤，1x >时，()f x =2 (1)ln 0a x x --<. 故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当1 2a <<由（I ）有 (1)0 f f <=,从而0 g >， 所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立. 当1 2 a 3 时，令()()()(1)h x f x g x x =-?， 当1x >时，3212222 111112121()2e 0x x x x x h x ax x x x x x x x x --+-+￠ =-+->-+-=>>， 因此，()h x 在区间(1,)+?单调递增. 又因为(1)=0h ，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立. 综上，1 [,)2 a ??． 考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题. 【2015年】 1.【2015新课标1理12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0() f x 0，则a 的取值范围是（ ） (A)[-32e ，1）(B)[-32e ，34）(C)[32e ，34）(D)[32e ，1） 【答案】D 【解析】设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线 y ax a =-的下方. 因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <- 时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12 x =-时，max [()]g x =1 2 -2e -， 当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1 (1)3g e a a --=-≥--，解得 3 2e ≤a ＜1，故选D. 【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 2.【2015课标2理12】设函数' ()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时， '()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞ 【答案】A 【解析】记函数()()f x g x x =，则''2 ()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，' ()()0xf x f x -<，故当0x >时，' ()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数， 故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时， ()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成 立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞- ，故选A ． 【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质． 3.【2015陕西理12】对二次函数2 ()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D .点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A 【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极值点，3 是()f x 的极值，所以()()1013 f f '=???=??，即203a b a b c +=??++=?，解得：23b a c a =-??=+?，因为点()2,8在曲线 ()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +?-++=，解得：5a =，所以10b =-， 8c =，所以()2 5108f x x x =-+，因为()()()2 1511018230f -=?--?-+=≠，所以1-不 是()f x 的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ． 【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值． 【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行 4.【2015天津理11】曲线2 y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为. 【答案】 16 【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组2 y x y x ?=?=?得两曲线的交点坐标为 (0,0),(1,1)，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积 ()1 1 223001 112 36S x x dx x x ??=-=-= ????. 【考点定位】定积分几何意义与定积分运算. 5.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分） 设函数2()mx f x e x mx =+-． (Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增； （Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-． 【解析】(Ⅰ)' ()(1)2mx f x m e x =-+． 若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，' ()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥， 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 高考导数解答题中常见的 放缩大法 Prepared on 22 November 2020 (高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011 x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤ ≤-，()10x e x x <-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩 第四组：三角函数放缩 ()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22 x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数 ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =. 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 高考导数解答题中常见 的放缩大法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN (高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 高考导数题型大全及答案 第三讲 导数的应用 研热点（聚焦突破） 类型一 利用导数研究切线问题 导数的几何意义 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)； (2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． [例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f (x )＝a e x ＋ 1 a e x ＋b (a >0)．在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值． [解析] ∵f ′(x )＝a e x －1a e x ， ∴f ′(2)＝a e 2－ 1a e 2＝32， 解得a e 2＝2或a e 2＝－12 (舍去)， 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3， 即b ＝1 2， 故a ＝2e 2，b ＝12 . 跟踪训练 已知函数f (x )＝x 3－x . (1)求曲线y ＝f (x )的过点(1，0)的切线方程； (2)若过x 轴上的点(a ，0)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，求a 的取值范围． 解析：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2－1.曲线y ＝f (x )在点M (t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x － t )，即y ＝(3t 2－1)·x －2t 3，将点(1，0)代入切线方程得2t 3－3t 2＋1＝0，解得t ＝1或－ 1 2，代入y ＝(3t 2－1)x －2t 3得曲线y ＝f (x )的过点(1，0)的切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋1 4 . (2)由(1)知若过点(a ，0)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则方程2t 3－3at 2＋a ＝0有三个相异的实根，记g (t )＝2t 3－3at 2＋a . 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析 问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0； 当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（） （A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故 所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。 【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数. 一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'11 2()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. （Ⅱ）由(Ⅰ)知1 2e ()e ln ,x x f x x x -=+ 从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当1 (0,)e x ∈时，' ()0g x <; 当1 (,)e x ∈+∞时，' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增， 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为1 1().e e g =-. 设函数2 ()e e x h x x -=-，则'()e (1)x h x x -=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >； 当(1,)x ∈+∞时，' ()0h x <，故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. 2. 解题指南（1）根据导数公式求出函数的导数，利用分类讨论思想求解；（2）根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点，代入函数中求解. 解析（1）2/ 22 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ （*） 当1a ≥时，/ ()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，由/ ()0f x = 得1 x = （2x =-舍去）． 当1(0,)x x ∈时，/()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，/ ()0f x >． 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增． 综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，()f x 在区间(0, 上单调递减，在区间)+∞上单调递增． 由（*）式知，当1a ≥时，/ ()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点， 必有01a <<．又()f x 的极值点只可能是1 x = 和2x =-，且由定义可知，1 x a >- 且2x ≠- ，所以1a ->- 且2-≠-，解得1 2 a ≠- 此时，由（*）式易知，12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点，而 令21a x -=，则01a <<且12a ≠-知：当102 a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<． 记2 2 ()ln 2g x x x =+-， （Ⅰ）当10x -< <时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以/22 2222 ()0x g x x x x -=-=< 因此，()g x 在区间(1,0)-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当1 02 a << 时， 12()()0f x f x +<． （Ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+ -，所以/222222 ()0x g x x x x -=-=< 因此，()g x 在区间(0,1)上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当时 1 12 a <<，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围为1 (,1)2． 3. (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有() ()e e e e ()x x x x f x f x -----=+=+=，所以f (x )是R 上的偶函数． (2)解：由条件知(e e 1)e 1x x x m --+-≤-在(0，+∞)上恒成立． 令t = e x (x >0)，则t >1，所以m ≤211 11111 t t t t t -- =--+-++-对于任意t >1成立． 因为11111t t -+ +≥- = 3，所以1113111 t t - ≥--++-， 当且仅当t = 2，即x = ln2时等号成立． 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 1.(新课标1)已知函数 有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设x 1，x 2是的两个零点，证明： +x 2<2. 解：（Ⅰ） '()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =，则()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1 ,)x ∈+∞时，'()0f x >．所 以 ()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0 b <且ln 2a b <，则22 3()(2)(1)()022 a f b b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点． （iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2 e a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当 (1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以() f x 不存在两个零点． 若2 e a <- ，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞． （Ⅱ）不妨设1 2x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1) -∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于 222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---． 设 2()( 2 ) x x g x xe x e -=---， 则 2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从 而22()(2)0g x f x = -<，故122x x +<． 2(新课标2)(I)讨论函数x x 2f (x) x 2 -= +e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2 x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ， 求函数()h a 的值域. (高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念，物理意义的应用 例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可 导，且(2)f '=， 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 导数及其应用 导数的运算 1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n (x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、 x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= . 2. 求导数的四则运算法则： ()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2 ''' ≠-=??? ??v v u v vu v u 注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 ' ?'='x u x u y y 一、求曲线的切线（导数几何意义） 导数几何意义：0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率； 函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.曲线 在点处的切线方程为（ ）。 A: B: C: D: 答案详解B 正确率: 69%, 易错项: C 解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。 对求导得 ，代入 得 即为切线的斜率，切点为 ，所以切线方 程为 即 。故本题正确答案为B 。 2. 变式一： 3.设函数2 ()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1)) f 处切线的斜率为 ( ) A ．4 B ．14- C ．2 D ．1 2- 4.已知函数()f x 在R 上满足2 ()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( ) A .21y x =- B .y x = C .32y x =- D .23y x =-+ 变式二： 5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3 :103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的 斜率为2，则点P 的坐标为 . 导数及其应用 1、函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是 ，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即= . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 )(x f y =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 7.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 8.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数 '()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 导数高考解答题专题 1、（2018北京文）设函数()()23132e x f x ax a x a ??=-+++??． （1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为0，求a ； （2）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围． 2、（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()e ln 1x f x a x =--．设2x =是()f x 的极值点，求a ， 并求()f x 的单调区间 3、（2018全国新课标Ⅱ文）已知函数()()32113 f x x a x x = -++．若3a =，求()f x 的单调区间 4、（2018全国新课标Ⅲ文）已知函数21()e x ax x f x +-=．求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程 5、(2017北京文、理)已知函数 ()e cos x f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π[0,]2 上的最大值和最小值． 6、（2017全国新课标Ⅰ文）已知函数()f x =e x (e x ?a )?a 2x ．讨论()f x 的单调性 7、（2017全国新课标Ⅱ文）设函数2()(1)e x f x x =-.讨论()f x 的单调性 8、（2017全国新课标Ⅲ文）已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ．讨论()f x 的单调性 9、（2017天津文）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，求()f x 的 单调区间 《导数及其应用》 一、知识网络结构 题型一 求函数の导数及导数の几何意义 考点一 导数の概念，物理意义の应用 例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0(2)(2)lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数の几何意义の应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c の值 例3：已知曲线y=.3 4313+x (1)求曲线在（2，4）处の切线方程;(2)求曲线过点（2，4）の切线方程. 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 题型二 函数单调性の应用 考点一 利用导函数の信息判断f(x)の大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)の图象如图，那么导函数y ＝f(x)の图象可能是( ) 考点二 求函数の单调区间及逆向应用 例2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )の单调区间．（含参函数求单调区间） 例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a の取值范围．（单调性の逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3>∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a の取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3)(在（1，+∞）上存在单调递减区间，求实数a の取值范围。 3. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2-x+1在R 上为减函数，求实数a の取值范围。 例3 已知x>1，证明x>ln(1＋x)．（证明不等式） 证明方法总结： 题型三 函数の极值与最值 例1 （1）求)f(x)＝ln x ＋1x の极值（不含参函数求极值） （2）求函数[]2,2,14)(2-∈+=x x x x f の最大值与最小值。（不含参求最值） 例2 设a>0，求函数f(x)＝x 2＋a x (x>1)の单调区间，并且如果有极值时，求出极值. （ 含参函数求极值） 精品文档 《导数及其应用》经典题型总结 、知识网络结构 题型一求函数的导数及导数的几何意义 考点一导数的概念，物理意义的应用 考点二导数的几何意义的应用 例2:已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1 , 1)，且在点Q(2, -1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、 c 的值 例3:已知曲线已。|(1)求曲线在(2,勺处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程 题型二函数单调性的应用 例1. (1)设函数f(x)在x 2处可导，且 (2)已知 f(x) x(x 1)(x 2)L (x 1 ，求h 叫 f(2 h) f(2 h) 2h 2008)，求 f (0). 考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1如果函数y = f(x)的图象如图，那么导函数y = f(x)的图象可能是() 例2已知函数f(x) = ；x2+ a l n x(a€ R, 0)，求f(x)的单调区间.(含参函数求单调区间) a 练习：求函数f(x) x 的单调区间。 x 例3若函数f(x) = x3—ax2+ 1在(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围.(单调性的逆向应用) 练习1：已知函数f(x) 2ax x3,x (0,1], a 0，若f (x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围。 2. 设a>0,函数f (x) x3 ax在(1, +s)上是单调递增函数，求实数a的取值范围。 3 2 3. 已知函数f(x) = ax + 3x -x+1在R上为减函数，求实数a的取值范围。 总结：已知函数y f (x)在(a,b)上的单调性，求参数的取值范围方法： 1 、利用集合间的包含关系 2 、转化为恒成立问题(即f/(x) 0或f/(x) 0 )(分离参数) 3 、利用二次方程根的分布(数形结合)高考数学 导数及其应用的典型例题
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