奥数之循环小数
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化
因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。
（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与
5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到结论：
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；
（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？
分析与解：上述分数都是最简分数，并且
32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，
117=33×13，850=2×52×17，
根据上面的结论，得到：
不循环部分有两位。
将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。
1.将纯循环小数化成分数。
将上两式相减，得将上两式相减，得
从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。
纯循环小数化成分数的方法：
分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
2.将混循环小数化成分数。
将上两式相减，得
将上两式相减，得
从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。
混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算了。
例6计算下列各式：
小学奥数 循环小数计算 精选例题练习习题(含知识点拨)
循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 1.1 7的“秘密” 10.1428577??=，20.2857147??=，30.4285717??=,…, 60.8571427 ??= 2.推导以下算式 ⑴10.19= ；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110 -== 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950 -==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =， 两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循环部分数字所组成的数的差 分母 n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分 母，其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990 ab =?=； 0.990abc =，…… 模块一、循环小数的认识 例题精讲 知识点拨 教学目标 循环小数的计算
小学数学五年级奥数2--循环小数
循环小数 例1：变换循环节 在下列循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能小。 （1）0.452415254 （2）4.7312415823 例2：巧组循环数 如图，圆周上的十二个数字按顺时针方向可以组成具有一位整数的循环小数，例如：5.81487581487，所有这样的循环小数中最大的一个循环小数是（） 例3：妙猜循环位 算算3÷13的商，猜猜：
（1）小数点后面第2013位上的数字是几？ （2）小数点后2013个数字之和是多少？ 例4：循环数字和 在循环小数0.520483中，最少从小数点右面第几位开始到第几位止的数字之和等于2014？ 练习1：在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能大。 （1）0.158425244 （2）0.79137925213
练习2：在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能小。 （1）0.357275239 （2）0.4068058 练习3：在循环小数0.56253128中，小数点右面第100位上的数字是几？ 练习4：在循环小数6.358237419中，小数点右面第2013位上的数字是几？小数点后2013个数字之后是多少？ 练习5：在循环小数0.2076852中，小数点右面第2014位上的数字是几？小数点后2014个数字之后是多少？
练习6：如图，圆周上的十二个数字按顺时针方向可以组成具有一位整数的循环小数，例如：2.59496259496.所有这样的循环小数中最大的一个循环小数是多少？ 练习7：如图，圆周上的十个数字按顺时针方向可以组成具有两位整数的循环小数，例如：81.92381923，所有这样的循环小数中最小的一个循环小数是多少？ 练习8：从小数0.49340184205最后一位开始划去任意个数字（注意：不能跳着划，也就是不出出现0.98这样的小数），构造一个循环节至少有两位数字的循环小数，例如0.4934018，请找出这样的小数中最
奥数之循环小数
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化 因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与 5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 分析与解：上述分数都是最简分数，并且 32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13， 117=33×13，850=2×52×17， 根据上面的结论，得到： 不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。 1.将纯循环小数化成分数。
小学奥数：循环小数计算.专项练习及答案解析
循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 1.17的“秘密” 10.1428577??=，20.2857147??=，30.4285717??=,…, 60.8571427 ??= 2.推导以下算式 ⑴10.19=&；1240.129933==&&；123410.123999333==&&；12340.12349999 =&&； ⑵121110.129090-==&；12312370.123900300-==&；123412311110.123490009000 -==&； ⑶ 1234126110.123499004950-==&&；123411370.123499901110 -==&& 以0.1234&&为例，推导1234126110.123499004950 -==&&． 设0.1234 A =&&，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =&&； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34 A =&&， 两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950 A -==． 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循环部分数字所组成的数的差 分母 n 个9，其中n 等于循环节所 含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母， 其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990 ab =?=； 0.990abc =，…… 例题精讲 知识点拨 教学目标 循环小数的计算
小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题(含答案)
小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案） 一、小数的基本知识 小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。 1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。 2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。 4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。 纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。 5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。 混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。 二、循环小数与分数的转化 1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。 ==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999 ⑵以0.1234为例，推导= =1234-126110.123499004950。 设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34； 再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34； 两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950 。
2．方法归纳 ⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。 ⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。 3．常用的分数与循环小数转化 =10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427 ； 三、小试牛刀 【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分) 在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元 2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注： 公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89 【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题) 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。 【例3】(0.15+0.218)?0.3? 11111；(结果表示成循环小数)
小学奥数讲义 第九讲-循环小数互化与错位相减技巧强化篇
一、小数的基本知识 小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。 1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。 2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。 4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。 纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。 5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。 混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。 二、循环小数与分数的转化 1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19 a 。 = =1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999 ⑵以0.1234为例，推导==1234-126110.123499004950 。 设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34； 再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34； 两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950。 循环小数互化与错位相减技巧
2．方法归纳 ⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。 ⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。 3．常用的分数与循环小数转化 =10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427 ； 【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分) 在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注：公元 2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89 【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题) 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。
小学奥数公式讲解学习
公式 1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a – b ) 2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 4. 等差数列公式 Sn = = a + 1 n = + 1 5. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2– ab + b2 ) 6. 立方差公式: a3– b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 ) 7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n2 8. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1) 9. 多数平方和公式: 12 + 22 + 32 + …… + n2 = 10. 多数立方和公式: 13 + 23 + 33 + …… + n3 = (1 + 2 + …… + n)2 11. 特种公式: 1×2 + 2×3 + 3×4 + …… + n×(n+1) = 12 + 22 + 32 + …… + n2 + 1 + 2 + 3 + …… + n = n(n+1)(n+2)
与因数相关的知识 1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。 2. 因数和：设 A＝2a×3b×5c 那么因数和＝（20+21+…+2a）×（30+31+…+3b）×（50+51+…+5c）3. 因数积：设A＝2a×3b×5c 那么因数积＝A因数个数/2(完全平方数除外) 4. 因数倒数和：设A＝2a×3b×5c 那么+ + = 循环小数 7：＝0.142857 ＝0.285714 ＝0.428571 ＝0.571428 ＝0.714285 ＝0.857142 13：＝0.076923 ＝0.153846 1 8 4 2 7 5
小学六年级奥数 第二章 循环小数与分数
第二章循环小数与分数 知识要点 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 (1)1 2 ＝0.5， 3 25 (＝ 2 3 5 )＝0.12， 17 40 (＝ 3 17 25 ? )＝0.425； (2)1 3 ＝0.3， 5 7 ＝0.714285， 13 33 ＝0.39； (3)5 6 (＝ 5 23 ? )＝0.83， 67 175 (＝ 2 67 57 ? )＝0.38285714，101 360 (＝ 3 101 259 ?? )＝0.2805。 结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有 限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同。如17 40 ，因为40＝23×5，含 有3个2，1个5，所以化成的有限小数有三位。 (2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 (3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的 个数相同。如 67 175 ，因为175＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有 两位。 于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论： 1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； 2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； 3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 典例巧解 例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 5 324 21 31 250 23 78 100 117 3 850 点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。
小学奥数教案循环小数
小学奥数教案---循环小数 一本讲学习目标 1、掌握循环小数化分数的法则，还要掌握该法则的推导方法——错位相减法； 2、会进行分数与循环小数的互化； 3、掌握分数与循环小数的混合计算 二概念解析 循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。 一、把循环小数的小数部分化成分数的规则 ①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。 ②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 二、分数转化成循环小数的判断方法： ①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。 三例题讲解
纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。 例把纯循环小数化分数： 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。 混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。 例把混循环小数化分数。 （2）先看小数部分0.353
由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 循环小数的四则运算 循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。 例1 计算下面各题： 解：先把循环小数化成分数后再计算。 例2 在计算一个正数乘以3.57的运算时，某同学误将3.57错写作3.57，结果与正确答案相差1.4．则正确的乘积结果是______． 解：设这个正数为x ，依题意，得 3.57 3.57 1.4x -=． 因为575523.57339090 -=+=， 所以上述方程可化为525733 1.490100 x x -=． 解得180x =． 所以正确的乘积结果应为 3223.5718018064490 ?=?=． 例3 计算下面各题。
小学奥数之 比较与估算(学生版)
比较与估算 教学目标 本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。 知识点拨 一、小数的大小比较常用方法 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式) 二、分数的大小比较常用方法 ⑴通分母：分子小的分数小. ⑵通分子：分母小的分数大. ⑶比倒数：倒数大的分数小. ⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数) ⑸重要结论： ①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． ⑹放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！ 三、数的估算时常用方法 （1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果．（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．
模块一、两个数的大小比较 【例 1】 如果a = 20052006，b = 20062007，那么a ，b 中较大的数是 【巩固】 试比较 19951998和19461949的大小 【巩固】 比较 444443444445和555554555556的大小 【例 2】 如果A = 111111110222222221，B =444444443888888887,A 与B 中哪个数较大？ 【巩固】 如果222221333331,222223333334A B = =，那么A 和B 中较大的数是 . 【巩固】 试比较1111111和111111111 的大小 【例 3】 在 a =20032003×2002和 b =20022003×2003中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。 例题精讲
循环小数题目及答案解析-小学奥数
1 专题 循环小数 知识点1 循环小数 【基础训练】 1、【★】判断下列的循环小数是纯循环小数还是混循环小数. 3.204?? 3.0417?? 2.531049?? 32.557?? 【答案】纯循环小数，混循环小数，混循环小数，纯循环小数； 【解析】根据纯循环小数和混循环小数的概念进行判断即可. 2、【★★】把下列分数化成小数，说说什么样的分数可以化成有限小数，什么样的分数只能化成循环小数. 780 675 57 711 【答案】0.0875；0.08；0.714285??；0.63?? 最简分数分母只含有质因数2和5的分数能化成有限小数； 最简分数分母质因数除2和5以外还含有其他质因数的分数不能化成有限小数. 【解析】(1)是最简分数，且分母80只含有因数2和5，可以化成有限小数，即780=0.0875÷； （2）675化简后为225 ，25只含有质因数5，可以化成有限小数6÷75=0.08； （3）是最简分数，但是分母有因数7，所以化成循环小数，即57=0.714285÷g g . （4）是最简分数，但是分母有因数11，所以化成循环小数，即711=0.63??÷. 【拓展提升】 1、【★★★】把下列循环小数化成分数. 2.54? ? 0.315?? 【答案】6211；35111 【解析】 （1）纯循环小数循环节有几位，分母就是几个9，循环节作为分子，整数部分不变，所以 5462.542 29911==g g ； （2）纯循环小数循环节有几位，分母就是几个9，循环节作为分子，整数部分不变，所以315350.315==999111 g g . 2、【★★★】把下列循环小数化成分数.
小学奥数分类：循环小数化分数、分数大小比较
计算问题3 一、循环小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 1、 纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的 数，分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同。如：0.??97=99 79；0.??441=111 16999144= 2、 混循环小数化成分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到 第一个循环节的末位数所组成的数减去不循环数字所组成的数所得的差；分母头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环的部分的位数相同。如：0.1? ?73= 495689901369901137==-；0.172754899001728990017174554==-=??. 【例题】 1、将下列纯循环小数化成最简分数。 （1）0.?8 （2）0.? ?514 2、将下列混循环小数化成最简分数。 （1）0.3?8 （2）0.4??75 3、给下面各数点上循环点，使不等式成立。 0.1415＞0.1415＞0.1415＞0.1415 4、计算：191.2 1.2427??? ?+＝________。 5、纯循环小数0.? ?c b a 写成最简分数时，分子与分母之和是58。请写出这个循环小数。
6、在循环小数0.? ?7234561中，移动表示循环节的小圆点，使得新的循环小数的第100位数字是5，新的循环小数是多少？ 【练习】 1、计算：128(7.142 2.5)0.139? -?-÷+＝ 。 2、计算：=-+??114 154.0625.3________。 3、计算：0.12 。＋0.23 。＋0.34 。＋…＋0.89 。 4、在以下各数上加上循环点，使排列顺序符合要求。 0.61620.6162>> 0.61620.6162> 二、比较大小 增加的比较分数大小的方法： 1、通分子，（包括分子分母同除以分子使分子变成1），分母大的反而小。 2、用1或者21 减去题中的分数，差大的反而小。 3、求题中分数的倒数，倒数大的分数反而小。 4、估值法，估计所给的分数大于或者小于一个设定的分数，如21 等。 5、交叉相乘。如b a 、d c ，如果ad ＞bc ,则b a ＞d c 。 【例题】 1、分数175、196、4615、3310、3730 中哪个最大？
小学奥数循环小数计算精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)
教学目标 循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 知识点拨 1. 71的“秘密” 1 0.142857 ， 2 0.285714 ， 3 0.428571 , 777 2. 推导以下算式 1234 12 611 1234 1 137 ⑶0.1234 ；0.1234 9900 4950 9990 1110 以0.1234 为例，推导0.12341234 12 611． 9900 4950 设0.1234 A ，将等式两边都乘以100，得：100A 12.34 ； 再将原等式两边都乘以10000，得：10000A 1234.34 ， 两式相减得：10000A 100A 1234 12，所以A 1234 12 611 9900 4950 3. 循环小数化分数结论 纯循环小数混循环小数 分子循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循环部分数字所组成的数的差 分母 n 个9，其中n 等于循环节所 含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9 在0 的左侧 循环小数的计算 6 0.857142 7 ⑴ 0.1 1；0.12 12 9 99 ⑵ 0.1212 1 11； 90 90 4； ； 33 0.123 123 0.123 999 123 12 900 41 1234 ；0.1234 ； 333 9999 37 1234 123 ；0.1234 300 9000 1111 ； ； 9000
例题精讲 模块一、循环小数的认识 例 1 】 在小数 l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 ________ （注：公元 2007 年 10 月 24 日北京时间 18 时 05 分，我国第一颗月球探测卫星 “嫦娥一号 ”由“长征三号甲 ”运载 火 箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。 ） 考点】循环小数的认识 【难度】 2 星 【题型】填空 关键词】希望杯， 1 试 解析】因为要得到最小的循环小数， 首先找出小数部分最小的数为 0，再看 0后面一位上的数字， 有 05、 02、00、07，00 最小，所以得到的最小循环小数为 l.80524102007 答案】 l.80524102007 巩 固 】给下列不等式中的循环小数添加循环点： 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998 考点】循环小数的认识 【难度】 3 星 【题型】计算 解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字 1 的小数，因 此一定是 0.1998 ，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字 8，因此一定是 0.1998 ．其后添加 的循环点必定使得小数点后第五位出现 9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循 环节中在 9 后一定还是 9，所以最大的循环小数是 0.1998 ，而次大数为 0.1998 ，于是得到不等式： 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998 答案】 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998 例 2】 真分数 a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 1992，那么 a 是 7 多少 ? 2 =0.285714 ， 3 =0.428571 ， 4 =0.571428 ， 5 =0.714285 ， 6 =0.857142 ．因 7 7 7 7 7 此，真分数 a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是 1+4+2+8+5+7=27 ，又 7 因为 1992 ÷ 27=73 ?? -2211,2=76，而 6=2+4，所以 a =0.857142 ，即 a 6 ． 7 答案】 a 6 巩固】真分数 a 化成循环小数之后，从小数点后第 1位起若干位数字之和是 9039 ，则 a 是多少？ 7 考点】循环小数的认识 【难度】 3 星 【题型】计算 解析】我们知道形如 a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由 1、2、4、5、7、8这 6个数字组 7 成， 只是各个数字的位置不同而已， 那么 9039就应该由若干个完整的 1 4 2 8 5 7 和一个不 完整 1 4 2 8 5 7组成。 9039 1 2 4 5 7 8 334 21 ，而 21 27 6 ，所以最后一 个循环节中所缺的数字之和为 6，经检验只有最后两位为 4，2 时才符合要求，显然，这种情况下 完整的循环节为 “857142”，因 此这个分数应该为 6 ，所以 a 6 。 7 0.a a ； 9 0.a ·b · ab ； 99 0.0a ·b · ab 1 ab ； 99 10 990 0.abc abc a ， 990 ， 考点】循环小数的认识 难度】 3 星 【题型】计算 解析】 1 =0.142857 ， 7