【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第八章 立体几何初步8-6 Word版含解析

基础达标检测

一、选择题

1．已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|P A|＝7，则点P的坐标是() A．(0,8,0)B．(0,2,0)

C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)

[答案] C

[解析]点P在y轴上，可设为(0，y,0)，

因为|P A|＝7，A(2,5，－6)，

所以22＋(y－5)2＋62＝7，解得y＝2或8.

2．在空间直角坐标系中，所有点P(x,1,2)(x∈R)的集合表示() A．一条直线

B．平行于平面xOy的平面

C．平行于平面xOz的平面

D．两条直线

[答案] A

[解析]点P的y坐标与z坐标不变，只有x坐标发生变化，在空间中表示一条直线．

3．(2014·郑州模拟)A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是()

A．(1

2，1，－2) B．(

1

2，2,3)

C．(－12,3,5) D．(1

2，3,2)

[答案] B

[解析]设中点坐标为(x，y，z)，

则x ＝－3＋42＝12，y ＝1＋32＝2，z ＝5＋1

2＝3， 即中点坐标为(1

2，2,3)．

4．在空间直角坐标系中，已知点P (x ，y ，z )，给出下列四条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ，－y ，z )； ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是(x ，－y ，－z )； ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是(x ，－y ，z )； ④点P 关于原点的对称点的坐标是(－x ，－y ，－z )． 其中正确的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

[答案] C

[解析] ①②③不正确；类比平面直角坐标系中的对称问题，易知④正确．

5．在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为( )

A ．(－1,2,3)

B ．(1，－2，－3)

C ．(－1，－2,3)

D ．(－1,2，－3) [答案] B

[解析] 关于x 轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标、竖坐标分别互为相反数．

6．点M (x ，y ，z )在坐标平面xOy 内的射影为M 1，M 1在坐标平面yOz 内的射影为M 2，M 2在坐标平面zOx 内的射影的坐标为( )

A ．(－x ，－y ，－z )

B ．(x ，y ，z )

C ．(0,0,0)

D.? ??

??x ＋y ＋z 3，x ＋y ＋z 3，x ＋y ＋z 3 [答案] C

[解析] 点M (x ，y ，z )在平面xOy 内的射影为M 1(x ，y,0)，M 1在平面yOz 内的射影为M 2(0，y,0)，M 2在平面xOz 内的射影为原点O (0,0,0)．

二、填空题

7．已知点P 在z 轴上，且满足|OP |＝1(O 为坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离为________．

[答案]

2或 6

[解析] 设点P 的坐标为(0,0，z )， 由|OP |＝1得z 2＝|z |＝1，故z ＝±1. 当z ＝1时，点P 的坐标为(0,0,1)， |P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝2； 当z ＝－1时，点P 的坐标为(0,0，－1)， |P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(－1－1)2＝ 6.

8．(2014·无锡模拟)在z 轴上求一点A ，使它到点B (1,1,2)的距离为32，则A 点的坐标是______________．

[答案] (0,0,6)或(0,0，－2) [解析] 设A (0,0，a )，

则|AB |＝(1－0)2＋(1－0)2＋(2－a )2＝32， 即(a －2)2＝16，∴a ＝6或a ＝－2， ∴A (0,0,6)或(0,0，－2)．

9．已知A (3,5，－7)和点B (－2,4,3)，则线段AB 在坐标平面yOz 上的射影的长度为________．

[答案]101

[解析]求线段AB在坐标平面yOz上的射影长，可先求A、B两点在yOz上的射影，然后再用两点间距离公式，

A(3,5，－7)在yOz上的射影是A′(0,5，－7)，

B(－2，4,3)在yOz上的射影是B′(0,4,3)，

故|A′B′|＝(0－0)2＋(5－4)2＋(－7－3)2＝101.

三、解答题

10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：

(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?

(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．

[解析](1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.

因为M在y轴上，所以可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得32＋(－y)2＋12＝(－1)2＋y2＋32，显然，此式对任意y∈R恒成立，也就是说y轴上的所有点都满足|MA|＝|MB|.

(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．

由(1)可知，y轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，

所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．

因为|MA|＝(3－0)2＋(0－y)2＋(1－0)2＝10＋y2，

|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，

所以10＋y2＝20，解得y＝±10.

故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).

能力强化训练

一、选择题

1．已知点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于xOy 面对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )

A ．2 5

B ．4

C ．2 2

D ．27

[答案] B

[解析] 点C 的坐标为(1,2,1)，点B 的坐标为(1，－2,1)，所以|BC |＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.

2．已知A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在z 轴上，且到A 、B 两点间的距离相等，则M 的坐标为( )

A ．(－3,0,0)

B ．(0，－3,0)

C ．(0,0，－3)

D ．(0,0,3)

[答案] C

[解析] 设点M 的坐标为(0,0，z )，则12＋02＋(2－z )2＝12＋32＋(1－z )2，

∴z ＝－3，∴点M 的坐标为(0,0，－3)． 二、填空题

3．已知两点M (3cos α，3sin α，1)，N (2cos β，2sin β，1)，则|MN →

|的取值范围是____________．

[答案] [1,5]

[解析] |MN →

|2＝(3cos α－2cos β)2＋(3sin α－2sin β)2 ＝13－12(cos αcos β＋sin αsin β)＝13－12cos(α－β)， 则1≤|MN →|2

≤25，∴1≤|MN →|≤5.

4．已知空间中的四个点O (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)．则三棱锥O —ABC 的体积是________．

[答案]1 3

[解析]如图，由题设知，O，A，B，C为一正方体的四个顶点，

且该正方体的棱长为1，其中V O—ABC＝V正方体－4V D－ABC＝1－4

6＝

1

3.

三、解答题

5．设点P在x轴上，它到P1(0，2，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P坐标．

[解析]∵P在x轴上，∴设P点坐标为(x,0,0)，

∵|PP1|＝2|PP2|，

∴(x－0)2＋(0－2)2＋(0－3)2

＝2(x－0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2

∴x＝±1，∴P点为(1,0,0)和(－1,0,0)．

6.

如图所示，在棱长为2的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1的对角线O 1B 上有一点P ，棱B 1C 1上有一点Q .

(1)当Q 为B 1C 1的中点，点P 在对角线O 1B 上运动时，试求|PQ |的最小值；

(2)当Q 在B 1C 1上运动，点P 在O 1B 上运动时，试求|PQ |的最小值． [解析] (1)Q 为B 1C 1的中点，所以Q (1,2,2)，P 在xOy 坐标平面上的射影落在线段OB 上，在yOz 坐标平面上的射影落在线段O 1C 上，

∴P 的坐标(x ，y ，z )满足?????

x ＝y y ＋z ＝2

，

设P ＝(x ，x,2－x )，则

|PQ |＝(x －1)2＋(x －2)2＋(－x )2 ＝3x 2－6x ＋5＝3(x －1)2＋2 .

当且仅当x ＝1，即P (1,1,1)时，|PQ |有最小值 2.

(2)由(1)和题意得，设P (x 1，x 1,2－x 1)，Q (x 2,2,2)，则|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(x 1－2)2＋(－x 1)2 ＝(x 1－x 2)2＋2(x 1－1)2＋2

当且仅当????? x 1＝x 2x 2＝1，即?????

x 1＝1

x 2＝1

时，|PQ |有最小值，

|PQ |的最小值为 2.