全国通用2019届高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13.3数学归纳法学案20180402479

§13.3 数学归纳法

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n

0∈N *

)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( × )

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × )

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )

(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2

n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1

＋2＋22＋23.( √ )

(6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )

题组二 教材改编

2．[P99B 组T1]在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等

于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 C

解析 凸n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验n ＝3.

3．[P96A 组T2]已知{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *，且a 1＝2，则a 2＝______，a 3＝______，a 4＝______，猜想a n ＝______.

答案 3 4 5 n ＋1

题组三 易错自纠

4．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a

n ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左边的项是( )

A ．1

B ．1＋a

C ．1＋a ＋a 2

D ．1＋a ＋a 2＋a 3 答案 C

解析 当n ＝1时，n ＋1＝2，

∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.

5．对于不等式n 2＋n

(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k

∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．

则上述证法( )

A ．过程全部正确

B ．n ＝1验证得不正确

C ．归纳假设不正确

D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确

答案 D

解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．

6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *

)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是__________．

答案 2k

解析 运用数学归纳法证明