高一同步提高班讲义( 函数)
集合
一 集合部分须注意的几点：
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，
}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。
2.遇到A B =? 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时， 你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如
集合{|10}A x ax =-=，{}
2
|320B x x x =-+=，且A B B = ，则实数a ＝______.
3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
为，n 2，12-n ，12-n .22-n
如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。
4. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集。如设
集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N = ___
二 典型例题：
例1 非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个 例2 已知集合{}{}
A x x x R
B x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ?，则a 的取值范围是（ ）
A. 01≤≤a
B. a ≤1
C. a <1
D. 01< 例3 已知集合P={} 12 =x x ，Q={} 1=mx x ，若Q ?P ，则实数m 的值为（ ） A1 B1，-1 C-1 D0，1，-1 例4 已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ） A.15 B.16 C.3 D.4 例5 满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 例6 设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝__ _. 例7 某高级中学高三特长班有100名学生，其中学绘画的学生67人，学音乐的学生45人，而学体育的学生既不能学绘画，又不能学音乐,人数是21人,那么同时学绘画和音乐的学生有 人 例8（1）设集合{|M x y == ，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N = ___ （2）．已知{} 21,A y y x x R ==+∈，{} R x x y y x B ∈+==,1),(2 ，则有（ ） （A ） {(0,1),(2,5)}A B ?= （B ） A ?B （C ） B A ? （D ） φ=?B A （3）．设集合{}{} 22|21,|25M y y x x N x y x x ==++==-+，则N M ?等于 （A ）? (B)(){}4,1 (C)[)+∞,4 (D) [)+∞,0 练习题： 1 数0与空集φ的关系是（ ） A ．0φ∈ B ．0φ= C ．{0}φ= D ．0φ? 2 集合M=8|,,3y y x y Z x ? ? = ∈??+?? 的元素个数是（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 3 已知集合2 {|210,,}x ax x a R x R ++=∈∈ （1）若A 中只有一个元素，求a 的值； （2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。 4 已知M={2,,}a b ，N=2 {2,2,}a b ，且M=N ，求a ，b 的值。 5 设集合P=2 {|60}x x x --<，Q={|0}x x a -≥ 1．若P ?Q ，求实数a 的取值范围； 2．若P Q φ?=；求实数a 的取值范围； 3．若P Q={x|0x<3}?≤，求实数a 的值。 6若关于x 的不等式 ()2 4 14k x k +≤+的解集是M ,则对任意实常数k ,总有（ ） A.2,0M M ∈∈ B.2,0M M ?? C.2,0M M ∈? D.2,0M M ?∈ 7已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，? ?????∈≥+=Z x x x P ,115| ，则P M 等于（ ） A ．{}Z x x x ∈≤<,30| B ．{}Z x x x ∈≤≤,30| C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01| D ．{}Z x x x ∈<≤-,01| 8不等式()|1|210x x +-≥的解集为（ ） A.1|2x x ??≥??? ? B.1|12x x x ? ?≤-≥????或 C.1|12x x x ??=-≥????或 D.1|12x x ? ?-≤≤??? ? 9不等式 2 01x x +<-的解集为（ ） A.()2,1- B.()1,2- C.()(),21,-∞-+∞ D.()(),12,-∞-+∞ 10不等式2||1 x x > -的解集为（ ） A.{}|21x x x ><-或 B.{}|12x x -<< C.{}|12x x x <>或 D.{}|12x x << 函数 函数部分需要注意： 1.映射f : A →B 的概念。在理解映射概念时要注意： ⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2.函数f : A →B 是特殊的映射。特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。 4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零. （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。 （3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。 5.求函数值域（最值）的方法： （1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）， （2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型， （3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性， （4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性， （5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等， 注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。 一 定义域求法： （1）| x |x 1 )x (f -= （2）x 111)x (f += （3）5x 4x )x (f 2+--= （4）1 x x 4)x (f 2 --= （5）10x 6x )x (f 2+-= （6）13x x 1)x (f -++-= （7）若函数2 (1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________ （8）已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域. （9）已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域. 二 值域求法： （1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）， 如（1）求函数2 25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 （2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2 -++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取 值范围是___ （2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型， 如（1 ）21y x =+的值域为_____ （2）求函数x x y -+=142的值域 （3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定 所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如313x x y =+， （4）直接法 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+= x x y ④x x y +=二 值域求法： 1. 函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为（ ） A.{}3,0,1- B.{}3,2,1,0 C.{}31≤≤-y y D.{} 30≤≤y y 2. 函数f （x ）= )1(11 x x --的最大值是（ ） A. 5 4 B.4 5 C. 4 3 D. 3 4 3. 已知函数2 23y x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 A. [1,)+∞ B. [0,2] C.(,2]-∞ D.[1,2] 4.在R 上定义运算).1(:y x y x -=??若不等式1)()(<+?-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ） A.11<<-a B.20< C.2321<<-a D.2 123<<-a 5.对于任意[1,1],a ∈-函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于0，那么x 的取值 范围是（ ） A.（1，3） B.(,1)(3,)-∞?+∞ C.（1，2） D.(3,)+∞ 6.若方程2 210ax x --=在(0,1)x ∈内恰有一解，则a 的取值范围是（ ） A.1a <- B.1a > C.11a -<< D.01a ≤< 7.设二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠，如果1()f x =2()f x ，其中12x x ≠，则 12()f x x +=（ ） A.2b a - B. b a - C.c D.244ac b a - 8. 已知函数2 ()4,[0,1]f x x x a x =-++∈.若()f x 有最小值-2，则()f x 的最大值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 9.函数2 42y x x =-+-在区间[1，4]上的最小值是 . 10.已知函数2 3(26)3y x m x m =-+++取值恒为非负，则实数m 的取值范围是 三 解析式求法 求函数解析式的常用方法： （1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： 2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--， 要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。 如已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式。 （2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。如（1）若 221 )1(x x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数， 且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。 （3）方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。 如（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式. 函数单调性 一 单调性须注意： （1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。 ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0b y ax a x =+ > 0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为 [. ③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减， （2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示． 二 例题讲解 （1）已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是__ __； （2）若函数2)1(2)(2 +-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是__ __； （3）已知函数1 ()2 ax f x x += +在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围___ __； （4）已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数 m 的取值范围 （5）函数()f x 在R 上增函数，图像过(2,2),(1,2)A B -，则不等式|(2)|2f x -<的解集 。 函数奇偶性 一函数奇偶性应注意： （1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶 性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 （2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法。 ②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或 () 1() f x f x -=±（()0f x ≠） 。③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 （3）函数奇偶性的性质： ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==. ④奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。 ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。 ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集） 二 例题讲解 （1）函数()f x 是奇函数，定义域是2 (,46)t t t +-，则t = （2）判断函数 y = ___ _ （3）判断11 ()()212 x f x x =+-的奇偶性__ _. (4) 判断函数()(f x x =-的奇偶性 (5)判断函数()f x 奇偶性 (6) 判断函数f (x )=?????>+-<+) 0()0(22x x x x x x 的奇偶性： 指数函数与对数函数 一指数函数与对数函数需要注意： 1.分数指数幂 (1)m n a = 0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N *>∈，且1n >）. 2．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0 a a a a a ≥?==?- 3．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈. 注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 4.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 5.对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m = (0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 6．对数的四则运算法则 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. 7.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m , 记ac b 42 -=?.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0 0>a ，且0≥?.对于0=a 的情形,需要单独检验. 8. 对数换底不等式及其推广 若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1 (,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数. (2)当a b <时,在1(0,)a 和1 (,)a +∞上 log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2 log log log 2 a a a m n m n +<. 二 例题讲解： 1．化简（1+2 321 -）（1+2 16 1 - ）（1+2 8 1- ）(1+2 - 4 1)（1+2 2 1- ），结果是（ ） （A ）2 1（1-232 1 -）-1 （B ）（1-2321 -） -1 （C ）1-2 32 1- （D ）2 1 （1-2321 -） 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2 4.下列函数式中，满足f(x+1)=2 1 f(x)的是( ) (A) 21(x+1) (B)x+4 1 (C)2x (D)2-x 5.下列f(x)=(1+a x )2 x a -?是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇且偶函数 6．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 7．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 8．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1）31 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞） 10.若方程a x -x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（0，1） （C ）（0，+∞） （D ）φ 11．F(x)=(1+ )0)(()1 22 ≠?-x x f x 是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( ) （A ）是奇函数 （B ）可能是奇函数，也可能是偶函数 （C ）是偶函数 （D ）不是奇函数，也不是偶函数 12．若a 2 3 2 ,则a 的取值范围是 。 13．化简? 5 3 x x 35 x x × 3 5 x x = 。 14．函数y= 11 51 --x x 的定义域是 。 15．函数y=(3 1)1 822+--x x (-31≤≤x )的值域是 。 16．直线x=a(a>0)与函数y=( 31)x ,y=(2 1)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是 。 17．函数y=32 32x -的单调递减区间是 。 18．若f(5 2x-1 )=x-2,则f(125)= . 19．函数y=m 2x +2m x -1(m>0且m ≠1)，在区间[-1，1]上的最大值是14，则m 的值是 . 20.设0 1 322+-x x >a 5 22-+x x 。 21.设f(x)=2x ,g(x)=4x ,g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)]，求x 的取值范围。 22.已知x ∈[-3,2]，求f(x)= 12141+-x x 的最小值与最大值。 23.设a ∈R,f(x)= )(1 22 2R x a a x x ∈+-+?，试确定a 的值，使f(x)为奇函数。 24.已知函数y=( 3 1)522++x x ，求其单调区间及值域。 25.若函数y=4x -3·2x +3的值域为[1，7]，试确定x 的取值范围。 1． 若关于x 的方程4x+2x ·a+a+a=0有实数根，求实数a 的取值范围。 26.已知函数f(x)=)1(1 1 >+-a a a x x , (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明f(x)是R 上的增函数。 函数图像及其性质的综合应用 一需要注意： 常见的图象变换 ① 函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位 得到的。 如设()2,()x f x g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()h x 的图像由()g x 的图像向右平移1个单位得到，则()h x 为__________ ② 函数()a x f y +=()0( 如（1）若2(199)443f x x x +=++，则函数()f x 的最小值为____ ；（2）要得到 )3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而 得到； ③函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；