二次函数与三角形综合.题库学生版

一、二次函数与三角形

在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：

1.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．

11

22

ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ?????=+=?-=+=?-

其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到． 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积． ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ????=---.

所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．

3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．

()()()()()()111

222

ABC ADEB CFEB ADFC A B A B B C B c C A C A S S S S x x y y x x y y x x y y ?=-++=-++-++-+

4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与0x y ±=平行，则可以快速求解．

1

2

ABC S h BC ?=?．

中考要求

知识点睛

二次函数

一、二次函数与三角形综合

【例1】 二次函数21

8

y x =的图象如图所示，过y 轴上一点(0M ，2)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过

点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ． ⑴ 当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；

⑵ 在⑴的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，

使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； ⑶ 当点A 在抛物线上运动时(点A 与点O 不重合)，求AC BD ?的值．

【例2】 如图，已知抛物线的顶点为(01)A ，，矩形CDEF 的顶点C F ，在抛物线上，D E ，在x 轴上，CF

交y 轴于点(02)B ，，且其面积为8． ⑴ 求此抛物线的解析式；

⑵ 如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P Q ，分

别作x 轴的垂线，垂足分别为S R ，． ①求证：PB PS =； ②判断SBR ?的形状；

③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P S M ，，为顶点的三角形和以点Q R M

，，为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由．

【例3】 已知二次函数2

12

y x bx c =

++的图象经过点(36)A -，并且与x 轴相交于点(10)B -，和点C ，

顶点例题精讲

为P

（1）求二次函数的解析式；

（2）设D 为线段OC 上一点，满足DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标

【例4】 如图，已知平面直角坐标系中三点(20)(02)(0)A B P x ，

，，，，(0)x <，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点(2)C y ， （1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当x 取最大整数时，求BC 与的交点Q 的坐标。

【例5】 已知一元二次方程210x px q +++=的一根为2．

（1）求q 关于p 的解析式；

（2）求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线2y x px q =++的顶点为M ，且与x 轴相交于()()1200A x B x ，、，两点，求使AM B

?面积最小时的抛物线的解析式．

【例6】 已知二次函数22(2)4y m x mx n =--+的图象的对称轴是直线2x =，且它的最高点在直线

1

12

y x =

+上． ⑴ 求此二次函数的解析式； ⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线1

12

y x =+上移动到M 点时，图象与x 轴恰好交于A 、B 两点，且8ABM

S ?=，求这时的二次函数的解析式．

【例7】 如图，已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于点A 、B ，交y 轴负半轴于C 点，点B 在点A 的右

侧，90ACB ∠=?，112

OA OB OC

-=

． (1)求抛物线的解析式；

(2)求ABC ?的外接圆的面积；

(3) 在抛物线2y x px q =++上是否存在点P ，使得PAB ?

的面积为 如果有，这样的点有几个；如果没有，请说明理由．

【例8】 一开口向上抛物线与x 轴交于A （2m -，0），B （m ＋2，0）两点，记抛物线顶点为C ，且AC

⊥BC ．

（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；

（2）若m 为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ （3）设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求

出m 的值；若不存在，请说明理由．

【例9】 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点

A （0，2），点C （-1，0），如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点

B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以A

C 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例10】 如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，其中0m >．

（1）已知直线l

：y ，将直线l 沿x 轴向 （填“左”或“右”）平移 个单位（用含

m 的代数式）后过点A ；

（2）设直线l 平移后与y 轴的交点为B ，若动点Q 在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线

上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 相似，且相似比为2？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．

【例11】 如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．

⑴ 求A 、B 、C 三点的坐标．

⑵ 过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．

⑶ 在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG x ⊥轴于点G ，

使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA ?相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．

【例12】 已知：m n 、是方程2650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2y x bx c =-++的图像经过点

(),0A m 、()0,B n ．

⑴ 求这个抛物线的解析式；

⑵ 设⑴中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和BCD ?的面积；

⑶ P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH x ⊥轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把PCH ?分成面积之比为2:3的两部分，请求出P 点的坐标．

【例13】 如图，过ABC ?的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，侧两条直线之间的距离叫ABC

?的“水平宽”()a ，中间的这条直线在ABC ?内部线段的长度叫ABC ?的“铅垂高()h ”．我们可得出

一种计算三角形面积的新方法：1

2

ABC S ah ?=，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

.

B

解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点()14C ，

,交x 轴于点()30A ，，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；

（2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求CBA ?的铅垂高CD 及CAB S ?；

（3）是否存在一点P ，使9

8

PAB CAB S S ??=，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

【例14】 已知抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于点1(0)A x ，

，2(0)B x ，12()x x <，且12x x ，是方程

2230x x --=的两个实数根，点C 为抛物线与y 轴的交点．

（1）求a b ，

的值； （2）分别求出直线AC 和BC 的解析式； （3）若动直线(02)y m m =<<与线段AC BC ，分别相交于D E ，两点，则在x 轴上是否存在点P ， 使得DEP △为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在

【例15】 如图，抛物线2

122

y x bx =

+-与x 轴交于A B ，

两点，与y 轴交于C 点，且()10A -，． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；） （2）判断ABC △的形状，证明你的结论； （3）点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC MD +的值最小时，求m 的值．

【例16】 如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，

，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为

顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） 在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．

【例17】 如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A (1,0),B (- 3，0)两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由

.

【例18】 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为()20-，，

连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120?，得到线段OB ．

⑴ 求点B 的坐标； ⑵ 求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； ⑶ 在⑵中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BOC ?的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． ⑷ 如果点P 是⑵中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么PAB ?是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及PAB ?的最大面积；若没有，请说明理由．