常见数学最值问题归纳

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常见数学最值问题归纳

常见数学最值问题归纳

最值问题是中学数学解题中碰到的最普遍,最重要的题型之一,并且表现的形式和解决的办法也是千变万化。近几年的数学高考试题都会出现各种各样的最值问题,所占的分值均在10~25分.本文对常见的最值问题加以归纳总结,以便能碰到在最值问题时灵活选择合理的方法。

本文将最值问题分为两大类:显性的最值问题和隐性的最值问题。 (一) 显性的最值问题

顾名思义就是一看题目就知道这是需要求最值的。下文又作如下分类: (1) 二次函数的最值 (2) 导数法求最值 (3) 均值不等式求最值 (4) 辅助角型三角函数最值 (5) 借助数形转化求最值 (6)

求“

A B a x

b x

+

+-”型最值

现举例说明如下

1.二次函数的最值

二次函数的最值解一般是先配方,再借助于二次函数图像。数学中的其他很多最值问题最后总转化为一元二次函数的最值问题。

例1:(02年全国理1) 设a 为实数,2

()||1()f x x x a x R =+-+∈ (1)讨论()f x 的奇偶性;(2)求()f x 的最小值.

思路分析:(1)略 (2)去绝对值后,函数即为二次函数,本题就是二次函数的最值问题。当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定,则需分类讨论.

解:(2)当x a ≤时,2

2

13()1()2

4

f x x x a x a =-++=-

++

,由二次函数图象及其性质知:若12

a ≤

,函

数()f x 在(,]a -∞上单调递减,从而函数()f x 在(,]a -∞在上的最小值为2

()1f a a =+;若12

a >

,函数

()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+,且1()()2

f f a ≤

. 当x a ≥时,函数2

213()1()2

4

f x x x a x a =+-+=+-+

若12a ≤-,函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为1

3()2

4

f a -=

-,且1()()2

f f a -

≤;

若12

a >-

,函数()f x 在[,)a +∞上单调递增,从而函数函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为2

()1f a a =+.

综上所述,当12

a ≤-

时,函数()f x 的最小值是

34

a -;当112

2

a -

<≤

时,函数()f x 的最小值为2

1a +;当

12

a >

时,函数()f x 的最小值是34

a +

2.导数法求最值

用导数法来求函数的最值要比初等方法快捷简便,因此导数法求最值也是一种不可忽视方法: 在闭区间[,]a b 上连续的函数()f x 在[,]a b 上必有最大值与最小值。

设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,求()f x 的最大值与最小值的步骤如下: 求()f x 在(,)a b 内的极值;

将()f x 的各极值与(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。 应注意:(1)()f x 的极值是局部概念,而最大(小)是值则可看作整体概念。

(2)求函数的最值与求函数极值不同的是,在求可导函数的最值时,不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值,只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。

(3)可利用函数的单调性求()f x 在区间上的最值,若()f x 在[,]a b 上单调增加,则()f x 的最大值为()f b ,最小值为()f a ;若()f x 在[,]a b 上单调减少,则()f a 为函数最大值,()f b 为最小值。

例2:求函数5

3

231y x x x =--+在[2,2]-上的最大值与最小值。

解:由5

3

231y x x x =--+得'

4

2

2

2

1091(101)(1)y x x x x =--=+-令'

0y =解得

121,1,x x ==-列表讨论如下:

又因为当1x =-时5

3

2(1)3(1)(1)13y =?--?---+= 当1x =时5

3

2131111y =?-?-+=-

而函数在两个端点的函数值分别为37-,39,因此函数y 的最大值为39,最小值为37- 3.均值不等式求最值

均值不等式:若0,0a b >>

,则a b +≥,当且仅当a b =时,等式成立

利用均值不等式要注意一正二定三相等。

例3已知22

41a b +=,求

2||2||

ab a b +的最大值

思路分析:本题是关于二元二次条件的最值问题,不易消元,可以直接采用均值不等式求解

解:当0ab <是,

2||2||

ab a b +显然取不到最大值,故只需讨论0ab >的情况

2241,0a b ab +=> ,22

44a b ab +≥ 104

ab ∴<<

从而

2212||2||

4

||

||

ab a b b a =

≤≤

++

当2

4

a b =

=

或,2

4

a b =-

=-

时,等号成立

4. 辅助角型三角函数最值

sin cos y a x b x ωω=+可以转化为求sin()y A x ωφ=+的最值,再利用三角函数的有界性可求。

sin cos )a x b x x ωωωφ+=

+(其中φ

由cos φ=

和sin φ=

例5(05年全国卷一)当02

x π

<<

时,函数2

128sin ()sin 2cos x x

f x x

++=

的最小值为( )

A.2

B.

思路分析:先对函数通过降幂化同角来化简

解:令2

128sin 53cos 2()sin 2sin 2cos x x

x y f x x

x ++-==

=

得sin 23cos 25y x x +=,

整理得sin(2)x φ+=

(其中3tan y

φ=),由|sin(2)1x φ+≤,可求得4y ≥

所以()f x 的最小值为4 5.借助数形转换求最值

数形转换的思想可以使某些抽象的数学问题直观化,生动化,能够变抽象思维为形象思维,使逻辑思维与形象思维有机统一起来,其解题思路直观,简捷,优美

例5.已知51260x y +=,则

思路分析:此题大多数学生想到用消元,转化成求一元函数的最值问题,但计算麻烦。

本题可以通过将题目条件转化用图形语言来表示,实现数与形的转化,化抽象为形象,问题迎韧而解。

解:点(,)x y 表示直线51260x y +=表示点(,)x y 到原点距离,

最小值即求直线上的点到原点的最小距离,即为原点到直线的距离

6013

d =

=

所以

的最小值为

6013

6. 求“A B a x

b x

+

+-”型最值

我们常用到“A B y a x

b x

=+

+-”最值,我们只要妙添“1”,然后将“1”变形为()()

1a x b x a b

++-=

+即可求出

这一类最值,程序如下:

A B y a x

b x =

++- (

0A a x

>+,

0B b x

>-)

=1(

)A B a x

b x

?+

+- ()()

(

)a x b x A B a b a x

b x

++-=?+++-

1()()[]A b x B a x A B a b a x b x

-+=?+++

++-

1

(A B a b

+++

2

a b

+=

+

例6函数2

2

51028

x x y x x -+=

-++(04)x <<的最小值

思路分析:先将分式化为部分分式14142

x

x -++

-+

解:2

2

51028

x x y x x -+=

-++

=

22

(28)318

(416)2128

(4)(2)

x x x x x x x x x --++-+-+++=-+

-++-+

14142

x

x =-++-+(4)(2)

141(

)6

(4)

2

x x x x -++=-+

+

-+

124(4)1[5]6

(4)

2

x x x x +-=-+

+

+

-+111[56

2

=≥-++=

故得最小值12

,当且仅当2x =时取得

(二) 隐性的最值问题

有些题目需要通过分析推理,转化为最值问题。常见的题型: (1) 不等式的恒成立问题 (2)

含参数的存在性问题

1. 不等式的恒成立问题

此类问题转化为求函数最值问题。()f x m >恒成立,即m in ()f x m >;()f x m <恒成立,即max ()f x m <

例7.已知向量a →

=(x 2

,x+1), b →=(1-x,t) 若函数f(x)=a b →→

? 在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围。 思路分析:先通过求向量的数量积表示函数,再在题目中分离出参数,化为()f x m >恒成立或()f x m <恒成立问题,分别转化为m in ()f x m >或max ()f x m <问题

解:依题意,

232

()(1)(1)f x x x x t x x tx t =-++=-+++

则'

2

()32f x x x t =-++

∵()f x 在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上恒有'

()0f x > 即2

320x x t -++>在(1,1)x ∈-上恒成立

设2

()32g x x x t =-++,即()min 0g x > 而()g x 在1

(1,

)3-上是增函数,在1

(,1)3

上是减函数, (1)5(1)1g t g t -=-+<=+,

m in ()5g x t >-+ 所以50t -+≥,则5t ≥ (3)

含参数的存在性问题

例8已知两个函数2

()816f x x x k =+-(其中k 是实数),3

2

()254g x x x x =++。 若0[3,3]x ?∈-,使得00()()f x g x ≤,求k 的取值范围

思路分析:构造函数()()()h x f x g x =-,0[3,3]x ?∈-,使得00()()f x g x ≤,转化为问题使得

00()()0f x g x -≤,即求m in ()0h x ≤

解:令()()()h x f x g x =-=

若0[3,3]x ?∈-,使得00()()f x g x ≤,即00()()f x g x ≤ 令()()()h x f x g x =-=3

2

2312x x x k -++- 即求m in ()0h x ≤

'2

()6612h x x x =-++

当'

()0h x >时,解得12x -<< 当'()0h x <时,解得1x <-或2x > 所以()h x 在闭区间[-3,3]上的单调性为:

在[-3,-1]上为单调递减函数;在[-1,2]上单调递增函数;在[2,3]上为单调递减函数 而(1)7,(3)9h k h k -=--=- 所以min ()70h x k =--≤ 所以7k ≥- 总结

1.最值问题举不胜举,二次函数的最值问题是其他很多最值问题的基础(如三角函数,数列,解析几何,应用性最值)例如求cos 2sin 1y x x =++的最值,可以通过换元转化为二次函数最值。

2.用导数法来求函数的最值具有快捷简便的特点,因此导数法求最值不可忽视。

3.重视挖掘目标函数的几何意义,借助数形转化求最值,直观形象。

4.对于不等式的恒成立问题和含参数的存在性问题,关键在于能够通过分析推理转化为最值问题。

参考文献

【1】蒋荣清最值、定值问题与高考走势中学教研 2009.3

【2】孙瑜蔓添“1”法妙求”

A B

a x

b x

+

+-

”型最值

中学数学月刊 2008.2

【3】阎锐教会学生灵活运用转化思想解题中学数学月刊 2008.2

中考数学知识点总结

中考数学知识点总结 一、常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 二、基本方法 1、配方法 所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理

2021年中考数学总复习:专题52 中考数学最值问题(解析版)

2021年中考数学总复习:专题52 中考数学最值问题 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要分为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领 (1)两点之间线段最短; (2)直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短; (3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。 二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式 二次函数y ax bx c =++2 (a 、b 、c 为常数且a ≠0)其性质中有 ①若a >0当x b a =-2时,y 有最小值。y ac b a min =-442; ②若a <0当x b a =-2时,y 有最大值。y ac b a max =-442。 2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大(小)值;但当m x n ≤≤时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大(小)值。 3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程;再根据x 是实数,推得?≥0,进而求出y 的取值范围,并由此得出y 的最值。 4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质.在实数范围内,显然有a b k k 22 ++≥,当且仅当a b ==0时,等号成立,即a b k 22++的最小值为k 。 6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号,然后求出y 在各个区间上的最大值,再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中,x a =是最大值,在不等式x b ≥中,x b =是最小值。

小学数学课题结题报告

在实践活动中提高小学数学的计算能力 简介 一、标题 在实践活动中提高小学数学的计算能力 二、序言 数与计算是人们在日常生活中应用最多的数学知识,它历来是小学数学教学的内容之一,培养小学生的计算能力在小学数学教学中显得尤其重要。传统的小学计算教学常常通过机械重复、大量的题目训练来达到目的,只重视计算的结果,不重视计算法则的形成过程和计算方法的概括。新课改以来,在计算教学中一些教师过分强调计算方法的多样化,老师仍然不喜欢上计算教学,在公开课的教学中,很少看见计算教学的身影;学生也不喜欢上有关计算教学的课,对他们来说,计算往往就是做不完的习题,以至于到最后,计算教学就沦为“题海战术”。新课程的改革,删除了一些比较繁琐的计算题,计算难度大大下降,然而学生计算的错误,却是小学教学中仍存在的一个重要问题。从小学阶段各年级考试试卷来看,有关计算的内容所占的比例很大(约80%),而学生计算的错误率却非常高,约占分值的10%至15%之间。可见学生的计算能力普遍较低,无疑给学生的学习发展造成了巨大的障碍。新课程标准指出:数学教学“不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律”。在平常教学中,学生的计算错误屡见不鲜,也不是只在差生

中出现。导致计算错误原因究竟是什么?其中的原因我想应是多方面的,错综复杂的。经过分析找到以下存在问题:学生在计算中常常出错的原因不仅仅是马虎粗心,而且还有其逻辑思维能力与计算知识﹑方法﹑技能的掌握和学习习惯等方面的因素。 计算是人们在日常生活中应用的最多的数学技能,也是小学数学教学的基本要素和重要内容。而良好的计算能力更是学生今后生活、学习和参加社会活动所必备的基本素养之一,所以培养学生的计算能力是小学数学课堂教学的一项重要任务,也将为学生今后更好地学习数学奠定扎实的基础。 三、摘要 《小学数学课程标准》中指出:人人都能获得必要的数学,以及必要的运算技能。“必要”一词清晰的体现了计算教学的基础性和重要性。一方面从小学教学教材编排来看,与计算相关的内容占有很大的比重,例如解决实际问题的解题思路、步骤、结果要通过计算去落实;几何知识的教学要设计周长、面积、体积的求法,这些公式的运用同样离不开计算;至于简易方程、比例和统计图表等知识也无不与计算密切相关…另一方面从我校的实际出发:我校地处农村,客观反思我校的数学教学,尤其是计算法则混淆不清、计算能力参差不齐。而随着年级的增高,知识的不断加深,学生计算越发暴露问题。有悖于素质教育的精神,而且势必会让学生失去学习数学的兴趣,失去以后进一步学习数学的动力和能力,为学生的终身学习带来了不利因素。为了改变现状,更好地贯彻课标精神,更

初中数学知识点总结 中考必备,中考题完整

初中数学知识点总结中考必备,中考题完整上传1 知识点1:一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2. 2.一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4,常数项是-2. 3.一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3,常数项是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0. 知识点2:直角坐标系与点的位置 1.直角坐标系中,点A(3,0)在y轴上。 2.直角坐标系中,x轴上的任意点的横坐标为0. 3.直角坐标系中,点A(1,1)在第一象限. 4.直角坐标系中,点A(-2,3)在第四象限. 5.直角坐标系中,点A(-2,1)在第二象限. 知识点3:已知自变量的值求函数值 1.当x=2时,函数y=2x3的值为1. 2.当x=3时,函数y=1的值为1. x 2 1 x33.当x=-1时,函数y=的值为1. 知识点4:基本函数的概念及性质 1.函数y=-8x是一次函数. 2.函数y=4x+1是正比例函数.

3.函数y x是反比例函数. 4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5.抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6.抛物线y1(x1)22的顶点坐标是(1,2). 212 7.反比例函数y2的图象在第一、三象限. x 知识点5:数据的平均数中位数与众数 1.数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2.数据3,4,2,4,4的众数是4. 3.数据1,2,3,4,5的中位数是3. 知识点6:特殊三角函数值 1.cos30°= . 2 2.sin260°+ cos260°= 1. 3.2sin30°+ tan45°= 2. 4.tan45°= 1. 5.cos60°+ sin30°= 1. 2 知识点7:圆的基本性质 1.半圆或直径所对的圆周角是直角. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆.

中考数学要点难点分析整理复习总结

初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 (1)有理数:是初中数学的基础内容,中考试题中分值约为3-6分,多以选择题,填空题,计算题的形式出现,难易度属于简单。 考察内容:复数以及混合运算(期中、期末必考计算)数轴、相反数、绝对值和倒数(选择、填空)。 (2)整式的加减:中考试题中分值约为4分,题型以选择和填空题为主,难易度属于易。 考察内容: ①整式的概念和简单的运算,主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式,平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 (3)一元一次方程:是初一学习重点内容,主要学习内容有(归纳、总结、延伸)应用题思维、步骤、文字题,根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分,题型主要以选择和填空题为主,极少出现简答题,难易度为易。 考察内容: ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型:追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 (4)几何:角和线段,为下册学三角形打基础 初一下册

相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 (1)相交线和平行线:相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空,选择题形式出现。分值为3-4分,难易度为易。 考察内容: ①平行线的性质(公理) ②平行线的判别方法 ③构造平行线,利用平行线的性质解决问题。 (2)平面直角坐标系:中考试题中分值约为3-4分,题型以选择,填空为主,难易度属于易。 考察主要内容: ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 (3)二元一次方程组:中考分值约为3-6分,题型主要以选择,解答为主,难易度为中。 考察内容:①方程组的解法,解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 (4)不等式和不等式组:中考试题中分值约为3-8分,选择,填空,解答题为主。 主要考察内容: ①一元一次不等式(组)的解法,不等式(组)解集的数轴表示,不等式(组)的整数解等,题型以选择,填空为主。 ②列不等式(组)解决经济问题,调配问题等,主要以解答题为主。 ③留意不等式(组)和函数图像的结合问题。

小学数学课题结题报告

《小学生学习方法的研究和指导》课题 结题报告 “小学生学习方法的研究和指导”课题是市级个人课题,,2006年11月经市教科所批准,在县教科室的关心、支持、指导下,于2006年12月启动,已进行了近两年时间的实验,本人把新课程标准的新思想,新理念和数学课堂教学的新思路,新设想结合起来,顺利的完成了预期的研究计划,达到了预期究目标,实验工作具有代表性、可行性的特点。现将本课题的研究情况总结汇报如下: 一、课题的提出 埃德加·富尔在《学会生存》一书中说:“未来的文盲不再是不认识字的人,而是没有学会怎样学习的人”。着名特级教师钱梦龙也提出“学生为主体,教师为主导,训练为主线”的教学思想,即确认学生在整个教学过程中始终是认识的主体和发展的主体,教师在教学过程中的作用,只是为学生的认识发展提供种种有利的条件,即帮助、引导学生学习,培养学生的学习方法和习惯。 在新课程标准中,教学也已不再被理解为以传授知识或简单的知识统一,而是以追求使每一个学生获得发展为内涵,应使每一个学生学会认知、学会学习、学会做事、学会共同生活、学会生存;新课程标准要求教学应面向全体学生,面向终身发展,面向终身教育。 在教学工作中,经常有学生问我们,为什么我很用功,但知识掌握得不多、不牢,能力提高得有限?原因就是学生平时太不注重学习方法的探

索,把学习看成是一件苦差事,一旦学生在探索学习方法方面用点心,就能有所收获。因此,如何使学生学会学习,掌握科学的学习方法,提高学生的科学素养,是我们目前迫切需要解决的一个重要课题。 二、课题研究的目的和意义 (一)课题研究的目的 1、改变以教师为中心、课堂为中心的局面、改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式。 2、引导学生建立具有“主动参与、乐于探究、交流与合作”的新的学习方式。 3、教师要成为学生学习的组织者、引导者和合作者建立新型的师生关系。 4、培养学生的主体意识、合作精神,主动探索、学会学习,成为二十一世纪的主人。 5、通过研究,改变教师的传统课堂教学思维方式,力求掌握符合此种学习方式的一般操作模式,使课堂教学适应形势发展的需要,符合培养现代新人成长的规律。 6、培养、锻炼一支由学校领导和一线教师所组成的教研、科研相结合的教科研队伍,促进教育理论的学习,科研方法的掌握,进一步提高实施素质教育的水平。 (二)课题研究的意义 :1、新课标指出:教师应能动地发挥作用,成为学生学习活动的组织者、引导者和参与者,使学生在主动学习的过程中得到发展。 2、对学习方法的研究和对学生学习方法的引导,有利于培养学生的学习兴

中考数学专题复习最值问题

两点之间线段最短关系密切.在求最短路线时,一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题,而两点之间直线段最短,从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题,再设法解决,是数学中一种常用的重要思想方法. 类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 如图所示,AB 是一条河流,要铺设管道将河水引到C ,D 两个用水点,现有两种铺设管道的方案.方案一:分别过C ,D 作AB 的垂线,垂足分别为E ,F ,沿CE ,DF 铺设管道;方案二:连接CD 交AB 于点P ,沿PC 、PD 铺设管道.问:这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料,为什么? 【思路点拨】 方案一管道长为CE +DF ,方案二管道长为PC +PD ,利用垂线段最短即可比较出大小. 本题易错误的利用两点之间线段最短解决,解答时需要准确识图,找到图形对应的知识点. 1.如下左图,点A 的坐标为(-1,0),点B(a ,a),当线段AB 最短时,点B 的坐标为( ) A .(0,0) B .(22,-22) C .(-22,-22) D .(-12,-12 ) 2.在直角坐标系中,点P 落在直线x -2y +6=0上,O 为坐标原点,则|OP|的最小值为( ) A.352 B .3 5 C.655 D.10 3.如上中图,在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为圆心的圆过点A(13,0),直线y =kx -3k +4与⊙O 交于B 、C 两点,则弦BC 的长的最小值为________. 4.如上右图,平原上有A ,B ,C ,D 四个村庄,为解决缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池. (1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H 点的位置,使它到四个村庄距离之和最小; (2)计划把河水引入蓄水池H 中,怎样开渠最短并说明根据. 类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题 (1)如图1,直线同侧有两点A ,B ,在直线MN 上求一点C ,使它到A 、B 之和最小;(保留作图痕迹不写作法) (2)知识拓展:如图2,点P 在∠AOB 内部,试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F ,使△PEF 周长最短;(保留作图痕迹不写作法) (3)解决问题:①如图3,在五边形ABCDE 中,在BC ,DE 上分别找一点M ,N ,使得△AMN 周长最小;(保留作图痕迹不写作法)

小学数学课堂教学生活化的课题研究结题报告

“小学数学课堂教学生活化的课题研究”结题报告 一、研究的背景和意义 《新课标》强调数学来源于生活,应用于生活。强调学生人人学习有用的数学,把数学作为人们日常生活中交流信息的手段和工具。让学生运用数学知识分析和解决问题是学习数学的出发点和归宿。然而,在以往的小学数学教学中,我们教师非常重视数学知识的教学,却很少关注这些数学知识和实际生活究竟有哪些联系,学生根本感受不到数学的趣味和作用。《新课标》同时又指出:“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发,为他们提供观察与操作的机会,使学生体会到数学就在身边,感受到数学的趣味和作用,对数学产生亲切感。”因此,在数学教学中,教师应充分利用学生已有的生活经验,从生活实际中引出数学问题,充分挖掘数学知识本身所蕴含的生活性、趣味性,让学生从生活经验、生活实际中去挖掘数学知识的生活内涵,捕捉生活中的数学现象,主动寻觅数学与生活之间的密切关系,体现“数学源于生活、寓于生活、用于生活”,使学生体会到数学就在身边,探索生活材料数学化、数学课堂生活化,从而领悟到数学的魅力、感受到数学的乐趣,并能随时把所学的数学知识应用到生活中去,培养学生的数学应用能力,实现“人人学有价值的数学,人人都能获得必需的数学,不同的人在数学上得到不同的发展”。 在数学教学中通过寻找学生生活中的数学,能从现实生活中提取有用的数学知识,将其带入我们的小学数学课堂,在课堂中实施教学

生活化,以此来调动学生学习数学的积极性,使“数学”真正成为学生生活中的数学,也使学生能更好地理解学习数学的目的性,并能在生活中灵活地运用数学,并通过参与一些数学实践活动,培养学生的创新思维,张扬学生的个性,使他们的数学素养得到真正的提高,为他们今后进一步学习数学打下基础。 二、理论依据 (一)陶行知“生活教育”理论 1、陶行知的大教育观“生活即教育”、“社会即学校”。所以在教学内容上应把学校与社会、教育与生活密切结合。 2、陶行知的实践教学法,即“教、学、做”三者合一。他认为,教育起源于生活,生活是教育的中心,倡导每一个孩子都公平地享受生活,教育的根本目的是要培养适应社会的人。因此他主张在教学方式上以“做”为中心,把教与学统一起来,改变传统教学重教不重学,重知不重行的状况。 (二)弗赖登塔尔(荷兰著名数学教育家)的数学教育理论。弗赖登塔尔主张“现实的数学”,主张“数学源于现实,寓于现实,用于现实。” (三)活动建构的理论 教育家卢梭认为:教学应让学生从生活中,从各种行为中进行学习,通过与生活实际相联系,获得直接经验。学生应该主动地进行学习,反对让儿童被动地接受成人的说教或单纯地从书本上进行学习。他认为教师的职责不在于教给儿童各种知识和灌输各种观念,而在于

关于初中数学知识点总结5篇

关于初中数学知识点总结5篇 初中数学基础知识:任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。下面就是小编给大家带来的初中数学知识点总结,希望能帮助到大家! 初中数学知识点总结1 一、数与代数a、数与式:1、有理数:①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数 数轴: ①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值: ①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算:加法: ①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。 ②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法: ①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法: ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。 乘方:求n个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,a叫底数,n叫次数。 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2、实数无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根: ①如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。 ②如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数a的平方根运算,叫做开平方,其中a叫做被开方数。 立方根: ①如果一个数x的立方等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数a的立方根的运算叫开立方,其中a叫做被开方数。 实数: ①实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式: ①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和

中考数学公式总结

2019年中考数学公式总结 圆与弧的公式: 正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n 弧长计算公式:L=n兀R/180 扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2 内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r) ①两圆外离dR+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-rr)④两圆内切d=R-r(Rr)⑤两圆内含dr) 定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 定理把圆分成n(n3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360,因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4 弧长计算公式:L=n兀R/180 因式分解公式: 公式:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 平方差公式:a平方-b平方=(a+b)(a-b) 完全平方和公式:(a+b)平方=a平方+2ab+b平方 完全平方差公式:(a-b)平方=a平方-2ab+b平方

两根式: ax^2+bx+c=a[x-(-b+(b^2-4ac))/2a][x-(-b-(b^2-4ac))/2 a]两根式 立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 完全立方公式:a^33a^2b+3ab^2b^3=(ab)^3. 扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r) 一元二次方程公式与判别式: 一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理

初中数学最值问题典型例题(含解答分析)

中考数学最值问题总结 考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。 (2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题) 问题原型:饮马问题造桥选址问题(完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点)出题背景变式:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型: 条件:如下左图,A、B是直线l同旁的两个定点. 问题:在直线l上确定一点P,使PA PB +的值最小. 方法:作点A关于直线l的对称点A',连结A B'交l于 点P,则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三 角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. (1)求证:△AMB≌△ENB; (2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小; ②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由; (3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长。 A B A'′P l

例2、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式 (2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线M N∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.

数学微课题结题报告

微课题《小学生在数学练习中常出现的错误分析与矫正的研究》结题报告 (该微课题获区级三等奖) 课题名称:《小学生在数学练习中常出现的错误分析与矫正的研究》课题立项号:qcwkt199 课题承担人:李彩华李艳侠 所在单位:黎明小学 《小学生在数学练习中常出现的错误分析与矫正的研究》结题报告 一、课题提出的背景 建设高效课堂是推进减负增效的有效手段。基本原则是坚持以学定教,坚持减负增效,坚持全面育人。其中重点工作之一是进一步加强学法研究和指导,进一步优化学习方式,提升学生自主学习的能力。 我校有很多的外来民工子女,他们的数学思维活跃,但练习的质量不理想。如何提高学生数学练习的成效是一个迫在眉睫的问题,本课题立足于学生数学练习的错题的诊断和解决,以帮助学生在数学练习中摆脱困境,从而提高正确率、提高学生数学学习的兴趣具实用性。 二、研究的目标 通过本课题的研究,希望达到以下目标。 (1)学生重视错题的修改,养成自觉纠错的良好学习习惯。 (2)学生对错题养成反思习惯,思维水平、辨析能力得到提高。 (3)学生的数学学习准确率得到提高。 (4)通过记录、反思、归纳、整理错题,“变废为宝”,提高教师

对学生在知识点的掌握过程中将出现的错误思维有预见能力,能有效改进教学设计、作业设计及课堂教学方式,提高教学的效能。 错题是小学生数学练习题中常见的问题。在教学中,由于教师所用的策略、教学方式的不同,学生的学习效果也各不相同。另外,学生个体学习兴趣、能力、思维品质的不同也会造成不同的错误。在老师批改作业中通过对错题的反馈分析,能帮助学生更好地学习。正如皮亚杰所说的:“错误是有意义的学习所必不可少的”。因此,如何有效利用学生在数学学习中的错题,提高学生的学习效果,促进教师的教,非常值得研究。 结合区教学会议上提出的指导意见,我们希望就学生数学错题进行深入探索,希望通过对错题一般性成因进行分析,寻找提高学生思维品质的方法,指导教师改进教学策略,有效促进教学质量。更好地促进学生的反思能力的提升,增强学生的自我效能感。从这个意义上而言,本课题的研究就更具有实际价值。 三、预期的研究结果 (一)学生方面: 1、养成及时记录错题,重视错题的修改,养成自觉纠错的良好学习习惯。 2.学生对做题养成反思习惯。 3.学生的数学学习准确率得到提高。 (二)教师方面: 1.通过课堂观察、作业批改、师生沙龙研讨、调查问卷分析和规

中考数学题型及方法总结

初中数学中的固定题型及惯性思维 一、角平分线的考点 1.定义 2.性质(垂直于角的两边) 3.对称性(垂直于角 平分线,构造全等,得到中点) 二、中点的三个考点 1.斜边中线(直角与中点) 2.三线合一(等腰与中点) 3.中位线(两个中点) 附注:中点常见作辅助线方法:过其中一个端点作另一个端点所在直线的平行线交延长线与一点。如果其中一个端点所在直线有多条,要结合题目已知条件进行判断,一般以已知线段长度的为主。 三、等腰三角形的考点 1.等角对等边 2.等边对等角 3.三线合一 四、全等三角形 1.五个全等三角形的判定定理 2.对应边对应角相等 五、轴对称图形 1.角的对称性(性质) 2.线段的对称性(性质) 3.等腰三角形的对称性(三线合一) 附注:对称轴是直线,轴对称图形既可以是一个图形本身,比如等腰三角形是轴对称图形,也可以说两个图形关于某条直线呈轴对称图形。 六、勾股定理 1.勾股定理的公式 2.勾股定理的逆定理(可以用来证明直角或者一个三角形是直角三角形) 附注:利用图形证明勾股定理一般都是利用部分面积之和等于整体面积,另外记住几组常见的勾股数,3,4,5;6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 七、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系是用来确定点及图像的位置的 2.坐标轴及象限的划分

附注:如果题目说不经过第二象限,应该有两种情况,一是经过一三四象限,二是经过一三象限,做此类题目不要思维定势。 八、二次根式 1.二次根式的非负性 2.同类二次根式 3.最简二次根式 4.二次根式的比较大小 5.二次根式的加减乘除 附注:如果题目的计算结果包含根式,一定要习惯性地判断是否是最简二次根式,切记因为细节问题失分;另外代数式有意义也要注意开方数大于等于0,千万不要漏掉等号。 九、一元二次方程 1.定义(二次项系数不为0) 2.四种解法(优先考虑因式分解法,主要是十字相乘) 3.一元二次方程根的个数的判别式 4.一元二次方程根与系数的关系,即韦达定理 附注:只要一个题目是求解有关一元二次方程的根的代数式的值的题目,只有两种方法,代入法与韦达定理,如果满足韦达定理的形式就用韦达定理,除此之外,一律使用代入法。 十、二次函数 1.定义(最高次为2,二次项系数不为0) 2.二次函数的图像(开口、与X轴的交点、对称轴、顶点坐标、与Y轴的交点位置) 3.二次函数的增减性 4.二次函数的动点问题 附注:初中阶段所有函数的知识点都比较少,更多的是知识点的迁移变化与综合应用。 十一、分式方程 1.分式方程的定义(有可能考选择题) 2.分式方程的解的情况 3.已知分式方程的解的情况,求未知实数的取值范围 附注:1.增根是分式方程无解的特殊情况 2.如果告诉分式方程的解为负数,解出X之后,一方面x<0,另外千万不要忘记x不能等于增根,这个是比较容易出错的一个点。 十二、圆 1.相关定义,比如直径、圆心、弦、切线、弧、圆周角、圆心角等等 2.切线长定理 3.垂径定理 直径:直径所对圆周角是90度

数学实践活动课题结题报告

篇一:数学实践活动课题结题报告-克拉玛依市实验小学 让学生在数学实践活动中经历生活中的数学 ——《数学实践活动教学》课题结题报告 单位:新疆克拉玛依市实验小学 执笔人:张连勇丁中秋李京李佩璇黄玲王国燕赵国华张霞张婳陈苗苗王春婷白艳珍于秋霞蒋飞燕高璐郭冲张妮娜 一、课题提出的背景 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程。是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明;数学为其他科学提供了语言、思想和方法,是一切重大技术发展的基础。在《数学课程标准》中提出的学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战的理念。根据新课程标准的要求,我校着眼于改变传统的教师讲、学生听的陈旧模式,准备开展各种数学实践活动,向学生提供充分从事数学活动的机会。在经过充分的前期调研后,我校2006年11月正式向区科协、区教育局申请了《小学数学实践活动》课题。借助课题活动激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。 二、课题的界定 1.数学实践活动:是老师结合学生的有关数学方面生活经验和知识背景,引导学生以自主探索与合作交流的方式,开展的形式多样,丰富多彩的学习活动。其目的是增强学生应用数学的意识,提高学生的实践能力,为今后更有效地进行高水平的实践活动和创新活动打好基础。 2.数学实践活动学习的基本观点是:在数学实践活动教学过程中创设一些很生活息息相关的情境和途径。让学生通过主动的探索,发现和体验,学会对大量信息的收集、分析和判断,从而增进思考力和创造力。数学实践活动的学习在内容上、形式上、时间上都更具有开放性和趣味性。 三、理论依据 1.科学性原则。数学实践活动学习注重让学生把知识综合运用到科学探究的实践中去,根据小学数学的特点,将理论与实际结合起来,激发学生科学探究的实际欲望。 2.创新性原则。提出一个问题往往比解决一个问题更重要,提出一个问题,是一切新过程的基础。 3.实践性原则。引导学生从生活实际出发,发现和提出问题,鼓励学生做生活中的有心人,善于观察,勤于思考,从现实生活环境中寻找和提出有价值的研究内容和问题。 4.多样性原则。学生选择的课题将使学生利用自己已有的知识从不同角度、不同层面得到解决,探究活动形式多种多样,要鼓励学生勇于突破常规思维,寻求更新更高明的解决方案。 四、课题组的成立及前期准备 课题组对课题的选择、课题实施方案的确定、阶段研究内容和研究成果都作了细致、深入的研讨。课题组给全体家长写了一封信,通过《致家长的一封信》对家长进行了课题活动的宣传,家长们也给予了课题组热情地鼓励;同时我们还结合“数学实践活动”的实例对180名课题组学生进行了课题培训,让学生们对将要开展的课题研究有一定的了解。从而使《小学数学实践活动》课题得到有效地实施。 1.从生活中体会数学,激发学生参与课题研究的兴趣。 2006年3月立项后,我们通过多次学习,认识到这个课题就是帮助学生综合应用已有的知识和经验,经过自主探索合作交流,提出实际问题结合数学知识并进行解释和应用的过程。活动开始前期,为了更好地展开数学实践活动的数学课题研究,课题组决定先进行“寻找生活中的数学”这一活动,让学生感受到生活处处有数学,数学就是生活、学习、劳动的工具。一个月的时间,孩子们带来了他们的劳动成果:学生们有的拍摄来超市商品的价格、街上广

初中数学常用结论.

初中数学常用结论 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

中考数学动点问题最值基本题型汇总

中考数学动点问题最值基本题型汇总 一、最值类型 1.饮马型:即将军饮马型,通常为两条线段之和的最值问题,利用对称性质将其中一条线段进行转换,再利用两点之间线段最短(或三角形三边关系)得到结果。 2.小垂型:即小垂回家型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为直线,利用垂线段最短的性质得到结果。 3.穿心型:即一箭穿心型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为圆或弧,利用点与圆的位置关系得到结果。 4.转换型:即一加半型,通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题,即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换,再利用饮马或小垂或穿心。 5.三边型:即三角形三边关系关系型,通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大(小)值。 6.结合型:即以上类型的综合运用,大多为饮马+小垂、小垂+穿心、饮马+穿心饮马+转换等 ※二、分类例析 一、饮马型 例1:如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,CE=3, DE=1, 点P在AC上,则PE+PD 的最小值是_____ . 解析:如图 例2:如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD 内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为____.

解析:如下图 二、小垂型 例3:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连接DE,则DE的最小值为_________. 解析:如下图 三、穿心型 例4:如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠ABC=120°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN翻折得到△A′MN,连接A’C,则A’C长度的最小值是____. 解析:如下图

高中数学结题报告

高中数学结题报告 篇一:高一数学小课题研究结题报告 《高中数学有效课堂教学》研究课题结题报告 高一数学备课组 我组申报了课题《高中数学有效课堂教学》研究,经过近一年的实验与探索我们在学生学习小组的培训、小组成员的建设、学习小组的具体运行以及评价方面取得了一定的收效。现就课题的实践情况总结如下: 一、背景及意义: 课程改革的关键在实施,而实施的关键在课堂。受传统知识本位、考试本位的影响,当前学科教学尽管改革不断深化,课堂的人文性有所加强,但学科教学效率低下的现状没有得到根本性变革,“教什么”和“怎么教”两个问题都没有得到解决,课堂教学的同质化现象比较严重,教师问题意识偏弱,反思意识有待强化。在一种取向于功利,止步于文化的教学生态背景下,课堂教学改革的动力机制仍然缺失,学科的特色难以凸现。 陕西省XX年秋季全面进入高中新课程实验,可高中学科课堂仍然滞留于传统学科教学的框架之内,未能摆脱服务于高考的惯性思维。在具体的学科教学实践中,对新课程背景下高中学科新课堂教学和传统课堂教学的区别,新课程标准下高中学科课堂教学的任务,高中学科课堂教学有效实施

的目标、途径和方法还不太清晰。在新课程实施的具体过程中,我们的学科课堂教学面对大量的矛盾和困惑,没有达成实施课程标准的有效路径,因此我们提出“新课程标准下高中学科课堂有效教学研究”课题,开展实验研究,探讨高中学科课堂有效教学的基本形态,以期达成实施新课程标准的有效路径和方法。 二、核心概念界定 有效教学是为了提高教师的工作效益、强化过程评价和目标管理的一种现代教学理念,是指通过一段时间的教学后,教师帮助学生完成了学习任务,获得了预期的进步和发展,实现了教学目标和学生的个性发展与全面发展。主要包含三个基本要素:⑴有效果:教学活动结果要与预期的教学总目标相一致,体现教学的目标达成性;⑵有效率:师生双方为实现教育目标而投入的时间、精力及各种教育资源,教育目标得以实现,包括学生知识、技能得到增长,身心素质得以进步、成熟,个性成长,创造力获得培养以及教师素质和教学能力有了提高。⑶有效益:教学目标要与特定的社会和个人的教育需求相吻合且吻合的程度较高。 三、预期研究价值 1.理论价值: (1)积极探讨新课程实施过程中互动有效教学的新策略,包括“分层策略”、“训练策略”、“评价策略”等,丰富

初中数学代数知识点总结

初中数学代数知识点总结 一、基本知识 (一)、数与代数A、数与式: 1、实数有理数:①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算: 加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。 ②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2、实数无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。 ②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。 ②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。 ③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。4、整式与分式 A、整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。 ②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

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