【五年经典推荐 全程方略】高考数学 专项精析精炼 考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例(含解析)

考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例

一、选择题

1.（2013·上海高考理科·T18）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为

12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++?++的最小值、最大值，其中

{,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足（ ）.

A.0,0m M =>

B.0,0m M <>

C. 0,0m M <=

D. 0,0m M <<

【解析】选D.，只有0AF DE AB DC ?=?>，其余均有0i r a d ?≤，故选D ．

2.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ3）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ3）相同 已知向量()()()()

1,1,2,2,,==+=++⊥-m n m n m n λλλ若则（ ）

A.4-

B.-3

C.2-

D.-1 【解题指南】利用(m n)

+(m n)⊥-得(m n)+(m n)0?-=化简求解.

【解析】选B.因为(m n)+(m n)⊥-，所以(m +n)u r r

22

(m n)|m ||n |0?-=-=，

即-++1)1(2λ2(λ

+2)-4=0，解得3-=λ.

3. （2013·湖南高考理科·Ｔ6）已知,a b 是单位向量，a b =0.若向量c 满足

1,--=c a b c 则的取值范围是（ ）

A ．??

B ．??

C ．1???

?

D ．1???

?

【解题指南】本题首先弄懂向量b a ,是一组正交基底，且2||=+b a ，构造)(b a c d +-=，

当1||=时，利用圆的知识可求得结果。

【解析】选A .条件1,--=c a b 可以理解成如图的情况，

2=

+，向量c 的终点在单位圆上，故|c |1

最小值是12-，故选A.

4. （2013·重庆高考理科·Ｔ10）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==，

12AP AB AB =+．若12

OP <，则OA 的取值范围是

A. B. C. D. 【解析】选D.因为⊥,

所以·=(-)·(-) =·-·-·+=0, 即·-·

-·=-, 因为=+，所以-

=

-+

-,

即

=+-. 因为||=||=1, 所以=1+1++2(

·-·-·)=2++2(-)=2-,

因为|

|<1

2

,所以0≤<

14

, 所以0≤2-<,

所以<

≤2,即||∈

.

5.（2013·安徽高考理科·Ｔ9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足

2,OA OB OA OB ===则点集{P|OP =λOA +μOB,λ+μ≤1,λ,μ∈R}所表示的区

域的面积是 （ ）

A.

D.【解题指南】根据题设条件作出点集P 所在的区域计算其面积即可。 【解析】选D.因为2,OA OB OA OB ===所以1cos ,23

<>=?∠=OA OB AOB π

， 又λ+μ≤1，

故|λ|≤1-|μ|≤1?-1≤λ≤1，同理可得-1≤μ≤1，满足

{P|,1,,}=++≤∈OP OA OB R λμλμ

λ

μ的点所在的区域如图所

示，其中?AOB 是正三角形，其面积为

111...sin 22

232==??=S OAOB π1=4S S =。

6.（2013·湖南高考文科·Ｔ8）.已知,a b 是单位向量，a b =0.若向量c 满足1,--

=c a b 则

c 的最大值为（ ）

1

12 【解题指南】本题首先弄懂向量b a ,是一组正交基底，且2||=+b a ，构造)(b a c d +-=，

当1||=

时，利用圆的知识可求得结果。

【解析】选C ，条件1,--=c a b 可以理解成如图的情况

而

a b

2+=，向量c 的终点在单位圆上动，故|c |1

7.（2013·福建高考文科·Ｔ10）与（2013·福建高考理科·Ｔ7）相同

在四边形()()1,2,4,2,

ABCD AC BD ==-中，

则该四边形的面积为

（ ） A B ．C ．5 D ．10

A /

B /

O

B

A

【解题指南】先计算AC 与BD 的位置关系,再利用面积公式求解.

【解析】选C ．因为0?=AC BD ,所以,AC BD

是互相垂直的对角线，所以

11

||||522

S AC BD =

?==． 8. （2013·浙江高考理科·Ｔ7）设△ABC ，0P 是边

AB 上一定点，01

4

P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ??≥，则（ ）

A. 90ABC ∠=

B. 90BAC ∠=

C. AB AC =

D. AC BC = 【解题指南】由于P 是AB 边上任一点，所以可设PB AB λ=，再由数量积和已知不等式求解.

【解析】选D. 设PB AB λ= (01)λ≤≤，PC PB BC AB BC λ=+=+，0PC = 01

4

P B BC AB BC +=

+，因为00PB PC P B PC ??≥，所以()

AB AB BC λλ+≥ 1144AB AB BC ??+ ???，所以22110164AB AB BC λλ????-+-? ? ?????≥，即14λ?

?- ??? 2104AB AB BC λ????++? ???????≥，当14λ≥时，214AB BC

AB

λ-?+≥对14λ≥恒成立，即 1cos 2BC B AB ≤，所以12cos AB B BC ≤；当104λ≤＜时，2

14AB BC AB λ-?+≤恒成立，所以12cos AB B BC ≥，综上可得12cos AB B BC

=，又222cos 2AB BC AC

B AB B

C +-=?

所以2

2

BC AC =，即AC BC =. 二、填空题

9. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ13）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ13）相同 已知两个单位向量，的夹角为60°，b t a t c )1(-+=，若0b c ?=，则=t _____. 【解题指南】由于条件中给出了0=?，所以可以将t t )1(-+=的两边同时乘以b 进

行求解.

【解析】由t t )1(-+=得，0)1(2

=-+?=?t t ， 解得0||)1(60cos ||||2=-+b t b a t ， 化简得

0)1(2

1

=-+t t ，所以2=t . 【答案】2.

10. （2013·天津高考文科·Ｔ12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若·

1=AC BE , 则AB 的长为 . 【解题指南】根据向量的加法及平面向量的基本定理由,AD AB 表示AC ,BE ，再·1=A

CB E 求AB 的长.

【解析】因为=+AB AD AC ,11

22

=++=-++=-BE BA AD DE AB AD AB AD AB , 所以22111

·()()222

=+?-

=+?-AC BE AB AD AD AB AD AD AB AB 211

11cos601,22

=+???-=AB AB

所以

2110,42-=AB AB 解得1.2

=AB 【答案】

1

2

11. （2013·浙江高考文科·Ｔ17）与(2013·浙江高考理科·T17)相同

设12,e e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+， ,x y R ∈.若12,e e 的夹角为6π

，则x b

的最大

值等于_________. 【解题指南】求

x b

的最大值，可以先计算

22

x b

的最大值.

【解析】

()

22

22

2

2

2222121

2

22cos 6

x x x x x y xye e b

xe ye x y xy π

=

==++?+++ 2

=，当0x ≠时，2

22211x y b x =++，令y t x =，则

2

2221

41

4

x

t b t ==+?+

??≤，所以x b 的最大值为2. 【答案】2

12. （2013·重庆高考文科·Ｔ14）OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3,1)OA =-，

(2,)OB k =-，则实数k = .

【解题指南】可根据题意先求出向量的坐标,再利用AB OA ⊥求解. 【解析】)1,1()1,3(),2(-=---=-=k k ,因为AB OA ⊥ 所以0=?AB OA ,即013=-+-k ,解得4=k . 【答案】4

13.（2013·安徽高考文科·Ｔ13）若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |=|a +2b |，则a 与b 夹角的余弦值为______

【解题指南】 利用向量数量积的公式计算。

【解析】由|a |=|a +2b |，等式两边平方得2

2

2

+4.4.a a b b a a b

b +=?-，所以

2

2

.1cos ,3||.||3||

a b b a b a b b -<>===-

【答案】1

3

-

14.（2013·上海高考文科·T14）已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c .若

i,j,k,l ∈{}321，，且i≠j,k≠l ，则(

)j i a +a ·()

l k c c +的最小值是 .

【解析】 根据对称性得，

的模最大时

互为相反向量，且它们与当向量)()(l k j i c c a a ++

,,,,))((CB c CA c AD a AC a c c a a l k j i l k j i ====++最小。这时，

5|)|))((2-=+-=++j i l k j i a a c c a a 。

【答案】 -5

15. (2013·山东高考理科·T15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且|AB |=3,| AC |=2,若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥,则实数λ的值为 . 【解题指南】本题考查了向量的线性运算及数量积运算.

【解析】向量AB 与AC 的夹角为120°,且|AB |=3,| AC |=2, 所以1

cos1200-32 3.2

AB AC AB AC ==??=- 由AP BC ⊥得, =0AP BC ， 即=0AP BC λ（AB+AC ）（AC-AB ）=， 所以2

2

(1)0,AC AB AB AC λλ-+-= 即4-9λ-3(λ-1)=0,解得λ=712

【答案】

712

16. （2013·山东高考文科·Ｔ15）在平面直角坐标系xOy 中,已知OA =(-1,t), OB =(2,2),若∠ABO=90°,则实数t 的值为 .

【解题指南】本题考查了向量的线性运算及数量积运算.可先求出AB ,由∠ABO=90°,则

0AB OB =,即可求出t 的值.

【解析】AB OB OA =-= (2,2)-(-1,t)=(3,2-t),因为∠ABO=90°,所以⊥

,

所以

·

=0,3×2+2×(2-t)=0,所以t=5.

【答案】5.

17. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ14）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T13)相同 已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ? = . 【解题指南】建立坐标系,确定各关键点的坐标,求得数量积AE BD ?.

【解析】以点B 为原点,直线BC 为x 轴,建立平面直角坐标系,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),所以AE =(2,-1), BD =(2,2),所以AE BD ?=2. 【答案】2

18.（2013·江西高考理科·Ｔ12）设1e ，2e 为单位向量.且1e 、2e 的夹角为

3

π

，若12a e 3e =+，1b 2e =，则向量a 在b 方向上的射影为________.

【解题指南】向量a 在b 方向上的射影为a cos θa b b

?=

，进而问题转化为求向量a ,b 的数

量积与向量b 的模.

【解析】设a,b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向上的射影为a cos θa b a

a b

?=

a b b

?=

，而a b ?=122(e 3e )2e +?26cos

3

π

=+5=，b 2=，所以所求为52.

【答案】

5

2

. 三、解答题

19.(2013·江苏高考数学科·T15)已知a (cos ,sin )b (cos ,sin )ααββ=＝，,0<β<α<π. （1）若|a b |2-=，求证：a b ⊥；

（2）设c (0,1)=，若a b c +=，求βα,的值。

【解题指南】（1）利用|a b |2-=确定出a b ?的值，（2）a b c +=建立与βα,有关的方程求出βα,的值。

【解析】（1）|a －b |2

＝2，即(a －b )2

=a 2

-2a ·b +b 2

=2.

又因为a 2

=b 2

=|a |2

=|b |2

=1,所以2-2a ·b =2,即a ·b =0,故a ⊥b .

（2）因为a b + = (cos α +cos β, sin α+sin β)= (0, 1),

所以cos cos 0

sin sin 1

+=??

+=?αβαβ，由此得cos α=cos(π-β), 由0<β<π,得0<π-β<π,又0<

α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β=,而α>β,所以，α＝65π，β＝6

π．