高中数学必修1函数及其表示题型总结

函数及其表示

考点一 求定义域的几种情况

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 Card(A)=m,card(B)=n, m,n ∈N

*

,则从A 到B 的映射个数为n m

。简单说成“前指后底”。

方法技巧清单

方法一 函数定义域的求法

1．（2009江西卷文）函数y x

=的定义域为 （ ）

A ．[4,1]-

B ．[4,0)-

C ．(0,1]

D ．[4,0)(0,1]-

解析 由20340x x x ≠?

?--+≥?得40x -≤<或01x <≤,故选D.

2．（2009江西卷理）函数

y =

的定义域为 ( )

A ．(4,1)--

B ．(4,1)-

C ．(1,1)-

D ．(1,1]-

解析 由2101

1141

340x x x x x x +>>-????-<

-<<--+>??.故选C 3.（2009福建卷文）下列函数中，与函数y

= 有相同定义域的是 ( )

A .()ln f x x = B.1

()f x x

= C. ()||f x x = D.()x f x e = 解析 由y

=

可得定义域是0.()ln x f x x >=的定义域0x >；1()f x x =的定义域是x ≠0；()||

f x x =

的定义域是;()x x R f x e ∈=定义域是x R ∈。故选A. 4.（2007年上海）函数

)

4lg(-=

x y 的定义域是 ． 答案 {}34≠

1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y=5

5

x

和x

y 2

=

B.y=ln e x 和e

x

y ln =

C.()()()()3131+=-+-=

x y x x x y 和 D.x

x y y 0

01

==和

2．函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点个数为

A. 0个

B. 1个

C. 0个或1个

D. 不能确定 3．已知函数y=22

-x 定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为

2（2010天津文数）设函数2

()2()g x x x R =-∈，

()4,(),

(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是

（A ）9,0(1,)4??-?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??

-?+∞????

【解析】依题意知2222

2(4),2()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??，2

2

2,12

()2,12x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或

ⅱ求分段函数函数值

3．（2010湖北文数）3.已知函数3log ,0()2,0

x

x x f x x >?=?≤?，则1

(())9f f = A.4 B.

1

4

C.-4

D-14

【解析】根据分段函数可得311()log 29

9

f ==-，则211(())(2)29

4

f f f -=-==，所以B 正确.

ⅲ解分段函数不等式

4.（2009天津卷文）设函数?

??<+≥+-=0,60

,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）

A.),3()1,3(+∞?-

B.),2()1,3(+∞?-

C.),3()1,1(+∞?-

D.)3,1()3,(?--∞ 答案 A 解析 由已知，函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。当0f x f ，解得313><<-x x 或

5．（2009天津卷理）已知函数???<-≥+=0

,

40,

4)(2

2x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a

的取值范围是 A (,1)(2,)-∞-?+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-?+∞ 解析：由题知)(x f 在R 上是增函数，由题得a a >-22，解得12<<-a ，故选择C 。

6.（2009北京理）若函数1

,0()1(),0

3

x x x

f x x ?

解析 （1）由0

1|()|301133x f x x x

2）由001|()|01111133333x x x x f x x ≥?≥???

≥???≤≤??????≥≥ ? ?????

????. ∴不等式1

|()|3

f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-.

7。（2010天津理数）若函数f(x)=21

2

log ,0,log (),0x x x x >??

?-f(-a),则实数a 的取值范围是

（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）

【答案】C 由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。

2112220a<0()()log log log ()log ()a f a f a a a a a >????

>-???>->-????或001-10112a a a a a a a

<>??????><????或或 【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。 ⅳ解分段函数方程

8．（2009北京文）已知函数3,1,

(),1,x x f x x x ?≤=?->?

若()2f x =，则x = .

.w 解析 5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值. 属于基础知识、基本运算的

考查.

由31log 232x x x ≤??=?=?，1

22x x x >??-=?=-?

无解，故应填3log 2.

1. (2009山东卷理)函数x

x

x x e e y e e

--+=-的图像大致为

( ).

D

解析 函数有意义,需使0x x e e --≠,其定义域为

{}

0|≠x x ,排除C,D,又因为

22212111

x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.

2.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是

（ ）

A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面

B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面

C. 在0t 时刻，两车的位置相同

D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面 解析 由图像可知，曲线甲v 比乙v 在0～0t 、0～1t 与x 轴所围成图形面积大， 则在0t 、1t 时刻，甲车均在乙车前面，选A.

3.（2009江西卷文）如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动， 速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象

( )

解析 由图可知，当质点(,)P x y 在两个封闭曲线上运动时，投影点(,0)Q x 的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A 错误；质点(,)P x y 在终点的速度是由大到小接近0，故D 错误；质点(,)P x y 在开始时沿直线运动，故投影点(,0)Q x 的速度为常数，因此C 是错误的，故选B . 4（2010山东理数）(11)函数y =2x -2x 的图像大致是

V t

【解析】因为当x=2或4时，2x -2x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2x -2x =1

4<04

-，故排除D ，所

以选A 。

5（2010安徽文数）设0abc >,二次函数2()f x ax bx c =++的图像可能是

【解析】当0a >时，b 、c 同号，（C ）（D ）两图中0c <，故0,02b

b a

<-

>，选项（D ）符合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑.另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.

1.（2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( ) A.()f x 是偶函数 B.()f x 是奇函数 C.()(2)f x f x =+ D.(3)f x +是奇函数 答案 D 解析 (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，

(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，

∴ 函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。故选D

2.(2009山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ?

??>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，

则f （2009）的值为 ( )

A.-1

B. 0

C.1

D. 2

答案 C 解析 由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,

(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,

(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C.

3.（2009江西卷文）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=）

，且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+）

，则(2008)(2009)f f -+的值为

（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

答案 C 解析 12

22(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=,故选C.

方法九 函数奇偶性和对称性考察 1.（2009全国卷Ⅱ文）函数2

2log 2x

y x

-=+的图像 （ ）

（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称

答案 A 解析 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A 。

2．（2010重庆理数）(5) 函数()41

2

x x f x +=的图象

A. 关于原点对称

B. 关于直线y=x 对称

C. 关于x 轴对称

D. 关于y 轴对称

解析：)(2

41214)(x f x f x

x

x x =+=+=--- )(x f ∴是偶函数，图像关于y 轴对称 方法十 函数奇偶性和单调性的考察

1.(2009山东卷文)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则

( ).

A.(25)(11)(80)f f f -<<

B. (80)(11)(25)f f f <<-

C. (11)(80)(25)f f f <<-

D. (25)(80)(11)f f f -<<

答案 D 解析 因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =,得

)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)f x f x

-=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.

2.（2009全国卷Ⅱ文）设2lg ,(lg ),a e b e c ===

（ ）

（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>

答案 B 解析 本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=2

1

lge, 作商比较知c>b,选B 。

3.（2009辽宁卷文）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1

()3

f 的x 取值范围

是 ( )

（A ）（13，23） B.［13，23） C.（12，23） D.［12，2

3

）

答案 A

解析 由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x －1|)＜f(1

3

),再根据f(x)的单调性得|2x －1|＜

13 解得13＜x ＜23

4.（2009陕西卷文）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121

()()

0f x f x x x -<-.

则

( )

(A)(3)(2)(1)f f f <-< B.(1)(2)(3)f f f <-< C. (2)(1)(3)f f f -<< D.(3)(1)(2)f f f <<- 答案 A 解析 由2121()(()())0x x f x f x -->等价，于

2121

()()

0f x f x x x ->-则()f x 在

1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在

1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得

(3)(2)(1)f f f <-<,故选A.

5.(2009陕西卷理)定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意 的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->. 则当*n N ∈时,有

( )

(A)()(1)(1)f n f n f n -<-<+ B.(1)()(1)f n f n f n -<-<+ C. C.(1)()(1)f n f n f n +<-<- D.(1)(1)()f n f n f n +<-<- 答案 C

6.（2009

江苏卷）已知1

2

a =，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 . 解析

(0,1)a =

，函数()x f x a =在R 上递减。由()()f m f n >得：m

x x x x x x f x f x x x f x f x f x f x f x f n f n f n f n f n f n ∈-∞≠?-->?>>?-∞?+∞∴+<<-?+<-<-解析：时，在为增函数为偶函数在，为减函数

而n+1>n>n-1>0,

7．（2010安徽文数）（7）设232555

322555

a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是

（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a

7.A 【解析】25

y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2

()5

x y =在0x >时是减函数，所以c b >。

方法十一抽象函数的解法

1.（2009四川卷理）已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

(1)(1)()xf x x f x +=+，则5

(())2f f 的值是

( ) A.0 B.12 C.1 D.5

2

答案 A 解析 令21-

=x ，则0)2

1

()21(21)21(21)21(21=?=-=-f f f f ；令0=x ，则0)0(=f 由(1)(1)()xf x x f x +=+得)(1

)1(x f x

x x f +=

+，所以 0)0())25

((0)21(2

12335)23(35)23(2325)25(==?=?===f f f f f f f ，故选择A 。

2.(2009山东卷理)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++= 答案 -8解析 因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由

)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以

函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-

方法十二 对数函数的考察

3（2010全国卷1文数）(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞

C 【命题意图】做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=1

2a a

+

≥,从而错选D,【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1

a a

+又0

0

=+

1

由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).

【解析2】由0

，化为求z x y =+的取值

范围问题，z x y y x z =+?=-+，211

1y y x x

'=?=-<-?过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞

4（2010全国卷1理数）（10）已知函数f (x )=|lg x |.若0

(A))+∞

(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞

方法十三函数创新题的解法

1.(2009浙江理）对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x ?∈R 且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-．下列结论中正确的是 ( )

A ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα??∈

B ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且()0g x ≠，则

12

()

()f x M g x αα∈ C ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα++∈ D ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈ 答案 C 解析 对于21212

1()()()()x x f x f x x x αα--<-<-，

即有2121

()()

f x f x x x αα--<<-，令

2121

()()

f x f x k x x -=-，有k αα-<<，不妨设1()f x M α∈，2()

g x M α∈，即有11,f k αα-<<22g k αα-<<，

因此有1212f g k k αααα--<+<+，因此有12()()f x g x M αα++∈． 2.（2009福建卷理）函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b

x a

=-

对称。据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2

()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是

( )

A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64

答案 D 解析 对方程2[()]()0m f x nf x P ++=中,,m n p 分别赋值求出()f x 代入()0f x =求出检验即得.