选修2-2 3.3 导数在研究函数中的应用

选修2-2 3.3导数及其应用

一、选择题

1．函数()2

2)(x x f π=的导数是（C ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(='

2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（A ）

(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0

3．已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，

，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ B ）

A ．()0()0f x g x ''>>，

B ．()0()0f x g x ''><，

C ．()0()0f x g x ''<>，

D ．()0()0f x g x ''<<，

4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ A ）

（A ） 10<b （D ） 2

1

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ A ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++=

6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．2

2

e 7．设()

f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）

二．解答题

8．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．

（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．

9．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐

标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足?4PA PB =,.求(Ⅰ)求点A B 、的坐标；(Ⅱ)求动点P 的轨迹方程.

10. 已知函数32()23 3.f x x x =-+

（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；

（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.

11．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3

)(23

（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。（2）当R a ∈时，讨论函数的单调增区间。

选修2-2 3.3导数及其应用答案

1-7 CABAA DD

8．解：（1）2()663f x x ax b '=++，

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．

即6630241230a b a b ++=??++=?，．

解得3a =-，4b =．

（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．

当(01)x ∈，

时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．

因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 2

98c c +<， 解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．

9．解: (1)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或

当1-'x f ,当1>x 时,0)(<'x f

所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f ,所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.

(2) (2) 设(,)p x y ，()()221,1,4144PA PB x y x y x y x ?=---?--=-+-=， 即 22

(2)9x y -+=

10．解（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-==

∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；

（2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-

令()0,0g x x '==或1.

则,(),()x g x g x '的变化情况如下表

由()g x 的简图知，当且仅当(0)0,(1)0g g >??

?-<<-?+

时， 函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.

所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--

11．（1）(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增;

（2）1、当,0=a (),2,-∞-∈x )(x f 递增;

2、当,0

? ??∈a x )(x f 递增;

3、当,10<

? ??+∞∈a x )(x f 递增;

当,1=a (),,+∞∞-∈x )(x f 递增;

当,1>a ,2,??? ?

?∞-∈a x 或(),,2+∞∈x )(x f 递增;