概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章

第三章 多维随机变量及其分布

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X ，Y 如下：

????

?= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品

,1,,0X

????

?=

若第二次取出的是次品

若第二次取出的是正品,1,,0Y

试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=362512101210=? P (X=0, Y=1 )=365

1221210=? P (X=1, Y=0 )=365

1210122=? P (X=1, Y=1 )=

36

1

122122=? 或写成

（2）不放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 }=6645

1191210=? P {X=0, Y=1 }=

6610

1121210=?

P {X=1, Y=0 }=6610

1110122=

? P {X=1, Y=1 }=

66

1

111122=

? 或写成

3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示Y 的联合分布律。

解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为

P {X=0, Y=2 }=

35

1

47

2

22

2=

C C C P {X=1, Y=1 }=

35

64

7

2

2

1213=

C C C C P {X=1, Y=2 }=

35

647

1

2

221

3=

C C C C P {X=2, Y=0 }=

35

34

7

2

223=

C C C P {X=2, Y=1 }=

35

12

4

7

1

2

1223=

C C C C

P {X=2, Y=2 }=

35

347

2

223=

C

C C P {X=3, Y=0 }=

35

24

7

1

233=

C C C P {X=3, Y=1 }=

35

24

7

1

233=

C C C P {X=3, Y=2 }=0

5.[三] 设随机变量（X ，Y ）概率密度为??

???<<<<--=其它,04

2,20),6(),(y x y x k y x f

（1）确定常数k 。 （2）求P {X <1, Y <3} （3）求P (X <1.5}

（4）求P (X+Y ≤4}

分析：利用P {(X , Y)∈G}=??

???=

o

D G G

dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其

中??

?

???????<<<<=42,20),(y x y x D o

解：（1）∵???

?

+∞∞

-+∞

∞

---=

=

20

12

)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8

1

=

k （2）8

3)6(81)3,1(32

10

?

?

=--=

<

Y X P （3）32

27)6(8

1),5.1()5.1(42

5.10

=

--=∞<≤=≤?

?

dy y x dx Y X P X P

（4）3

2

)6(81)4(40

20

=

--=

≤+?

?

-dy y x dx

Y X P x 6．（1）求第1题中的随机变量（X 、Y

（2）求第2题中的随机变量（X 、Y 解：（1）① 放回抽样（第1题）

0 3625

365 1

36

5 361

边缘分布律为 X 0

1

Y 0

1

P i ·

6

5

6

1

P ·j

6

5

6

1

② 不放回抽样（第1题）

0 6645

6610

1

66

10

66

1 边缘分布为 X 0

1

Y 0

1

P i ·

6

5

6

1

P ·j

6

5

6

1

（2）（X ，Y ）的联合分布律如下

解： X 的边缘分布律

Y 的边缘分布律 X 0 1

2

3

Y

1

3

P i ·

8

1

8

3

83

8

1 P ·j

8

6

8

2

7.[五] 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

????

?≤≤≤≤-=其它

求边缘概率密度

.

0,10)

2(8.4),(x y x x y y x f

解：?????≤≤-=-==

?

?

∞

+∞

-其它

10)

2(4.2)2(8.4),()(0

2

x x x dy x y dy y x f x f x X

?????≤≤+-=-==

??

∞

+∞

-其它

10)

43(4.2)2(8.4),()(1

2y y y y dx x y dx y x f y f y

Y

8.[六] 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

??

?

?

?<<=-.,00,),(其它y x e y x f y 求边缘概率密度。 解:???

??≤>===

?

?

+∞--∞

+∞

-0,

00,),()(x x e dy e dy y x f x f x

x

y X ??

?

?

?≤>===

?

?

--∞

+∞

-,

0,

0,0,),()(0

y y ye dx e

dx y x f y f y y

y

Y

9.[七] 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为??

?

??≤≤=其它,01

,),(22y x y cx y x f

（1）试确定常数c 。（2）求边缘概率密度。 解: l=?

?

?

?

?

∞+∞

-+-

∞+∞

-=

?===

4

21

21432),(10

25

2

10

c c dy y c

ydx cx dy

dxdy y x f y y

??

???

≤--==?,01),1(8

21421)(~4

2122x x ydy x x f X x X ??

?

??≤≤==?+-

其它

102

74

21)(~2

5

2

y y

ydx d y f Y y y

Y

15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立。 解：放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =36

25

P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=365 P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=365 P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=

36

1 在放回抽样的情况下，X 和Y 是独立的 不放回抽样的情况：

P {X=0, Y=0 } =

66

45

1191210=?

P {X=0}=

6

5

1210=

P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=

6

5

11101121191210=

?+? P {X=0}·P {Y=0} =

36

256565=

? P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}

∴ X 和Y 不独立

16.[十四] 设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布。Y

的概率密度为??

???≤>=.0,00

,21)(2y y e y f y

Y

（1）求X 和Y 的联合密度。（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

解：（1）X 的概率密度为????

?∈=其它

,0)

1,0(,1)(x x f X

Y 的概率密度为

??

???≤>=-.0,00

,21)(2y y e y f y

Y 且知X , Y 相互独立，

于是（X ，Y ）的联合密度为

??

???><<==-其它

00

,102

1)()(),(2

y x e y f x f y x f y

Y X

（2）由于a 有实跟根，从而判别式0442

≥-=?Y X

即：2X Y ≤ 记}0,10|),{(2

x y x y x D <<<<= dx e

de

dx dy e

dx dxdy y x f X Y P x

x

y y D

x

??

?

??

?

?

-

-

-

-

=-==

=

≤10

1

2

2

2

1

2

2

2

2

12

1),()(

1445

.08555.013413.05066312.21)

5.08413.0(21))2()1((2121210

2

2

=-=?-=--=Φ-Φ-=?

-=?

-

πππ

πdx e

x

19.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

???

?

?≤>=-0

0,)(t t te t f t

并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）设第一周需要量为X ，它是随机变量 设第二周需要量为Y ，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为

???

?

?≤>=-0

0,)(t t te t f t

Z=X+Y 表示两周需要的商品量，由X 和Y 的独立性可知：

?

?

?>>=--其它

00,0),(y x ye xe y x f y

x

∵ z ≥0

∴ 当z<0时，f z (z ) = 0

当z>0时，由和的概率公式知

z

y

z y z y x z e

z

dy ye

e y z dy

y f y z f z f ----∞+∞-=

?-=

-=

?

?6

)()()()(3

)

(

∴

??

?

??≤>=-0

00,6

)(3z z e z z f z z

（2）设z 表示前两周需要量，其概率密度为??

?

??≤>=-0

00,6

)(3z z e z z f z

z

设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：

???

?

?≤>=-0

0,)(x x xe x f x ξ

z 与ξ相互独立 η= z +ξ表示前三周需要量 则：∵η≥0， ∴当u <0， f η(u ) = 0

当u>0时

u y

u y u ξηe u dy ye e y u dy

y f y u f u f ----∞+∞-=?-=

-=

?

?120

)(6

1)()()(5

)(3 所以η的概率密度为

??

?

??≤>=-0

00120

)(5u u e u u f u

η

22.[二十二] 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X 1，X 2，X 3，X 4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：

22

20

2)160(20

21)(?--

?=

t T e πt f

8413

.0)

20

60

180(

2120

16020

2)160(20

1

21

)180(}180{1

2

1802

2

2

查表

令-Φ==-?-==

?

∞

--

∞

-du e

u

t dt

t F X f u

X π

π

设N=min{X 1，X 2，X 3，X 4}

P {N>180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180}

=P {X >180}4

={1－p [X<180]}4

= (0.1587)4

=0.00063 27.[二十八] 设随机变量（X ，Y ）的分布律为

（1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0} （2）求V=max (X , Y )的分布律 （3）求U = min (X , Y )的分布律 解：（1）由条件概率公式

P {X=2|Y=2}=}

2{}

2,2{===Y P Y X P

=08.005.005.005.003.001.005

.0+++++

=

2.025

.005

.0= 同理

P {Y=3|X=0}=

3

1 （2）变量V=max {X , Y }

显然V 是一随机变量，其取值为 V ：0 1 2 3 4 5

P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0

P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =0.01+0.02+0.01=0.04

P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16

P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28

P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3} =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24

P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ ……+ P {X=5，Y=3}

=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28

（3）显然U的取值为0，1，2，3

P {U=0}=P {X=0，Y=0}+……+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}

+ ……+ P {Y=0，X=5}=0.28

同理P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17

或缩写成表格形式

（2）V0 1 2 3 4 5

P k0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28

（3）U0 1 2 3

P k0.28 0.30 0.25 0.17

（4）W=V+U显然W的取值为0，1， (8)

P{W=0}=P{V=0 U=0}=0

P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}

∵V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能

上式中的P{V=0，U=1}=0，

又P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=0.2

故P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}=0.2

P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1}

= P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1}

=0.03+0.01+0.02=0.06

P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1}

= P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1}

+ P{X=1，Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13

P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2}

=P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3}

+ P{X=2，Y=2} =0.19

P {W =5}= P {V+U=5}=P {V =5, U =0}+ P {V =5，U =1}

+P {V =3，U =2} =P {X =5 Y =0}+ P {X=5，Y=1} +P {X=3，Y=2}+ P {X=2，Y=3} =0.24

P {W =6}= P {V+U=6}=P {V =5, U =1}+ P {V =4，U =2}

+P {V =3，U =3} =P {X =5，Y =1}+ P {X=4，Y=2} +P {X=3，Y=3} =0.19

P {W =7}= P {V+U=7}=P {V =5, U =2}+ P {V =4，U =3}

=P {V =5，U =2} +P {X =4，Y =3}=0.6+0.6=0.12

P {W =8}= P {V+U=8}=P {V =5, U =3}+ P {X =5，Y =3}=0.05 或列表为 W 0 1

2

3

4

5

6

7

8

P

0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05

[二十一] 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

???

?

?+∞<<<<=+-其它

,0

0,10,),()(y x be y x f y x

（1）试确定常数b ；（2）求边缘概率密度f X (x )，f Y (y ) （3）求函数U =max (X , Y )的分布函数。 解：（1）]1[),(11

10

)

(-+∞

+-+∞∞

-+∞

∞

--==

=

??

??

e

b dx dy be

dx dy y x f y x

∴ 1

11

--=

e

b

（2）?

+∞

∞

-=

dy y x f x f X ),()(

??

???<<-=≥≤=--∞++-?

1

0,1100

10)(x e e

dy be

x x x

y x 或

???

??>=≤==

-+-+∞

∞

-?

?

0,0

),()(10

)

(y e dx be y dx

y x f y f y

y x Y （3）F u (ω)=P {U ≤ u }=P {u Y X ≤),max()=P {X ≤ u , Y ≤ u }

=F (u , u )= ??

∞-∞

-u u

dy dx y x f ),(

u<0, F U (u ) = 0

??

--+---=

=

<≤u

u

u

y x U e

e

dy dx be

u F u 0

1

2

)

(1)

1()(,10

??

-+--==

≥u

u

y x U e

dy dx be

u F u 0

1

)

(1)(,1