初中函数综合试题(附答案)

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

中考试题分类汇编--函数综合题

1. 如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为 斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角．

（1）若二次函数y ＝－x 2

－2

5

kx ＋（2＋2k －k 2）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式；

（2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．

2．已知抛物线2y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，

，，． （1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值． （3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM

解：（1）解方程组01342k b

k b =-+??-=++?

3．如图9，抛物线y=ax 2

+8ax+12a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上

另有一点C 在第一象限，满足∠ ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC. (1) 求线段OC 的长.

(2) 求该抛物线的函数关系式．

(3) 在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？ 若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在， 请说明理由.

5．已知如图，矩形OABC 的长OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）；

（2）若P ，A 两点在抛物线y=－3

4 x 2+bx+c 上，求b ，c 的值，

并说明点C 在此抛物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在

一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，二资助函数c bx x y ++=2的图象经过点M （1，—2）、N （—1，6）.

（1）求二次函数c bx x y ++=2的关系式.

（2）把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离.

7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数62

1

,+-

==x y x y 的图象交于点A 。动点P 从点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PQMN ，设它与△OAB 重叠部分的面积为S. （1）求点A 的坐标.

（2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动时间t （秒）的关系式.

（3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.

（4）若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN 与△OAB 重叠部分面积最大时，运动时间t 满足的条件是____________.

8．已知一次函数y=3+m(O

(1)直线AC 的解析式为________，直线l '的解析式为________ (可以含m)；

(2)如图，l 、l '分别与△ABC 的两边交于E 、F 、G 、H ，当m 在其范围内变化时，判断

四边形EFGH 中有哪些量不随m 的变化而变化?并简要说明理由；

(3)将(2)中四边形EFGH 的面积记为S ，试求m 与S 的关系式，并求S 的变化范围； (4)若m=1，当△ABC 分别沿直线y=x 与y=3x 平移时，判断△ABC 介于直线l ，l '之间部分的面积是否改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由)

9． 如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A

是方程x 2

-18x+72=0的两个根，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，OD=2CD ． (1)求点C 的坐标；

(2)求直线AD 的解析式； (3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

10. 在平面直角坐标系中,已知A (0,2),B (4,0),设P 、Q 分别是线段AB 、OB 上的动点,它们同时出发,点P 以每秒3个单位的速度从点A 向点B 运动,点Q 以每秒1个单位的速度从点B 向点O 运动.设运动时间为t (秒).

(1)用含t 的代数式表示点P 的坐标; (2)当t 为何值时,△OPQ 为直角三角形?

(3)在什么条件下,以Rt △OPQ 的三个顶点能确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式.

11．已知：抛物线m x x y --=22

（m>0）与y 轴交于点C ，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′点.

（1）求C 点、C ′点的坐标（可用含m 的代数式表示）

（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 点的坐标（可用含m 的代数式表示） （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长.

12．抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（ ）

A ．（1，1）

B ．（-1，1）

C ．（-1，-1）

D ．（1，-1）

13．如图，△OAB 是边长为2O 是坐标原点，顶

点B 在y 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF.

（1）当A ′E//x 轴时，求点A ′和E 的坐标； （2）当A ′E//x 轴，且抛物线2

16

y x bx c =-

++经过点A ′和E 时，求抛物线与x 轴的交点的坐标；

（3）当点A ′在OB 上运动，但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形？若能，请求出此时点A ′的坐标；若不能，请你说明理由.

14.已知抛物线y=x2—4x+1.将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长

度，得到一条新的抛物线. ⑴求平移后的抛物线解析式;

⑵若直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m 的取值范围;

⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax2+bx+c(a ＞0，b ＜0)，并将此抛物线沿x 轴方向向左平移 -b

a

个单位长度，试探索问题⑵．

15.直线1y x =+分别与x 轴、y 轴交于B 、A 两点． ⑴求B 、A 两点的坐标；

⑵把△AOB 以直线AB 为轴翻折，点O 落在平 面上的点C 处，以BC 为一边作等边△BCD 求D 点的坐标．

16．已知抛物线y=ax 2

+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x≥0时，其图象如图所示．

(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

(2)画出抛物线y=ax 2

+bx+c 当x<0时的图象；

(3)利用抛物线y=ax 2+bx+c,写出x 为何值时，y>0．

(第16题)

17．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，B(5，0)，M 为等腰梯形OBCD 底边OB 上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60°． (1)求直线CB 的解析式： (2)求点M 的坐标；

(3)∠DMC 绕点M 顺时针旋转α(30°<α<60°)后，得到∠D 1MC 1(点D 1，C 1依次与点D ，C 对应)，射线MD 1交直线DC 于点E ，射线MC 1交直线CB 于点F ，设DE=m ，BF=n ． 求m 与n 的函数关系式．

18．如图，边长为1的等边三角形OAB 的顶点O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，点A 在第一象限，动点D 在线段OA 上移动(不与O ，A 重合)，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点D 作DF ⊥OB ，垂足为F 。点M ，N ，P ，Q 分别是线段BE ，ED ，DF ，FB 的中点。连接MN ，NP ，PQ ，QM 。记OD 的长为t .

(1) 当31

=

t 时，分别求出点D 和点E 的坐标； (2) 当3

1

=t 时，求直线DE 的函数表达式；

(3)如果记四边形MNPQ 的面积为S ，那么请写出面积S 与变量t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，是否存在s 的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由。

19．如图，在ABC △中，1AB AC ==，点D ，E 在直线BC 上运动，设BD x =，CE y =．

（1）如果30BAC ∠=，105DAE ∠=，试确定y 与x 之间的函数关系式；

（2）如果BAC ∠的度数为α，DAE ∠的度数为β，当αβ，满足怎样的关系式时，（1）中y 与x 之间的函数关系式还成立，试说明理由

．

20．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ，分别从O B ，同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点M 作MP OA ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已

(第28题

)

Ｂ Ｃ Ｅ

Ａ

Ｄ

（第19题图）

知动点运动了x 秒．

（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含x 的代数式表示）；

（2）试求NPC △面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x 值； （3）当x 为何值时，NPC △是一个等腰三角形？简要说明理由．

21. （2006·北京市海淀区）已知抛物线y x x c 122=-+的部分图象如图1所示。

图1 图2

（1）求c 的取值范围；

（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y x x c 122=-+的解析式；

（3）若反比例函数y k

x

2=

的图象经过（2）中抛物线上点（1，a ），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y 1与y 2的大小.

22．已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过点（1，2）.

（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值.

（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a|＋|b|＋|c|的最小值.

23. 已知抛物线c bx ax y ++=2

与y

轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 y=-x+2 并且线段CM 的长为22

（1） 求抛物线的解析式。

（2） 设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0

且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。

（3） 若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

24． 已知：抛物线y=-x 2

+4x-3与x 轴相交于A 、B 两点(A 点在B 点的左侧)，顶点为P ． (1)求A 、B 、P 三点坐标；

(2) 在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x 取何值时，函数值y 大于零；

(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.

25． 已知：如图，A （0,1）是y 轴上一定点，B 是x 轴上一动点，以AB 为边，在∠OAB 的外部作∠BAE ＝∠OAB ，过B 作BC ⊥AB ，交AE 于点C.

(1)当B 点的横坐标为时，求线段AC 的长；

(2)当点B 在x 轴上运动时，设点C 的纵、横坐标分别为y 、x ，试求y 与x 的函数关系式（当点B 运动到O 点时，点C 也与O 点重合）；

(3)设过点P （0，-1）的直线l 与(2)中所求函数的图象有两个公共点M 1(x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)，且x 12+x 22

－6(x 1+x 2)=8，求直线l 的解析式．

26．如图，已知抛物线与x 轴交于A （m ，0）、B （n ，0）两点，与y 轴交于点C （0， 3），点P 是抛物线的顶点，若m-n= -2，m ·n =3．

（1）求抛物线的表达式及P 点的坐标； （2）求△ACP 的面积S △ACP ． 27．已知抛物线1C ：2

2y x mx n =-++（m ，n 为常数，且0m ≠，0n >）的顶点为A ，与y 轴交于点C ；抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，其顶点为B ，连接AC ，BC ，AB ．

注：抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

（1）请在横线上直接写出抛物线2C 的解析式：________________________； （2）当1m =时，判定ABC △的形状，并说明理由；

（3）抛物线1C 上是否存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形？如果存在，请求出m 的值；如果不存在，请说明理由．

28．如图10（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合。设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y 2

m .

（1）写出y 与x 的关系式； （2）当x ＝2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，

三角形移动了多长时间？

29、 如图，已知抛物线L 1: y=x 2

-4的图像与x 有交于A 、C 两点， （1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式；

（2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点

为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D ，求证：点D 在l 2上；

（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由.

30.已知关于x 的二次函数22

12m y x mx +=-+与22

22

m y x mx +=--，这两个二次函数

的图象中的一条与x 轴交于A, B 两个不同的点．

(l ）试判断哪个二次函数的图象经过A, B 两点； (2）若A 点坐标为（-1, 0)，试求B 点坐标；

(3）在（2）的条件下，对于经过A, B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小？

31．如图1，已知直线12y x =-

与抛物线21

64

y x =-+交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；

（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

L

B C

1图l 2

l 1Y

D X O

图21C B

A

32.已知：m n 、是方程2

650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2y x bx c =-++的图像经过点A(,0m )、B(0n ，).

(1) 求这个抛物线的解析式；

(2) 设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△

BCD 的面积；（注：抛物线2

y ax bx c =++(0)a ≠的顶点坐标为（2

4(,)24b ac b a a

--） (3) P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分

成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标.

33．已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x 轴交于M N ，两点，一次函数图象交y 轴于F 点．当t 为何值时，过F M N ，，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

∴AB 的长等于AB 中点到直线l 的距离的2倍， ∴以AB 为直径的圆与直线l 相切．

（3）平移后二次函数解析式为2

(2)y x t =--，

图2

图1