江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)
第I 卷 160分部分
一、填空题
答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!
A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；
③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ．
如果C A C B B A ???，那么，．
【注意】：
①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．
④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）．
2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个.
3、A B C A B A C A B C A B A C == （）（）（）,（）（）（）；
A B C A B C A B C A B C ??=??= （）（）,（）（）
4、 De Morgan 公式:()U U U C A B C A C B = ；()U U U C A B C A C B = .
【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
A2.命题的否定与否命题
*1.命题p q ?的否定与它的否命题的区别：
命题p q ?的否定是p q ??,否命题是p q ???.
命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”,“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. *2.常考模式：
全称命题p ：,()x M p x ?∈；全称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?. 特称命题p ：,()x M p x ?∈；特称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?. A3.复数运算
*1.运算律：?m n m n z z z +?=； ?()m n mn z z =； ?1212()(,)m m m z z z z m n N ?=∈.
【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：
?1212||||||z z z z =； ?1122||||||
z z z z =； ?n n
z z =. *3.重要结论：
?2
2
2
2
121212||||2||||()z z z z z z -++=+；
?2
2
12
z z z z ?==； ?()2
12i i ±=±； ?
11i i i -=-+，11i
i i +=-； ?i 性质：T=4；1 , ,1,43
4241
4=-=-==+++n
n n n i i i i i i
.
【拓展】：()()3
2
11101ωωωωω=?-++=?=
或1
i 2
2ω=-±.
A4.幂函数的的性质及图像变化规律：
(1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)；
(2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸；
(3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当
1x
从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近x 轴正半轴．
【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23
a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，
并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计
1.抽样方法：
(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取. (2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概
率都相等（
n
N
）. 2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.
总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ?频率分布直方图
用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
①频率=样本容量
频数
.
②小长方形面积=组距×组距
频率
=频率.
③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. ?茎叶图
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。
3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；
样本平均数： 121
11()n
n i i x x x x x n n ==+++=∑
4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).
(1)一组数据123,,,,n x x x x ?
①样本方差
2
222121[()()()]n S x x x x x x n
=-+-+???+-2
22111111()()()n n n i i i i i i x x x x n n n ====-=-∑∑∑ ；
②样本标准差
σ==
(2)两组数据123,,,,n x x x x ?与123,,,,n y y y y ?,其中i y ax b =+,1,2,3,,i n =?.则y ax b =+,它们
的方差为222
y x S a S =,标准差为||y x a σσ=
③若12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2
s ，则12,,,n ax b ax b ax b +++ 的平均数为ax b +，方差
为22
a s .
样本数据做如此变换：'i i x ax b =+，则'
x ax b =+，222
()S a S '=.
B 、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解) B1.线性规划
1、二元一次不等式表示的平面区域：
（1）当0A >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的右边，若0Ax By C ++<则表示直线l 的左边. （2）当0B >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的上方，若0Ax By C ++<则表示直线l 的下方.
数学应试笔记 第2页
2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域：
两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.
3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系：
若曲线(,)f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等），则00(),0f x y >，称点在曲线外部；
若(,)f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则00(),0f x y >，称点亦在曲线“外部”. 4、已知直线:0l Ax By C ++=，目标函数z Ax By =+.
①当0B >时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越大；直线l 向下平移，则z 的值越来越小； ②当0B <时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越小；直线l 向下平移，则z 的值越来越大； 5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：
（1）z ax by =+，若0b >，直线在y 轴上的截距越大，z 越大，若0b <，直线在y 轴上的截距越大，
z 越小. （2）
y m x n
--表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率，特别
y x
表示过原点和(),n m 的直线的斜率.
（3）()()2
2
t x m y n =-+-表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.
（4）
y =
表示(),x y 到点()0,0的距离.
（5）(cos ,sin )F θθ；
（6
）d =
；
（7）22
a a
b b ±+；
【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2
+y 2
=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的。 B 2.三角变换：
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．
三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础．
三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．
三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.
角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.
具体地：
（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形
技巧，如下：
2=+ααα，22
αα=?；
22
αβαβ++=?，()(
)
222αββ
ααβ+=---；
()()2
2
2
2
=+-=-+=
=
+-+-+
-
ααββαββαβ
αβ
βα
βα
；
22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα；
2()+=++αβαβα，2()-=-+αβαβα；
154530,754530?=?-??=?+?；
()
424
ππααπ+=--等.
（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）
利用二倍角公式2222
cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα和二倍角公式的等价变形2cos 2sin 12=-αα，2sin 2cos 12
=+αα，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”
的互化.
（3）切割化弦（名的变化）
利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用
的手段是“切化弦”和“弦化切”.
（4）常值变换
常值12.此外，对常值 “1”可作如下代换：22221sin cos sec tan tan cot 2sin30tan sin cos042
x x x x x x ππ=+=-=?=?==== 等.
（5）引入辅助角
一般的，
sin cos )sin()a b +=
=+ααααα?，期中
cos tan b
a ===???.
特别的，sin cos )4
A A A +=
+π
;
sin 2sin()3x x x =+π，
cos 2sin()6
x x x +=+π
等.
（6）特殊结构的构造
构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.
举例：2
2
sin 20cos 50sin 20cos50A =?+?+??，2
2
cos 20sin 50cos 20sin50B =?+?+?? 可以通过1
2sin 70,sin 702
A B A B +=+?-=-
-?两式和，作进一步化简. （7）整体代换
举例：sin cos x x m +=2
2sin cos 1x x m ?=-
sin()m +=αβ，sin()n -=αβ，可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值，作为代换之用. B 3.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换
因为在ABC ?中，A B C π++=（三内角和定理），所以
任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；
③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.
即，sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+．
2
2
sin
cos
A B C +=；2
2
cos
sin
A B C +=；2
2
tan
cot
A B C +=.
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．
面积公式：11
sin 22
a S sh a
b C r p ===?=.
其中r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半．tan tan tan tan tan tan 1222222
A B B C C A
++=
(3)对任意ABC ?，；
数学应试笔记 第4页
在非直角ABC ?中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=． (4)在ABC ?中，熟记并会证明：
*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=?．
*2.ABC ?是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比数列． *3.三边,,a b c 成等差数列?2b a c =+?2sin sin sin A B C =+?1tan tan 223A C =；3
≤B π. *4.三边,,,a b c 成等比数列?2b ac =?2sin sin sin A B C =,3
≤B π
.
(5)锐角ABC ?中,2
A B π
+>
?sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ，222a b c +>；
sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.
【思考】：钝角ABC ?中的类比结论 (6)两内角与其正弦值：
在ABC ?中，sin sin a b A B A B >?>?>?cos2cos2B A >，…
(7)若π=++C B A ，则222
2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++++≥. B 4.三角恒等与不等式 组一
33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=-
()()2222sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=-
323tan tan tan 3tan tan(
)tan(
)13tan 3
3
θθπ
π
θθθθθ
-=
=-+-
组二
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
sin sin sin 4cos cos cos
222
A B C
A B C ++= cos cos cos 14sin sin sin 222
A B C
A B C ++=+
222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+……
组三 常见三角不等式
(1)若(0,
)2
x π
∈，则sin tan x x x <<；
(2) 若(0,
)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+
(3) |sin ||cos |1x x +≥；
(4)x
x
x f sin )(=
在),0(π上是减函数； B5.概率的计算公式：
?古典概型：()A P A =
包含的基本事件的个数
基本事件的总数
；
①等可能事件的概率计算公式：()
()()
m card A p A n card I ==；
②互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )；
③对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )；
④独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A ?B )＝P (A )?P (B )； ⑤独立事件重复试验的概率计算公式是：
()(1)k k
n k n n P k C P P -=-(是二项展开式[(1－P )+P ]n 的第(k +1)项).
?几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g ?Ω}，则A 的概率定义为
()g A P A Ω=
=
的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）
的测度
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件. 【说明】：条件概率：称)
()
()|(A P AB P A B P =
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。 注意：①0(|)1P B A ≤≤；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 B6. 排列、组合
（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：
①直接法：位置分析法元素分析法
用加法原理（分类）插入法（不相邻问题）
用乘法原理（分步）捆绑法（相邻问题）
???
?
??? ②间接法：即排除不符合要求的情形
③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。 ③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。
⑤多排问题单排法。 ⑥多元问题分类法。 ⑦有序问题组合法。 ⑧选取问题先选后排法。 ⑨至多至少问题间接法。
⑩相同元素分组可采用隔板法。
?涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.
（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以!n . B7.最值定理
①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +
有最小值；
②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值2
14
s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2
2+-=+.
（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小. （2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大. ③已知,,,R a x b y +
∈，若1ax by +=
，则有：
2
11
11()()by ax
ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++++=≥
④,,,R a x b y +
∈，若
1a
b
x y +
=则有：(
)2
(
)ay
bx
x y x y a b x y +=++
=++=
B8.求函数值域的常用方法：
①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解； 【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对
数学应试笔记 第6页
称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.
②逆求法：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如,(,)ax b y x m n cx d
+=
∈+的函数值域；
④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；
⑥不等式法：
利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如)0(>+
=k x
k
x y ，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；
⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解； ⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；
⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．
⑩判别式法：对于形如2111
2222
a x
b x
c y a x b x c ++=++（1a ,2a 不同时为0）的函数常采用此法．
【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
1.2
b
y k x =
+型，可直接用不等式性质； 2.2bx
y x mx n =++型，先化简，再用均值不等式；
3.22x m x n y x mx n ''++=++型，通常用判别式法；
4.2x m x n y mx n
''++=+型，可用判别式法或均值不等式法；
?导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.…… B9.函数值域的题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数. (二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1)cx d
y ax b
+=+ (0)a ≠ ：则c y a ≠且y R ∈.
(2)(2)cx d
y x ax b
+=≥+：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围.
(3)22232
61
x x y x x +-=--：
(21)(2)21
()(21)(31)312x x x y x x x x -++=
=≠-++ ，则1y 13
y ≠≠且且y R ∈.
(4)求2
21
1x y x x -=
++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值域。 2211
x y x x -=++?2(2)10yx y x y +-++=，2(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域.
(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域. (六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.
B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
?凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.
?凑项（加、减常数项）：例2.已知54x < ，求函数1()4245f x x x =-+-的最大值. ?调整分子：例3.求函数2710
()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域；
?变用公式：基本不等
式2a b +≥有几个常用变形： 22
2a b ab +≥, 2()2
a b ab +≥
，
2a b +≥，222
()22
a b a b ++≥.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4.
求函数15
()22
y x =<<的最大值；
?连用公式：例5.已知0a b >>，求2
16()
y a b a b =+-的最小值；
?对数变换：例6.已知1,12
x y >>，且xy e =，求ln (2)y
t x =的最大值；
?三角变换：例7.已知2
0y x π
<<
≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；
?常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11
t a b
=+的最小值. B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ?平方和为定值
若2
2
x y a +=（a 为定值，0a ≠）
，可设,,x y αα=
=，其中02απ<≤.
①(,))4f x y x y πααα=+=+=+在15
[0,],[,2)44
πππ上是增函数，在
15[,]44
π
π上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数，在1357
[,],[,]4444
ππππ上是减
函数；
③11(,)x y m x y x y xy +=+==
.
令sin cos )4t πααα=+=+，其
中[,1)(,1)(1,2]t ∈-- .由212sin cos t αα=+，得2
2s i n c o s 1
t αα=-，从
而2
(,)1)m x y t t
==-
在[1)(1,1)-- 上是减函数. ?和为定值
数学应试笔记 第8页
若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =-
①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b
-∞上是增函数，在[,)2
b +∞上是减函数；
②2
11(,)x y b
m x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时，在(,0),(0,]2b -∞上是减函数，在[,),(,)2
b b b +∞上是增函数；当0b <时，在(,),(,]2b b b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2
b
+∞上是增函数.
③2222
(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数，在[,)2
b +∞上是增函数；
?积为定值
若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.c y x
= ①(,)c
f x y x y x x
=+=+
.当0c >
时，在[
上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；
②111(,)()x y c
m x y x x y xy c x
+=+==+.当0c >时，
在[,0)0,]上是减函数，
在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；
③22
2
2
2
2(,)()2c c n x y x y x x c x x
=+=+=+-
在(,-∞
上是减函数，在()+∞上是
增函数.
?倒数和为定值
若
112x y d +=（d 为定值，111
,,x d y ）
，则.c y x =成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中1z d
≠±，则1111
,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz
==-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0
d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11
[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11
[0,),(,)d d
--+∞上减函数；
②2
22(,).1d g x y xy d z ==-.当0
d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d
+∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是减函数，在11
[0,),(,)d d --+∞上是增函数；
③22222
222
2(1)(,).(1)
d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而22
2
22(,)4(2)4d t d n x y t t t
==-+-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数. B 12.理解几组概念 *1. 广义判别式
设()f x 是关于实数x 的一个解析式， ,,c a b 都是与x 有关或无关的实数且0a ≠，则2
40b ac ?=-≥是方程[]2
()()0a f x bf x c ++=有实根的必要条件，称“?”为广义判别式.
*2. 解决数学问题的两类方法：
一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法.
*3. 二元函数
设有两个独立的变量x 与y 在其给定的变域中D 中，任取一组数值时，第三个变量Z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量Z 称为变量x 与y 的二元函数.记作：(,)Z f x y =. 其中x 与y 称为自变量，函数Z 也叫做因变量，自变量x 与y 的变域D 称为函数的定义域.
把自变量x 、y 及因变量Z 当作空间点的直角坐标，先在xoy 平面内作出函数(,)Z f x y =的定义域D ；再过D 域中得任一点(,)M x y 作垂直于xoy 平面的有向线段MP ，使其值为与(,)x y 对应的函数值Z ； 当M 点在D 中变动时，对应的P 点的轨迹就是函数(,)Z f x y =的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D 就是此曲面在xoy 平面上的投影. *4. 格点
在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念. *5. 间断点
我们通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()f x 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把0x 称为函数()f x 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. *6. 拐点
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.
如果()y f x =在区间(,)a b 内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定()y f x =的拐点.
(1)求()f x ''；
(2)令()0f x ''=，解出此方程在区间(,)a b 内实根；
(3)对于(2)中解出的每一个实根0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点. *7.驻点
曲线()f x 在它的极值点0x 处的切线都平行于x 轴，即0()0f x =.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性
定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意2,x x D ∈1的都有2
21
(
)[()()]22x x f f x f x ++11≥，
则称是()f x 上的凸函数.定义在D 上的函数如果满足：对任意的2,x x D ∈1都有221
()[()()]22
x x f f x f x ++11≤，则称()f x D 是上
的凹函数.
【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）. 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点. B13. 了解几个定理
*1. 拉格朗日中值定理:
如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，那末在(,)a b 内至少有一点c ，使
()()()()f b f a b a f c '-=-成立.这个定理的特殊情形，即：()()f b f a =的情形.描述如下：
若()x ?在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()a b ??=，那么在(,)a b 内至少有一点c ，使()0c ?'=成立. *2. 零点定理： 设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且()()0f a f b ?＜．那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf ． *3. 介值定理：
设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）． *4. 夹逼定理：
设当00||x x δ-＜＜时，有()g x ≤()f x ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，则必有.)(lim 0
A x f x x =→
数学应试笔记 第10页
【注】：0||x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零．（ξ为最小整数）
C 、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力
C1.线段的定比分点公式
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP
的分点，λ是实数，且12PP PP λ=
（或P 2P λ
1P P
，则
12
1211x x x y y y λλλλ
+?=??+?+?=?+?
?1
21OP OP OP λλ+=+
?12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=
+） 推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：121222
y y y x x x +?=???
+?=?? 推广2λMB
则λ
λ++=1PB PA （λ对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：12312333x x x x y y y y ++?
=???
++?=?? 注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件．
【公式理解】：
*1.λ是关键(1λ≠-)
(内分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0 (-1<λ<0) 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合，λ不存在 P 离P 2 P 1无穷远，λ=1- *2.中点公式是定比分点公式1λ=的特例； *3.始点终点很重要，如若P 分21P P 的定比λ=2
1
，则P 分12P P 的定比λ=2； *4.12,,,x x x λ知三求一；
*5.利用λ有界性可求一些分式函数取值范围；
*6.OP ＝12OA OB λλ+
则121λλ+=是三点、、P A B 共线的充要条件.
C 2. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.
求解抽象函数问题的常用方法是： (1)借助模型函数探究抽象函数：
①正比例函数型：()f x cx =?()()(),(1)f x y f x f y f c ±=±=.
②指数函数型：()x
f x a =?()()()
()()(),(1,)0f x f x y f y f x y f x f y f a -=
+==≠.
③对数函数型：()log a f x x =?()()(),()()(),()1(0,1)x
f f x f y y
f xy f x f y f a a a =-=+=>≠.
④幂函数型：()f x x α
=?()()(),(1)f xy f x f y f α'==,()()()
x f x f y
f y =
.
O
B
A
P
?1
2
1
P 2
P P
?2
P 1
P P ?
⑤三角函数型：()cos f x x =,()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0sin (0)1,lim
1x x
f x
→==.
()f x tanx =,()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-.
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：
（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反
证法等）进行逻辑探究。
C 3.函数图像的对称性
(1)一个函数图像自身的对称性 性质1：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有的图像关于直线2
a b x +=
对
称. 【注】：()()(0)f a mx f b mx m +=-≠亦然. 【特例】，当a b =时，()()()f a x f a x f x +=-?的图像关于直线x a =对称. 【注】：()(2)f x f a x =-亦然. 性质2：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有()()f a x f b x +=-()f x ?的
图像关于点(
,0)2
a b
+对称.
【特例】：当a b =时，()()()f a x f a x f x +=--?的图像关于点(,0)a 对称.
【注】：()(2)f x f a x =--亦然.
事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.
性质3：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且，则
()y f x =的图像关于直线2
a b x +=
对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.
性质4：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且，
则()y f x =的图像关于点(
2
a b +,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【注】：f ”放在“=”的两边，则“f ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
(2)两个函数图像之间的对称性
1.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0y =对称.
2.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =对称.
3.函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点(0,0)对称.
4.函数()y f x =与它的反函数1
()y f x -=的图像关于直线y x =对称. 5.函数()y f a mx =+与()y f b mx =-的图像,,,0a b m R m ∈≠()关于直线2b a x m
-=
对称.
特别地，函数()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2
b a x -=
对称.
C4.几个函数方程的周期(约定0a ≠)
数学应试笔记 第12页
(1)若()()f x f x a =+，或()()2
2
a
f x f x a +=-，则()f x 的周期T a =；
(2)若()()0f x f x a ++=，或1()
()1()f x f x a f x -+=+，或()()22
f f a a x x =-+- ，或()()f x a f x a +=-，
或()()1f x a f x +=±(()0)f x ≠，或()()
()f a x f a x f x +=-???为偶函数
，或()()()f a x f a x f x +=--??
?为奇函数， 或()()()f a x f a x f x +=-???为偶函数
，或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈，则()f x 的周期2T a =；
(3)若1()1(()0)()
f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =；
(4)若()()()f a x f a x f x +=--??
?为偶函数，或()()
()f a x f a x f x +=-???为奇函数
，或()()f x a f x a +=--，或
1()()1()f x f x a f x -+=-
+，或1()
()1()
f x f x a f x ++=-，或121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-?且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则()f x 的周期4T a =；
(5)若()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ?+++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ????=++++，则()f x 的周期
5T a =；
(6)若()()()f x a f x f x a +=-+，则()f x 的周期6T a =.
【说明】函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.
C5.对称性与周期性的关系
定理1：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线x a =和x b =()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且
2a b -是它的一个周期.
推论1：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-及()()f b x f b x +=-()a b ≠，则()f x 是以2a b -为周期的周期函数.
定理2：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点(,0)a 和直线x b =()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且
4a b -是它的一个周期.
推论2：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--及()()f b x f b x +=--()a b ≠，则()f x 是以4a b -为周期的周期函数.
定理3：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点0(,)a y 和0(,)b y ()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且
2a b -是它的一个周期.
推论3：若函数()f x 满足0()()2f a x f a x y -++=及0()()2f b x f b x y -++=()a b ≠，则()f x 是以
2a b -为周期的周期函数.
C6.
1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.
2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.
3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.
4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.
5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.
6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.
7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.
8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数. 【拓展】：
1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图像关于直线x a =对称.
2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图像关于点(,0)a 对称.
3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .
4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图像关于点(
,)22
a b c
+对称. C8.关于奇偶性与单调性的关系.
① 如果奇函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间(),0-∞上也是递增的; ② 如果偶函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间(),0-∞上是递减的;
【思考】：结论推导
C 9.几何体中数量运算导出结论
数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质. 1.在长方体(,,)a b c 中：
①体对角线长为2
2
2
c b a ++，外接球直径2R =
②棱长总和为4()a b c ++；
③全(表)面积为2()ab bc ca ++，体积V abc =；
④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则有
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2.
数学应试笔记 第14页
C B ⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,则有
cos 2
α+cos 2
β+cos 2
γ=2
，sin 2
α+sin 2
β+sin 2
γ=1.
2.在正三棱锥中：①侧棱长相等
(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心；③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心.
3.在正四面体中：设棱长为a
，则正四面体中的一些数量关系：
①全面积2S
=；②体积312V
=
；③对棱间的距离2
d =
；
④相邻面所成二面角13
arccos α=；⑤外接球半径4
R =；⑥内切球半径12
r =
；
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值3
h =.
4.在立方体中：
设正方体的棱长为a ，则
①体对角线长为a 3，②全面积为2
6a ，③体积3
V a
=，
④内切球半径为
1r ,外接球半径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r ,则 12r a =,22r =,22r =,且1231r r r =::
【点拨】形，如切割、
组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.
5.在球体中：
球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．
球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．
球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r =掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：
?计算线段AB 的长；?计算球心角AOB ∠的弧度数；?用弧长公式计算劣弧AB 的长.
【注】：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”. 【补充】： 一、四面体．
1．对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：
①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；
②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心； ③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；
④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°．
2．直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形．（在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、
内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2
△ACD ．
3．等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形．根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体．
（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有
①等腰四面体的体积可表示为2
22312
22222222c b a b a c a c b V -+?-+?-+=；
为
空间正弦定理：sin ∠ABD/sin ∠A-BC-D=sin ∠ABC/sin ∠A-BD-C=sin ∠CBD/sin ∠C-BA-D 空间余弦定理：cos ∠ABD=cos ∠ABCcos ∠CBD+sin ∠ABCsin ∠CBDcos ∠A-BC-D 6.直角四面体的性质：
在直角四面体O ABC -中,,,OA OB OC 两两垂直,令,,OA a OB b OC c ===,则 ?底面三角形ABC 为锐角三角形；
?直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；
?2
BOC BHC ABC S S S ???=?； ?2222
AOB BOC COA ABC S S S S ????++=；
?
2
2
2
2
1111OH
a
b
c
=
+
+
；
?外接球半径R=R =
.
7. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对
角线长．
(3)球与正四面体的组合体:
棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12
a , 外接球的半径为
4
a ． C10.圆锥曲线几何性质
如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.
椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,
2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+
双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线
21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-
圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹．简言之就是 “e =点点距点线距
（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.
当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线；
当0=e 时，轨迹为圆（a
c e =，当b a c ==,0时）． 圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆
数学应试笔记 第16页
圆锥曲线的焦半径公式如下图：
特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.
C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）. 1.平移变换
向量平移法则：
()y f x =按,a h k =()平移得()y f x h k =-+，即(),0F x y =按,a h k
=()平移得(),0F x h y k --=，当
0m >时，向右平移，0m <时，向左平移.当0n >时，向上平移，0n <时向下平移.对于“从()y f x =到
()y f x h k =-+”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“,a h k
=()”是“左负右正，上正下负”.
【小结】：“按向量平移”的几个结论
①点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移后得到点'
(,)P x h y k ++.
②函数()y f x =的图像C 按向量(,)a h k =平移后得到图像'
C ，则'
C 的函数解析式为
()y f x h k =-+.
③图像'C 按向量(,)a h k =平移后得到图像C ，若C 的解析式()y f x =，则'
C 的函数解析式为()y f x h k =+-.
④曲线C ：(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移后得到图像'C ，则'
C 的方程为(,)0f x h y k --=. ⑤向量(,)m x y =按向量(,)a h k =平移后得到的向量仍然为(,)m x y =.
2.翻折变换
(1)由()y f x =得到|()|y f x =，就是把()y f x =的图像在x 轴下方的部分作关于x 轴对称的图像，即把x 轴下方的部分翻到x 轴上方，而原来x 轴上方的部分不变. (2)由()y f x =得到(||)y f x =，就是把()y f x =的图像在y 轴右边的部分作关于y 轴对称的图像，即把y 轴右边的部分翻到y 轴的左边，而原来y 轴左边的部分去掉，右边的部分不变. 3.伸缩变换
(1)设点(),P x y 是平面直角坐标系内的任意一点，在变换()
()
//0:0x x y y λλ?μμ=>=>???的作用下，点(),P x y 对
应于点()///
,P x y ，函数()f x 在变换()()
//0:0x x y y λλ?μμ=>=>???下得到/
/1y f x μλ=?? ???
(2)将()y f x =的横坐标变为原来的a 倍，纵坐标变为原来的m 倍，得到x y mf a =?? ???
d =(a -
即()///
/
x ax x y f x y mf a y my ===/=???
? ???
?
4.对称变换
(1)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；
()()轴
y y f x y f x =??→=-
(2)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；
()()轴x y f x y f x =??→=-
(3)函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；
()()原点y f x y f x =???→=--
(4)函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到.
()()直线y x y f x x f y ==????→=
(5)函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；
()()直线2x a
y f x y f a x ==???
?→=-. 【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题
(1) 观察变换前后位置变化：.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换. (2) 观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置； 深刻理解圆锥曲线在形和数上的统一.
(2)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数()0k
y x k x
=+>”及函数()0k y x k x
=+<等）相互转化.
(3)理解等轴双曲线(0,)ax b y c ad bc cx d
+=≠≠+与反比例函数()0k
y k x
=>图像的本质联系.
(4)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系.
(1)x x 2111+
≈
+；x n
x n 111+≈+. (2)(1)1()x x R α
αα+≈+∈；x x
-≈+111.
(3)x e x
+≈1；x x l n ≈+)1(. (4)x x ≈sin （x 为弧度）；x x ≈tan （x 为弧度）；tan arc x x ≈（x 为弧度）.
C 14.大小比较常用方法：
①作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； ②作商（常用于分数指数幂的代数式）； ③分析法； ④平方法；
⑤分子（或分母）有理化； ⑥利用函数的单调性；
数学应试笔记 第18页
⑦寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；
⑧图像法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法. C 15.不定项填空题易误知识点拾遗： (1)情况存在的“个数”问题
①空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面＿＿个.（7个）； ②过直线外一点有＿＿个平面与该直线平行（无数个）；
③一直线与一平面斜交，则平面内有＿＿条直线与该直线平行.（0）； ④3条两两相交的直线可以确定＿＿个平面（1个或3个）；
⑤经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有＿＿条（0或1）； ⑥3个平面可以把空间分＿＿个部分.（4或6或7或8）； ⑦两两相交的4条直线最多可以确定＿＿个平面（6个）；
⑧两异面直线成60°，经过空间外一点与它们都成30°（45°，60°，80°）的直线有＿＿条.（1；2；3；4）；
(2)平面与空间的“区分”问题 1.错误的命题
①垂直于同一条直线的两直线平行； ②平行于同一直线的两平面平行； ③平行于同一平面的两直线平行；
④过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；
⑥一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直…… 2.正确的命题
①平行于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行；
③两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行； ④两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面…… (3)易误提点：
①0a b ?< 是,a b <>
为钝角的必要非充分条件.
②截距不一定大于零，可为负数，可为零；
③0 常常会是等式不成立的原因，0
模为0，方向和任意向量平行，却不垂直；
④在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”； ⑤直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
C16．关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体
多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … …. D 、13～14，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽 D1.熟知几个重要函数 1.()f x x
b
a x =+
(1) 0,0a b >>时，()f x 为“双钩函数”： ① 定义域：(,0)(0,)-∞+∞ ；值域为(,)-∞+∞ ； ② 奇偶性：奇函数（有对称中心）；
③ 单调性：在区间(,)-∞+∞上单调递增；
在区间[上单调递减. ④ 极值：x =时取到极大值，x .
⑤ 记住()f x x
b
a x =+
(0,0)a b >>的图像的草图.
⑥ 不等式性质：0x >
时，()f x x
b
a x =+≥；
0x <时，
()f x x
b
a x =+
-≤(2) 0,0a b <>时，()f x 在区间00,（，）（，）-∞+∞上为增函数. 【思考】：图像大致如何分布. (3)常用地，当1a b ==时，()1
f x x x
=+的特殊性质略. 【探究】：①函数()1
f x x
b
a x =
+
的图像变化趋势怎样？
②()()()22,n n b b f x ax f x ax n x x
*=+=+∈N 的有关性质.
2.(0,)ax b y
c a
d bc cx d
+=≠≠+
化简为，ax b y cx d b
a c c d
x c
+==+++
①定义域：(,)(,)d d
c c -∞-+∞ ；值域为a y c
≠的一切实数；
②奇偶性：不作讨论；
③单调性：当0b c <时，在区间(,],[,)d d
c c -∞-+∞上单调递增；
当0b c >时，在区间(,],[,)d d
c c
-∞-+∞上单调递减. ④对称中心是点(,)d a c c
-；
⑤两渐近线：直线d c
x =-和直线a c
y =；
【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中x 的系数确定.
⑥平移变换：(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+可由反比例函数(0)b
c k y x
=≠图像经过平移得到；
y
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09(解析版)
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09 数学试题I 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上． 1. 函数y ＝x －1的定义域为A ，函数y ＝lg(2－x)的定义域为B ，则A∩B ＝____________． 答案：[1，2) 解析：易知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，A∩B ＝[1，2)． 2. 已知????1＋2 i 2 ＝a ＋bi(a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________． 答案：－7 解析：∵ 2i ＝－2i ，∴ (1＋2 i )2＝(1－2i)2＝－3－4i ，∴ a ＝－3，b ＝－4，a ＋b ＝－7. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 29－y 2 m ＝1的一个焦点为(5，0)，则实数m ＝________． 答案：16 解析：由题知a 2＋b 2＝9＋m ＝25，∴ m ＝16. 4. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为________． (第4题) 答案：32 解析：[6，10]内的频数为100×0.08×4＝32. 5. “φ＝π 2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称”的__________条件． 答案：充分不必要
解析：当φ＝π2时，y ＝sin(x ＋π2)＝cosx 为偶函数，当y ＝sin(x ＋φ)为偶函数时，φ＝kπ＋π 2， 6. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－1，S 3＝6，则S 6＝________． 答案：39 解析：由题设知a 1＝－1，a 2＋a 3＝7，从而d ＝3，从而a 6＝－1＋5d ＝14，S 6＝(－1＋14)×6 2＝39. 7. 函数y ＝ 1 lnx (x≥e)的值域是________． 答案：(0，1] 解析：y ＝ 1 lnx 为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1] 8. 执行下面的程序图，那么输出n 的值为____________． 答案：6 解析：由题知流程图执行如下： 第1次 ?????n ＝2，S ＝1，第2次 ?????n ＝3，S ＝3，第3次 ?????n ＝4，S ＝7，第4次 ?????n ＝5，S ＝15， 第5次 ? ????n ＝6， S ＝31.停止输出n ＝6. (第8题) 9. 在1，2，3，4四个数中随机地抽取1个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取1个数记为b ，则“a b 是整数”的概率为____________． 答案：13 解析：由题设可求出基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．
江苏省高中数学知识点大全
数学必修一知识点大全 一．集合 1．集合的表示：描述法、列举法 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 如： ①已知集合}23|{},1lg |{2x x y y B x x A --==<=，则B A = ； ② 设集合},5|{},73|{>=<<∈=x x B x N x A 则B A = ； 2．子、交、并、补运算： 数形结合是解集合问题常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具 如： ③集合}042|{},032|{2 2 2 ≤-+-=≤--=m mx x x B x x x A （1）若]3,0[=?B A ，求实数m 的值； （2）若B C A R ?，求实数m 的取值范围。 3．含n 个元素的集合的子集数为n 2,真子集数为12-n 4．B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况。 如： ④设}1|{},0232|{2===--=ax x Q x x x P ，若P Q ?，则实数a 为： ；
二．函数概念及基本初等函数： 1．函数概念－函数图象－函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性） ①求定义域: 使函数解析式有意义(如:分母0≠; 偶次根式被开方数非负; 对数真数0>,底数0>且1≠； 零指数幂的底数0≠；实际问题有意义； 如:（2009江西卷文）函数y =的定义域为: ; ②求值域常用方法: （求值域一定要注意函数定义域） （1）利用基本初等函数的值域：如函数1 31 -=x y 的值域是： （2）二次函数配方法：如223x x y +-= 的值域是______________. （3）利用函数单调性：如函数x x y 1 -=在]2,1[上的值域是_______________
高考数学高考必备知识点总结精华版
高考前重点知识 第一章?集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性.无序性. 工集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集，记为。包A ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. ［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交：A,且x e B} 2、集合运算：交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜：或A o {% ￡ （/, 且x任A} （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p或q （记作〃pvq〃）； p且q （记作〃p 八q〃）；mEp（i己作、q〃） o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断 种命题的形式及相互关系: 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若1 P则1 q ；逆否命题：若1 q则］Po ④、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。
@、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条 件。 若p=q且q = p,则称p是q的充要条件，记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域：(2)值域: (3)奇偶性：(在整个定义域内考虑) ①定义：①偶函数：/(—x) = /(x),②奇函数：/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点 对称；c.求/(-X)；&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时，都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数； (2语当X1
2013年江苏高考数学模拟试卷(五).
O A B 1 y x 第9题图 2013年江苏高考数学模拟试卷（五） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．复数111z i i =+++在复平面上对应的点的坐标是 ． 2．已知集合 121,A x -?? =???? ，{}0,1,2B =，若A B ?，则x = ． 3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为10，18，20．若用分层抽样的方法抽取16个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ． 4．函数32()43f x x x =-- 在[1,3]-上的最大值为 ． 5．袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”， “9”这五个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是 ． 6．若一个正方形的四个顶点都在双曲线C 上，且其一边经过C 的焦点，则双曲线C 的离心率是 ． 7．已知函数()()()lg 10x x f x a b a b =->>>，且221a b =+，则不等式()0f x >的解集是 ． 8．已知四点()0,0,(,1),(2,3),(6,)O A t B C t ，其中t R ∈．若四边形O A C B 是平行四边形， 且点(),P x y 在其内部及其边界上，则2y x -的最小值是 ． 9．函数π π2sin 4 2y x ??= - ? ??的部分图象如右图所示，则() OA OB AB +?= ． 10．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任 意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的 取值范围是 ． 11．对于问题：“已知两个正数,x y 满足2x y +=，求 14x y +的最小值”，给出如下一种解法： 2x y += ，()1411414( )(5)2 2 y x x y x y x y x y ∴ +=++ = + +， 440,0,2 4y x y x x y x y x y >>∴ + ≥?= ，1419(54)22x y ∴+≥+=，
江苏省高考数学试卷.doc
2013年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上． 1．（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为 ． 2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为． 3．（5分）双曲线的两条渐近线方程为． 4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集． 5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为． 6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员第一次第二次第三 次 第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为． 7．（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为． 8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：
V2=． 9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是． 10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若 =λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为． 11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞ 0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为． 14．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π． （1）若|﹣|=，求证：⊥；
高考数学高考必备知识点总结
高考数学高考必备知识点 总结 Jenny was compiled in January 2021
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
2020年江苏省高考数学模拟试卷及答案
2020年江苏省高考数学模拟试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数i i z 23-= ，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23 π 的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ． 5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教 （每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数128 1 --= x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin - =θ，2 3πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆2 21x y m +=的离心率是 ． 10．若曲线1 2 +-= x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则B A tan 3 tan 2- 的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(2 2 =-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ， 在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，?=∠90DAB ，1==DC AD ， AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ． 14．已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1 ()()2f t f t +=-， 则2 2 4a b +的最小值为 ． （第3题）
2016届江苏省高考数学试卷 解析版
2016年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2016?江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=______．2．（5分）（2016?江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是______．3．（5分）（2016?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）（2016?江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______． 5．（5分）（2016?江苏）函数y=的定义域是______． 6．（5分）（2016?江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是______． 7．（5分）（2016?江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）（2016?江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是______． 9．（5分）（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．
10．（5分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b ＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是______． 11．（5分）（2016?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是______．12．（5分）（2016?江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是 ______． 13．（5分）（2016?江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，?=4，?=﹣1，则?的值是______． 14．（5分）（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______． 二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=． （1）求AB的长； （2）求cos（A﹣）的值．
高考数学主要考查哪些知识点
2019年高考数学主要考查哪些知识点 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”
为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧
2013年江苏高考数学模拟试卷(二)
2013年江苏高考数学模拟试卷（二） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 集合 } ,30{R x x x A ∈≤<=， } ,21{R x x x B ∈≤≤-=，则=B A ． 2. 已知z C ∈，且(z+2)(1+i)=2i,则=z . 3. 在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则=+++843a a a . 4. 已知2 , 3==b a . 若3-=?b a ，则a 与b 夹角的大小为 . 5. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小 6. 右面伪代码的输出结果为 . 7. cos103sin10 += . 8. 已知函数 2()f x x x =-，若 2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围 是 . 9. 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径 Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，则R = cm . 10．若方程ln +2-10=0x x 的解为0x ，则不小于0x 的最小整数是 . 11. 若动直线1=+by ax 过点),(a b A ，以坐标原点O 为圆心，OA 为半径作圆，则其中最小 圆的面积为 . 0．0．S← 1 For I from 1 to 9 step 20 S←S + I End for Print S
12．已知函数 4)(x ax x f -=， ] 1,2 1[∈x ，B A ,是其图象上不同的两点.若直线AB 的斜率k 总满足421 ≤≤k ，则实数a 的值是 . 13. 在平行四边形ABCD 中， 3 π= ∠A ，边AB 、AD 的长分别为2, 1，若M 、N 分别是 边BC 、CD 上的点， 且满足| || |CD BC = ，则?的取值范围是 . 14．椭圆2 221(5 x y a a +=为定值，且a >的左焦点为F ， 直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ?的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15. （本小题满分14分）已知函数 ()sin()cos sin cos() 2 f x x x x x π π=+--， （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）在ABC ?中，已知A 为锐角，()1f A =,2,3 BC B π== ,求AC 边的长. 16. （本小题满分14分）如图，在三棱柱 111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，AC BC =， ,,,M N P Q 分别是1111,,,AA BB AB B C 的中点． （1）求证:平面1PCC ⊥平面MNQ ； （2）求证:1 //PC 平 面MNQ . A 1 C M N Q B 1 C 1
2014年江苏省高考数学试卷答案与解析
2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014?江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014?江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是． 4．（5分）（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是． 5．（5分）（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是． 6．（5分）（2014?江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm． 7．（5分）（2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是． 8．（5分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．
9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． 10．（5分）（2014?江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是． 11．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是． 13．（5分）（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实 数a的取值范围是． 14．（5分）（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=． （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值． 16．（14分）（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC．
高考数学必备知识点总结
2019年高考数学必备知识点总结 1、混淆命题的否定与否命题 命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。 2、忽视集合元素的三性致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。 3、判断函数奇偶性忽略定义域致误 判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。 4、函数零点定理使用不当致误 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，但f（a）f（b）0时，不能否定函数y=f（x）在（a，b）内有零点。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题。 5、函数的单调区间理解不准致误 在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函
数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。 6、三角函数的单调性判断致误 对于函数y=Asin（ωx+φ）的单调性，当ω0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决；但当ω0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数 y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。 7、向量夹角范围不清致误 解题时要全面考虑问题。数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。 8、忽视零向量致误 零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线。它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视。
高考语文140+学霸私密笔记分享
高考语文140+学霸私密笔记分享！ 我整理了高考语文140+学霸的语文笔记，有很多阅读题和诗歌鉴赏的高分答题技巧，希望能对大家的语文学习有帮助。 一、论述类文本阅读篇 解答论述类文本阅读题指津 指津一：整体把握，微观勾画 1.阅读原文后，可提出如下问题：本文说明或论证的对象是什么？有什么最新成果或最新观点？今后的发展前景如何？作者对此新成果或新观点的态度和看法如何？ 2.理清全文的脉络，把握主要内容，迅速提取每一节的主要信息。 3.微观勾画是指随时勾勒一些关键词语，以备答题时所用。特别要关注指示代词、关联词语（如“一旦”“如果”“因此”“但是”“然而”等）、副词（如“凡是”“全”“将”“基本上”“已经”“也许”“可能”等）以及一些修饰性的词语。 此外，由于论述类文章中有些内容表达起来比较抽象，为了说得具体，
有时会运用比喻的修辞手法，理解时要找出其“本体”。要确切理解含有修辞的句子，要注意前后对照，特点对应。 指津二：紧扣语境，把握内涵 要准确理解词、句在文中的意思，就要紧密联系语境，注意上下文的修饰、指代等暗示信息，从而把握其内涵。论述类文章阅读考查的词语往往都具有极为重要的作用，这些词话要么是关键信息点（如指代性词语、概念性词语），要么就或承前或蒙后省略了相关内容。这些词语往往已突破了其原来的意义限制，与具体语境结合而有了新的意义。因此，阅读中要对这类词语慎重考虑。可采用如下方法： 1.瞻前顾后法，联系上下文选择恰当的义项。 2.比照辨析法，仔细比较辨析文中的一词多义现象和同义词、近义词在语言运用中的差异。 3.参考语境法，根据语境揣摩词语的语境义、比喻义、借代义等，分析词语派生或隐含的内容。
江苏高考数学模拟试卷
2013年江苏高考数学模拟试卷（六） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则其共轭复数z = ． 2．“m ＜1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一). 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，→AB ·→ BC ＝1，则BC ＝ ． 4．一种有奖活动，规则如下：参加者同时掷两个正方体骰子一次， 如果向上的两个面上的数字相同，则可获得奖励，其余情况不奖励．那么，一个参加者获奖的概率为 ． 5．为了在下面的程序运行之后得到输出25=y ，则键盘输入x 的值应该为 ． 6．如图，直线与圆12 2 =+y x 分别在第一和第二象限内交于21,P P 两点，若点1P 的横坐标为 3 5，∠21OP P =3 π，则点2P 的横坐标为 ． 7．已知不等式组???? ? x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0．表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最小 值时的k 的值为 ． 8．若关于x 的方程2 －|x | －x 2＋a ＝0有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是 ． 9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为：1，该 长方体的最大体积是___ _____． 10．直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分，则22(1)k m +的最小 值为 ． 11．已知双曲线122 22=-b y a x （)0,1>>b a 的焦距为c 2，离心率为e ，若点(-1,0)和(1,0)到直 Read x If x <0 Then y =(x +1)(x +1) Else y =(x-1)(x -1) End If Print y End
上海高考数学知识点重点详解
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 高考前数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.已知集合A 、B ，当A B ?=?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?； 4. 注意下列性质：（1） 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n 2，n 21-， n 21-， n 2 2.- （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 5. 学会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 6.可以判断真假的语句叫做命题。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 7. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 8.注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论； 9. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 11. 如何求复合函数的定义域？ 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ，注意正负的取舍；②互换x 、y ；③反函数的定义域是原函数的值域） 14. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
高考学霸笔记
★超值珍藏★最新高考学霸笔记 2015-07-30 如果你自觉得上课认真、作业认真，但成绩不是特别理想，我觉得你可能是没有掌握较为合理的方法，方法好了，真心是事半功倍。 注：本文对于中小学的同学一样适用。有心向上的同学，看完就可以开始实践了！ 1、课堂 大家从老师那里听说过的耳皮子都起茧的一句话是：课堂上要认真听讲、认真记笔记，不然你怎么可能考好？ 之所以这句话让人产生抵触，是因为它与鸡汤无异，没有告诉你该怎么认真听讲、怎么记笔记。 如何认真听讲？ 1. 听讲姿势要端正，比如不要托下巴，跷二郎腿，坐太师椅或者斜着身子， 2. 3.
笔一定要握在手中！！这点非常重要，不仅仅是记笔记的缘故，我们老师做过一些简单的测试和观察，发现很大一部分学生笔不握着的时候非常容易走神。 4. 5. 集中思维，一心一意。怎么做？眼睛和大脑要跟着老师行动。老师叫你看书，你就看书，叫你思考，你就思考。不要和同学交流，有问题自己先圈出来或者备注下，和同学交流不仅打断自己也打断同学的听讲，还干扰上课秩序。不要做一些没有意义的小事，比如在橡皮上画画，给课本图上写画什么东西。和老师眼神交流能很好的集中思维，你若走神老师其实是看得出来的，负责任的老师就会提醒你。若老师走到台下，就看讲义、板书或者PPT。 6. 7. 一定要动脑，玩命的动脑。考虑老师所讲的东西的概念、作用、合理性、是否存在矛盾、潜在的应用、现实生活中的映射等等。不动脑筋以上所述的都会没有意义！ 8. 如何记笔记？ 我用的是康奈尔笔记法。学起来很快，用起来也很方便。怎么记，那个链接里都有详细说明，我不赘述。你可以先用一门简单训练，然后用到各个学科。 下图是我物理的笔记，字丑将就看吧。
(完整版)江苏省2019年高考数学模拟试题及答案
江苏省2019年高考数学模拟试题及答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ． 【答案】}3{ 2．函数x y ln =的定义域为 ． 【答案】),1[+∞ 3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)2 3 ,(m P ，则αtan ． 【答案】3- 4．在ABC ?中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ． 【答案】 3 2π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ． 【答案】 4 3π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ． 【答案】1 7．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x 在0=x 处的切线方程为 ． 【答案】23+=x y 8．实数1-=k 是函数x x k k x f 212)(?+-=为奇函数的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”， “充要”，“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要 9．在ABC ?中，0 60,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若?=?2，则 AD ． 【答案】 3 3 2 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则
=d ． 【答案】 6 π 11．如图，在四边形ABCD 中，0 60,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=， CD CF λ=其中0>λ，若15=?AD EF ，则λ的值为 ． 【答案】 2 5 12．已知函数x m x e m x x f x )1(2 1)()(2 +--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ． 【答案】}1{- 13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中2 1 1-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列} {n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】)7,5( 14．在ABC ?中，3tan -=A ，ABC ?的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00?≥?，则线段BC 的长为 ． 【答案】6 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 若函数)0,0()3 sin()(>>++=b a b ax x f π 的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离 为π. （1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 在?? ? ???4, 0π上的最大值和最小值.
(完整版)高考数学高考必备知识点总结精华版
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
江苏省2020届高三第二次模拟考试数学试卷(有答案)
江苏省2020届高三第二次模拟考试 数 学 (满分160分，考试时间120分钟) 2020．4 参考公式： 圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x|x(x －5)＜0}，则A ∩B ＝________． 2. 已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为________． 3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为________． (第3题) (第4题) 4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个． 5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________． 6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋ ，则f(a)的值为________． 7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π 3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象 与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________． 8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转
一周所形成的几何体的表面积为________． 9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________． 10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PF PA 的最小值为________． 11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________． 13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC → |.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________． 14. 已知函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－1 2)恰有 4个零点，则实数b 的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC. (1) 求证：AC ∥平面PDE ； (2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC. 16. (本小题满分14分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值； (2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D.已知AD ＝177，cos A ＝－7 25 ，求b 的值．