(教案)追及与相遇问题专题

教学内容

一．复习匀变速运动。

1．匀变速运动位移公式？2．匀变速运动速度公式？

二．关于V-T图像的分析与应用

一个物体做匀变速直线运动，在一段时间内通过一段位移。若在这一段时间的中间时刻的速度为v1，在位移的中点时的速度为v2，则v1和v2大小关系如何？

分析与求解：匀变速直线运动分匀加速和匀减速两种情况，现分别讨论如下：

若物体做匀加速运动，可作出O-t时刻的速度图像如图2-a所示，这段时间的中间

时刻t/2的速度为v

1，将梯形otv

t

v

o

分成面积相等的两部分，则分割线对应时刻t/在t/2

之后，对应速度v

2大于v

1

。同理可知，物体做匀减速运动时，亦有v

2

大于v

1

。

三．相遇和追及问题的求解思路：

运动学中的追及、相遇和多解问题是运动学中的一个较为复杂的问题，掌握追及、相遇问题的研究方法和解题思路，了解多解形成原因，细致分析运动过程，多思考总结，比较归类，应是有效解决此类问题途径。

一般分析类似问题，基本思路是：

1.分析运动过程，画出示意图。

2.由示意图找出两物体位置关系。

3.根据物体运动

性质列出含有时间的位置方程。

一图三式：过程示意图，时间速度位移关系式；另外需要注意对解答结果的讨论。

(一) 追及相遇问题

1．追及问题

例如：A追赶B时（如图）若VA＞VB，则AB距离缩小；若VA=VB，则AB距离不变；若VA＜VB，则AB距离增大；

2．相遇问题

1）同向运动的两物体：相遇问题就是追及问题；2）相向运动的两物体：当各自发生的位移的代数和等于开始时两物体间的距离时，即相遇；3．在两物体同直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件：

其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题

（二）把握的关系

1．两个关系：即时间关系和位移关系

2．一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

（三）常见的情况

v1(在后) 小于v2(在前)

1、甲：匀加速（v1）====>>>>乙：匀速（v2）一定能追上

2、甲：匀速（v1）====>>>>乙：匀减速（v2）一定能追上

追上前当v1=v2时，两者间距最大。（开始时，速度大的乙在前，在后的甲速度较小，间距越来越大，只有甲速度大于乙速度，间距才能越来越小，故两者速度相等时，间距最大。）

v1(在后) 大于v2(在前)

3、甲：匀速（v1）====>>>>乙：匀加速（v2）不一定能追上

4、甲：匀减速（v1）====>>>>乙：匀速（v2）不一定能追上

匀减速物体追赶同向匀速运动物体时，恰能追上或恰不能追上的临界条件是：

V追赶者=V被追赶者，此时△s=0

即V追赶者> V被追赶者，则一定能追上；V追赶者

假设在追赶过程中经时间t后两者能处在同一位置，找位移关系列方程,求解t.

若t有解，说明能处在同一位置，能追上，比较此时的速度，若v1>v2，则会相撞，若v1=v2,则刚好相撞。

若t无解,说明两者不能同时处于同一位置，追不上。

若追不上，当v1=v2时，两者间距最小。（开始时，速度大的甲在后，在前的乙速度较小，间距越来越小，只有乙速度大于甲速度，间距才能越来越大，故两者速度相等时，间距最小。）

★注意：相遇（或相撞）的临界条件：两物体处在同一位置时，两物体的速度刚好相等。

四．例题与解析

[例1] 火车以速度v

向前行驶。司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为s处有另一

1

作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，辆火车，它沿相同的方向以较小的速度v

2

加速度大小为a，要使两车不致相撞，则a应满足的关系式为_____________________。

分析：司机使火车作匀减速运动，当后面的火车与前方火车时的速度相等时，两车再也不能接近了，也就是后面的火车与前面火车的速度相等时，后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于s时，两车才不致相撞，本题解法中有四种。

解法一：当两车速度相等时，两车没有相撞，以后再也不会相撞，前车减速的时间为t，则

解法二：以前车为参照系，后车的速度为，当后车的速度减为零时，其位移小于s，两车不会相撞，即

解法三：作出两车运动的速度—时间图像如图所示，由图像可知：在两图像相交前与时间轴所围面积之差（即图中阴影部分）小于s时，两车不会相撞。

即

解法四：后车的位移为，前车的位移为，要使两车不相撞，即

说明此二次函数无解，即

以上四种解法中，以第二种解法最简捷。

[例2] 甲、乙两车相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a

1

、初速度为零的匀加

速运动，甲在后面做加速度为a

2、初速度为v

的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中

相遇次数与加速度的关系。

解析：由于两车同时同向运动，故有v

甲=v

+a

2

t，v

乙

=a

1

t

① 当a

1

2

时，a

1

t

2

t，可得两车在运动过程中始终有v

甲

> v

乙

，由于原来甲在后，

乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲

超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次；② 当a

1=a

2

时，a

l

t=a

2

t，可得

v

甲>v

乙

，因此甲、乙两车也只能相遇一次：③ 当a

1

>a

2

时，a

1

t>a

2

t，v

甲

和v

乙

的大小关

系会随着运动时间的增加而发生变化，刚开始，a

1t和a

2

t相差不大且甲有初速v

，所以，

v

甲>v

乙

，随着时间的推移，a

1

t和a

2

t相差越来越大；当a

l

t—a

2

t=v

时，v

甲

=v

乙

，接下

来a

1t—a

2

t>v

，则有v

甲

乙

，若在v

甲

=v

乙

之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v

甲

乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v

甲

=v

乙

时，两车刚好相遇，随后v

甲=v

乙

，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v

甲

=v

乙

前甲车己超过乙车，

即已相遇过一次，随后由于v

甲

乙

，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇

一次，别两车能相遇两次。

解法一：由于x

甲=v

t+a

2

t2，x

乙

=a

1

t2，

相遇时有x

甲—x

乙

=x，则：v

t+a

2

t2－a

1

t2=x，（a

1

—a

2

）t2—v

t+x=0

所以t=①

① 当a

1

2

时，①式t只有一个正解，别相遇一次。

② 当a

1=a

2

时，x

甲

—x

乙

= v

t十a

2

t2—a

1

t2=v

t=x，

所以t=，t只有一个解，则相遇一次。

③ 当a

1＞a

2

时，若<2（a

1

—a

2

）x，①式无解，即不相遇，

若=2（a

1—a

2

）x，①式t只有一个解，即相遇一次。

若＞2（a

1—a

2

）x，①式t有两个正解，即相遇两次。

解法二：利用v—t图象求解，

① 当a

1

2

时，甲、乙两车的运动图线分别为如右上图中：的I和Ⅱ，其中划斜线

部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为S，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次。

② 当a

1

2

时，甲、乙两车的运动图线分别为如上左图中的I和Ⅱ，讨论方法同①，所

以两车也只能相遇一次。

③ 当a

1=a

2

时，甲、乙两车的运动图线分别为如上右图中的I和Ⅱ，其中划实斜线部分

的面积表示甲车比乙车多发生的位移。若划实斜线部分面积小于S，则不能相遇；若划实斜线部分面积等于S，说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次；若划实斜线部分

的面积大于s，如图中0─t

1内划实斜线部分的面积为S，说明t

1

时刻甲车追上乙车，以

后在t

1—t时间内，甲车超前乙车的位移为t

1

─t时间内划实斜线部分的面积，随后在

t─t

2时间内，乙车比甲车多发生划虚线部分的面积，如果两者相等，则t

2

时刻乙车反

超甲车，故两车先后相遇两次。

[例3]1辆摩托车的最大速度为108KM/H，现在让摩托车从静止开始，要求在4分钟内追

上前方相距1KM，速度25M/S匀速行驶的汽车，则摩托车行驶需要最小的加速度为多少。

[例4]车从静止开始以1M/S2加速度前进，车后相距S0=25M处某人同时以6M/S速度匀速追车，问能否追上，若不能，人车最小距离为多少。

[例5]一客车从静止开始以加速度a做匀加速直线运动的同时，在车的后面离车头为X 位置远的地方有一名乘客以某一速度正追赶这辆客车，已知司机从车前面的反光镜内能看到离车头距离为X0，保留时间在T0内才能看清楚，这样才能制动客车使车停下来，该乘客想乘坐上这辆客车，追赶客车时所做匀速运动的速度所满足的条件表达式是什么？若a=1m/s2,x=30m,x0=20m,t0=1s,求U最小值。

[例6]一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车行驶速度必须控制在90km/h以内。问（1）警车在追赶货车过程中，两车间最大距离是多少？（2）判定警车在加速阶段能否追上货车（3）警车发动后要多长时间才能追上货车？

[例7]甲乙两运动员在训练交接棒时发现，甲经短距离加速后能保持9m/s速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需要在接力区前适当位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前x0=13.5m处做了标记，并以v=9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区前端听到口令时起跑，并恰好在速度到达与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区长为L=20m。求（1）此次练习中乙在接棒前得加速度a。（2）在完成交接棒时乙离接力区末端距离。

[例8]已知某高速公路的最高限速120km/h，假设前方车辆突然停止，后车司机反应时间t=0.5s，刹车时汽车加速度为4m/s2，该高速公路上汽车间距离至少应为多少。G=10

[例9]已知猎豹开始攻击后45m，数度达到30m/s，但在30m/s的最大速度只能维持5s，之后便开始减速；羚羊在猎豹开始攻击后的同时开始逃跑，经过50m能达到最大速度25m/s，并维持最大速度较长一段时间。假定羚羊、猎豹在加速阶段做匀加速直线运动，且沿同一直线运动，求：若猎豹在距羚羊40m时发起攻击，猎豹追上羚羊需多长时间？

五．课后作业

1.一辆摩托车在平直的公路上由静止开始做匀加速运动,能达到的最大速度为30m/s.要想用3min的时间追上前面1000m远处以20m/s速度匀速前进的汽车,则摩托车最小的启动加速度多大?

2. 如图所示，C是放在光滑的水平面上的一块木板，木板的质量为3m，在木板的上面有两块质量均

为m的小木块A和B，它们与木板间的动摩擦因数均为μ。最初木板静止，A、B两木块同时以方向水平向右的初速度v0和2v0在木板上滑动，木板足够长，A、B始终未滑离木板。求：

(1)木块B从刚开始运动到与木板C速度刚好相等的过程中，木块B所发生的位移；

(2)木块A在整个过程中的最小速度；

(3)整个过程中，A、B两木块相对于木板滑动的总路程是多少？