椭圆习题及答案
【知识梳理】
1、椭圆定义:
定义式:
2、标准方程:(1)焦点在x 轴:
(2)焦点在y 轴:
2a =
3、几何性质:(1)、范围 ;(2)、顶点 ;
(3)、对称性 ;(4)、离心率 。
【小试牛刀】
1. 已知动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数,
则动点M 的轨迹是 .A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在
2.若方程m x -252+m
y +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( ) A.(-16,25) B.( 29,25) C.(-16,29) D.( 2
9,+∞) 3、已知M 是椭圆14
92
2=+y x 上的一点,21,F F 是椭圆的焦点,则||||21MF MF ?的最大值是( )
A 、4
B 、6
C 、9
D 、12
4、椭圆22
125
x y m m +=-+的焦点坐标是 (A )(±7, 0) (B )(0, ±7) (C )(±7,0) (D )(0, ±7)
5、若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC , AB 边上的中线长之和为30,则△
ABC 的重心G 的轨迹方程为
(A )221(0)10036x y y +=≠(B )22
1(0)10084
x y y +=≠ (C )221(0)10036x y x +=≠(D )22
1(0)10084
x y x +=≠ 6、点P 为椭圆22
154
x y +=上一点,以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1,则点P 的坐标是
(A )(±152, 1) (B )(152, ±1) (C )(152, 1) (D )(±152
, ±1) 7.椭圆 22
1123
x y += 的焦点为 1F 和 2F ,点P 在椭圆上,如果线段 1PF 的中点在 y
轴上,那么 1PF 是 2PF 的 ( )
A .7倍
B .5倍
C .4倍
D .3倍
8.P 为椭圆22
110064
x y +=上的一点,F 1和F 2是其焦点,若∠F 1PF 2=60°,则△F 1PF 2的面积为 .
9.椭圆122
22=+b
y a x (a >b >0)的半焦距为c ,若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ,则椭圆的离心率为 .
10.已知直线1y kx =+与椭圆22
15x y m
+=,对任意的k 值总有公共点,则m 的取值范围是___________
11、求椭圆的方程:
(1)、焦距为215,离心率为
154
,求方程; (2)、椭圆过点3(,4)5P -和4(,3)5Q -,求方程; (3)、已知椭圆两焦点为1(22,0)F -,2(22,0)F ,过1F
且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆相交于,M N 两点,若2MF N ?的周长为12,求方程;
(4)、在Rt ABC ?中,1AB AC ==,如果一个椭圆通过,A B 两点,它的一个焦点为C ,
另一个焦点在AB 边上;
12、求离心率:
(1)、椭圆的一个焦点将长轴分成3:2两部分线段,求离心率;
(2)、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点,,,A B C D ,若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率?
(3)、设F 为椭圆的左焦点,P 为椭圆上一点,且有PF x ⊥轴,//OP AB ,求离心率; y
x
P
O F B
A
13、已知圆22
:(3)100A x y ++=,圆A 内一定点(3,0)B ,圆P 过B 且与圆A 内切,求
圆心P 的轨迹方程; 14、 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19
362
2=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程.
1、C
2、B
3、C
4、D
5、B
6、D
7、A
8、
6433
9、21- 10. m 大于等于1且不等5 13.解:方法一:设所求直线方程为)4(2-=-x k y .代入椭圆方程,整理得
036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①
设直线与椭圆的交点为),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是①的两根,∴1
4)24(8221+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点,∴14)24(424221+-=+=
k k k x x ,21-=k .∴所求直线方程为082=-+y x .
方法二:设直线与椭圆交点),(11y x A ,),(22y x B .∵)2,4(P 为AB 中点,∴821=+x x ,421=+y y .
又∵A ,B 在椭圆上,∴3642121=+y x ,3642
222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ,
即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x .∴
2
1)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y .∴直线方程为082=-+y x .
方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ,另一个交点)4,8(y x B --.
∵A 、B 在椭圆上,∴36422=+y x ①。 36)4(4)8(22=-+-y x ② 从而A ,B 在方程①-②的图形082=-+y x 上,而过A 、B 的直线只有一条,∴直线方程为082=-+y x .