椭圆习题及答案

【知识梳理】

1、椭圆定义:

定义式:

2、标准方程:(1)焦点在x 轴:

(2)焦点在y 轴:

2a =

3、几何性质:(1)、范围 ;(2)、顶点 ;

(3)、对称性 ;(4)、离心率 。

【小试牛刀】

1. 已知动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数,

则动点M 的轨迹是 .A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在

2.若方程m x -252+m

y +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( ) A.(-16,25) B.( 29,25) C.(-16,29) D.( 2

9,+∞) 3、已知M 是椭圆14

92

2=+y x 上的一点,21,F F 是椭圆的焦点,则||||21MF MF ?的最大值是( )

A 、4

B 、6

C 、9

D 、12

4、椭圆22

125

x y m m +=-+的焦点坐标是 (A )(±7, 0) (B )(0, ±7) (C )(±7,0) (D )(0, ±7)

5、若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC , AB 边上的中线长之和为30,则△

ABC 的重心G 的轨迹方程为

(A )221(0)10036x y y +=≠(B )22

1(0)10084

x y y +=≠ (C )221(0)10036x y x +=≠(D )22

1(0)10084

x y x +=≠ 6、点P 为椭圆22

154

x y +=上一点,以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1,则点P 的坐标是

(A )(±152, 1) (B )(152, ±1) (C )(152, 1) (D )(±152

, ±1) 7.椭圆 22

1123

x y += 的焦点为 1F 和 2F ,点P 在椭圆上,如果线段 1PF 的中点在 y

轴上,那么 1PF 是 2PF 的 ( )

A .7倍

B .5倍

C .4倍

D .3倍

8.P 为椭圆22

110064

x y +=上的一点,F 1和F 2是其焦点,若∠F 1PF 2=60°,则△F 1PF 2的面积为 .

9.椭圆122

22=+b

y a x (a >b >0)的半焦距为c ,若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ,则椭圆的离心率为 .

10.已知直线1y kx =+与椭圆22

15x y m

+=,对任意的k 值总有公共点,则m 的取值范围是___________

11、求椭圆的方程:

(1)、焦距为215,离心率为

154

,求方程; (2)、椭圆过点3(,4)5P -和4(,3)5Q -,求方程; (3)、已知椭圆两焦点为1(22,0)F -,2(22,0)F ,过1F

且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆相交于,M N 两点,若2MF N ?的周长为12,求方程;

(4)、在Rt ABC ?中,1AB AC ==,如果一个椭圆通过,A B 两点,它的一个焦点为C ,

另一个焦点在AB 边上;

12、求离心率:

(1)、椭圆的一个焦点将长轴分成3:2两部分线段,求离心率;

(2)、椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的四个顶点,,,A B C D ,若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率?

(3)、设F 为椭圆的左焦点,P 为椭圆上一点,且有PF x ⊥轴,//OP AB ,求离心率; y

x

P

O F B

A

13、已知圆22

:(3)100A x y ++=,圆A 内一定点(3,0)B ,圆P 过B 且与圆A 内切,求

圆心P 的轨迹方程; 14、 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19

362

2=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程.

1、C

2、B

3、C

4、D

5、B

6、D

7、A

8、

6433

9、21- 10. m 大于等于1且不等5 13.解:方法一:设所求直线方程为)4(2-=-x k y .代入椭圆方程,整理得

036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①

设直线与椭圆的交点为),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是①的两根,∴1

4)24(8221+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点,∴14)24(424221+-=+=

k k k x x ,21-=k .∴所求直线方程为082=-+y x .

方法二:设直线与椭圆交点),(11y x A ,),(22y x B .∵)2,4(P 为AB 中点,∴821=+x x ,421=+y y .

又∵A ,B 在椭圆上,∴3642121=+y x ,3642

222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ,

即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x .∴

2

1)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y .∴直线方程为082=-+y x .

方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ,另一个交点)4,8(y x B --.

∵A 、B 在椭圆上,∴36422=+y x ①。 36)4(4)8(22=-+-y x ② 从而A ,B 在方程①-②的图形082=-+y x 上,而过A 、B 的直线只有一条,∴直线方程为082=-+y x .

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