与直角三角形有关的折叠问题
与直角三角形有关的折叠问题（北师版）
满分100分答题时间30分钟
单选题(本大题共10小题，共100分)
1.(本小题10分)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,已知AB=6cm,BC=18cm,
则Rt△CDF的面积是( )
? A.
? B.
? C.
? D.
2.(本小题10分)如图,在长方形纸片ABCD中,AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为A
E,且EF=3,则AB的长为( )
? A. 3
? B. 4
? C. 5
? D. 6
? 3.(本小题10分)如图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=4cm,BC=5cm,则EF=( )
? A. 2cm
? B. cm
? C. cm
? D. 3cm
4.(本小题10分)如图所示,将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B落在点E处,AE交DC于点F,
已知AB=8cm,BC=4cm.则折叠后重合部分的面积为( )
? A. 5
? B. 6
? C. 10
? D. 20
5.(本小题10分)如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为16,宽AB
为8,则折叠后重合部分的面积是( )
? A. 30
? B. 40
? C. 60
? D. 80
6.(本小题10分)如图,已知边长为6的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF折叠,使点A
落在BC边上的点D的位置,且ED⊥BC,则CE的长是( )
? A.
? B.
? C.
? D.
7.(本小题10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=6,将BC向BA方向翻折过去,使点C落在BA上的
点C′处,折痕为BE,则EC的长为( )
? A.
? B.
? C.
? D.
?8.(本小题10分)将长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE,EF为折痕,∠BAE=30°,AB=,折叠后,点C落在AD边上的处,并且点B落在边上的处.则BC的长为( )
? A.
? B. 4
? C. 6
? D.
9.(本小题10分)如图,AD是Rt△ABC斜边上的中线,把△ADC沿AD对折,点C落在点C′处,连接CC′,则图中共有
( )个等腰三角形.
? A. 2
? B. 3
? C. 4
? D. 5
10.(本小题10分)如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若C
F=2,FD=4,则BC的长为( )
? A.
? B. ? C. ? D.
解直角三角形(坡度、坡角)
解直角三角形（坡度、坡角）第七-九课时 ◆随堂检测 1、某斜坡的坡度为i=1，则该斜坡的坡角为______度． 2、以下对坡度的描述正确的是（ ）． A ．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数; B ．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比; C ．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比; D ．坡度是指倾斜角的度数 3、某人沿坡度为i=1：3 的山路行了20m ，则该人升高了（ ）． A ．．40.33 m C D 4、斜坡长为100m ，它的垂直高度为60m ，则坡度i 等于（ ）． A ．35 B ．45 C ．1：43 D ．1：0.75 5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m ，?则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）． A ．4m B ．．3m D ．◆典例分析 水库拦水坝的横断面为梯形ABCD ，背水坡CD 的坡比i=1?已知背水坡的坡长CD=24m ，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度． 解：过D 作DE ⊥BC 于E ． ∵该斜边的坡度为1， 则tan α α=30°， 在Rt △DCE 中，DE ⊥BC ，DC=24m ． ∴∠DCE=30°，∴DE=12（m ）． 故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m ． 点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可. ◆课下作业
●拓展提高 1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，?要求相邻两棵树间的水平距离 AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）． （?≈1.73） 1题图 2如图，防洪大堤的横断面是梯形， 坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2， 2题图 则斜坡AB的长为_______米． 3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，?地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）． 3题图 4题图 4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（） A．米 B． C．米 D．6米 5、为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.6的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加了0.6m，如图所示，求：（1）渠面宽EF；（2）修400m长的渠道需挖的土方数． 6、一勘测人员从A点出发，沿坡角为30°的坡面以5km/h的速度行到点D，?用了10min，然后沿坡角为45°的坡面以2.5km/h的速度到达山顶C，用了12min，?求山高及A，B两点间的距离（精确到0.1km）． 7、某村计划开挖一条长为1600m的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8m，下底宽1.2m，坡度为1：1．实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土方20m3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．（精确到0.1m3） ●体验中考
专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题(原卷版)
专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题 【精典讲解】 1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 图例3-1 图例3-2 图例3-3 2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ． 图例4-1 图例4-2 图例4-3 3、如图例5-1，在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别是边BC ，AB 上 的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ?为直角三角形，则 BM 的长为 ． 图例5-1 图例5-2 图例5-3 4、 如图例6-1，在△MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC
关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为. 图例6-1图例6-2图例6-3 【针对训练】 1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( ) A．3B．3 2 C．2或3D．3或 3 2 2、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、 DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则AD DF 的值为 A．11 13 B． 13 15 C． 15 17 D． 17 19
2013中考全国100份试卷分类汇编 解直角三角形(仰角俯角坡度问题)
2013中考全国100份试卷分类汇编解直角三角形（仰角俯角坡度问题） 1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 A. 40 D. 160 答案：D 解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。 BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝D。 2、（2013?衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）． AD=
x ﹣ ， 3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（） A．12 B．4米C．5米D．6米 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度． 解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：， ∴则AC=BC×=6， ∴AB===12． 故选A． 点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 4、（2013?宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）
m 5、（2013成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC 30∠= ，则该山坡的高BC 的长为_____米。 答案：100 解析：BC=AB ·sin30°= 1 2 AB=100m 6、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 750 米．
与直角三角形有关折叠问题
与直角三角形有关的折叠问题（北师版） 满分100分 答题时间30分钟 单选题（本大题共10小题，共100分） 1. （本小题10分）如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点B 与点D 重合,折痕为EF,已知AB=6cm,BC=18cm, 则Rt △ CDF 的面积是（ ） 2. （本小题10分）如图，在长方形纸片 ABCD 中 ,AD=8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为A E,且EF=3,则AB 的长为（ ） ? 3.（本小题10分）如图，折叠矩形的一边 AD,使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=4cm,BC=5cm 则EF=（ A. 3 E ? A. 6cm B. r C. D. B. 4 C. 5 D. 6
A. 2 cm 3 r y B. ￡ cm 5 r y C. z cm r D. 3cm 4. （本小题10分）如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠?点B落在点E处,AE交DC于点F, 已知AB=8cm,BC=4cm则折叠后重合部分的面积为（） A. 5 C B. 6 r C. 10 r D. 20 5. （本小题10分）如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为16,宽AB 为8,则折叠后重合部分的面积是（） D' A. 30 B. 40
C. 60
D. 80 6. （本小题10分）如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A 落在BC边上的点D的位置，且EDL BC，则CE的长是（ ） 厂 A. 12J5-18 厂B12-6占 厂l c. 24-12占 厂I D. 6曲-6 7. （本小题10分）如图，在Rt△ ABC中，/ ABC=90，/ C=6C°，AC=6,将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上 的 点C'处，折痕为BE，则EC的长为（） ?厂A.孑启 B. ?厂D.加5—
解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
利用三角函数测高导学案 姓名: 一、相关定义 二、典型题型 1、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在 同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处 测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）． 2、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥， 有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由． 3、如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处 向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
4、5、
6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽12m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=3 1：，斜坡CD的坡度i=1∶3，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m参考数据：3≈1.732） 7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度AF的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
中考数学冲刺难点突破 图形折叠问题 专题四 图形折叠中的直角三角形存在性问题(含答案及解析)
中考数学冲刺难点突破 图形折叠问题 专题四 图形折叠中的直角三角形存在性问题（原卷） 【精典讲解】 1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 图例3-1 图例3-2 图 例3-3 2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ． 图例4-1 图例4-2 图例4-3 3、如图例5-1，在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别 是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ?为直角三角形，则BM 的长为 ．
图例5-1图例5-2图例 5-3 4、如图例6-1，在△MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为. 图例6-1图例6-2图例6-3 【针对训练】 1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( ) A．3B．3 2 C．2或3D．3或 3 2
24.4.3解直角三角形(坡度与坡比)
页眉内容 24.4.3 .解直角三角形（坡度与坡角） 教学目标：回运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题。重点：解决有关坡度的实际问题。 难点：理解坡度的有关术语。 教学过程 一、导入新课，出示目标 导语：复习回顾 板书课题：解直角三角形（坡度与坡角） 下面大家齐读一下这节课的学习目标： 二次备课 二、设置提纲，引导自学 自学指导 自学范围：课本第115,116页。 自学时间：3分钟 自学方法：独立看书，独立思考。 自学要求：1.知道坡比概念以及和坡角的关系。 2.完成例4。 3.记住读一读。 自学检测 问题一： 1、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为； 2、一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动米，则物体升高了 _米． 3、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5m，迎水坡AB的长是13m，那么斜坡AB 的坡度是（）． A 1： 3 B 1： 2.6 C 1： 2.4 D 1：2 65
页眉内容 4 、如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）． A 1: B 3: C 1:3 D 3:1 三、合作探究一 1、什么叫坡度？ 坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。 2、什么叫坡角？ 坡角是斜坡与水平线的夹角 3、坡角和坡度什么关系？ 坡角与坡度之间的关系是： i＝ h l =tan a 坡度i越大，坡角 就越大，坡面就越陡。 合作探究二 例4、如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2m，上底的宽是12.51m，路基的坡面与地面的倾角分别是30°和45°．求路基下底的宽.(精确到0.1m) 四、课堂练习 1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度 i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m） （2）斜坡CD的坡角α。（精确到1°） 10 10 3 图24.4.5
解直角三角形坡度问题 .doc
嵩县实验中学九年级数学导学案主编：张彩芹第张 班级： _____姓名：_____组别：_____组长评：_____教师评：_____ 25.3 解直角三角形——坡度、坡角 学习目标：（1）了解坡度 . 坡角的意义。 （2）会用直角三角形知识解决有关坡度的实际问题。 （3）体会转化的思想。积极参与，激情展示，精彩点评。 预习案：请同学们阅读课本“ 25.3 解直角三角形”例 4 前的“读一 读”及例 4 的内容，思考并填空： 如图 1，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面 的 h ,坡度通常写成1：m 的形式，如 i=1:6 ，，记作 i，即i l h 坡面与水平面的夹角叫做.记作，有 i 就越 tan ，显然，坡度越大，坡角 l 大，坡面就越陡。 试一试： 1、小明沿着坡度为1： 2 的山坡向上走了1000m,则他升高了（）（ A）200 5m（ B）500m（ C）500 3m （D）1000m 2、如图，一水库迎水坡AB 的坡度 i=1： 3 ，则该坡的坡角= 自学检测： 1. 如图2，某防洪指挥部发现长江边一处长500 米，高 10 米，背水坡的坡角为45°的防江大堤（横断面为梯 形ABCD ）急需加固，经调查论证，防洪指挥部专家组制定 的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 米，加固后背水坡EF 的坡比i=1： 3 。（1）求加固后坝底 增加的宽度AF ； （ 2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
班级： _____姓名：_____组别：_____组长评：_____教师评：_____ 2.如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC 宽为 6m，坝高为 23m，斜坡 AB 的坡度 i=1： 3 斜边 CD 的坡度 i、=1： 1，求斜坡 AB 的长，坡角和坝底宽 AD （结果保留根号） 达标检测： 1、如图 1，某人沿坡度i=1 ：399 的山路向上前进200 米，他升高了米。 2、如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板 AB 的长为 4 米，点 D、B、C 在同一水平地面上。 （1）改善后滑滑板会加长多少米？ （2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板 的前方有 6 米，长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由（参 考数据：2 1.414，3 1.732 ，以上结果均保留到小数点后两位） 能力提升 3、庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡 山脚 C 处出发，以 20 米 /分钟的速度攀登，同时，李强从南坡 山脚 B 处出发，如图，已知小山北坡的坡度i=1： 3 ，山坡 长为 240 米，南坡的坡角是45°。问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A ？（将山路 AB 、 AC 看成线段，结果保留根号）
勾股定理中的折叠问题
勾股定理中的折叠问题 姓名： 例1：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ E B C A D https://www.360docs.net/doc/aa5609756.html, 对应练习：1、如图,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C ／处,BC ／交AD 于E,AD=8,求BC ＇的长 2、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长． A B C D E C ／
3、如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ，若AB=1，BC=2，（1）请找出图中的等腰三角形（2）求△ABE 和△BC ′F 的周长之和 B A C D E
4、如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（） 5、如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE 与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．（3）请找出图中的等腰三角形
6、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD 交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）求证：点E在线段AC的垂直平分线上；（3）若AB=8，AD=3，求图中阴影部分的周长． 7、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD 沿MN折叠，设点B的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，BM=，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
姓名: 一、相关定义 二、典型题型 1、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）． 2、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB 的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由． 3、如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？ 4、 5、
6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽12m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=3 1：，斜坡CD的坡度i=1∶3，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到参考数据：3≈） 7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度AF的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
直角三角形中的折叠问题 (2)
教 案 课 题：直角三角形中的折叠问题 教学目标：1.让学生理解折叠问题中的全等三角形及相等的线段和相等的角； 2.让学生会灵活应用勾股定理构造方程解决简单的几何问题，感受面 积法有时是解决几何问题的捷径； 教学重点：掌握解决折叠问题的一般方法，体会方程思想的重要性. 教学难点：折叠问题是操作问题，让学生会熟练寻找折叠前后图形中的相等量， 并能顺利解决问题. 教学准备：每人一张直角三角形纸片. 教学过程: 一．新课导入： 我们给定的三角形纸片命名为Rt △ABC ，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= . 二．新课教学： 探究一：折叠中点与点的重合 问题1：折叠△ABC 使点B 与点C 重合，求折痕DE 的长； 【解析】由C 、B 两点关于DE 轴对称，则DE 垂直平分BC ， 所以DE 是△ABC 的中位线，DE=12 AC=3 问题2：折叠△ABC 使点A 与点C 重合，求折痕FG 的长； 【解析】与问题同理可得FG=12 BC=4 问题3：折叠△ABC 使点A 与点B 重合，求折痕HI 的长. 【解析】由HI 垂直平分AB 得AI=BI 设AI=BI=x ，则CI=8-x ∴2226(8)x x -=- ∴254 x = 1122ABI S AB IH BI AC ?=?=?即251068 IH =? ∴IH=258
小结：1.利用全等三角形寻找相等的线段 2.利用勾股定理及面积法求线段的长 探究二：折叠中边与边的重叠 问题1：折叠△ABC ，使AC 边落在AB 上的AC'处，求折痕AP 的长； 【解析】由△ACP ≌AC ′P 得 AC=AC ′，PC=PC ′=6，BC ′=4 设PC=PC ′=x ，则BP=8-x 2224(8)x x +=- ∴x=3 ∴ =问题2：折叠△ABC ，使BC 边落在BA 上的BC'处，求折痕BM 的长； 【解析】与问题1同理，设CM=CM ′=x 可得83 x =，则 BM=3 小结：一般用未重叠的直角三角形构造勾股定理. 问题3：折叠△ABC ，使CA 边落在CB 上的CA'处， 求折痕CN 的长. 【解析】作ND ⊥BC 与点D ∵∠CAN=∠BCN=45°，CA=CA ′=6，A ′B=2 设CD=DN=x '2A BN ABC ACN S S S ???=- ∴11126826222 x x ?=??-?? ∴247 x = ∴ 小结：面积法是捷径 学以致用：如图所示，在矩形ACBD 中，AC=6，BC=8，沿对角线AB 折叠，△ABC 成为三角形ABE ，BE 交AD 于点F ，求EF 的长. D
中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题
中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题 模块四 图形折叠中的直角三角形存在性问题 【典例1】如图例3-1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 图例3-1 图例3-2 图例3-3 【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知∠BED =∠DEF =60°，所以∠AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑：①当∠EAF =90°时，如图例3-2所示.∵∠B =30°，BC =3，∴ 30AC tan BC =??= ?2AB AC =，∵∠EAF =90°∴∠AFC =60°，∠CAF =30° 在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷ ，24BF AF == 由折叠性质可得：∠B =∠DFE =30°，1 22 BD DF BF == = ②当∠AFE =90°时，如图例3-3所示.由折叠性质得：∠B =∠DFE =30°，1 22 BD DF BF == = ∴∠AFC =60°，∠F AC =30°∴tan 1CF FAC AC =∠?= =，所以，BF =2，1 12 BD DF BF == =，综上所述，BD 的长为2或1. 【小结】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发
解直角三角形 测试题 与 答案汇总
解直角三角形测试题与答案 一．选择题（共12小题） 1．（2014?义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（） 2．（2014?巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） 3．（2014?凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（） AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（） 米 m 看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（） ）米）米6+2 段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）
km 8．（2014?路北区二模）如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（） 9．（2014?长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（） 12．（2014?邢台一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（） 二．填空题（共6小题） 13．（2014?济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为_________． 14．（2014?徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A 的正切值为_________． 15．（2014?虹口区一模）计算：cos45°+sin260°=_________． 16．（2014?武威模拟）某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是_________米．
《解直角三角形与斜坡坡度在实际生活中的应用》教学设计
解直角三角形与斜坡坡度在实际生活中的应用 教学过程： 一、知识回顾
二、新课 1、坡角、坡度的概念，坡角与坡度之间的关系 2、
一、例题讲解 1、如图，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC ＝30°，则该山坡的高BC 的长为__米．,第1题图),第2题图)2．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡比是1∶3，坝高BC ＝10m ，则坡面AB 的长度是()A ．15m B ．203m C ．103m D ．20m 3．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m ，则斜坡上 相邻两棵树的坡面距离是()A ．3m B ．35m C ．12m D .6m 4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i 1＝1∶3，坝外斜坡的坡度i 2＝1∶1， 则两个坡角的和为()A ．90°B ．60°C ．75°D ．105° 二、课堂练习 1．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为() A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米,第2题图) 2．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ， 为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是__cm . 3．如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB ＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米)(参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 50°≈1.20) 3、 （以上的1、2、3教师主讲，抽学生回答） （抽学生上黑板做，其余学生在练习本上做，老师行距 辅导，及时发现问题）
直角三角形的折叠问题
直角三角形的折叠问题 知识关键： 1. 要解决折叠问题，就要清楚通过折叠造成哪些边相等 2. 要学会合理的设未知数，从而通过勾股定理构造方程 三角形的折叠： 折叠方法1： 将三角形的直角向斜边折叠，形成这个图形。（此时出现角平分线） 在右图中相等的线段有 例题1： 如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8，现将直角边沿着直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD长 折叠方法2： 将三角形的一个直角顶点向另一个直角顶点折叠。（此时出现边的垂直平分线） 在右图中相等的线段有 例题2： 如图，将Rt△ABC折叠，使得点A与点B重合，折痕为DE，若BC=6，AC=8 求CD的长长方形的折叠： 折叠方法1：将长方形的一个角向对边折叠 在没有折叠之前的长方形ABCD 中 相等的边有 相等的角有 ， 在折叠后的图形中，相等的边有，相等的角有 ， 全等的三角形有 例题3：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=10，将长方形折叠，使得点D落在BC 上的D'处。求EC的长。 折叠方法2：将长方形沿着对角线折叠 在折叠后形成的图形中， 全等三角形为 等腰三角形为 相等的边为，直角三角形为 例题4：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B落在B' 处。求PD的长。 C A C
折叠方法3： 将长方形两个对角向不相邻的对角线折叠 在折叠后形成的图形中， 全等三角形为 等腰三角形为 相等的边为 ，直角三角形为 例题5：如图，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，BD 是对角线.将A 、C 向BD 折叠，分别落在A'， C'处。求CF 的长 小结： 这种折叠方法其实就是直角三角形折叠的方法1 我们把长方形的上半部遮住，可以看到其实就是将Rt 的直角C 向斜边BD 折叠。 折叠方法4： 将长方形折叠使得对角的顶点重合 在折叠后形成的图形中， 全等三角形为 等腰三角形为 相等的边为 ，直角三角形为 例题6：如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B 与点D 重合。求CF 的长。 小结： 这种折叠方法其实就是直角三角形折叠的方法2 我们把长方形的上半部遮住，可以看到其实就 是将Rt △BDC 的锐角顶点B 向另一个锐角顶点D 折叠 A
专题43 三角形的折叠问题(解析版)
专题43三角形的折叠问题 1、如图1，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作 正方形ABDE，BCIJ，AFGC．如图2，作正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，AE′交CG于点M，D′E′交IC于点N点D′在边IJ上．则四边形CME′N的面积是24． 【解析】∵正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′， ∴AE′=AB=10，∠E′AB=90°，∠AE′N=90°， ∵AC=6，BC=8，AB=10， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB为直角三角形， ∴AC2=BC?MC， ∴MC==， ∵∠MAC=∠NAE′， ∴Rt△ACM∽Rt△AE′N， ∴=，即=，∴E′N=，
∴四边形CME′N的面积=S△AE′N﹣S△ACM=×10×﹣×6×=24． 故答案为24． 2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连 接C′B，则C′B=． 【解析】如图，连接BB′， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB=BB′， 在△ABC′和△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠ABC′=∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′， ∵∠C=90°，AC=BC=，
∴AB==2， ∴BD=2×=，C′D=×2=1， ∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为：﹣1 3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点 （点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为． 【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示： 则EG∥AC， ∴△BEG∽△BAC， ∴==， 设BE=x， ∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5， ∴==， 解得：EG=x，BG=x， ∵点D是边BC的中点， ∴CD=BD=2，
知识点三：直角三角形之折叠问题
C D A B E 1.2 直角三角形之折叠问题 一、填空题 1、如下左图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再次折叠纸片，使A 点落在折痕EF 上的N 点处，并使折痕经过点B 得到折痕BM ，同时得到线段BN ，则∠NBC=_______. 2、如上中图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,∠A<∠B,M 是斜边的中点，将三角形ACM 沿CM 折叠，点A 落在点D 处，若CD 恰好与AB 垂直，则∠A=___________． 3、如上右图CD 是Rt △ABC 斜边上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A=___________． 4、如下左图，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是 ． 5、如下中图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若 21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 ． 6、如上右图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在 BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是 ． 7、正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN （如下左图）设梯形ADMN 的面积为1S ，梯形BCMN 的面积为2S ，那么1S :2S = 8、如图2,把腰长为4的等腰直角三角形折叠两次后,得到一个小三角形的周长是 . 9、有一条两边平行的宽纸带，按如图所示的方式折叠，则∠1的度数为_________。 10、如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在AB 上的E 处．已知∠B=30°,∠C=90°，则∠1=__________,∠5=____________. A C B E 图2 A N C D B M
专题38 图形折叠中的直角三角形问题(解析版)
专题38 图形折叠中的直角三角形问题 【精典讲解】 1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 图例3-1 图例3-2 图例3-3 【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知△BED =△DEF =60°，所以△AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑： △当△EAF =90°时，如图例3-2所示. △△B =30°，BC =3 △30AC tan BC =??= 2AB AC = △△EAF =90° △△AFC =60°，△CAF =30° 在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷ ，24BF AF == 由折叠性质可得：△B =△DFE =30°，1 22 BD DF BF === △当△AFE =90°时，如图例3-3所示.
由折叠性质得：△B =△DFE =30°，1 22 BD DF BF === △△AFC =60°，△F AC =30° △tan 1CF FAC AC =∠?= = 所以，BF =2，1 12 BD DF BF == = 综上所述，BD 的长为2或1. 【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：△遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；△解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题. 2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ． 图例4-1 图例4-2 图例4-3 【解析】此题以“当△CEB ′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B ′及点E 分别为直角顶点.分两种情况考虑： △当△CEB ′=90°时，如图例4-2所示. 由折叠性质得：AB =AB ′，四边形ABE B ′是矩形. 所以四边形ABE B ′是正方形. 此时，BE =AB =3.