云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学(文).doc
云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学(文)试
题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}
{}2
|9,|1M x x N x x =≤=≤,则M N = ( )
A .[]3,1-
B .[]1,3
C .[]3,3-
D .(],1-∞ 2.已知复数z 满足
2i
1i z
=-,则z =( ) A .1i -- B .1i -+ C .1i - D .1i +
3. 已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为53,则其渐近线方程为( )
A .20x y ±=
B . 20x y ±=
C .340x y ±=
D .430x y ±=
4.中国古代数学著作《张丘建算经》(成书约公元5世纪)卷上二十三“织女问题”:今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.问日益几何.其意思为:有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织5尺,经过一个月30天后,共织布九匹三丈.问每天多织布多少尺? (注:1匹4=丈,1丈10=尺).此问题的答案为( ) A .390尺 B .
1631尺 C. 1629尺 D .13
29
尺 5. 执行如图所示的程序框图,正确的是( )
A .若输入,,a b c 的值依次为1,2,3,则输出的值为5
B .若输入,,a b c 的值依次为1,2,3,则输出的值为7
C .若输入,,a b c 的值依次为2,3,4,则输出的值为8
D .若输入,,a b c 的值依次为2,3,4,则输出的值为10
6. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A .24π
B .30π C.42π D .60π 7. 函数sin 3
6y x π
π??=+
???的图象可由函数cos 3y x π=的图象至少向右平移(0)m m >个
单位长度得到,则m =( ) A .1 B .
12 C.6π D .2
π
8. 在ABC ?中,AH BC ⊥于H ,点D 满足2BD DC =
,若AH = AH AD =
( )
A .2 C..4
9.圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的,即圆在任意方向都有相同的宽度,具有这种
性质的曲线可称为“等宽曲线”.事实上存在着大量的非圆等宽曲线,以工艺学家鲁列斯
()Re uleaux 命名的鲁列斯曲边三角形,就是著名的非圆等宽曲线.它的画法(如图1):画
一个等边三角形ABC ,分别以,,A B C 为圆心,边长为半径,作圆弧 ,,BC CA AB ,这三段
圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内(如图2).
图1 图2
在图2中的正方形内随机取一点,则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为( )
A .
8
π
B .
24π- C.2
π D .2π
10. 已知抛物线()220y px p =>上的点到焦点的距离的最小值为2,过点()0,1的直线l 与抛物线只有一个公共点,则焦点到直线l 的距离为( )
A .1 2
B .1或2或2. 211.已知关于x 的方程
1
2
a x x =+有三个不同的实数解,则实数a 的取值范围是 ( ) A .(),0-∞ B .()0,1 C.()1,+∞ D .()0,+∞ 12.定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数”如下:函数(),D y f x x =∈,对于给定的非零常数a ,总存在非零常数T ,使得定义域D 内的任意实数x 都有
()()af x f x T =+恒成立,此时T 为()f x 的周期.若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期
函数,且1T =,当[)1,2
x ∈时,()21f x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数,
则实数a 的取值范围为( )
A .5,6??+∞????
B .[)2,+∞ C.5,3??+∞????
D .[)10,+∞
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥??
--≤??-+≥?
,则2z x y =+的最大值为.
14.曲线sin 3y x π??
=+
??
?
在点? ??
处的切线方程是. 15.已知边长为6的等边ABC ?的三个顶点都在球O 的表面上,O 为球心,且OA 与平面
ABC 所成的角为45 ,则球O 的表面积为.
16.在平面直角坐标系上,有一点列(
)121,,...,,,...N n n P P P P n *
-∈,设点n
P 的坐标(),n
n a ,
其中2
(N )n a n n
*=
∈,过点1,n n P P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n b ,设n S 表示数列{}n b 的前n 项和,则5S =.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 在平面四边形ABCD
中,,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥=∠=∠?的面积为2. (1)求AD 的长; (2)求CBD ?的面积.
18.根据“2015年国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据,从2011 年到2015 年,我国的
第三产业在GDP 中的比重如下:
(1)在所给坐标系中作出数据对应的散点图;
(2)建立第三产业在GDP 中的比重y 关于年份代码x 的回归方程; (3)按照当前的变化趋势,预测2017 年我国第三产业在GDP 中的比重.
附注:回归直线方程 y a
bx =+ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1
1
22
2
1
1
()()
()()
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y y b
x
n x x x ====---==
--∑∑∑∑ , a
y bx =- .
19. 在三棱柱111ABC A B C -中,已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC
的中点,
13,2,AC AB BC CC ===
(1)证明:1B C ⊥平面1AMC ; (2)求点1A 到平面1AMC 的距离.
20. 在直角坐标系xOy 中, 已知定圆()2
2
:136M x y ++=,动圆N 过点()1,0F 且与圆
M 相切,记动圆圆心N 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程;
(2)设,A P 是曲线C 上两点,点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P ),若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ,证明:OS OT 为定值
.
21. 设函数()()2,ln x f x x e g x x x -==.
(1)若()()()F x f x g x =-,证明:()F x 在()0,+∞上存在唯一零点; (2)设函数()()(){}
min ,h x f x g x =,({}m i n ,a b 表示,a b 中的较小值)
,若()h x λ≤,求λ的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,直线l
的参数方程为122(2
x t t y ?
=-+??
??=??为参数),以坐标原点为极
点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线1C
的极坐标方程为ρ. (1)写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程; (2)若将曲线1C
2
倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上任意一点,求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()2f x x =+.
(1)解不等式()241f x x <--;
(2)已知()10,0m n m n +=>>,若不等式()11
x a f x m n
--≤+恒成立,求实数a 的取值范围.
云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学(文)
试题参考答案
一、选择题
1-5:ABDCC 6-10:AABDB 11-12:CC
二、填空题
13.8 14. 20x y -= 15.96π 16.
125
6
三、解答题
17. 解:(1)由已知11sin 2sin 222
ABD S AB BD ABD ABD ?=
∠=?∠= ,所以
sin 5ABD ∠=
,又0,2ABD π??
∠∈ ???
,所以cos 5ABD ∠=,在ABD ?中,由余弦定
理得:2
2
2
2cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠=
,所以AD =
(2)由AB BC ⊥,得2
ABD CBD π
∠+∠=
,所以sin cos CBD ABD ∠=∠=
,又 42,sin 2sin cos 5
BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=
,222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ??
∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠ ???
,
所以CBD ?为等腰三角形,即CB CD =,在CBD ?中,由正弦定理得:
sin sin BD CD
BCD CBD
=∠∠,
所以
sin 51155455,sin 4sin 42244585
CBD
BD CBD
CD S CB CD BCD BCD
?∠=
=
==∠=???=∠ .
18. 解:(1)数据对应的散点图如图所示:
(2)3,47.06x y ==,1
1
22
2
1
1
()()
15
1.510
()
()
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y y b
x
n x x x ====---==
=
=--∑∑∑∑ , 42.56a
y bx =-= , 所以回归直线方程为 1.542.56y x =+.
(3)代入2017 年的年份代码7x =,得 1.5742.5653.06
y =?+=,所以按照当前的变化趋
势,预计到2017年,我国第三产业在GDP 中的比重将达到0053.06.
19. 解:(1) 证明:在ABC ?中,,AC AB M =为BC 的中点,故AM BC ⊥,又侧棱1CC ⊥底面ABC ,所以1CC AM ⊥,又1B C C C C = ,所以AM ⊥平面11BCC B ,则1
A M
B C
⊥,
在1R t BCB ?中,
11tan B B B CB BC ∠=
=;在1R t MCC ?
中,11tan 2MC MC C C C ∠===,所以11B CB MC C ∠=∠,
又1
1190BCB C CB ∠+∠=
,所以11190MC C C CB ∠+∠=
,即11MC B C ⊥,又11,AM B C AM MC M ⊥= ,所以1B C ⊥平面1AMC .
(2)设点1A 到平面1AMC 的距离为h ,由于
1111111,A AMC M A AC C AMC A AMC C AMC V V V V V -----==∴=,即1111
33AMC AMC S h S CC ??=
,于是
11
11111
22
AMC AMC AM MC CC S CC MC CC h S C M AM C M ??=====
所以点1A 到平面1AMC
20. 解:(1)因为点()1,0F 在()2
2
136M x y ++=:内,所以圆N 内切于圆M ,则
6NM NF FM +=>,由椭圆定义知,圆心N 的轨迹为椭圆,且26,1a c ==,则2
2
9,8a b ==,所以动圆圆心N 的轨迹方程为22
198
x y +
=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ,则()11,B x y -,由题意知01x x ≠±.则
1010AP y y k x x -=
-,直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-,令0y =,得0110
10
S x y x y x y y -=-
,同
理()()01100110
10
10T x y x y x y x y x y y y y --+=
=--+,于是
2222
01100110011022
101010
S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+- , 又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上,故222
2010181,8199x x y y ????=-=- ? ?????,则 ()()222
2
2222222222
011
001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ????-=--=---
=- ? ????
?. 所以()()222222
01011022
2210
018989
x x x y x y OS OT y y x x --===-- . 21. 解:(1)函数()F x 的定义域为()0,+∞,因为()2ln x F x x e x x -=-,当01x <≤时,
()0F x >,而()2
4
22ln 20F e =
-<,所以()F x 在()1,2存在零点.因为()()()()()2
211
'ln 1ln 1x x
x x x F x x x e e
---+=-+=-+,当1x >时,()()2
1111,ln 11x x
x x e e e
--+≤<-+<-,所以()1
'10F x e <-<,则()F x 在()1,+∞上单调递减,所以()F x 在()0,+∞上存在唯一零点.
(2)由(1)得,()F x 在()1,2上存在唯一零点0x ,()00,x x ∈时,
()()()0;,f x g x x x >∈+∞时,
()()()()[)020ln ,0,,,,x x x x x f x g x h x x e x x -∈??<∴=?∈+∞??.当()00,x x ∈时,由于(]()0,1,0x h x ∈≤;
()01,x x ∈时,()'ln 10h x x =+>,于是()h x 在()01,x 单调递增,则()()00h x h x <<,
所以当00x x <<时,()()0h x h x <.当[)0,x x ∈+∞时,因为()()'2x h x x x e -=-,[]0,2x x ∈时,()'0h x ≥,
则()h x 在[]0,2x 单调递增;()2,x ∈+∞时,()'0h x <,则()h x 在()2,+∞单调递减,于是当0x x ≥时,()()224h x h e -≤=,所以函数()h x 的最大值为
()224h e -=,所以λ的取值范围为)24,e -?+∞?
. 22. 解:(1)直线l
0y -+=,曲线1C
的参数方程为
(x y θ
θθ
?=??
=??为参数). (2)由题意知,曲线2C
的参数方程为cos (x y θ
θθ
=???=??为参数),
可设点()
cos P θθ,
故点P 到直线l
的距离为d =
=
,所以min d =
P 到直线l
23. 解:(1)不等式()241f x x <--等价于2214x x ++-<,即
()2
2214x x x ≤-???
-+-+?
或 ()212214x x x -<??+-+?或()12214
x x x ≥???++-?. 解得7|23x x ??
-<≤-?
???或{}|21x x -<-或?,
所以不等式的解集为7|13x x ?
?-
<<-????
. (2)因为()222x a f x x a x x a x a --=--+≤---=+,所以()x a f x --的最大值是2a +,
又()10,0m n m n +=>>,于是()112224n m m n m n m n ??
++=++≥+= ???
,11m n ∴+的
最小值为4. 要使()11
x a f x m n
--≤
+的恒成立,则24a +≤,解此不等式得62a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]6,2-.