云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学(文).doc

云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学(文)试

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合{}

{}2

|9,|1M x x N x x =≤=≤,则M N = ( )

A .[]3,1-

B .[]1,3

C .[]3,3-

D .(],1-∞ 2.已知复数z 满足

2i

1i z

=-,则z =( ) A .1i -- B .1i -+ C .1i - D .1i +

3. 已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的离心率为53,则其渐近线方程为( )

A .20x y ±=

B . 20x y ±=

C .340x y ±=

D .430x y ±=

4.中国古代数学著作《张丘建算经》(成书约公元5世纪)卷上二十三“织女问题”:今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.问日益几何.其意思为:有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织5尺,经过一个月30天后,共织布九匹三丈.问每天多织布多少尺? (注:1匹4=丈,1丈10=尺).此问题的答案为( ) A .390尺 B .

1631尺 C. 1629尺 D .13

29

尺 5. 执行如图所示的程序框图,正确的是( )

A .若输入,,a b c 的值依次为1,2,3,则输出的值为5

B .若输入,,a b c 的值依次为1,2,3,则输出的值为7

C .若输入,,a b c 的值依次为2,3,4,则输出的值为8

D .若输入,,a b c 的值依次为2,3,4,则输出的值为10

6. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A .24π

B .30π C.42π D .60π 7. 函数sin 3

6y x π

π??=+

???的图象可由函数cos 3y x π=的图象至少向右平移(0)m m >个

单位长度得到,则m =( ) A .1 B .

12 C.6π D .2

π

8. 在ABC ?中,AH BC ⊥于H ,点D 满足2BD DC =

,若AH = AH AD =

( )

A .2 C..4

9.圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的,即圆在任意方向都有相同的宽度,具有这种

性质的曲线可称为“等宽曲线”.事实上存在着大量的非圆等宽曲线,以工艺学家鲁列斯

()Re uleaux 命名的鲁列斯曲边三角形,就是著名的非圆等宽曲线.它的画法(如图1):画

一个等边三角形ABC ,分别以,,A B C 为圆心,边长为半径,作圆弧 ,,BC CA AB ,这三段

圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内(如图2).

图1 图2

在图2中的正方形内随机取一点,则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为( )

A .

8

π

B .

24π- C.2

π D .2π

10. 已知抛物线()220y px p =>上的点到焦点的距离的最小值为2,过点()0,1的直线l 与抛物线只有一个公共点,则焦点到直线l 的距离为( )

A .1 2

B .1或2或2. 211.已知关于x 的方程

1

2

a x x =+有三个不同的实数解,则实数a 的取值范围是 ( ) A .(),0-∞ B .()0,1 C.()1,+∞ D .()0,+∞ 12.定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数”如下:函数(),D y f x x =∈,对于给定的非零常数a ,总存在非零常数T ,使得定义域D 内的任意实数x 都有

()()af x f x T =+恒成立,此时T 为()f x 的周期.若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期

函数,且1T =,当[)1,2

x ∈时,()21f x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数,

则实数a 的取值范围为( )

A .5,6??+∞????

B .[)2,+∞ C.5,3??+∞????

D .[)10,+∞

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13.若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥??

--≤??-+≥?

,则2z x y =+的最大值为.

14.曲线sin 3y x π??

=+

??

?

在点? ??

处的切线方程是. 15.已知边长为6的等边ABC ?的三个顶点都在球O 的表面上,O 为球心,且OA 与平面

ABC 所成的角为45 ,则球O 的表面积为.

16.在平面直角坐标系上,有一点列(

)121,,...,,,...N n n P P P P n *

-∈,设点n

P 的坐标(),n

n a ,

其中2

(N )n a n n

*=

∈,过点1,n n P P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n b ,设n S 表示数列{}n b 的前n 项和,则5S =.

三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 在平面四边形ABCD

中,,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥=∠=∠?的面积为2. (1)求AD 的长; (2)求CBD ?的面积.

18.根据“2015年国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据,从2011 年到2015 年,我国的

第三产业在GDP 中的比重如下:

(1)在所给坐标系中作出数据对应的散点图;

(2)建立第三产业在GDP 中的比重y 关于年份代码x 的回归方程; (3)按照当前的变化趋势,预测2017 年我国第三产业在GDP 中的比重.

附注:回归直线方程 y a

bx =+ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1

1

22

2

1

1

()()

()()

n n

i i

i

i

i i n

n

i

i

i i x y nx y x x y y b

x

n x x x ====---==

--∑∑∑∑ , a

y bx =- .

19. 在三棱柱111ABC A B C -中,已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC

的中点,

13,2,AC AB BC CC ===

(1)证明:1B C ⊥平面1AMC ; (2)求点1A 到平面1AMC 的距离.

20. 在直角坐标系xOy 中, 已知定圆()2

2

:136M x y ++=,动圆N 过点()1,0F 且与圆

M 相切,记动圆圆心N 的轨迹为曲线C .

(1)求曲线C 的方程;

(2)设,A P 是曲线C 上两点,点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P ),若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ,证明:OS OT 为定值

.

21. 设函数()()2,ln x f x x e g x x x -==.

(1)若()()()F x f x g x =-,证明:()F x 在()0,+∞上存在唯一零点; (2)设函数()()(){}

min ,h x f x g x =,({}m i n ,a b 表示,a b 中的较小值)

,若()h x λ≤,求λ的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. 选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中,直线l

的参数方程为122(2

x t t y ?

=-+??

??=??为参数),以坐标原点为极

点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线1C

的极坐标方程为ρ. (1)写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程; (2)若将曲线1C

2

倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上任意一点,求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()2f x x =+.

(1)解不等式()241f x x <--;

(2)已知()10,0m n m n +=>>,若不等式()11

x a f x m n

--≤+恒成立,求实数a 的取值范围.

云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学(文)

试题参考答案

一、选择题

1-5:ABDCC 6-10:AABDB 11-12:CC

二、填空题

13.8 14. 20x y -= 15.96π 16.

125

6

三、解答题

17. 解:(1)由已知11sin 2sin 222

ABD S AB BD ABD ABD ?=

∠=?∠= ,所以

sin 5ABD ∠=

,又0,2ABD π??

∠∈ ???

,所以cos 5ABD ∠=,在ABD ?中,由余弦定

理得:2

2

2

2cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠=

,所以AD =

(2)由AB BC ⊥,得2

ABD CBD π

∠+∠=

,所以sin cos CBD ABD ∠=∠=

,又 42,sin 2sin cos 5

BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=

,222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ??

∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠ ???

所以CBD ?为等腰三角形,即CB CD =,在CBD ?中,由正弦定理得:

sin sin BD CD

BCD CBD

=∠∠,

所以

sin 51155455,sin 4sin 42244585

CBD

BD CBD

CD S CB CD BCD BCD

?∠=

=

==∠=???=∠ .

18. 解:(1)数据对应的散点图如图所示:

(2)3,47.06x y ==,1

1

22

2

1

1

()()

15

1.510

()

()

n n

i i

i

i

i i n

n

i

i

i i x y nx y x x y y b

x

n x x x ====---==

=

=--∑∑∑∑ , 42.56a

y bx =-= , 所以回归直线方程为 1.542.56y x =+.

(3)代入2017 年的年份代码7x =,得 1.5742.5653.06

y =?+=,所以按照当前的变化趋

势,预计到2017年,我国第三产业在GDP 中的比重将达到0053.06.

19. 解:(1) 证明:在ABC ?中,,AC AB M =为BC 的中点,故AM BC ⊥,又侧棱1CC ⊥底面ABC ,所以1CC AM ⊥,又1B C C C C = ,所以AM ⊥平面11BCC B ,则1

A M

B C

⊥,

在1R t BCB ?中,

11tan B B B CB BC ∠=

=;在1R t MCC ?

中,11tan 2MC MC C C C ∠===,所以11B CB MC C ∠=∠,

又1

1190BCB C CB ∠+∠=

,所以11190MC C C CB ∠+∠=

,即11MC B C ⊥,又11,AM B C AM MC M ⊥= ,所以1B C ⊥平面1AMC .

(2)设点1A 到平面1AMC 的距离为h ,由于

1111111,A AMC M A AC C AMC A AMC C AMC V V V V V -----==∴=,即1111

33AMC AMC S h S CC ??=

,于是

11

11111

22

AMC AMC AM MC CC S CC MC CC h S C M AM C M ??=====

所以点1A 到平面1AMC

20. 解:(1)因为点()1,0F 在()2

2

136M x y ++=:内,所以圆N 内切于圆M ,则

6NM NF FM +=>,由椭圆定义知,圆心N 的轨迹为椭圆,且26,1a c ==,则2

2

9,8a b ==,所以动圆圆心N 的轨迹方程为22

198

x y +

=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ,则()11,B x y -,由题意知01x x ≠±.则

1010AP y y k x x -=

-,直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-,令0y =,得0110

10

S x y x y x y y -=-

,同

理()()01100110

10

10T x y x y x y x y x y y y y --+=

=--+,于是

2222

01100110011022

101010

S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+- , 又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上,故222

2010181,8199x x y y ????=-=- ? ?????,则 ()()222

2

2222222222

011

001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ????-=--=---

=- ? ????

?. 所以()()222222

01011022

2210

018989

x x x y x y OS OT y y x x --===-- . 21. 解:(1)函数()F x 的定义域为()0,+∞,因为()2ln x F x x e x x -=-,当01x <≤时,

()0F x >,而()2

4

22ln 20F e =

-<,所以()F x 在()1,2存在零点.因为()()()()()2

211

'ln 1ln 1x x

x x x F x x x e e

---+=-+=-+,当1x >时,()()2

1111,ln 11x x

x x e e e

--+≤<-+<-,所以()1

'10F x e <-<,则()F x 在()1,+∞上单调递减,所以()F x 在()0,+∞上存在唯一零点.

(2)由(1)得,()F x 在()1,2上存在唯一零点0x ,()00,x x ∈时,

()()()0;,f x g x x x >∈+∞时,

()()()()[)020ln ,0,,,,x x x x x f x g x h x x e x x -∈??<∴=?∈+∞??.当()00,x x ∈时,由于(]()0,1,0x h x ∈≤;

()01,x x ∈时,()'ln 10h x x =+>,于是()h x 在()01,x 单调递增,则()()00h x h x <<,

所以当00x x <<时,()()0h x h x <.当[)0,x x ∈+∞时,因为()()'2x h x x x e -=-,[]0,2x x ∈时,()'0h x ≥,

则()h x 在[]0,2x 单调递增;()2,x ∈+∞时,()'0h x <,则()h x 在()2,+∞单调递减,于是当0x x ≥时,()()224h x h e -≤=,所以函数()h x 的最大值为

()224h e -=,所以λ的取值范围为)24,e -?+∞?

. 22. 解:(1)直线l

0y -+=,曲线1C

的参数方程为

(x y θ

θθ

?=??

=??为参数). (2)由题意知,曲线2C

的参数方程为cos (x y θ

θθ

=???=??为参数),

可设点()

cos P θθ,

故点P 到直线l

的距离为d =

=

,所以min d =

P 到直线l

23. 解:(1)不等式()241f x x <--等价于2214x x ++-<,即

()2

2214x x x ≤-???

-+-+

或 ()212214x x x -<

x x x ≥???++-

-<≤-?

???或{}|21x x -<-或?,

所以不等式的解集为7|13x x ?

?-

<<-????

. (2)因为()222x a f x x a x x a x a --=--+≤---=+,所以()x a f x --的最大值是2a +,

又()10,0m n m n +=>>,于是()112224n m m n m n m n ??

++=++≥+= ???

,11m n ∴+的

最小值为4. 要使()11

x a f x m n

--≤

+的恒成立,则24a +≤,解此不等式得62a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]6,2-.

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