高中数学新课 立体几何 教案 (11)

课 题：9．4直线和平面垂直 (三)

教学目的：

1．掌握三垂线定理及其逆定理的证明

2．正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直 教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明

教学难点： 用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

三垂线定理和逆定理是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理和性质定理借助于直线的射影，平面上垂直于斜线射影的直线，则与斜线垂直；相反，平面上的直线若垂直于斜线，则亦垂直干斜线的射影，这就是三垂线定理和逆定理的内容可见，三垂线定理和逆定理有两方面作用一方面，把判定空间两直线垂直的问题转化为判定平面内两直线的垂直问题；另一方面，又把平理及逆定理是使空间两直线垂直与平面内两直线垂直相互转化的工具，它们在空间图形的计算和证明中有着广泛的应用因此它几乎成为高考立体几何中每年必考的内容，关于这部分内容的考查，主要是：

（l ）在复杂的空间图形中，抽取出三垂线定理或逆定理所涉及的斜线、斜线在平面内的射影、平面内与射影（或斜线）垂直的直线； （2）正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直；

（3）能利用三垂线定理或逆定理把空间两直线垂直问题与平面上西直线垂直问题相互转化；

（4）利用三垂线定理或逆定理寻求直线与平面所成的角，二面角的平面角，点到平面的距离等 教学过程：

一、复习引入：

1

（1）直线在平面内a α?（无数个公共点）；

（2）直线和平面相交a A α= （有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行//a α（没有公共点） 2

定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：,,////l m l m l ααα???

β

α

m

l

3

定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

推理模式：//,,//l l m l m αβαβ?=? 4 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足

直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

6 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行

二、讲解新课：

1 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

已知：,P O P A 分别是平面α的垂线和斜线，O A 是

P A 在平面α内的射影，a α?，且a O A ⊥ 求证：a P A ⊥； 证明：∵P O α⊥

∴P O a ⊥，又∵,a O A P O O A O ⊥=

∴a ⊥平面P O A ， ∴a P A ⊥． 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；

（2）推理模式：,,P O O P A A a P A a a O A αααα⊥∈?

?

=?⊥???⊥?

2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂

直，那麽它也和这条斜线的射影垂直

推理模式： ,,P O O P A A a A O a a A P αααα⊥∈?

?

=?⊥???⊥?

．

注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内

一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用 三、讲解范例：

例1 已知：点O 是A B C ?的垂心，P O A B C ⊥平面，垂足为O ， 求证：P A B C ⊥．

证明：∵点O 是A B C ?的垂心，

P

∴A D B C ⊥

又∵P O A B C ⊥平面，垂足为O ，

P A A B C A = 平面

所以，由三垂线定理知，P A B C ⊥．

例2 的射影在这个角的平分线上

已知：∠BAC 在α内，P ?α，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F 且PE=PF ，PO ⊥α 求证：O 在∠BAC 的平分线上（即∠BAO=∠CAO ）

证明：连接OE ，OF ∵PO ⊥α

∴EO ，FO 分别为PE ，PF 在α上的射影

∵PE=PF ∴OE=OF ∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC

∴OE ⊥AB ，OF ⊥AC(三垂线定理的逆定理 ) ∴O 到∠BAC 两边距离相等 ∴O 在∠BAC 的平分线上 变式：

已知：B A C ∠在平面α内，点,,,P P E A B P F A C P O αα?⊥⊥⊥，垂足分别为,,,E F O PE PF =，

求证：B A O C A O ∠=∠．

证明：∵,,P E A B P F A C P O α⊥⊥⊥， ∴,A B O E A C O F ⊥⊥（三垂线定理逆定理） ∵,P E P F P A P A ==，

∴R t P A E R t A O F ???， ∴A E A F =，又∵A O A O =， ∴R t A O E R t A O F ??? ∴B A O C A O ∠=∠．

推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那麽斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线

例3．在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心 求证：⑴PH ⊥底面ABC ⑵△ABC 是锐角三角形.

证明：⑴∵PA ⊥PB PA ⊥PC 且PB ∩PC=P ∴PA ⊥侧面PBC

又∵BC ?平面PBD ∴PA ⊥BC

∵H 是△ABC 的垂心 ∴AH ⊥BC

∵PA ∩AH=A ∴BC ⊥截面PAH

又PH ?平面PAH ∴BC ⊥PH 同理可证：AB ⊥PH 又AB ?BC=B ∴PH ⊥面ABC ⑵设AH 与直线BC 的交点为E ，连接PE

α

P

O E

F C B

A

由⑴知PH ⊥底面ABC ∴AE 为PE 在平面ABC 的射影 由三垂线定理：PE ⊥BC

∵PB ⊥PC 即△BPC 是直角三角形，BC 为斜边 ∴E 在BC 边上 由于AE ⊥BC ，故B ∠C 都是锐角 同理可证：∠A 也是锐角 ∴△ABC 为锐角三角形 四、课堂练习：

1．选择题

（1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ） （A ）4个 （B ）6个

（C ）7个 （D ）8个

（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）没有 （B ）有一条

（C ）有无数条 （D ）α内所有直线 答案：（1）D (2) C 2．填空题

（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，P A ⊥α，P A =a ，则P 到CD

的距离为 ，P 到BC 的距离为 .

（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60o角，

OC ?α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45o， 则A 到直线OC 的距离是 ， ∠AOC 的余弦值是 . 答案：（1）a a 2

7,

2; （2）

4

2,

4

14a

3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D . 分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD, A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,

所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .

五、小结 ：三垂线定理及其逆定理的证明 用三垂线定理及其逆定理的应用 六、课后作业：

1.（1）下列命题中正确的是 ()

①两条异面直线在同一平面内的射影必相交． ②与一条直线成等角的两条直线必平行． ③与一条直线都垂直的两直线必平行．

A

A ′ C

α

O

C

1

④同时平行于一个平面的两直线必平行． （A ）①、②；（B ）①、③；（C ）②、④；（D ）以上都不对．

（2）平面α过△ABC 的重心，B 、C 在α的同侧，A 在α的另一侧，若A 、B 、C 到平面α的距离分别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 间的关系为() 2a =b +c ；（B ）a =b +c ；（C ）2a =3(b +c )；（D ）3a =2(b +c )．

（3）若斜线和平面所成的角为α，此斜线与此平面内任一直线所成的角为β，则 （A ）α≤β；（B ）α=β；（C ）α≥β；（D ）α与β的大小关系不确定． （4）已知正△ABC 的边长为

33

4，则到三个顶点的距离都为1的平面有 ()

1个；（B ）3个；（C ）5个；（D ）7个．

（5）若空间∠α的两边分别与∠β的两边互相垂直，则∠α与∠β的关系为 ( ) 相等；（B ）互补；（C ）相等或互补；（D ）不确定． 答案：⑴D ⑵B ⑶A ⑷C ⑸D

2.（1）P 是△ABC 所在平面外一点，O 是P 点在平面α上的射影．若P 到△ABC 三边的距离相等，则O 是△ABC 的 心；若P 到△ABC 三个顶点的距离相等，则O 是△ABC 的 心；若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则O 是△ABC 的 心． （2）已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60?，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 ．

（3）已知直线a ∥b ，a 平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 ． （4）AB ∥CD ，它们都在平面α内，且相距28．EF ∥α，且相距15．EF ∥AB ，且相距17．则EF 和CD 间的距离为 ．

（5）已知△ABC 中，A ∈α，BC ∥α，BC =6，∠BAC =90?，AB 、AC 与平面α分别成30?、45?的角．则BC 到平面α的距离为 ． 答案：⑴内 ，外 ，垂 ⑵

3

3 ⑶b ∥α 或 b α ⑷25或39 ⑸6

3．如图，已知CD 是异面直线CA 、DB 的公垂线，CA ⊥α于A ，DB ⊥β于B ，α∩β=EF ．求

证：CD ∥EF ．

证明：设CD 、CA 确定平面γ，γ∩α=AA 1．∵CA ⊥α于A ，

∴CA ⊥AA 1．又∵CA ⊥CD ，CA 、CD 、AA 1都在平面γ内， ∴CD ∥AA 1．设CD 、DB 确定平面δ，δ∩β=BB 1．同理有 CD ∥BB 1，∴BB 1∥CD ∥AA 1．∵AA 1 α，∴BB 1∥α．

∵BB 1 β，α∩β=EF ，∴EF ∥CD ．

4．如图，已知AO 是四面体ABCD 的高，M 是AO 的中点，连结BM 、CM 、DM ．求证：BM 、CN 、DM 两两垂直．

证明：设正四面体的棱长为a ．∵AO 是高,∴O 是正三角形BCD 的中心．

δ γ β

α F

E

D C

B

A B 1 A 1

连结OD ,则OD =

a a 3

32

33

2=

?

．在Rt △AOD 中,AO =

a

3

6,OM =

a

6

6；

在Rt △MOD 中，DM =

a

2

2．同理CM =

a

2

2，∴CM 2+DM 2=CD 2

．

∴CM ⊥DM ．同理BM ⊥CM ，DM ⊥BM ．∴BM 、CM 、DM 两两垂直．

5．如图，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=PB=PC ，G 是△PAB 的重心，E 是BC 上的一点，且BE =

3

1BC ，F 是PB 上的一点，且PF =3

1

PB ．求证：（1）GF ⊥平面PBC ；（2）

FE ⊥BC ；（3）GE 是异面直线PG 与BC 的公垂线．

证明：（1）连结BG 和PG ，并延长分别交PA 、AB 于M 和D ，

在△PBM 中，∵PF =

3

1PB ，G 是△PAB 的重心，∴MG =3

1

BM ，

∴GF ∥PM ．又PA ⊥PB ,PA ⊥PC ，∴PA ⊥平面PBC ，则GF ⊥平面PBC ． （2）在EC 上取一点Q 使CQ =

3

1BC ，连结FQ ，又PF =3

1

PB ，

∴FQ ∥PC ．∵PB =PC ，∴FB =FQ ．∵BE =3

1BC ，∴E 是BQ 的中点，∴FE ⊥BQ ，即

FE ⊥BC ．

（3）连结GE ．∵GF ⊥平面PBC ，∴由三垂线定理得GE ⊥BC 于E ．取BF 中点N ，连结EN ，则EN ∥FQ ∥P C ．∵PC ⊥平面PAB ，∴EN ⊥平面PAB ．连结NG ，那么NG 是EG 在平面PAB 上的射影．在Rt △PDB 中，∵NG ∥DB ，∴NG ⊥PD ，由三垂线定理得EG ⊥PD 于G ，∴GE 是异面直线PG 与BC 的公垂线．

6．如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ，AD = b ，PA ⊥平面ABCD ，PA =2c ，Q 是PA 的中点．

求（1）Q 到BD 的距离；（2）P 到平面BQD 的距离．

解：（1）在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD 于E ，连结QE ．

∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ，∴QE 的

长是Q 到BD 的距离．在矩形ABCD 中，AB =a ，AD =b ， ∴AE =

2

2

b

a ab

+．在Rt △QAE 中，QA =

2

1PA =c ，

∴QE =2

2

222

2

2b a b

a c AE

QA ++

=+．

∴Q 到BD 的距离为2

222

2

b

a

b a

c ++

．

O

M

D

C

B

A N M G F

E D

C

B P A

Q

H E

Q

P D

C

B

A

（2）∵平面BQD 经过线段PA 的中点，∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离．在△AQE 中，作AH ⊥QE 于E ．∵BD ⊥AE ，BD ⊥QE ，∴BD ⊥平面AQE ．∴BD ⊥AH ，AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离． 在Rt △AQE 中，∵AQ =c ，AE =

2

2

b a ab

+，∴AH =

2

22

2

2

2

a

c c

b b

a abc

++．

∴P 到平面BQD 的距离为

2

22

2

2

2

a

c c

b b

a abc ++

七、板书设计（略）

八、课后记：