中考压轴题及答案---图形的旋转

初三数学中考压轴题复习——图形的旋转

一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）

1．（10分）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．

（1）求证：△MNC是直角三角形；

（2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，

①当直线AD与⊙N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系；

②当S△MNC=S△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．

2．（10分）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，

（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；

（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；

②当时，求AD的长．

3．（10分）将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，在AE上取点N，使∠MCN=90°．设AC=2，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．（1）求证：MN∥DE；

（2）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，

①当直线AD与⊙N相切时，试S△MNC与S△ABC之间的关系；

②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时，试探求直线AD与⊙N的各种位置．

4．（10分）含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．

（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α=_________°；

（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；

（3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．

5．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D 上，使三角板绕点D旋转．

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明．

（2）如图1，设AF=x，四边形CEDF的面积为y．求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围．

（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E，连接AE与CD延长线交于H，如图2，求DH的长．

6．（10分）已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．

（1）如图①，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）．

（2）如图②，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE=x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）若BD=2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F，另一条直角边交射线AB于点E．设

7．（10分）把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF长均为4．

（1）当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值；

（2）现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α＜30°（如图②），EG交AC于点K，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；

（3）在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（4）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出相应的旋转角α；若不存在，说明理由．

8．（10分）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．

（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；

（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如图3，求PE的

长．

9．（10分）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．

（1）当α=30°时，求x的值．

（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．

10．（10分）操作：在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．

探究：（1）如图①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则重叠部分四边形DCEP的面积为_________，周长

_________．

（2）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．

（3）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由．

答案与评分标准

一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）

1．（10分）（2008?邵阳）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．

（1）求证：△MNC是直角三角形；

（2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，

①当直线AD与⊙N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系；

②当S△MNC=S△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．

考点：二次函数综合题；勾股定理的逆定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质。

专题：综合题；压轴题；分类讨论。

分析：（1）利用平行线的性质和等量代换，易得△ABM∽△ACN，再由等量代换得到∠MCN=90°即可；

（2）由于△MNC是直角三角形，则有S△MNC=MN?CN，而MC=4﹣x，故利用相似三角形的对应边成比例用含x

的代数式表示出CN，就可求得S△MNC的函数关系式．

（3）①当直线AD与⊙N相切时，利用AN=NC，确定出CN的值后，用2中的S△MNC的函数关系式，确定S△MNC 与S△ABC之间的关系；②当S△MNC=S△ABC时，求得x的值，讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系．

解答：解：（1）MN∥DE，∴，

又∵AD=AB，AE=AC，∴，

又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，

∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，

∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，

∴AC=2，AB=2，

∴△ABM∽△ACN，∴，

∴，

∴S△MNC=MN?CN=（4﹣x）?x=（4x﹣x2）（0＜x＜4）．

（3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，

∵△ABM∽△ACN，

∴，∴AM=MB．

∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．

∴△AMC是等边三角形，有AM=MC=BM=BC=2，即x=2．

S△MNC=（4x﹣x2）=，∵S△ABC=AB?AC=2，

∴S△MNC=S△ABC．

②当S△MNC=S△ABC时

∴S△MNC=（4x﹣x2）=解得x=1或x=3．

（i）当x=1时，

在Rt△MNC中，MC=4﹣x=3，∴MN==

∵，即AN＞NC，

∴直线AD与⊙相离．

（ii）当x=3时，

同理可求出，NC=，MC=1，MN=2，AN=1

∴NC＞AN

∴直线AD与⊙相交．

点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质求解，运用了分类讨论的思想．

2．（10分）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，

（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；

（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；

②当时，求AD的长．

考点：相似三角形的判定与性质；旋转的性质；平行线分线段成比例。

专题：压轴题；数形结合；分类讨论。

分析：（1）由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°；

（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知、及由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE；根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得（0＜x＜2）；

②先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x；当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x﹣2．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，

∴∠ABC=60°．（1分）

∴△B′BC为等边三角形．（2分）

∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）

（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．

∵DE∥A'B'，

∴．（1分）

由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．

∴，（1分）

∴．

∴△CAD∽△CBE；（1分）

∴．

∵∠A=30°

∴=．（1分）

∴（0＜x＜2）（2分）

②当0°＜α＜90°时，点D在AB边上．

AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x，

∵DE∥A′B′，

∴，

由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．

∴，

∴，

∴△CAD∽△CBE，

∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，

∴∠DBE=90°．

此时，．

当S=时，．

整理，得x2﹣2x+1=0．

解得x1=x2=1，即AD=1．（2分）

当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图）．

仍设AD=x，则BD=x﹣2，∠DBE=90°，．当S=时，．

解得，（负值，舍去）．

即．（2分）

综上所述：AD=1或．

点评：本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识．解决本题的关键是结合图形，分类讨论．

3．（10分）将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，在AE上取点N，使∠MCN=90°．设AC=2，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．（1）求证：MN∥DE；

（2）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，

①当直线AD与⊙N相切时，试S△MNC与S△ABC之间的关系；

②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时，试探求直线AD与⊙N的各种位置．

考点：切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；旋转的性质。

分析：（1）由题意推出∠B=∠NCA，通过求证△ABM∽△ACN，根据对应边成比例，通过等量代换推出AM：AD=AN：AE，即可得MN∥DE，（2）①当直线AD与⊙N相切时，利用AN=NC，通过求证△ABM∽△ACN，确定出CN，

MC的值后，即可推出S△MNC与S△ABC之间的关系；②首先确定若S△MNC=S△ABC时，探求直线AD与⊙N的各

种位置，设BE=x，根据题意求出x的值，然后讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系．

解答：（1）证明：∵∠MCN=90°，∠BAC=90°，

∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，

∴∠B=∠NCA，

∵∠BAM=∠CAN，

∴△ABM∽△ACN，

∴AM：AB=AN：AC，

∵AB=AD，AE=AC，

∴AM：AD=AN：AE，

∴MN∥DE，

（2）解：①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，

∵△ABM∽△ACN，

∴BM：CN=AB：AC，AM：AN=MB：NC，

∵∠BAC=90°，

∵∠B=30°，

∴∠α=30°，∠AMC=60°，

∵AC=2，

∴BC=4，AB=2，

∵BM：CN=AB：AC，

又∵∠ACB=90°﹣30°=60°，

∴△AMC是等边三角形，

∴AM=MC=AC=2，

∴MB=2，

∵BM：CN=AB：AC，

∴CN=，

∴S△MNC==，S△ABC=AB?AC=2，

∴S△MNC=S△ABC，

②若S△MNC=S△ABC时，探求直线AD与⊙N的各种位置，设BM=x，

∴S△MNC=MC?NC=?2，

∵BM：CN=AB：AC，

∴CN=，

∴（4﹣x）×=

∴解得x=1或x=3．

（i）当x=1时，

在Rt△MNC中，MC=4﹣x=3，

∴MN2=NC2+MC2，

∴MN=，

∵MN∥DE，

∴AN：AE=MN：DE，

∴AN=，

∵CN=

∵＞，即AN＞NC，

∴直线AD与⊙相离．

（ii）当x=3时，

∴NC=3，

在Rt△MNC中，MC=4﹣3=1，

∴MN=2，

∵MN∥DE，

∴AN：AE=MN：DE，

∴NC＞AN，

∴直线AD与⊙相交．

点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式，直角三角形的性质、圆与直线的位置关系、切线的性质等知识点的综合运用能力，关键在于运用了分类讨论的思想进行分析、通过求证相关三角形相似，推出对应边成比例，熟练运用等量代换、认真求出相关线段的长度．

4．（10分）含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．

（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α=60°；

（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；

（3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．

考点：直线与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）有旋转可得出∠α；

（2）①如图1，点D在AB边上时，m=2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．由相似和旋转的性质得出∠A=∠CBE=30°．从而得出m的值；

（3）先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB ﹣AD=2﹣x，得出直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x﹣2，得出直线A′C与⊙E 相交．

解答：解：（1）当A′B′过点B时，α=60°；

（2）猜想：①如图1，点D在AB边上时，m=2；

②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．

证明：①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图1）．

∵DE∥A′B′，

∴．

由旋转性质可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．

∴．

∴△CAD∽△CBE．

∴∠A=∠CBE=30°．

∵点D在AB边上，∠CBD=60°，

∴∠CBD=2∠CBE，即m=2．

②当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图2）．

与①同理可得∠A=∠CBE=30°．

∵点D在AB的延长线上，∠CBD=180°﹣∠CBA=120°，

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，

∴AB=2，，．

由△CAD∽△CBE得．

∵AD=x，

∴，．

①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x，∠DBE=90°．

此时，．

当S=时，．

整理，得x2﹣2x+1=0．

解得x1=x2=1，即AD=1．

此时D为AB中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE．（如图3）

∴EC=EB．

∵∠A′CB′=90°，点E在CB′边上，

∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB．

∴直线A′C与⊙E相切．

②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x﹣2，∠DBE=90°．（如图2）.

．

当S=时，．

整理，得x2﹣2x﹣1=0．

解得，（负值，舍去）．

即．

此时∠BCE=α，而90°＜α＜120°，∠CBE=30°，

∴∠CBE＜∠BCE．

∴EC＜EB，即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB．

∴直线A′C与⊙E相交．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质以及旋转的性质，是一道综合题，难度较大．

5．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D 上，使三角板绕点D旋转．

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明．

（2）如图1，设AF=x，四边形CEDF的面积为y．求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围．

（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E，连接AE与CD延长线交于H，如图2，求DH的长．

考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形。

专题：计算题。

分析：（1）延长ED至DG，使DG=DE，连接AG，FG，证明△BED≌△AGD，可以得出∠GAD=∠B，AG=BE，由∠BAC+∠B=90°，得出∠GAF=90°，得出△GAF是直角三角形，∵MD⊥DN，GD=DE，得出FG=EF，由勾股定理就可以得出AG2+AF2=FG2，从而得出结论．

（2）作FR⊥AB，ES⊥AB分别于R、S，再Rt△ARF中由勾股定理可以表示出FR，从而可以表示出△FAD的面积，由勾股定理，得CF2+CE2=EF2，再由（1）的结论建立等量关系表示出BE，从而求出ES，就可以表示出△EDB的面积，进而可以表示出y的值．

（3）作AP⊥MD，交MD的延长线于点P，由条件可以求出AP=，DE=2，EC=4，可以求出△ACE的面积，然后用S△AHC+S△CHE=S△AEC建立等量关系可以求出CH的值，再减去CD的值就求出了DH．

解答：解：（1）线段EF与AF、BE的关系为：EF2=AF2+BE2．理由如下：

延长ED至DG，使DG=DE，连接AG，FG，如图1，

∵FD⊥GN，

∴FG=EF．

∵D是AB中点，

∵∠ADG=∠EDB，

∴△BED≌△AGD，

∴AG=BE，∠GAD=∠B．

∵△ABC是直角三角形，

∴∠BAC+∠B=90°，

∴∠BAC+∠DAG=90°，

∴AG2+AF2=FG2．

∴EF2=AF2+BE2．

（2）作FR⊥AB，ES⊥AB，（如图3）

∴∠FRA=∠ESB=90°．

∵∠A=30°，

∴∠B=60°，

∴∠SEB=30°，

∴SB=BE，SE=SB．

∵在Rt△FCE中，由勾股定理，得，CF2+CE2=EF2，

∵EF2=AF2+BE2，

∴CF2+CE2=AF2+BE2，

∵∠A=30°，BC=2，

∴AB=4，AC=2，

∴CF=2﹣x，CE=2﹣BE．

∴（2﹣x）2+（2﹣BE）2=x2+BE2∴BE=4﹣x，

∴SB=2﹣x，

∴SE=2﹣x，

∴y=×2×2﹣2×x?﹣×2×（2﹣x），

y=2﹣x﹣2+x，

y=x

当E点与C点重合时，ED=CD=2，DF=，则CF=，∴x=；

当E点与B点重合时，AF=，

∴x的取值范围为：≤x≤

（3）作AP⊥MD，（如图2）

∵CD=2，

∴DE=2，EC=4，

∴S△AHC+S△CHE=S△AEC．

∴×CH+×CH×2=×4×2，

∴CH=，

∴DH=﹣2=

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，含30°的直角三角形的性质．

6．（10分）已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．

（1）如图①，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）．

（2）如图②，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE=x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）若BD=2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F，另一条直角边交射线AB于点E．设CF=x（x＞1），重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质。

分析：（1）由旋转的性质可得出重叠部分AEDF的面积等于三角形ABC面积的一半．

（2）过点D作DM⊥AB，则（3﹣x）（0≤x≤3且x≠）．

（3）分两种情况：①如图①，连接AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，N．则y=x+（1＜x≤2）；

②如图②，过点D作AC的垂线，垂足为N，则y=﹣x（2＜x≤3）．

（2）过点D作DM⊥AB，垂足为点M，（3﹣x）（0≤x≤3且x≠）．

（3）①如图①，连接AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，N．

∵AB=AC=3，∠BAC=90°，

∴BC=3．

∵BD=2CD，

∴BD=2，CD=．

易得DN=1，DM=2，

易证∠EDM=∠FDN，

∵∠DME=∠DNF=90°，

∴△DME∽△DNF．

∴．

∴ME=2（x﹣1）．

∴AE=2（x﹣1）+1=2x﹣1．

∴．

②如图③，过点D作AC的垂线，垂足为N，

∵AB=AC=3，∠BAC=90°，

∴BC=3．

∵BD=2CD，

∴BD=2，CD=．

易得DN=1，

∴．

∴

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及根据实际问题列一次函数的关系式．

7．（10分）把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF长均为4．

（2）现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α＜30°（如图②），EG交AC于点K，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；

（3）在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（4）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出相应的旋转角α；若不存在，说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质。

分析：（1）根据30°的直角三角形的三边关系，利用已知条件和勾股定理可以求出直角三角形的三边长度，利用三角形的中位线可以求出GK，和GH的值，可以求出其比值．

（2）作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，利用三角形相似可以求出GH与GK的比值不变．

（3）△GKH是直角三角形，两直角边的比知道，可以把GK也用x的式子表示出来，最后直接利用三角形的面积公式就可以求出函数的解析式．

（4）当逆时针旋转30°或90°时，如图就可以证明△EGH≌△FBH，得到∠GEK=∠GFB，从而得到∠FGB=∠GFB，得到边相等，得出结论，旋转90°时也是得出∠BGF=∠F，而得到结论．

解答：解：（1）∵∠ACB=∠EGF=90°，∠B=∠F=30°

∴AC=AB，EG=EF

∵AB=EF=4

∴AC=EG=2，在Rt△ACB和Rt△EGF中，由勾股定理得

BC=GF=2

∵GE⊥AC，GF⊥BC

∴GE∥BC，GF∥AC

∵G是AB的中点

∴K，H分别是AC、CB的中点

∴GK，GH是△ABC的中位线

∴GK=BC=

GH=AC=1

∴GH：GK=1；

（2）不变，

作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，

∴∠GMC=∠GNH=90°由旋转的性质可知：

∠2=∠1

∴△GMK∽△GNH

∴

∴GH：GK=1：

∴旋转角α满足条件：0°＜α＜30°时，GH：GK的值比值不变．

（3）连接KH，∵∠EGH=90°

∴S△EGH=

∵GH=x，且GH：GK=1：

∴x：GK=1：

∴GK=x

∴y=

（），

（4）存在，如下图，当α=30°或α=90°时，△BFG是等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的运用．

8．（10分）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．

（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；

（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如图3，求PE的

长．

考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

分析：（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF=60°，主要再证得PE=PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE=PC来实现；

（2）由（1）不难得出∠CFG=90°，那么在三角形CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角三角形BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积；

（3）可通过证明四边形EPFA是平行四边形来得出PE=AF，从而求出PE的长，证明平行四边形的关键是证∠AEP=∠AFP．可先通过证三角形BEP和CFP是等边三角形从而得出∠BEP=∠PFC=60°来实现．

解答：解：（1）∵PE⊥AB，∠B=60°，

因此直角三角形PEB中，BE=BP=BC=PC，

∴∠BPE=30°，

∵∠EPF=60°，

∴FP⊥BC，

∵∠B=∠C=60°，BE=PC，∠PEB=∠FPC=90°，

∴△BEP≌△CPF，

∴EP=PF，

∵∠EPF=60°，

∴△EPF是等边三角形．

（2）过E作EH⊥BC于H，

由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP=BC=4，BE=CP=BC=2，

在三角形FCP中，∠PFC=90﹣∠C=30°，

∵∠PFE=60°，

∴∠GFC=90°，

∴GC=2CF=8，

∴GB=GC﹣BC=2，

直角三角形BEP中∠EBP=60°，BP=4，

∴PE=2，BE=2，

∴EH=BE?PE÷BP=，

∴S△GBE=BG?EH=；

（3）∵CF=2，AC=6，

∴CF=AC=PC，

∴△CPF是等边三角形，

∴∠FPC=60°，

∴∠BPE=180°﹣60°﹣60°=60°，

又∵∠B=60°，

∴△EBP是等边三角形，

∴∠BEP=∠PFC=60°，

∴∠PEA=∠PFA，

∵∠A=∠EPF=60°，

∴四边形EPFA是平行四边形，

∴PE=AF=6﹣2=4．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用．

9．（10分）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．

（1）当α=30°时，求x的值．

（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．

考点：锐角三角函数的定义；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；直线与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：综合题；压轴题；数形结合。

分析：（1）根据等腰三角形的判定，∠A=∠α=30°，得出x=1；

（2）由直角三角形的性质，AB=2，AC=，由旋转性质求得△ADC∽△BCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；

（3）当S=时，求得x的值，判断⊙E和DE的长度大小，确定⊙E与A′C的位置关系，再求tanα值．

解答：解：（1）∵∠A=a=30°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠BCD=60°．

∴AD=BD=BC=1．

（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°，

∴∠A=∠CBE=30°．

∴AC=BC=，AB=2BC=2．

由旋转性质可知：AC=A′C，BC=B′C，

∠ACD=∠BCE，

∴△ADC∽△BEC，

∴=，

∴BE=x．

∵BD=2﹣x，

∴s=×x（2﹣x）=﹣x2+x．（0＜x＜2）

（3）∵s=s△ABC

∴﹣+=，

∴4x2﹣8x+3=0，

∴，．

①当x=时，BD=2﹣=，BE=×=．

∴DE==．

∵DE∥A′B′，

∴∠EDC=∠A′=∠A=30°．

∴EC=DE=＞BE，

∴此时⊙E与A′C相离．

过D作DF⊥AC于F，则，．∴．

∴．（12分）

②当时，，．

∴，

∴，

∴此时⊙E与A'C相交．

同理可求出．