2018版 第1章 1.3.1 第2课时 函数的最大(小)值

2018版 第1章 1.3.1 第2课时 函数的最大(小)值
2018版 第1章 1.3.1 第2课时 函数的最大(小)值

第2课时 函数的最大(小)值

1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.(重点)

2.了解函数的最大(小)值与定义区间有关,会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值.(重点、难点

)

[基础·初探]

教材整理 函数的最大(小)值

阅读教材P 30至“例3”以上部分,完成下列问题.

1.函数f (x )=1x ,x ∈[-1,0)∪(0,2]( )

A .有最大值12,最小值-1

B .有最大值12,无最小值

C .无最大值,有最小值-1

D .无最大值,也无最小值

【解析】 函数f (x )=1x 在[-1,0)上单调递减,在(0,2]上也单调递减,所以无

最大值,也无最小值,故选D.

【答案】 D

2.函数f (x )=x 2-2x +2,x ∈[-1,2]的最小值为________;最大值为________.

【解析】 因为f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[-1,2],所以f (x )的最小

值为f (1)=1,最大值为f (-1)=5.

【答案】 1 5

[小组合作型]

【精彩点拨】 先把y =x -|x -1|化成分段函数的形式,再画出其图象,并

由图象求值域.

【自主解答】 y =x -|x -1|=?

??

1,x ≥12x -1,x <1, 画出该函数的图象如图所示.

由图可知,函数y =x -|x -1|的值域为(-∞,1].

1.函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标.对

于图象较容易画出来的函数,可借助于图象直观的求出其最值,但画图时要求尽

量精确.

2.利用图象法求函数最值的一般步骤 作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值

[再练一题]

1.已知函数f (x )=???

3-x 2,x ∈[-1,2]x -3,x ∈(2,5]. (1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象;

(2)写出f (x )的单调递增区间及值域. 【导学号:97030053】

图1-3-2 【解】 (1)图象如图所示:

(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[-1,0),(2,5],值域为[-1,3].

求函数f (x )=x +4x 在[1,4]上的最值.

【精彩点拨】 先利用单调性的定义判断函数的单调性,再根据单调性求最

值即可.

【自主解答】 设1≤x 1

=x 1-x 2+4(x 2-x 1)x 1x 2=(x 1-x 2)·?

????1-4x 1x 2=(x 1-x 2)x 1x 2-4x 1x 2=(x 1-x 2)(x 1x 2-4)x 1x 2. ∵1≤x 10,∴f (x 1)>f (x 2),∴f (x )是减函

数.

同理f (x )在(2,4]上是增函数.

∴当x =2时,f (x )取得最小值4,当x =1或x =4时,f (x )取得最大值5.

函数的单调性与其最值的关系

1.若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上是减函数,则f (x )在闭区间[a ,b ]上的最大值

为f (a ),最小值为f (b ).

2.若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上是增函数,则f (x )在闭区间[a ,b ]上的最大值

为f (b ),最小值为f (a ).

3.求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间,若是开区

间,则不一定有最大值或最小值.

[再练一题]

2.已知函数f (x )=1x -2

, (1)判断f (x )在[3,5]上的单调性,并证明; 【导学号:97030054】

(2)求f (x )在[3,5]上的最大值和最小值.

【解】 (1)f (x )在[3,5]上为减函数.

证明:任取x 1,x 2∈[3,5],有x 1<x 2,

∴f(x1)-f(x2)=

1

x1-2

1

x2-2

x2-x1

(x1-2)(x2-2)

.

∵x1<x2,∴x2-x1>0.

又∵x1,x2∈[3,5],∴(x1-2)(x2-2)>0,

x2-x1

(x1-2)(x2-2)

>0,∴f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2),

∴f(x)在[3,5]上是减函数.

(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数,

∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)=1,

f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)=1 3.

每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.规定:每辆自行车的日租金不超过20元,每辆自行车的日租金x元只取整数,并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用y表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得).

(1)求函数y=f(x)的解析式及定义域;

(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元?

【精彩点拨】(1)函数y=f(x)=出租自行车的总收入-管理费;当x≤6时,全部租出;当6<x≤20时,每提高1元,租不出去的就增加3辆,所以要分段求出解析式;

(2)由函数解析式是分段函数,在每一段内求出函数最大值,比较得出函数的最大值.

【自主解答】(1)当x≤6时,y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3.

∵x∈N,∴3≤x≤6,且x∈N.

当6<x ≤20时,y =[50-3(x -6)]x -115=-3x 2+68x -115,

综上可知y =??? 50x -115,3≤x ≤6,x ∈N -3x 2+68x -115,6

(2)当3≤x ≤6,且x ∈N 时,∵y =50x -115是增函数,∴当x =6时,y m ax

=185元.

当6<x ≤20,x ∈N 时,

y =-3x 2+68x -115=-3? ??

??x -3432+8113, ∴当x =11时,y m ax =270元.

综上所述,当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多,为270

元.

1.本题建立的是分段函数模型,分段求出各段的最大值,两段中的最大值

即为所求,其中求一次函数的最值应用单调性,求二次函数的最值则应用配方法.

2.解决实际应用问题,首先要理解题意,然后建立数学模型转化成数学模

型解决;分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键.

[再练一题]

3.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计

规律:每生产产品x (百台),其总成本为G (x )(万元),其中固定成本为2.8万元,

并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收

入R (x )(万元)满足R (x )=???

-0.4x 2+4.2x (0≤x ≤5)11(x >5),假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:

(1)写出利润函数y =f (x )的解析式(利润=销售收入-总成本);

(2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?

【解】 (1)由题意得G (x )=2.8+x .

∵R (x )=???

-0.4x 2+4.2x (0≤x ≤5)11(x >5), ∴f (x )=R (x )-G (x )

=???

-0.4x 2+3.2x -2.8(0≤x ≤5)8.2-x (x >5). (2)当x >5时,函数f (x )递减,

∴f (x )<f (5)=3.2(万元).

当0≤x ≤5时,函数f (x )=-0.4(x -4)2+3.6,

当x =4时,f (x )有最大值为3.6(万元).

所以当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.

[探究共研型]

探究1 上的最大值和最

小值分别是什么?

【提示】 函数f (x )=x 2-2x +2的图象开口向上,对称轴为x =1.

(1)因为f (x )在区间[-1,0]上单调递减,所以f (x )在区间[-1,0]上的最大值为

f (-1)=5,最小值为f (0)=2.

(2)因为f (x )在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,则f (x )在区间[-

1,2]上的最小值为f (1)=1,又因为f (-1)=5,f (2)=2,f (-1)>f (2),所以f (x )在区

间[-1,2]上的最大值为f (-1)=5.

(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增,所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)

=2,最大值为f (3)=5.

探究2 你能说明二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的单调性吗?若求该函数f (x )

在[m ,n ]上的最值,应考虑哪些因素?

【提示】 当a >0时,f (x )在? ????-∞,-b 2a 上单调递减,在? ??

??-b 2a ,+∞上单调递增;

当a <0时,f (x )在? ????-b 2a ,+∞上单调递减,在? ??

??-∞,-b 2a 上单调递增.

若求二次函数f (x )在[m ,n ]上的最值,应考虑其开口方向及对称轴x =-b 2a 与

区间[m ,n ]的关系.

已知函数f (x )=x 2-ax +1,

(1)求f (x )在[0,1]上的最大值;

(2)当a =1时,求f (x )在闭区间[t ,t +1](t ∈R )上的最小值.

【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值.

(2)根据函数在区间[t ,t +1]上的单调性分三种情况讨论,分别求出f (x )的最

小值.

【自主解答】 (1)因为函数f (x )=x 2-ax +1的图象开口向上,其对称轴为x

=a 2,所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远,则在哪个端点取到最大值,

当a 2≤12,即a ≤1时,f (x )的最大值为f (1)=2-a ;

当a 2>12

,即a >1时,f (x )的最大值为f (0)=1. (2)当a =1时,f (x )=x 2-x +1,其图象的对称轴为x =12,

①当t ≥12时,f (x )在其上是增函数,∴f (x )min =f (t )=t 2-t +1;

②当t +1≤12,即t ≤-12时,f (x )在其上是减函数,

∴f (x )min =f (t +1)=? ??

??t +122+34=t 2+t +1; ③当t <12

??12,t +1上单调递增,所以f (x )min =f ? ??

??12=34.

探求二次函数的最值问题,要根据函数在已知区间上的单调性求解,特别要

注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,如果二者的位置关系不确定,那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.

[再练一题]

4.求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.

【导学号:97030055】【解】f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.

(1)当a<0时,由图①可知,f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)min=f(0)=-1,f(x)m ax=f(2)=3-4a.

(2)当0≤a≤1时,由图②可知,对称轴在区间[0,2]内,所以f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)m ax=f(2)=3-4a.

(3)当1

(4)当a>2时,由图④可知,f(x)在[0,2]上为减函数,所以f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)m ax=f(0)=-1.

1.函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])的最小、最大值分别为()

A.3,5 B.-3,5

C.1,5 D.5,-3

【解析】因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是单调递减函数,所以当x=2时,函数的最小值为-3.当x=-2时,函数的最大值为5.

【答案】 B

2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为()

A.[0,3] B.[-1,0]

C.[-1,+∞) D.[-1,3]

【解析】∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y 取得最小值为-1,

当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1,3],故选D.

【答案】 D

3.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是() 【导学号:97030056】A.2 B.-2

C.2或-2 D.0

【解析】由题意,a≠0,当a>0时,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知a=±2.

【答案】 C

4.函数f(x)=6-x-3x在区间[2,4]上的最大值为________.

【解析】∵6-x在区间上是减函数,-3x在区间上是减函数,

∴函数f(x)=6-x-3x在区间上是减函数,

∴f(x)m ax=f(2)=6-2-3×2=-4.

【答案】-4

5.已知函数f(x)=

2

x-1

(x∈[2,6]).

(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;

(2)求函数的最大值和最小值.

【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数.

证明:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1

x1-1

-2

x2-1=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

.

由2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

所以函数f(x)=

2

x-1

是区间[2,6]上的减函数.

(2)由(1)可知,函数f(x)=

2

x-1

在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最

小值,即在x=2时取得最大值,最大值是2,在x=6时取得最小值,最小值是0.4.

一次函数第一课时---教案

《一次函数》的教学设计 教学内容:一次函数 教学目标: 1、知识与技能: 掌握一次函数解析式的特点及意义;理解一次函数图象特征与解析式的联系规律。 2、过程与方法: 利用数形结合思想,进一步分析一次函数与正比例函数的联系,从而提高比较鉴别能力。 3、情感态度与价值观: 通过学习,培养学生独立思考、合作探究,科学的思维方法。 4、法制目标: 通过对新知的应用,向学生渗透《中华人民共和国环境保护法》提高学生对法律的认识。 教学重点: 1、一次函数解析式特点. 2、一次函数图象特征与解析式联系规律。 教学难点: 一次函数图象特征与解析式的联系规律。 教学过程 一、提出问题,创设情境 问题:某登山队大本营所在地的气温为15℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y?与x的关系。 分析:从大本营向上当海拔每升高1km时,气温从15℃就减少6℃,那么海拔增加xkm时,气温从15℃减少6x℃.因此y与x的函数关系式为: y=15-6x (x≥0) 当然,这个函数也可表示为: y=-6x+15 (x≥0) 当登山队员由大本营向上登高0.5km时,他们所在位置气温就是x=0.5时函数y=-6x+15的值,即y=-6×0.5+15=12(℃)。 这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同?它的图象又具备什么特征?我们这节课将学习这些问题。 二、导入新课 1、合作探究: 我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示?它们又有什么共同特点? (1)、有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(℃)有关,即C?的值约是t的7倍与35的差。 (2)、一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值。 (3)、某城市的市内电话的月收费额y(元)包括:月租费22元,拨打电话x分的计时费(按0.01元/分收取)。

3课时函数的最值

函数的最值 学习目标: 会用定义法证明一些简单函数在给定区间上的单调性. 重点: 用定义法证明单调性的步骤. 难点: 证明过程中符号的判断. 自学指导:7679P P 1. 集合的概念; 2. 集合中元素的特征; 3. 元素与集合的关系; 4. 常用数集与记法. 时间:10分钟 知识点: 1. 12121212()(),D ,,()(),D f x f x x x D x x f x f x ?若则f(x)为上的增函数对任意的实数且,若则f(x)为上的减函数 ; 12121212 ()()0,D ,,()()0,D f x f x x x D x x f x f x -?若则f(x)为上的增函数对任意的实数且,若则f(x)为上的减函数. 2.步骤:(1)任取12,x x D ∈,且12x x <; (2)比较12()()f x f x 和的大小;(第一步:作差;第二步:变形;第三步:断号.) (3)下结论. 课堂检测: 1. 求函数23y x =-+的值域. 2. 求函数41y x = -在[2,4]x ∈上的值域.

3.函数245 =--,求: y x x (1)当x R ∈时函数的值域;(2)当{1,0,1,2,3,4} x∈-时函数的值域; (3)当[2,1] x∈-时函数的值域. 课堂小结: 通过本节课,我们学习了几种函数解析式的求法. 作业: 1. P习题3.2A组1,2,3; 80 2.设A={2,4,6,8,10},B={1,9,25,49,81,100},下面的对应关系f能构成A到B的映射的 有() A. 2 :21 :(21) →-- D. 2 →- C. 2 f x x x f x x f x x →- B. 2 :(23) →- f x x :(1) 3. 设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n, 则在映射f下,A中的元素-------对应B中的元素3?则在映射f:A→B下,A中的元素3对应B中的元素--------? 教后反思:

第14课时 二次函数及其应用

x ⑴ , ⑵ , ⑶ ,(4) . a >0 口 4. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2 的形式, 其中h = , k = . 5. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系. 6.二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得2 2 4(24b ac b y a x a a -=+ + ,其抛物线关于直线x = 对称,顶点坐标为( , ). ⑴ 当0a >时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当 x = 时,y 有最 (“大”或“小”)值是 ; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当x = 时, y 有最 ( “大”或“小”)值是 . 【典型例题】 【例1】. 二次函数y =2x 2-4x +5的对称轴方程 是x =___;当x = 时,y 有最小值是 . 【例2】. 请写出一个开口向上,对称轴为直线x =2,且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解 c bx ax y ++=2 的图象如 图所示,则在“① a <0,②b >0,③c < 0,④b 2-4ac >0”中,正确的判断是( ) A 、①②③④ B 、④ C 、①②③ D 、①④

n x ++5经过点)0,1(A (1)求抛物线的解析式; (2)P 是y 轴正半轴上一点,且△PAB 是等腰三角形,试求点P 的坐标. 【例5】例2 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池, 并在水池中央垂直安装一个柱子OP ,柱子顶端P 处装上喷头,由P 处向外喷出的水流(在 各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示).若已知OP =3米,喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米,离柱子OP 的距离为1米. (1)求这条抛物线的解析式; (2)若不计其它因素,水池的半径至少要多 少米,才能使喷出的水流不至于落在池 外? 【例6】近年来,“宝胜”集团根据市场变化情况,采用灵活多样的营销策略,产值、利税逐年大幅度增长.第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米,这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系.经市场调研,他们发现:这种电缆线一天的销量y (米)与售价x (元/米)之间存在着如图所示的一次函数关系,且40≤x ≤70. (1) 根据图象,求y与x之间的函数解析式; (2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为w元. ① 试用含x 的代数式表示w; ② 试问当售价定为每米多少元时,该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高?最高是多少元?

变量与函数 知识讲解

变量与函数 【学习目标】 1.知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围(即变量的取值范围); 2.能初步理解函数的概念;能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法;给出自变量的一个值,会求出相应的函数值. 3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系,会判断一个点是否在函数的图象上,明确交点坐标反映到函数上的含义. 4. 初步理解函数的图象的概念,掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤,对已知图象能读图、识图,从图象解释函数变化的关系. 【要点梳理】 要点一、变量、常量的概念 在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释:一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量. 要点二、函数的定义 一般地,在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量,y 是x 的函数. 要点诠释:对于函数的定义,应从以下几个方面去理解: (1)函数的实质,揭示了两个变量之间的对应关系; (2)对于自变量x 的取值,必须要使代数式有实际意义; (3)判断两个变量之间是否有函数关系,要看对于x 允许取的每一个值,y 是否 都有唯一确定的值与它相对应. (4)两个函数是同一函数至少具备两个条件: ①函数关系式相同(或变形后相同); ②自变量x 的取值范围相同. 否则,就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到,自变 量x 的取值范围有时容易忽视,这点应注意. 要点三、函数的定义域与函数值 函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域. 要点诠释:考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 (1)当解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数; (2)当解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为零的实数; (3)当解析式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数; (4)当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数 不为零; (5)当解析式表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义. y 是x 的函数,如果当x =a 时y =b ,那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时,()f a 表示当x a =时的函数值. 要点诠释: 对于每个确定的自变量值,函数值是唯一的,但反过来,可以不唯一,即一个函数值对

中考数学复习 第14课时 二次函数的实际应用测试

第三单元函数 第十四课时二次函数的实际应用 1. (8分)(xx眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品; (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件,若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品? 2. (8分)(xx济宁)某商店经销一种双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元,市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元)有如下关系: y=-x+60(30≤x≤60). 设这种双肩包每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数解析式; (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元? 3. (8分)(xx成都)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择.李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表: (1)求y1关于x的函数表达式;

(2)李华骑单车的时间y 2(单位:分钟)也受x 的影响,其关系可以用y 2=1 2x 2-11x +78来描 述.请问:李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需要的时间最短?并求出最短时间. 4. (8分)(xx 青岛)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每间价格比淡季上涨1 3 .下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录: (1)该酒店豪华间有多少间?旺季每间价格为多少元? (2)今年旺季来临,豪华间的间数不变.经市场调查发现,如果豪华间仍旧实行去年旺季价格,那么每天都客满;如果价格继续上涨,那么每增加25元,每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素,该酒店将豪华间的价格上涨多少元时,豪华间的日总收入最高?最高日总收入是多少元? 5. (9分)(xx 河北)某厂按用户的月需求量x (件)完成一件产品的生产,其中x >0.每件的售价为18万元,每件的成本y (万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需要量x (件)成反比.经市场调研发现,月需求量x 与月份n (n 为整数,1≤n ≤12)符合关系式 x =2n 2-2kn +9(k +3)(k 为常数),且得到了表中的数据. (1)求y 与x 满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元; (2)求k ,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损;

课时过关检测(十八) 导数与函数的极值、最值

课时过关检测(十八) 导数与函数的极值、最值 A 级——夯基保分练 1.函数y =f (x )导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是( ) A .(-1,3)为函数y =f (x )的递增区间 B .(3,5)为函数y =f (x )的递减区间 C .函数y =f (x )在x =0处取得极大值 D .函数y =f (x )在x =5处取得极小值 解析:选C 由函数y =f (x )导函数的图象可知,f (x )的单调递减区间是(-∞,-1),(3,5),单调递增区间为(-1,3),(5,+∞),所以f (x )在x =-1,5取得极小值,在x =3取得极大值,故选项C 错误. 2.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10,则f (2)等于( ) A .11或18 B .11 C .18 D .17或18 解析:选C ∵函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10,∴f (1)=10,且f ′(1)=0,又f ′(x )=3x 2+2ax +b , ∴????? 1+a +b +a 2=10,3+2a +b =0, 解得??? ?? a =-3, b =3 或????? a =4, b =-11. 而当??? ?? a =-3, b =3 时,函数在x =1处无极值,故舍去. ∴f (x )=x 3+4x 2-11x +16,∴f (2)=18. 3.函数f (x )=x 2 2x +1在?? ??-13,1上的最小值与最大值的和为( ) A.13 B.23 C .1 D .0 解析:选A f ′(x )=2x (2x +1)-2x 2(2x +1)2=2x (x +1) (2x +1)2 ,

新课程2021高考数学一轮复习第二章第11讲第2课时利用导数研究函数的极值最值课时作业含解析2021

第2课时 利用导数研究函数的极值、最值 组 基础关 1.(2020·赤峰摸底)设函数f (x )在定义域R 上可导,其导函数为f ′(x ),若函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1) C .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (-2) D .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2) 答案 D 解析 由函数的图象可知,f ′(-2)=0,f ′(2)=0,并且当x <-2时,f ′(x )>0,当-22时,f ′(x )>0,故函数 f (x )有极小值f (2). 2.函数f (x )=1 3x 3-4x +4的极大值为( ) A.283 B .6 C.26 3 D .7 答案 A 解析 f ′(x )=x 2-4,令f ′(x )=0,得x =±2,当x ∈(-∞,-2)时,f ′(x )>0;当x ∈(-2,2)时,f ′(x )<0;当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )的极大值为f (-2)=1 3 ×(-2)3-4×(-

2)+4=28 3 . 3.函数f (x )=ln x -x 在区间(0,e]上的最大值为( ) A .1-e B .-1 C .-e D .0 答案 B 解析 f ′(x )=1 x -1,由f ′(x )=0得x =1.当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1, e)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,所以f (x )max =f (1)=-1. 4.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx -a 2-7a 在x =1处取得极大值10,则a b 的值为( ) A .-23 B .-2 C .-2或-2 3 D .2或-2 3 答案 A 解析 由题意知,f ′(x )=3x 2+2ax +b ,f ′(1)=0, f (1)=10,即????? 3+2a +b =0, 1+a +b -a 2 -7a =10, 解得????? a =-2,b =1或????? a =-6, b =9, 经检验????? a =-6, b =9, 满足题意,故a b =-23. 5.已知f (x )=2x 3-6x 2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( ) A .-37 B .-29 C .-5 D .-13

1.3.1.第二课时_函数的最大(小)值

1.3.1. 第二课时 函数的最大(小)值 1、函数f (x )=9-ax 2 (a >0)在[0,3]上的最大值为( ) A .9 B .9(1-a ) C .9-a D .9-a 2 2、函数y =x +1-x -1的值域为( ) A .(-∞, 2 ] B .(0, 2 ] C .[2,+∞) D .[0,+∞) 3、函数f (x )=x 2-2ax +a +2在[0,a ]上取得最大值3,最小值2,则实数a 为( ) A .0或1 B .1 C .2 D .以上都不对 4、函数f (x )=x 2在[0,1]上的最小值是( ) A .1 B .0 C.14 D .不存在 5、函数f (x )=? ?? 2x +6,x ∈[1,2]x +7,x ∈[-1,1],则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A .10,6 B .10,8 C .8,6 D .以上都不对 6、函数y =-x 2+2x 在[1,2]上的最大值为( ) A .1 B .2 C .-1 D .不存在 7、函数y =1x -1 在[2,3]上的最小值为( ) A .2 B.12 C.13 D .-12 8、某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L 1=-x 2+21x 和L 2=2x ,其 中销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( ) A .90万元 B .60万元 C .120万元 D .120.25万元 9、已知函数f (x )=-x 2+4x +a ,x ∈[0,1],若f (x )有最小值-2,则f (x )的最大值为( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 10、已知x ,y ∈R +,且满足x 3+y 4 =1.则xy 的最大值为________. 11、函数y =2x 2+2,x ∈N *的最小值是________. 12、已知函数f (x )=x 2-6x +8,x ∈[1,a ],并且f (x )的最小值为f (a ),则实数a 的取值范围是________. 13、函数f (x )=x x +2在区间[2,4]上的最大值为________;最小值为________. 14、已知函数f (x )=????? x 2 -12≤x ≤11x 1<x ≤2,求f (x )的最大、最小值. 15、某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元. (1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

第二章 第十一节 第二课时 导数与函数的极值、最值

课时规范练 A 组 基础对点练 1.设a ∈R ,若函数y =e x +ax ,x ∈R 有大于零的极值点,则( ) A .a <-1 B .a >-1 C .a >-1e D .a <-1e 解析:∵y =e x +ax ,∴y ′=e x +a . ∵函数y =e x +ax 有大于零的极值点, 则方程y ′=e x +a =0有大于零的解, ∵x >0时,-e x <-1,∴a =-e x <-1.选A. 答案:A 2.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10,则f (2)等于( ) A .11或18 B .11 C .18 D .17或18 解析:∵函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10,∴f (1)=10,且f ′(1)=0,f ′(x )=3x 2+2ax +b , 即????? 1+a +b +a 2=10,3+2a +b =0,解得????? a =-3,b =3,或????? a =4, b =-11. 而当????? a =-3, b =3 时,f ′(x )=3x 2-6x +3=3(x -1)2,x ∈(-∞,1),f ′(x )>0,x ∈(1,+∞),f ′(x )>0, 故舍去. ∴f (x )=x 3+4x 2-11x +16,∴f (2)=18.选C. 答案:C 3.(2019·岳阳模拟)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( ) A .y =x 3 B .y =ln(-x )

C.y=x e-x D.y=x+2 x 解析:A、B为单调函数,不存在极值,C不是奇函数,故选D. 答案:D 4.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为() A.2 B.3 C.6 D.9 解析:∵f(x)=4x3-ax2-2bx+2,∴f′(x)=12x2-2ax-2b,又∵f(x)在x=1处有极值,∴f′(1)=12-2a-2b=0?a+b=6,∵a>0,b>0,a+b≥2ab,∴ab≤9,当且仅当a=b=3时等号成立.故选D. 答案:D 5.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是() A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对 解析:f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), 所以f(x)在[-2,0]上单调递增,在(0,2]上单调递减. 所以x=0为极大值点,也为最大值点. 所以f(0)=m=3,所以m=3.所以f(-2)=-37,f(2)=-5. 所以最小值是-37. 答案:A 6.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)e x的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是()

19.1.1变量与函数第一课时教学设计

19.1.1 变量与函数 教学目标 知识与技能 1.认识变量、常量. 2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量. 过程与方法 1.经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己观点. 2.逐步感知变量间的关系. 情感与价值观要求 1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点 1.认识变量、常量 2.用式子表示变量间关系 教学难点 用含有一个变量的式子表示另一个变量 教学方法 合作交流自主探究 教具准备 多媒体课件 课时安排 1课时 教学过程 活动一图片欣赏 1.加油站的三个量的变化 2.汽车行驶路程随时间变化 3.树高随树龄的变化 活动二提出问题,创设情境 问题1:一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米.?行驶时间为t小时. 1. 2.__________. 3.试用含t的式子表示s. 问题2:每张电影票的售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出205张,晚场售出310张,三场电影票的票房收入各多少元?若设一场电影售出票x 张,票房收入为y元,怎样用含x的式子表示y? 问题3:圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm 时,圆的面积S分别为多少?怎样用半径r来表示面积S? 问题4:用10 m长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长x分别为3m,3.5m,

4m,4.5m时,它的邻边长y分别为多少?如何用一边长x来表示它的邻边长y? 学生合作交流自主完成. 结论:1.S=60t; 2.y=10x; 3.S=兀r2;4. y=5–x. 问题升华 提问1:分别指出思考(1)~(4)的变化过程中所涉及的量,在这些量中哪些量是发生了变化的?哪些量是始终不变的? 提问2:在思考(1)~(4)的变化过程中,当一个量发生变化时,另一个量是否也随之发生变化?是哪一个量随哪一个量的变化而变化? 提问3:在思考(1)~(4)的变化过程中,发生变化的量有限制条件吗?如何限制? 活动三形成概念 变量:在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量。 常量:在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量。 问题1:在一个变化过程中,理解变量、常量的关键词是什么? 指出:在同一个变化过程中,理解变量与常量的关键词分别是:发生了变化和始终不变. 问题2请指出上面各个变化过程中的常量、变量。 活动四辨析概念 解:略 补充练习: 指出下列关系式中的变量与常量: (1) y=5x -6;(3)y=4x2+5x - 7; (2) y =6 x; (4)S=兀r2 . 解:(1)5和-6是常量,x和y是变量. (2)6是常量,x、y是变量. (3)4、5、-7是常量,x、y是变量. (4)兀是常量,s、r是变量. 活动五理解概念 问题探究:请结合你的生活实际,自己设计一个变化过程,指出其中的变量

《变量与函数》知识梳理

八年级上学期知识梳理 《变量与函数》知识梳理 一、学习目标 1、通过简单实例,了解常量,变量的意义。 2、能结合实例,了解函数概念和三种表示方法。 3、理解函数的对应值与函数图象上的点之间一一对应关系。 4、能结合图象对简单的实际问题的函数关系进行分析,并会确定简单实际问题的函数的自变量的取值范围,并会求函数值。 5、会用描点法画出函数的图象。 6、能对一个变化过程进行恰当地估计和分析。 二、重点难点 重点:1、函数概念的形成 2、理解函数概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式。 3、把实际问题转化为函数图象 4、了解画函数图象的一般步骤,会画出简单的函数图象。 5、函数的三种表示方法及其应用 难点:1、正确理解函数的概念 2、理解函数概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式。 3、根据函数图像研究实际问题 4、函数关系式与函数图象之间的对应关系。 5、函数的三种表示方法及其应用 三、知识梳理 1、变量与常量 在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量为常量。 2、函数、函数值 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数,如果当x=a,y=b,那么b叫做当自变量的值为a的函数值。 3、函数的图象 一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。函数图象能把复杂的函数关系直观地表示出来,帮助我们发现一些规律。 4、描点法画函数图象的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点); 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来) 不管以何种方式得到的函数图象,关键是找准点的位置,再用平滑的曲线连结,当然要注意自变量的取值范围。 5、函数的三种表示方法 (1)列表法:列表法一目了然,给出自变量的一个值,从表中可直接查出它对应的函数值,使用起来很方便,但列出的x、y的值有限。 (2)解析式法:解析法简单明了,准确反映变化过程中两个变量之间的相依关系。

第2课时函数的单调性与最值.docx

第2课时函数的单调性与最值 【A级】基础训练 1.(原创题)已知函数尸沧)满足/(?2)>A?i)/(?i)</(0),则下列结论正确的是()? A.函数y=/(兀)在区间[-2,-1] h单调递减,在区间卜1,0]上单调递增 B.函数y=/U)在区间1-2,-1]±单调递增,在区间卜1,0]上单调递减 C.函数尹=心)在区间卜2,0]上最小值是/(-I) D.以上的三个结论都不正确 2.(2014?吉林模拟)已知函数心)=(。>0, 且aHl)是R上的减函数,则a的取值范围是 (). A. (0,1) 3.(2014 ?江西模拟)函数J(x)=\x\和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是(). A.(?8,0],(?oo,l] B.(?8,0],[l,+8) c. [0,+g),(gl] D. [0,+g),[l,+g) 4.(2014 -河南模拟)已知定义在R上的函数./(x)是增函数,则满足Xx)</(2x-3)的x的取值范围 是_______ . 5.(2014?浙江模拟)已知.心)是定义在R上是奇函数,且当兀>0时金)*+a,若./?在R上是单调函数,则实数d的最小值是 _______ . 6.(2013 ?河南模拟)定义在R上的偶函数/(X)在[0,+oo)上是增函数,则方程.心)=/(2「3)的所有 实数根的和为________ . /(JT)=丄—丄(d>0,JT>0)?

7.己知函数「 a X (1)求证金)在(0, +oo)上是单调递增函数; ⑵若/(X)在上的值域是,求Q的值. & (2014 ?太原模拟)函数/(x)对任意的加,都有/(〃?+〃)=/(〃)并且x>0时,恒有加>1. (1)求证7U)在R上是增函数; (2)若夬3)=4,解不等式加2+/5)V2. 【B级】能力提升 1.(2014 ?山东模拟)已知函数&)=,?2处+5在(?oo,2]上是减函数,且对任意的X]A2e[l^+l], 总有|心)介2)04,则实数G的取值范围为(). A.[l,4] B. [2,3] C.[2,5] D. [3,+oo) 2.(2014 ?丹东模拟)若/(x)=-x2+2av与g(x)二在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )? A. (-1,0)U(0,1) B. (-l,0)U((),l] C. (0,1) D. (0,1] 3.(2014?陕西模拟)函数y=r-T x是(). A.奇两数,在区间(0,+oc)上单调递增 B.奇函数,在区间(0,+oo)上单调递减 C.偶函数,在区间(4,0)上单调递增 D.偶函数,在区间(a,0)上单调递减 4.(2014?山东模拟)已知一系列函数有如下性质: 函数jr+在(0,1)上是减函数,在[l,+oo)上是增函数; 函数y=x+在(0,)上是减函数,在[,+oo)上是增函数; 函数y=x+在((),)上是减函数,在[,+oo)上是增函数;

对数函数(第一课时).doc

对数函数(第一课时) 一、教材分析1、教材的地位与作用函数是高中数学的核心,对数函数是重要的基本初等函数之一,它是学生已学过指数函数及对数与常用对数基础上引入的,这为过渡到本节的学习起到辅垫作用;“对数函数”这节教材是在没有学习反函数的基础上研究指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系。学习本节使学生的知识体系更加完整、系统,同时又是指数函数知识的拓展和延伸,它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具。2、教学目标的确定及依据通过对教材的研究和结合学生的实际情况等方面的要求,本节的知识目标:理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象和性质,在掌握性质的基础上学会初步应用。能力目标是:通过对数函数的学习,培养学生数形结合,分类讨论的数学思想;注重培养学生分析、类比、归纳的能力。情态及价值观目标:用联系的观点分析问题,认识事物之间的转化,在民主和谐的教学气氛中,培养合作意识,感受学习乐趣,动脑思考的良好个性品质。3、教学重点、难点重点:对数函数的概念,图象和性质难点:①指数函数与对数函数的内在关系②通过已知的指数函数图象和性质再类比对数函数的图象和性质。二、教法分析数学是一门培养和发展人的思维的重要学科,因此,在教学中不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。1、教法——发现法发现法的教学方法,体现了认知心理学的应用。在教学过程中,首先创设一个问题的情境,引导学生积极思考,容易激发其兴趣,唤起

其有意注意,兴趣可调动学习积极性。由学生熟悉的指数函数知识逐步过渡到对数函数知识的认识,其次,借助老师和学习伙伴的帮助,发挥其主动性来对知识的“发现”和接受(即在学习过程中帮助学生很好地掌握对数函数的概念,图象和性质,并对指数函数与对数函数的内在关系达到较深刻的理解)2、学法启发式与独立自主学习,合作交流学习相结合提出富有启发性的问题激发他们的独立自主探索,与合作交流。以学生作为教学主体,教师作为教学主导,在讨论中以教师的点拔如“类比法”使学生能够找到解决问题的方法,从而解决所提问题,通过加强合作交流,反馈练习法,激发他们手脑并用,引发和加强学生的有意注意。3、教学手段①利用学校局域网,采用计算机辅助教学,让形象、直观、清晰的对数函数与指数函数图象加深学生的理解。②利用投影仪提出问题三、教学过程教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,因此在教学中要不断指导学生学会学习。创设情境提出问题类比联想动手操作观察分析合作交流巩固应用知识整合(一)教学流程图引入新课XX年10月18日,美国某城市的日报醒目标题刊登了“市政委员会今天宣布,本市垃圾的体积达到50000立方米”,副标题“垃圾的体积每三年增加一倍”(1)设想城市垃圾的体积继续每三年增加一倍,24年后本市的垃圾的体积是多少?(2)若按现在这个速度,该市要经过多少年垃圾的体积达到百万立方米、千万立方米,……(由环保问题引出)这个问题的解决方法,就是今天所要学习的内容——对数函数设计意图:通过“引例”使学生对本节内容产生兴趣。有了“引例”辅垫,学生将

第2讲 第2课时 导数与函数的极值、最值

第2课时 导数与函数的极值、最值 利用导数解决函数的极值问题(多维探究) 角度一 根据图象判断函数的极值 设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1-x )·f ′(x ) 的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1) C .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (-2) D .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2) 【解析】 由题图可知,当x <-2时,1-x >3,此时f ′(x )>0;当-22时,1-x <-1,此时f ′(x )>0,由此可以得到函数f (x )在x =-2处取得极大值,在x =2处取得极小值. 【答案】 D 知图判断函数的极值的情况;先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号,最后判断是极大值点还是极小值点. 角度二 求函数的极值 (2020·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )=ln x -12 ax 2+x ,a ∈R . (1)当a =0时,求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程; (2)令g (x )=f (x )-(ax -1),求函数g (x )的极值. 【解】 (1)当a =0时,f (x )=ln x +x , 则f (1)=1,所以切点为(1,1), 又f ′(x )=1 x +1, 所以切线斜率k =f ′(1)=2, 故切线方程为y -1=2(x -1), 即2x -y -1=0.

一次函数(第一课时)教案

19.2.2 一次函数(第一课时) 教学详案 【设计说明】. 一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数,它在实际生活中有着广泛的应用.一次函数的学习是建立在学习了平面直角坐标系、变量与函数和正比例函数的基础上的.一次函数的第一课时主要内容是一次函数的有关概念,本课是在学习正比例函数的基础上,进一步学习一次函数的概念.一次函数的概念是在观察一类具体函数的解析式的特点的基础上,通过抽象得到的函数模型. 【教学目标】 1.结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式; 2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系; 3.初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法. 【教学重难点】 重点:一次函数的概念. 难点:求一次函数解析式. 【课前准备】 多媒体、图片 【教学过程】 (-)导入新课 1、什么是正比例函数?能举例说明吗? 2、购买一枝钢笔需5.6元,付款总数y(元)随所购枝数x(枝)的变化而变化,用解析式表示为:. 3、问题:某登山队大本营所在地的气温为5℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y?与x的关系. 师生共同分析:从大本营向上当海拔每升高1km时,气温从5℃就减少6℃,那么海拔增加xkm时,气温从5℃减少6x℃.因此y与x的函数关系式为:y=5-6x(x≥0) 当然,这个函数也可表示为:y=-6x+5 (x≥0) 当登山队员由大本营向上登高0.5km时,他们所在位置气温就是当x=0.5时函数y=-6x+5的值,即y=-6×0.5+5=2(℃). 这个函数叫什么函数,它与我们上节所学的正比例函数有何不同?我们这节课将学习这些问题. (二)探究新知 4、下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式,这些函数解析式有哪些共同特征? (1).有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(单位:℃)有关,即C?的值约是t的7倍与35的差. (2).一种计算成年人标准体重G(单位:kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h,再减常数105,所得差是G的值. (3).某城市的市内电话的月收费额y(单位:元)包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费(按0.1元/min收取). (4).把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm,宽不变,长方形的面积y(单位:cm2)随x的值而变化. 师生活动:学生先独立思考,然后小组交流,可以得到这些问题的函数解析式分别为: (1).C=7t-35.(20≤t≤25)(2).G=h-105. (3).y=0.1x+22.(4).y=-5x+50(0≤x≤10). 教师引导观察后请学生代表归纳:它们的形式与y=-6x+5一样,这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.

变量与函数练习题

变量与函数练习题 一、填空 1、一根蜡烛原长a(cm),点燃后燃烧的时间为t(分钟),所剩余的蜡烛的长y(cm),其中是变量的,常量是。 2、在圆的周长公式C=2πr中,常量是,变量是。 3、《新文化报》每份0.5元,购买《新文化报》所需钱数y(元)与所买份数x之间的关系是,其中是常量,是变量。 4、(1)用总长为60(m)的篱笆围成长方形场地,长方形的面积S(m2)与一边长为x(m)之间的关系式为 (2)用总长为L(m)的篱笆围成长方形场地,长方形的面积为60(m2),一边长为x(m)。则L与x之间的关系式为 5、在判断变量之间的关系是不是函数关系时,应满足两个特征:①必须有个变量, ②给定其中一个变量(自变量)的值,另一个变量(因变量)都有与其相对 应。 6. 设地面气温是20°C,如果每升高1km,气温下降6°C,则气温t(°C)与高度h(km)的关系是__________________,其中常量是,变量是。对于每一个确定的h值都有的t值与其对应;所以自变量,是因变量,是的函数 7、购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元),与铅笔数n(个)的函数关系是___________. 8、等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的函数关系式是_______________. x的取值范围是___________. 9、周长为10 cm的等腰三角形,腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系为______________ 自变量x的取值范围是_____________ 10、一弹簧,不挂重物时,长6cm,挂上重物后,重物每增加1kg,弹簧就伸长0.25cm,但所挂重物不能超过10kg,则弹簧总长y(cm)与重物质量x(kg)之间的函数关系式为__________ _。(注明自变量的取值范围) 11、A,B两地相距30千米,小飞以每小时6千米的速度从A地步行到B地,若设他与B地的 距离为y千米,步行的时间为x小时,则y与x之间的关系式为________ 12.已知5x+2y-7=0,用含x的代数式表示y为______;用含y的代数式表示x为______.13、据调查,某公园自行车存放处在某一星期日的存放量为4000辆,其中变速车存放车费是每辆次0.30元,普通车存车费是每辆一次0.20元.若普通车存放车数为x辆次,则变速

高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案

1 函数的单调性与最值 学习目标: 1. 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用。 2. 会用单调性求最值。 3. 掌握基本函数的单调性及最值。 知识重现 1、一般地,设函数f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1) 对于任意的x ∈I ,都有f(x)≤M ; (2) 存在x 0∈I,使得f(x 0)=M. 那么,我们称M 是函数y=f(x)的最大值(maximum value ) 2、一般地,设函数f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (3) 对于任意的x ∈I ,都有f(x)≥ M ; (4) 存在x 0∈I,使得f(x 0)=M. 那么,我们称M 是函数y=f(x)的最小值(minimum value ) 理论迁移 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h 米与时间t 秒之间的关系为h(t )=-4.9t 2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1米)? 例2 已知函数f(x)= 1 x 2-(x ∈[2,6]),求函数的最大值和最小值。 归纳基本初等函数的单调性及最值 1. 正比例函数:f(x)=kx(k ≠0),当k 0时,f(x)在定义域R 上为增函数;当k 0时,f(x)在 定义域R 上为减函数,在定义域R 上不存在最值,在闭区间[a,b ]上存在最值,当k 0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k 0时, ,最大值为f(a)=ka ,函数f(x)的最小值为f(b)=kb 。 2. 反比例函数:f(x)=x k (k ≠0),在定义域(-∞,0) (0,+∞)上无单调性,也不存在最值。当k 0时,在(-∞,0),(0,+∞)为减函数;当k 0时,在(-∞,0),(0,+∞)

19.1.1变量与函数练习题1

19 一.填空题(每小题6分,共24分) 1、在圆的周长公式C=2r 中,常量是________,变量是___________ _。 2、如图,ABC的边长不变,BC边上的高AH的长为x在变化,若BC 的长为8,则△ABC的面积y与x , 其中常量是_____________,变量是 3、小明用40元钞票购买5元/件的某种商品,则他剩余的钞票y(元)与购买这种商品的件数x(件)之间的关系式为______________________,其中常量是_________________________,变量是____________________。 4、小华在400米一圈的跑道上训练,他跑一圈所用的时刻t(秒)与他跑步的速度v(米/秒)关系式为_________________________,其中__________ _____是常量,_____________________是变量。 二.选择题(6分) 5.在匀速运动中,若用S表示路程,v表示速度,t表示时刻,那么关于S=vt,下列讲法正确的是() A、S、v、t三个差不多上变量、 B、S与v是变量,t 是常量, C、v、t是变量,S是常量, D、S与t是变量,v是常量。 三.解答题(每题10分,共90分) 写出下列各咨询题中的关系式,并指出其中的常量与变量。 6.用20cm的铁丝围成长方形,用长方形的长x(cm)表示面积S(cm2)。

7.底边长为10的三角形的面积y与高x之间的关系式; 8.甲乙两地相距1000千米,一人骑自行车以15千米/小时的速度从甲地前往乙地,用行驶时刻t(小时)表示自行车离乙地的距离S(千米) 9.某种弹簧原长20厘米,每挂重物1千克,伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)与所挂上的重物x(千克)之间的关系式; 10.某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0.2升水,饮水机中剩余水量y(升)与放水时刻x(分)之间的关系式。 能力提升 11.已知定活两便储蓄的月利率是0.0675%,国家规定,取款时,利息部分要交纳20%的利息税,如果某人存入2万元,取款时实际领到的金额y (元)与存入月数x的函数关系式. 12.拖拉机开始工作时,油箱中有油40升,如果每小时用油4升,求油箱中剩余油量y(升)与工作时刻x(时)之间的函数关系; 13.一架雪橇沿一斜坡滑下,它在时刻t(秒)滑下的距离S(米)由下面式子出:S=10t+2t2,如果滑到坡底的时刻为8s,试咨询坡长为多少米?其中式子中的变量、常量各是什么?

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