傅立叶级数表达形式与性质

傅立叶级数表达形式与性质
傅立叶级数表达形式与性质

傅立叶级数表达形式与性质

程栋材 PB07210245

周期函数是定义在(-∞,∞)区间,每隔一定时间T ,按相同规律重复变化的函数,

一般表示为:

??

? ± ± =+=,2,1,0)()(m mT t f t f (3-12)

式中,T 为该信号的重复周期,其倒数称为该信号的频率,记为

T f 1

=

或角频率

f T ππ

22==

Ω

对于非正弦周期函数,根据定理3-1,可以用在区间),(00T t t +内完备的正交函数集来表示。下面讨论几种不同形式的表示式。

一. 三角函数表示式

由上节讨论可知,三角函数集),2,1,0,}(sin ,{cos ???=ΩΩm n t m t n 在区间),(00T t t +内为完备正交函数集。根据定理3-1,对于周期为T 的一类函数中任一个函数)(t f 都可以精确地表示为}sin ,{cos t m t n ΩΩ的线性组合,即对于

)()(nT t f t f +=

)sin cos (2)(1

t n b t n a a t f n n n Ω+Ω+=∑ ∞

= (3-13)

由式(3-10),得

14)-(3 2)(2sin )(2cos )(22

/2/02

/2

/2/2

/???????

????

=Ω=Ω=Ω=

???---T dt

t f T a tdt n t f T b tdt n t f T a T T T T n T T n π 式(3-13)称为周期信号)(t f 的三角型傅里叶级数展开式。

若将式(3-13)中同频率项加以合并,还可写成另一种形式,即

∑ ∞

=+Ω+=1

)cos()(n n n t n A A t f ? (3-15)

比较式(3-13)和式(3-15),可看出傅里叶级数中各量之间有如下关系:

? ? ?

?

?

? ? ? ? ? ? =-==-=+=2sin cos arctan 0

02

2a A A b A a a b

b a A n n n n

n n n

n

n n n

n ???(3-16)

式(3-15)称为周期信号)(t f 的余弦型傅里叶级数展开式。

式(3-13)和式(3-15)表明,任何周期信号,只要满足狄里赫利条件,都可以分解为许多频率成整数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。在式(3-13)中,2/0a 是直流成分;

t a Ωcos 1,t b Ωsin 1称为基波分量,

T π

2=

Ω为基波频率;t n a n Ωcos ,t n b n Ωsin 称n

次谐波分量。直流分量的大小,基波分量和各次谐波的振幅、相位取决于周期信号)(t f 的波形。从式(3-14)和式(3-16)可知,各分量的振幅n a ,n b ,n A 和相位n ?都是Ωn 的函数,并有:

n A ,n a 是Ωn 的偶函数,即 ??

?==--n n n n A A a a ;

n ?,n b 是Ωn 的奇函数,即 ??

?-==---n n n n b b ??

二、 指数形式

因为复指数函数集),2,1,0}({???±±=Ωn e

t

jn 在区间),(00T t t +内也是一个完备的正

交函数集,其中

Ω=

π

2T ,因此,根据定理3-1,对于任意周期为T 的信号)(t f ,可在

区间),(00T t t +内表示为

}{t

jn e Ω的线性组合。即 ∞

∑ -

∞ =Ω=

n t

jn n

e

F t f )( (3-17)

式中n F 由式(3-10)可求得为

?--Ω-=

2/2/)(1T T t jn n e t f T F (3-18)

式(3-17)称为周期信号)(t f 的指数型傅里叶级数展开式。由于n F 通常为复数,所以式(3-17)又称为复系数傅里叶级数展开式。

同一个周期信号)(t f ,既可以展开成式(3-13)所示的三角型傅里叶级数式,也可以展成式(3-17)所示的指数型傅里叶级数式,所以二者之间必有确定的关系。

因为

2cos t

jn t jn e e t n Ω-Ω+=

Ω j e e t n t jn t jn 2sin Ω-Ω-=Ω

代入式(3-13),得

)sin cos (2)(1

0t n b t n a a t f n n n Ω+Ω+=∑∞

=

∑∑∑∞

-∞

=Ω∞=∞=Ω-ΩΩ-Ω=-+++=n t jn n n n t jn t jn n t jn t jn n e F e e j b e e a a 110)(2)(22 所以

00

02A a F ==

????

????--==+???==-=-,2,12

)(21

,2,12)(21

n e A jb a n e A jb a F n

n

j n n n j n n n n ?? (3-19)

三、 周期信号的对称性与傅里叶系数的关系

要把已知周期信号)(t f 展开为傅里叶级数,如果)(t f 为实函数,且它的波形满足某种对称性,则在其傅里叶级数中有些项将不出现,留下的各项系数的表示式也变得比较简单。周期信号的对称关系主要有两种:一种是整个周期相对于纵坐标轴的对称关系,这取决于周期信号是偶函数还是奇函数,也就是展开式中是否含有正弦项或余弦项;另一种是整个周期前后的对称关系,这将决定傅里叶级数展开式中是否含有偶次项或奇次项。下面简单说明函数的对称性与傅里叶系数的关系。

1

偶函数

若周期信号)(t f 波形相对于纵轴是对称的,即满足

)()(t f t f -= (3-20)

则)(t f 是偶函数,其傅里叶级数展开式中只含直流分量和余弦分量,即

),2,1,0( cos )(402

/0???=???

??

Ω==?n tdt n t f T a b T n n

2

奇函数

若周期信号)(t f 波形相对于纵坐标是反对称的,即满足

)()(t f t f -=- (3-21)

此时)(t f 称为奇函数,其傅里叶级数展开式中只含有正弦项,即

),2,1,0( sin )(402

/0???=???

??

Ω==?n tdt n t f T b a T n n

熟悉并掌握了周期信号的奇、偶等性质后,对于一些波形所包含的谐波分量常可以作出

迅速判断,并使傅里叶级数系数的计算得到一定简化。

表3-1给出了周期信号波形的各种对称情况、性质,以及对应的傅里叶系数a n 和b n

的计算公式。

表3-1周期信号的对称性与傅里叶系数的关系

一、 四、傅里叶级数的性质

若∑∞

-∞

=Ω=

n t

jn n

e

F t f )(,则)(t f 的傅里叶级数展开式具有以下性质(证明略):

(1)∑ ∞

-

∞ =Ω-=

-n t

jn n

e F

t f )(

(2)∑ ∞

-

∞ =ΩΩ-=

-n t

jn t jn n e e

F t t f 0

)(0

(3)∑ ∞

-

∞ =ΩΩ=

' n t

jn n

e

F jn t f )(∑ ∞

-

∞ =ΩΩ=

n t

jn n k

k e F jn t f

)

()()

(

(4)∑ ∞

-

∞ =Ω-++=

Ωn t jn n n e F F t t f 2cos )(11

(5)∑ ∞

-

∞ =Ω+--=

Ωn t jn n n e j F F t t f 2sin )(11

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广,若,则 其中为常数,n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即 叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换。

(1)反褶 f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为 (2)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则 在上面三条性质的证明中,并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数,因此,无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 ? 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 ()f(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t)

X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时X()=0,于是 可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 ()f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时R()=0,于是 可见,若f(t)是实奇函数,则F()是虚奇函数,即 左边反褶,右边共轭 有了上面这两条性质,下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号,又不是奇信号,反正不清楚,或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。 2.6.4对称性

四种傅里叶变换

傅里叶变换 对信号和系统的分析研究可以在时间域进行,也可以在频域进行。连续时间信号是时间变量t 的函数,连续时间系统在时间域可以用线性常系数微分方程来描述,也可以用冲激响应来描述。离散时间信号(序列)是序数n 的函数,这里n 可以看成时间参量,离散时间系统在时间域可以用线性常系数差分方程来描述,也可以用单位脉冲响应来描述。 在时间域对信号和系统进行分析研究,比较直观,物理概念清楚,但仅在时间域分析研究并不完善,有些问题研究比较困难。比如,有两个序列,从时间波形上看,一个变化快,一个变化慢,但都混有噪声,希望用滤波器将噪声滤除。从信号波形观察,时域波形变化快,意味着含有更高的频率成分,因此这两个信号的频谱结构不同,那么对滤波器的性能要求也不同。为了设计合适的滤波器,就需要将时域信号转换到频率域,得到其频谱结构,分析其特性,进而得到所要设计的滤波器的技术指标,然后才能进行滤波器的设计。 在连续时间信号与系统中,其频域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。在离散时间信号与系统中,频域分析采用z 变换与傅里叶变换作为数学工具。现在针对几种傅里叶变换的基本概念、重要特点、相互关系作详细的介绍。 傅里叶变换的几种可能形式 对傅里叶变换的几种可能形式进行总结,再进一步引出周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示。 一. 非周期连续时间信号的傅里叶变换 在“信号与系统”课程中,这一变换对为 ?∞ ∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j a a )()( ΩΩ=?∞ ∞-Ωd e j X t x t j a a )(21)(π

这一变换对的时频域示意图(只说明关系,不表示实际的变换对)如图所示。可以看出时域上是非周期连续信号,频域上是连续非周期的频谱。 二. 周期连续时间信号的傅里叶级数及傅里叶变换表示 在“信号与系统”课程中,如果)(t x 是一个周期为T 的连续时间信号,则)(t x 可以展开成傅里叶级数,其傅里叶级数的系数为n X ,n X 是离散频率的非周期函数。)(t x 与n X 组成周期连续时间信号的傅里叶级数变换对为 ?-Ω-=22 1)(1T T t jn n dt e t x T X ∑∞-∞=Ω=n t jn n e X t x 1)( 这一变换对的时频域示意图如图所示。可以看出时域上是周期连续信 号,频域上是离散非周期的频谱。也就是说,周期连续信号可以分解成无穷多个谐波分量之和,其中基波频率分量为T π21= Ω。 另外,周期信号虽然不满足绝对可积条件,但在频域引入冲激函数函数后,其傅里叶变换仍可以表示。对周期信号)(t x ,其傅里叶变换)(Ωj X 表示为 ∑∞-∞=Ω-Ω=Ωn n n X j X )(2)(1δπ 三. 非周期序列的傅里叶变换 周期连续信号及其频谱 p T 1=Ω非周期连续信号及其频谱 0Ω0

希尔伯特变换与傅立叶变换

在数学与信号处理的领域中,一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积,以得到。因此,希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出,而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学, 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope),出现在通讯理论(应用方面的详述请见下文。) 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下: 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value),其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是: 若,则可被定义,且属于;其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出: , 其中 ?是傅立叶变换, ?i (有时写作j )是虚数单位, ?是角频率,以及

? 即为符号函数。 既然: , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°,而正频率成分偏移?90°。 反(逆)希尔伯特转换 我们也注意到:。因此将上面方程式乘上,可得到: 从中,可以看出反(逆)希尔伯特转换 傅里叶变换(Fourier变换)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广,若,则 其中为常数,n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即

叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换。 (1)反褶 f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为 (2)共轭 (3)既反褶又共轭

本性质还可利用前两条性质来证明: 设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则 在上面三条性质的证明中,并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数,因此,无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质 2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 ()f(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时X()=0,于是 可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 ()f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时R()=0,于是 可见,若f(t)是实奇函数,则F()是虚奇函数,即 左边反褶,右边共轭 有了上面这两条性质,下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号,又不是奇信号,反正不清楚,或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。 2.6.4对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系,称为傅里叶变换的对称性质。若已知

傅里叶变换的对称性证明

一. 序列的傅里叶变换(DTFT )的对称性 已知: [()]()j DTFT x n X e ω= **[()]()j DTFT x n X e ω-= **[()]()j DTFT x n X e ω-=(由Z 变换的性质可推出) 共轭对称序列:()()*e e x n x n =-实部是偶对称序列,虚部是奇对称序列 共轭反对称序列: ()()*o o x n x n =--实部是奇对称序列,虚部是偶对称序列 任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和: ()()()()()()()()() **12 12e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n ???=+-????=+? ???=--? ??? ()()()()()()()()()**1212j j j e j j j e o j j j o X e X e X e X e X e X e X e X e X e ω ωωωωωωωω--???=+?? ??=+? ???=-? ??? 求证: [Re(())]() [Im(())]()j e j o DTFT x n X e DTFT j x n X e ωω ?=?=? or [()]Re(()) [()]Im(())j e j o IDTFT X e x n IDTFT X e j x n ωω ?=?=? [()]Re(()) [()]Im(())j e j o DTFT x n X e DTFT x n j X e ωω ?=?=? or [Re(())]() [Im(())]()j e j o IDTFT X e x n IDTFT j X e x n ωω ?=?=? 证明: ()()()[][] ** 1 21()()21 2Re(())2 Re(())j j j e X e X e X e DTFT x n x n DTFT x n DTFT x n ωωω-?? = +? ???= +??== ()()( )[][]* * 121()()2 1 2I m (())2 I m (())j j j o X e X e X e D T F T x n x n D T F T j x n D T F T j x n ωω ω- ??= -? ? ??= -??==

离散傅里叶变换性质证明

1. [][]()()j j ax n by n aX e bX e ωω+?+ Proof: ([][])[][]()() j n j n j n j j ax n by n e a x n e b y n e aX e bX e ωωωωω∞ --∞ ∞∞ ---∞-∞ +=+=+∑∑∑ 2. (1)[]()d j n j d x n n X e e ωω--? Proof: ()[][].()d d j n d n j n n j n d n j n j x n n e x n n e e X e e ωωωωω∞-=-∞∞---=-∞--=-=∑ ∑ (2) 00()[]()j n j e x n X e ωωω-? Proof: 000()()[][]()j n j n j n j n n e x n e x n e X e ωωωωωω∞∞ ----=-∞=-∞==∑ ∑ 3. []()j x n X e ω--? Proof: ()[][]()j n j n j n n x n e x n e X e ωωω∞∞ ---=-∞=-∞-=-=∑ ∑ if []x n is real ()j X e ω-=*()j X e ω 4. ()[]j dX e nx n j d ωω? Proof: ()[]() ()[]()[]j j n n j j n n j j n n X e x n e dX e jn x n e d dX e j nx n e d ωωωωωωωω∞-=-∞∞-=-∞∞-=-∞=?=-?=∑∑∑

5. (1)22 1|[]||()|2j n x n X e d πωπωπ∞ =-∞-=∑ ? Proof: 2*2221 |()|21 ()()21 [][]21 |[]|21 |[]| 2|[]|j j j j n j n n n n n n X e d X e X e d x n e x n e d x n d x n d x n πωππωωππωωπππππωπ ωπ ωπ ωπ ωπ---∞∞-=-∞=-∞-∞=-∞ -∞=-∞ -∞=-∞ =====??∑∑?∑?∑ ?∑ (2) **1[][]()()2j j n x n y n X e Y e d π ωωπωπ∞=-∞-=∑ ? Proof: *****1 ()()21 ()()21 [][]21[][]21 [][] 2[][] j j j j j n j n n n n n n n X e Y e d X e Y e d x n e y n e d x n y n d x n y n d x n y n πωωππωωππωωπππππωπ ωπ ωπ ωπ ωπ---∞∞-=-∞=-∞-∞ =-∞-∞ ∞=-∞ =-∞-∞=-∞====??∑∑?∑?∑ ∑?∑ 6. []*[]()()j j x n y n X e Y e ωω? Proof:

傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要:在现代数学中,傅里叶变换是一种非常重要的变换,且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况;其次,详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号,再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词:傅里叶变换;MA TLAB软件;信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算,人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中,数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算(如微分,积分)转化为代数运算,正是积分变换这一特性,使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年,法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要,开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中,发展了热流动方程,并且指出如何求解"在求解过程中,他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种

傅里叶变换4种形式

4种傅里叶变换形式 离散傅里叶变换作为谱分析的重要手段在众多领域中广泛应用.离散傅里叶变换不仅作为有限长序列的离散频域表示法在理论上相当重要,而且由于存在计算离散傅里叶变换的有效快速算法,因而离散傅里叶变换在各种数学信号处理的算法中起着核心作用. 连续傅里叶变换FT 当x(t)为连续时间非周期信号,而且满足傅里叶变换条件,它的傅里叶变换为X(j ?).x(t)与X(j ?)之间变换关系为傅里叶变换对: ?∞ ∞-Ω= Ωdt e t x j X t j )()( ? ∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π 傅里叶变换的结果通常是复数形式,其模为幅度谱,其相位为相位谱.连续时间傅里叶变换的时间频域都连续. 连续傅里叶变换级数FS 当~x 是周期为T 的连续时间周期信号,在满足傅里叶级数收敛条件下,可展开成傅里叶级数,其傅里叶级数的系数为X(jk 0Ω).其中,T π20 =Ω,单位为rad/s ,称作周期信号的基波角频率,同时也是离散谱线的间隔.)(~t x 与)(0Ωjk X 之间的变换关系为傅里叶级数变换对: dt e t x T jk X T T t jk ?-Ω-=Ω2 2~00)(1)( t jk k e jk X t x 0)(21)(0Ω∞-∞=∑Ω=π 时域波形周期重复,频域幅度谱为离散谱线,离散谱线频率间隔为模拟角频率0Ω=T π2.幅度谱| )(0Ωjk X |表明连续时间周期信号是由成谐波关系的有限个或者无限个单频周期信号t jk e 0Ω组合而成, 其基波角频率为0Ω,单位为rad/s. 离散时间傅里叶变换DTDT 当x(n)为离散时间非周期信号,且满足离散时间傅里叶变换条件,其离散时间傅里叶变换为)(ωj e X .x(n)与)(ωj e X 之间变换关系为离散时间傅里叶变换对: ∑∞ ∞--=n n j j e n x e X ωω)()(

实验3 傅里叶变换及其性质

实验3 傅里叶变换及其性质 1. 实验目的 学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶(Fourier )变换;学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图;学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 2. 实验原理及实例分析 傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为: ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞==?, 傅里叶反变换定义为:11()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ ∞--∞==?。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方 法,下面分别加以探讨。同时,学习连续时间信号的频谱图。 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函 数fourier( )和ifourier( )。Fourier 变换的语句格式分为三种。 (1) F=fourier(f):它是符号函数f 的Fourier 变换,默认返回是关于ω的函数。 (2) F=fourier(f,v):它返回函数F 是关于符号对象v 的函数,而不是默认的ω, 即()()jvt F v f t e dt ∞ --∞=?。 (3) F=fourier(f,u,v):是对关于u 的函数f 进行变换,返回函数F 是关于v 的 函数,即()()jvu F v f t e du ∞ --∞=?。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 (1) f=ifourier(F):它是符号函数F 的Fourier 反变换,独立变量默认为ω,默 认返回是关于x 的函数。 (2) f=ifourier(F,u):它返回函数f 是u 的函数,而不是默认的x 。 (3) f=ifourier(F,u,v):是对关于v 的函数F 进行反变换,返回关于u 的函数f 。 值得注意的是,函数fourier( )和ifourier( )都是接受由sym 函数所定义的符号 变量或者符号表达式。

傅里叶变换性质证明

2。6 傅里叶变换得性质 2。6.1线性 若信号与得傅里叶变换分别为与,??? 则对于任意得常数a与b,有? ? 将其推广,若,则??? 其中为常数,n为正整数。? 由傅里叶变换得定义式很容易证明线性性质、 ?显然傅里叶变换也就是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性与叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号得傅里叶变换也乘以相同得常数a,即 ???叠加性表明,几个信号之与得傅里叶变换等于各个信号得傅里叶变换之与?? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)得傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号得傅里叶变换。 (1)反褶 f(-t)就是f(t)得反褶,其傅里叶变换为 (2)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则 在上面三条性质得证明中,并没有特别指明f(t)就是实函数还就是复函数,因此,无论f(t)为实信号还就是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质

2。6.3 奇偶虚实性 已知f(t)得傅里叶变换为。在一般情况下,就是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)得虚实性来讨论F()得虚实性、 (1) f(t)为实函数?对比式(2-33)与(2—34),由FT得唯一性可得 (1、1)f(t)就是实得偶函数,即f(t)=f(—t) X()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故 这时X()=0,于就是??可见,若f(t)就是实偶函数,则F()也就是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 (1、2)f(t)就是实得奇函数,即-f(t)=f(-t)?R()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故 这时R()=0,于就是 可见,若f(t)就是实奇函数,则F()就是虚奇函数,即 左边反褶,右边共轭 有了上面这两条性质,下面我们来瞧瞧一般实信号(即可能既不就是偶信号,又不就是奇信号,反正不清楚,或者说就是没有必要关心信号得奇偶特性)得FT频谱特点、

傅里叶变换性质证明

2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 和,的傅里叶变换分别为和若信号 ,有则对于任意的常数a和b , 则将其推广,若 其中为常数,n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即 叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 反褶与共轭性2.6.2 的傅里叶变换为f(t),下面我们来讨论信设号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换。 (1)反褶 供参考. f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为

)共轭(2 )既反褶又共轭3 ( 本性质还可利用前两条性质来证明:h(t)=g*(t),则设g(t)=f(-t), 在上面三条性质的证明中,并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数,因此,无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质 供参考. 2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 根据定义,上式还可以写成 的虚实性来讨论f(t)F()的虚实性。下面根据 (1) f(t)为实函数 ,由FT的唯一性可得对比式(2-33)与(2-34)

f(t)=f(-t) 是实的偶函数,即)f(t) (1.1 X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时X()=0,于是 可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时R()=0,于是 供参考. 可见,若f(t)是实奇函数,则F()是虚奇函数,即 左边反褶,右边 共轭有了上面这两条性质,下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号,又不是奇信号,反正不清楚,或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。 2.6.4对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系,称为傅里叶变换的对称性质。若已知 F()=F[f(t)] 则有 F[f(t)]=2лf(-) 证明:因为 将变量t与互换,再将2乘过来,得 上式右边是傅里叶正变换定义式,被变换函数是F(t) 所以 F[F(t)]=2лf(-) 若f(t)为偶信号,即f(t)=f(-t),则有 F[F(t)]=2f() 从上式可以看出,当f(t)为偶信号时,频域和时域的对称性完全成立――即

傅里叶变换的性质

§3–4傅里叶变换的性质 设f(t) ←→F(jω),f1(t) ←→F1(jω),f2(t) ←→F2(jω);α、α1、α2为实数, 则有如下性质: 一、线性:α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω) 二、对称性:F(jt)←→2πf(-ω) 证明: 将上式中的t换为ω,将原有的ω换为t, 或: , 即:F(jt)←→2π f(-ω) P.67例3-3:已知 , 再令 ==> ←→2πG(-ω) 三、尺度变换: (α≠0的实数) 可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。 推论(折叠性):f(-t) ←→F(-jω) 四、时移性: (此性质易由傅氏变换的定义证得) 推论(同时具有尺度变换与时移): P.69-70例3-4请大家浏览。

五、频移性:

(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。 频移性的重要应用——调制定理: 欧拉公式 ? 例如门信号的调制:

显然,当ω0足够大时,就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。 六、时域卷积: f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω) 证明: 时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法: 时域:yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域:Y f(jω) = F(jω)H(jω) 七、频域卷积:f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)] 八、时域微分性:df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容) 推论: 条件: 例如:d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω 九、时域积分性:

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变换。研究的都是什么?从几方面讨论下。 这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。 傅立叶变换,拉普拉斯变换, Z变换的意义 【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割,每一部分只是一个时间点对应一个信号值,一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后,其实还是个叠加问题,只不过是从频率的角度去叠加,只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值(或频率值),我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就是说,用无数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法),以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。

傅里叶变换 讲解最通俗易懂的一片

【纯技术帖】为什么要进行傅立叶变换?傅立叶变换究竟有何意义?如何用Matlab实现快速傅立叶 变换?来源:胡姬的日志 写在最前面:本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得,内容非我所原创。在此 向多位原创作者致敬!!! 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得 非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换,虽然是英文文档,我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容,看了有茅塞顿开的感觉,在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享,希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发,这电子书籍是免费的,有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下,URL地址是: https://www.360docs.net/doc/a35884534.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换,确实需要一定的耐心,别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换?傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅立叶的工作,幸运的是,傅立叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角 波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,

傅里叶变换性质证明

2.6傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号「和J的傅里叶变换分别为一「;和I r aC , F[f1(t)]=F1(ffl)i F[fJt)]=F a(ffl) 则对于任意的常数a和b,有 F[af1(t)+fJtll=aF1(ffl l÷bFJffl) 将其推广,若■-、出 -,则 其中匚为常数,n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即卩 叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 砒(W2?]的?卜伽)1 2.6.2反褶与共轭性 号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换 设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信

(1)反褶

f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为 本性质还可利用前两条性质来证明: 设 g(t)=f(-t) ,h(t)=g*(t),则 在上面三条性质的证明中,并没有特别指明 f(t)是实函数还是 复函数,因此 , 无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性 质 (2) 共轭 =匸施)时论匸加門(M 因为F 是实数,所以[dt)*=dt 彳寻共觇提到积分之外 根据傅 里叶变换的定义 (3) 既反褶又共轭 * ??tl 3r F?r^!? :o?苫

FLT(-O] = FH y) F[f,HI)=r?) FLn£)]"H J) 2.6.3奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 FQ) U 卩(询)* 眄' =j?Crt)) +χ((?) 显獻μ?) 卜阿跖丽 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t) 为实函数 对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 R(O)) = J [/(t) cosaf址 (1.1)f(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时X( )=0 ,于是 可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即 7】:’匚Fl左边反褶,右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t) R(J的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故这时R( )=0 ,于是 (2-33) φ((w) = arc tan (曲)=2[ /(t)cos^? 根据定义,上式还可以写成

傅里叶变换算法详细介绍

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换(Real DFT) 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法,讲解透彻,希望对大家会有所帮助。感谢原作者们(July、dznlong)的精心编写。 /**************************************************************************************************/ 前言: ―关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解‖---dznlong, 那么,到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。 哦,傅里叶变换原来就是一种变换而已,只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下,你就知道了,傅里叶就是一种变换,一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok,咱们再来总体了解下傅里叶变换,让各位对其有个总体大概的印象,也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式,究竟有多复杂: 以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自,维基百科)

傅里叶变换的基本性质.

傅里叶变换的基本性质(一) 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中,经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质,并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a和b均为常数,它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。 解因 由式(3-55)得 二、对称性 若则 证明因为 有 将上式中变量换为x,积分结果不变,即

再将t用代之,上述关系依然成立,即 最后再将x用t代替,则得 所以 证毕 若是一个偶函数,即,相应有,则式(3-56) 成为 可见,傅里叶变换之间存在着对称关系,即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系,其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如: 例3-7若信号的傅里叶变换为 试求。 解将中的换成t,并考虑为的实函数,有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为

根据对称性 故 再将中的换成t,则得 为抽样函数,其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 若 则 证明因a>0,由

令,则,代入前式,可得 函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍,而则表示 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比,信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数,反之亦然。 例3-8已知,求频谱函数。 解前面已讨论了的频谱函数,且 根据尺度变换性,信号比的时间尺度扩展一倍,即波形压缩了一半,因此其频谱函数 两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

傅里叶变换的意义

1、为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么? 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。 因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 2、图像傅立叶变换的物理意义 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频

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