第一讲不等式和绝对值不等式 (6)

一、选择题

1.若a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )

A.a＞2b

B.－＞－1

C.2a＞2b

D.lg(a－b)＞1

解析　∵y＝2x(x∈R)是增函数，又a＞b，∴2a＞2b.

答案　C

2.若＜＜0，则下列结论不正确的是( )

A.a2＜b2

B.ab＜b2

C.＋＞2

D.|a|－|b|＝|a－b|

解析　法一　(特殊值法)：令a＝－2，b＝－3，代入A、B、C、D中，知D不

正确.

法二　由＜＜0，得b＜a＜0，所以b2＞ab＞a2，故A、B正确.又由＞0，＞0，

且≠，得＋＞2，从而C正确.对于D，由b＜a＜0得|a|＜|b|，即|a|－|b|＜0，而|a－b|＞0，故D错.

答案　D

3.若x，y∈R，且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是( )

A.3

B.1＋2

C.6

D.7

解析　3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2＋1＝2×3＋1＝7，当且仅当x＝3y

时，等号成立，取得最小值7.

答案　D

4.设a，b是正实数，以下不等式恒成立的序号为( )

①＞；②a＞|a－b|－b；

③a2＋b2＞4ab－3b2；④ab＋＞2.

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

解析　对于①，－＝＝＝≥0，①不合题意，则应排除A，B；④正确，故

选D.

答案　D

5.＞0的解集为( )

A.

B.

C.

D.{x|x∈R，且x≠－3}

解析　＞0?

??

答案　C

6.若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围是( )

A.[1，＋∞)

B.[2，＋∞)

C.(3，＋∞)

D.[4，5]

解析　设f(x)＝x＋|x－1|，则f(x)＝

所以f(x)的最小值为1，所以当a≥1时，f(x)≤a有解，即实数a的取值范围为[1，＋∞).

答案　A

7.若不等式|ax＋2|≤6的解集为(－1，2)，则实数a等于( )

A.8

B.2

C.－4

D.－8

解析　由|ax＋2|＜6得－8＜ax＜4.

当a＞0时，－＜x＜.

∵不等式的解集是(－1，2)，∴

解得两值矛盾.当a＜0时，＜x＜－.

则解得a＝－4.综上得，a＝－4.

答案　C

8.设6＜a＜10，≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是( )

A.9＜c＜30

B.0≤c≤18

C.0≤c≤30

D.15＜c＜30

解析　因为≤b≤2a，

所以≤a＋b≤3a.

又因为6＜a＜10，

所以＞9，3a＜30.

所以9＜≤a＋b≤3a＜30，

即9＜c＜30.

答案　A

9.设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}.若A?B，则实

数a，b必满足( )

A.|a＋b|≤3

B.|a＋b|≥3

C.|a－b|≤3

D.|a－b|≥3

解析　A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，B＝{x|x＞b＋2或x＜b－2，x∈R}.

若A?B，则需满足a＋1≤b－2或a－1≥b＋2，

即a－b≤－3或a－b≥3，故|a－b|≥3.

答案　D

10.对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( )

A.5

B.2

C.4

D.3

解析　|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2

≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.

答案　A

二、填空题

11.若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________.

解析　利用正弦定理将角化为边，再利用余弦定理和均值不等式求cos C的最小值.

由sin A＋sin B＝2sin C，

结合正弦定理得a＋b＝2c.

由余弦定理得cos C＝＝

＝≥＝，故≤cos C＜1，故cos C的最小值为.

答案　

12.定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________.

解析　先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.

因为x?y＝，所以(2y)?x＝.

又x＞0，y＞0，故x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立.

答案　

13.不等式1＜|2x＋1|≤3的解集为________.

解析　原不等式可化为

解不等式①，得－3≤2x＋1≤3，

∴－2≤x≤1.

解不等式②，得2x＋1＞1或2x＋1＜－1，

∴x＞0或x＜－1.

∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤1}∩{x|x＞0或x＜－1}＝{x|0＜x≤1或－2≤x ＜－1}.

答案　{x|0＜x≤1或－2≤x＜－1}

14.不等式＜1的解集为________.

解析　＜1?－1＜1＋x＋＜1?

∴原不等式的解集为(－2，0).

另解：1＋x＋＝(x2＋2x)＋1＝(x＋1)2＋＞0，∴原不等式即1＋x＋＜1.

即x2＋2x＜0，

∴－2＜x＜0.

答案　(－2，0)

三、解答题

15.设a，b，c＞0，求证：＋＋＋abc≥2.

证明　因为a，b，c＞0，由算术—几何平均不等式可得

＋＋≥3，即＋＋≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立).

所以＋＋＋abc≥＋abc.

而＋abc≥2＝2(当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立)，所以＋＋＋abc≥2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立).

16.解不等式：

(1)|－x|＜2；

(2)|x＋3|＋|x－3|＞8.

解　(1)当－x＞0时，可化为(x－1)2＜0，x不存在，

当－x≤0时，x∈R，

原不等式转化为x－＜2可化为x2－6x＋5＜0，解集{x|1＜x＜5}.

(2)当x＜－3时，不等式化为－2x＞8，解得x＜－4，

当－3≤x＜3时，不等式为x＋3－x＋3＞8，

解得x∈?，

当x≥3时，不等式为x＋3＋x－3＞8，解得x＞4，

所以不等式的解集为{x|x＜－4或x＞4}.

17.设关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a.

(1)当a＝1时，解这个不等式；

(2)当a为何值时，这个不等式的解集为R?

解　(1)当a＝1时，lg(|x＋3|＋|x－7|)＞lg 10，

|x＋3|＋|x－7|＞10，

设y＝|x＋3|＋|x－7|＝

解得x＜－3或x＞7，

∴当a＝1时不等式的解集为(－∞，－3)∪(7，＋∞).

(2)由(1)知，|x＋3|＋|x－7|≥10，

∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥1，若不等式的解集为R时，

只须a＜1即可.

故a＜1时不等式的解集为R.

18.是否存在常数C，使得不等式＋≤C≤＋对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论.

解　当x＝y时，可由不等式得出C＝.

下面分两个方面证明.先证＋≤，

此不等式?3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)?x2＋y2≥2xy，

即x2＋y2＝2xy显然成立，∴＋≤成立.

再证＋≥，

此不等式?3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)?2xy≤x2＋y2.

即2xy≤x2＋y2显然成立，∴＋≥成立.

综上，可知存在常数C＝，使对任意正数x、y不等式恒成立.