第1讲 坐标系与参数方程
第1讲 坐标系与参数方程
[考情考向分析] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识．
热点一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，
设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，
则?????
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
?
???
?
ρ2＝x 2＋y 2，
tan θ＝y x (x ≠0).
例1 (2018·佛山模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???
??
x ＝a ＋3cos t ，
y ＝3sin t
(t
为参数，a >0)．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1上一点
A 的极坐标为?
??
??
1，π3，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝cos θ. (1)求曲线C 1的极坐标方程；
(2)设点M ，N 在C 1上，点P 在C 2上(异于极点)，若O ，M ，P ，N 四点依次在同一条直线
l 上，且|MP |，|OP |，|PN |成等比数列，求 l 的极坐标方程．
解 (1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2＝3， 化简得x 2＋y 2－2ax ＋a 2－3＝0. 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ， 所以ρ2－2aρcos θ＋a 2－3＝0.
代入点? ??
??
1，π3，得a 2－a －2＝0， 解得a ＝2或a ＝－1(舍去)．
所以曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0. (2)由题意知，设直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )， 设点M ()ρ1，α，N ()ρ2，α，P ()
ρ3，α， 则ρ1<ρ3<ρ2.
联立?
????
ρ2－4ρcos θ＋1＝0，
θ＝α，得ρ2－4ρcos α＋1＝0，
所以ρ1＋ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝1.
联立?????
ρ＝cos θ，θ＝α，
得ρ3＝cos α.
因为|MP |，|OP |，|PN |成等比数列，
所以ρ23＝(ρ3－ρ1)(ρ2－ρ3)，即2ρ23＝(ρ1＋ρ2)ρ3－ρ1ρ2.
所以2cos 2α＝4cos 2α－1，解得cos α＝
2
2
(舍负)． 经检验，满足O ，M ，P ，N 四点依次在同一条直线上， 所以l 的极坐标方程为θ＝±π
4
(ρ∈R )．
思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
跟踪演练1
(2018·乌鲁木齐模拟)已知直线l 的参数方程为?????
x ＝1＋1
2t ，y ＝3＋3t
(t 为参数)，
以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin θ－
3ρcos 2θ＝0.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标． 解 (1)∵sin θ－3ρcos 2θ＝0，
∴ρsin θ－3ρ2cos 2θ＝0，
即y －
3x 2＝0.
即曲线C 的直角坐标方程为y ＝3x 2.
(2)将?????
x ＝1＋1
2t ，y ＝3＋3t
代入y －3x 2＝0，
得3＋3t －3? ??
??
1＋12t 2＝0，即t ＝0，
从而交点坐标为(1，
3)，
所以交点的一个极坐标为?
??
??
2，π3. 热点二 参数方程与普通方程的互化 1．直线的参数方程
过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为?????
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α
(t 为参数)．
2．圆的参数方程
圆心为点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为?????
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ
(θ为参数)．
3．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的参数方程为?????
x ＝a cos θ，
y ＝b sin θ
(θ为参数)．
(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为?
????
x ＝2pt 2，
y ＝2pt (t 为参数)．
例2 (2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为?????
x ＝cos θ，
y ＝sin θ
(θ为参数)，
过点(0，－
2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π
2
时，l 与⊙O 交于两点．
当α≠π
2
时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －
2.l 与⊙O 交于两点当且仅当
|2|1＋k 2
<1，
解得k <－1或k >1，即α∈? ????π2，3π4或α∈? ????
π4，π2.
综上，α的取值范围是? ??
??
π4，3π4.
(2)l 的参数方程为
?
??
??
x ＝t cos α，
y ＝－2＋t sin α? ??
??
t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，
则t P ＝
t A ＋t B
2
，且t A ，t B 满足t 2－2
2t sin α＋1＝0.
于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝
2sin α.
又点P 的坐标(x ，y )满足???
??
x ＝t P cos α，
y ＝－2＋t P sin α，
所以点P 的轨迹的参数方程是???
??
x ＝2
2sin 2α，
y ＝－22－2
2cos 2α
? ??
??
α为参数，π4<α<3π4. 思维升华 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．
跟踪演练2 (2018·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
?????
x ＝2＋2t ，
y ＝6t
(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标是? ??
??2，4π3. (1)求直线l 的普通方程；
(2)求直线l 上的点到点M 距离最小时的点的直角坐标． 解 (1)直线l 的普通方程为3x －y －6＝0. (2)点M 的直角坐标是(－1，－
3)，
过点M 作直线l 的垂线，垂足为M ′，则点M ′即为所求的直线l 上到点M 距离最小的点．
直线MM ′的方程是y ＋3＝－1
3
(x ＋1)，
即y ＝－13x －1
3
－
3.
由?????
y ＝－13x －1
3－3，3x －y －6＝0，
解得?
??
?
?
x ＝
17－33
10
，
y ＝－9＋9310.
所以直线l 上到点M 距离最小的点的直角坐标是? ??
???17－3310，－9＋9310.
热点三 极坐标、参数方程的综合应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
例3 (2018·泉州质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为?????
x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为
参数)，直线l 的参数方程为?????
x ＝1－t ，
y ＝3＋t
(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴的极坐标系中，射线m ：θ＝β(ρ>0)． (1)求C 和l 的极坐标方程；
(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点)，点B 是m 与l 的交点，求|OA |
|OB |的最大值．
解 (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，
由?????
ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，
得()ρcos θ－12＋ρ2sin 2θ＝1，
化简得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 因为l 的普通方程为x ＋y －4＝0， 所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，
所以l 的极坐标方程为ρsin ?
??
??
θ＋π4＝2 2. (2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)， 则|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β·sin β＋cos β4
＝12(sin βcos β＋cos 2β)＝24
sin ? ?
???2β＋π4＋14， 由射线m 与C ，直线l 相交，则不妨设β∈? ??
??
－π4，π4，
则2β＋π4∈?
????
－π4，3π4，
所以当2β＋π4＝π2，即β＝π
8时，|OA ||OB |
取得最大值，
即? ??
??|OA ||OB |max ＝2＋14. 思维升华 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．
(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．
跟踪演练3 (2018·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)若曲线C 2的参数方程为?????
x ＝t cos α，
y ＝1＋t sin α
(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线
C 2的普通方程；
(2)若曲线C 2的参数方程为?????
x ＝t cos α，
y ＝1＋t sin α
(t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2的交点
分别为P ，Q ，求1
|AP |＋1
|AQ |的取值范围．
解 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 又∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，
∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2.
(2)将C 2的参数方程?????
x ＝t cos α，
y ＝1＋t sin α
(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋(2sin α
－2cos α)t ＋1＝0.
∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2
? ??
??
α－π4－4>0， ∴??????sin ? ????α－π4∈? ??
???22，1，
∴sin ? ????α－π4∈????????－1，－22∪? ?????22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ?
??
??
α－π4， t 1t 2＝1>0，
∵t 1t 2＝1>0，∴t 1，t 2同号，∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|. 由点A 在曲线C 2上，根据t 的几何意义，可得
1
|PA |＋1
|AQ |＝1
|t 1|＋1
|t 2|＝|t 1|＋|t 2|
|t 1||t 2| ＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2|1
＝22????
??
sin ?
????α－π4∈(2,22]． ∴1
|PA |＋1
|AQ |∈(2,22]．
真题体验
1．(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．
解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右侧的射线为l 1，y 轴左侧的射线为l 2.
由于点B 在圆C 2的外部，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且
l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．
当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－
43或k ＝0.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；
当k ＝－4
3时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点，满足题意．
当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|
k 2＋1
＝2，故k ＝0
或k ＝43
.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝4
3时，l 2与C 2没有公共点．
综上，所求C 1的方程为y ＝－4
3
|x |＋2.
2．(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为?
??
??
2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4
cos θ
.
由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α. 于是△OAB 的面积 S ＝1
2
|OA |·ρB ·sin ∠AOB
＝4cos α??????
sin ?
????α－π3 ＝4cos α?????
???12sin α－32cos α
＝|sin 2α－
3cos 2α－
3|
＝2?????
?
??sin ? ????2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2，即α＝－π
12时，S 取得最大值2＋
3，
所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.
押题预测
1．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的
正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是?????
x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α
(t 是参数)．
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝
13，求直线的倾斜角α的值．
押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点．本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题． 解 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.
因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ， 即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.
(2)将?
????
x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4，
得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4， 化简得t 2－2t cos α－3＝0.
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
由根与系数的关系，得?
????
t 1＋t 2＝2cos α，
t 1t 2＝－3，
所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2α＋12＝13， 故
4cos 2α＝1，解得
cos α＝±12
.
因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝π3或2π
3.
2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：?
????
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ(φ为参数)，其中a >b >0.以O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2cos θ，射线l ：θ＝α(ρ≥0)．若射线l 与曲线C 1交于点P ，当α＝0时，射线l 与曲线C 2交于点Q ，|PQ |＝1；当α＝π
2时，射线l 与曲线C 2交于点O ，|OP |＝ 3.
(1)求曲线C 1的普通方程；
(2)设直线l ′：???
??
x ＝－t ，
y ＝3t
(t 为参数，t ≠0)与曲线C 2交于点R ，若α＝π
3，求△OPR 的面积．
押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势．
解 (1)因为曲线C 1的参数方程为?
????
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ(φ为参数)，且a >b >0，所以曲线C 1的
普通方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，而其极坐标方程为ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θ
b 2
＝1.
将θ＝0(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θ
b 2＝1，
得ρ＝a ，即点P 的极坐标为()
a ，0； 将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2， 即点Q 的极坐标为(2,0)．
因为|PQ |＝1，所以|PQ |＝|a －2|＝1， 所以a ＝1或a ＝3.
将θ＝π
2(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，
得ρ＝b ，即点P 的极坐标为????
b ，π2， 因为|OP |＝
3，所以b ＝
3.又因为a >b >0，所以a ＝3，
所以曲线C 1的普通方程为x 29＋y 2
3
＝1. (2)因为直线l ′的参数方程为???
??
x ＝－t ，
y ＝3t
(t 为参数，t ≠0)，
所以直线l ′的普通方程为y ＝－
3x (x ≠0)，
而其极坐标方程为θ＝－π
3(ρ∈R ，ρ≠0)，
所以将直线l ′的方程θ＝－π
3代入曲线C 2的方程ρ＝2cos θ，得ρ＝1，即|OR |＝1. 因为将射线l 的方程θ＝π
3(ρ≥0)代入曲线C 1的方程ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ3＝1，
得ρ＝
3
105
，即|OP |＝
3
105
，
所以S △OPR ＝1
2
|OP ||OR |sin ∠POR
＝12×3105×1×sin 2π3＝33020
.
A 组 专题通关
1．(2018·百校联盟TOP20联考)已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为
?????
x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α
(α为参数)，直线l 1：x ＝0，直线l 2：x －y ＝0，以原点为极点，x 轴
正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)写出曲线C 和直线l 1，l 2的极坐标方程；
(2)若直线l 1与曲线C 交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 交于O ，B 两点，求|AB |. 解 (1)依题意知，曲线C ：(x －1)2＋()
y －22＝5，即x 2－2x ＋y 2－4y ＝0， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得ρ＝2cos θ＋4sin θ. 因为直线l 1：x ＝0，直线l 2：x －y ＝0， 故直线l 1，l 2的极坐标方程为l 1：θ＝π
2
(ρ∈R )，
l 2：θ＝π
4(ρ∈R )．
(2)设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2， 在ρ＝2cos θ＋4sin θ中，
令θ＝π2，得ρ1＝2cos π2＋4sin π
2＝4，
令θ＝π4，得ρ2＝2cos π4＋4sin π
4＝32，
因为π2－π4＝π4，
所以|AB |＝
ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2
cos π4
＝10.
2．(2018·衡水金卷模拟)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的
长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程是ρsin ?
????
θ－π3＝1，圆C 的参数方程为?
????
x ＝1＋r cos φ，y ＝r sin φ(φ为参数，r >0)． (1)若直线l 与圆C 有公共点，求实数r 的取值范围；
(2)当r ＝2时，过点D (2,0)且与直线l 平行的直线l ′交圆C 于A ，B 两点，求????
??
1|DA |－1|DB |的值．
解 (1)由ρsin ?
??
??
θ－π3＝1， 得ρ? ??
??sin θcos π3－cos θsin π3＝1， 即1
2y －3
2x ＝1， 故直线l 的直角坐标方程为
3x －y ＋2＝0.
由????? x ＝1＋r cos φ，y ＝r sin φ，得?
????
x －1＝r cos φ，y ＝r sin φ，
所以圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝r 2.
若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1,0)到直线l 的距离d ＝
|3×1－1×0＋2|
3＋1
≤r ，即r ≥
3＋2
2
， 故实数r 的取值范围为?????
?
??3＋22，＋∞.
(2)因为直线l ′的倾斜角为π
3
，且过点D (2,0)，
所以直线l ′的参数方程为?????
x ＝2＋t
2，
y ＝3
2t
(t 为参数)，①
圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝4，② 联立①②，得t 2＋t －3＝0，
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－1，t 1t 2＝－3<0，
故????
??1|DA |－1|DB |＝||DB |－|DA |||DA |·|DB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝1
3. 3．(2018·安徽省“皖南八校”联考)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
?????
x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α
(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ(sin θ＋
3cos θ)＝
3.
(1)求C 的极坐标方程；
(2)射线OM ：θ＝θ1? ??
??π6≤θ1≤π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求|OP |·|OQ |的取值范围．
解 (1)圆C 的普通方程是(x －2)2＋y 2＝4， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (2)设P (ρ1，θ1)，则有ρ1＝4cos θ1， 设Q (ρ2，θ1)，且直线l 的极坐标方程是 ρ(sin θ＋
3cos θ)＝
3，
则有ρ2＝3
sin θ1＋3cos θ1，
所以|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝
4
3cos θ1
sin θ1＋
3cos θ1
＝43
3＋tan θ1
? ????π6≤θ1≤π3， 所以2≤|OP ||OQ |≤3.
即|OP ||OQ |的取值范围是[2,3]．
4．(2018·潍坊模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?????
x ＝2＋2cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为
参数)，点M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →
(a >0且a ≠1)，点P 的轨迹为曲线
C 2.
(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；
(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为?
??
??
2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．
解 (1)设P (x ，y )，M ()
x 0，y 0，
由OP →＝aOM →
，得?
????
x ＝ax 0，y ＝ay 0.∴
?????
x 0＝x
a ，
y 0
＝y a .
∵点M 在C 1上，
∴?
????
x
a ＝2＋2cos θ，y
a ＝2sin θ，即?
????
x ＝2a ＋2a cos θ，
y ＝2a sin θ(θ为参数)，
消去参数θ，得()x －2a 2＋y 2＝4a 2(a >0且a ≠1)． ∴曲线C 2是以(
)
2a ，0为圆心，以2a 为半径的圆． (2)方法一 A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝
3x ，即
3x －y ＝0.
设B 点坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线
3x －y ＝0的距离d ＝
a |23cos α－2sin α＋23|
2
＝a ????
??
2cos ? ????α＋π6＋3
. ∴当α＝－π
6时，d max ＝(
3＋2)a .
∴S △AOB 的最大值为1
2
×2×(
3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.
方法二 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入()
x －2a 2＋y 2＝4a 2，并整理得ρ＝4a cos θ，令θ＝α，得ρ＝4a cos α. ∴B ()
4a cos α，α.
∴S △AOB ＝1
2
|OA |·|OB |·sin ∠AOB
＝4a cos α????
??
sin ? ????α－π3＝a |2sin αcos α－23cos 2α| ＝a |sin 2α－3cos 2α－3|＝a ????
??
2sin ? ????2α－π3－3， ∴当α＝－π
12时，S △AOB 取得最大值(2＋
3)a ，
依题意知(2＋
3)a ＝4＋2
3，∴a ＝2.
5．(2018·河南省南阳市第一中学考试)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为?
????
x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，l 1，l 2为过点O
的两条直线，l 1交M 于A ，B 两点，l 2交M 于C ，D 两点，且l 1的倾斜角为α，∠AOC ＝π
6.
(1)求l 1和M 的极坐标方程；
(2)当α＝?
??
??
0，π6时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值． 解 (1)依题意知，直线l 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )，
由?????
x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ，
消去φ， 得(x －1)2＋(y －1)2＝1，
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式， 得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，
故M 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0.
(2)依题意可设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，C ? ????ρ3，α＋π6， D ? ??
??ρ4，α＋π6，且ρ1，ρ2，ρ3，ρ4均为正数， 将θ＝α代入ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0， 得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0， 所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，
同理可得，ρ3＋ρ4＝2????
??
cos ?
????α＋π6＋sin ? ????α＋π6，
参数方程和极坐标方程知识点归纳
专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注： 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。 如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化 设是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编及答案解析
【高中数学】数学《坐标系与参数方程》复习知识要点 一、13 1．若点P 的直角坐标为() 1,3-，则它的极坐标可以是（ ） A ．52, 3 π?? ?? ? B ．42, 3 π?? ?? ? C ．72, 6 π?? ?? ? D ．112, 6π?? ?? ? 【答案】A 【解析】 【分析】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则() 2 2132ρ=+-=，3 tan 31 θ-= =-. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3 π?? ??? ，故选：A. 【点睛】 本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题. 2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2 x = C ．2202x y x +==或 D ．2y = 【答案】C 【解析】 由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ，利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化． 3．参数方程 （为参数）所表示的图象是
A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。 【详解】 由题意知将代入，得， 解得，因为，所以.故选：D。 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。 4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析 式。 【详解】 由伸缩变换得，代入，有， 即.所以变换后的曲线方程为.故选：C。
选修坐标系与参数方程高考复习讲义
选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义 本部分是人教A 版教材选修模块内容，主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程，主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具，特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的，明显比另两个模块简单。 第一节坐标系 基本知识点： 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： ??? x′＝λ·x， λ＞0， y′＝μ·y， μ＞0 的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点， 自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴 Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M(ρ，θ)不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x ，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ?? ? x ＝ρcos θy ＝ρsin θ ? ?? ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x x≠0
高考数学压轴专题郑州备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习含答案解析
数学《坐标系与参数方程》复习知识点 一、13 1．已知M 点的极坐标为(2,)6 π --，则M 点关于直线2 π θ= 的对称点坐标为（ ） A ．(2, )6 π B ．(2,)6 π - C ．(2, )6 π - D ．11(2, )6 π - 【答案】A 【解析】 M 点的极坐标为2,6π?? -- ?? ? ，即为5(2, )6π∴ M 点关于直线2π θ=的对称点坐标为(2,)6 π,选A. 点睛:(,)(,),ρθρθπ=-+(,)ρθ关于2 π θ= 对称点为(,)ρπθ-,关于0θ=对称点为 (,)ρθ-. 2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2 x = C ．2202x y x +==或 D ．2y = 【答案】C 【解析】 由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ，利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化． 3．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ θ =??=?(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系 是( ) A ．相切 B ．相离 C ．直线过圆心 D ．相交但直线不过圆 心 【答案】D 【解析】 【分析】 分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系.
极坐标系与参数方程一轮复习
极坐标系与参数方程 ?知识梳理 、极坐标 在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 （1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ； （2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。 2、直线的极坐标方程 （1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ； （2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程 1、极坐标定义：M 是平面上一点, 表示0M 的长度, 是MOx ，则有序实数实数对 （,）,叫极径，叫极角；一般地, 2、极坐标和直角坐标互化公式: COS 2 2 x 2 y sin 或 t tan y （x 0） 的象限由点（x, y ）所 [0,2 ）， 0 x y
第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换 知识点】 点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程； (II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. 练习: 定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x' x( y' y( 00) )的作用下， 在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有: 即有: x x h ， y y k 在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y) xh x h 所确定的变换是一个平移变换。 yk
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
《坐标系与参数方程》练习题(含详解)
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
坐标系与参数方程(题型归纳)
坐标系与参数方程 （一）极坐标系： 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做 极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系. 2、极坐标与直角坐标互化公式： ★极坐标与直角坐标的互化公式：? ??==θρθ ρsin cos y x ， ?? ? ? ?≠=+=0,tan 2 22x x y y x θρ。 ★极坐标与直角坐标的互化的前提： ①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。 例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可） 3、求极坐标方程的两种方法： ★处理极坐标系中问题大致有两种思路： (1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化； (2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程. （二）参数方程： 1、参数方程的定义： 如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么()() x f t y g t =???=?? 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。 2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3 ()2333723x t t y x y x y t =+??=+-?=-? =+? 为参数 （2）整体消元法：2211 x t t y t t ? =+??? ?=+?? ()t 为参数，由222112t t t t ?? +=++ ???可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22 sin cos 1θθ+=消去参数 例如：22cos 3cos 3 ()12sin 94sin 2 x x x y y y θθθθθ? =?=????+=? ?=??= ??为参数
极坐标与参数方程题型及解题方法
Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
选修4-4坐标系与参数方程练习题及解析答案
高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．曲线与坐标轴的交点是（）． A． B． C． D． 2．把方程化为以参数的参数方程是（）． A． B． C． D． 3．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A． B． C． D． 4．点在圆的（）． A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关 5．参数方程为表示的曲线是（）． A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线 6．两圆与的位置关系是（）． A．内切 B．外切 C．相离 D．内含 7．与参数方程为等价的普通方程为（）． A． B．
C． D． 8．曲线的长度是（）． A． B． C． D． 9．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（）．A． B． C． D． 10．直线和圆交于两点， 则的中点坐标为（）． A． B． C． D． 11．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）．A． B． C． D． 12．直线被圆所截得的弦长为（）． A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．参数方程的普通方程为__________________． 14．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______．15．直线与圆相切，则_______________． 16．设，则圆的参数方程为____________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离． 18．（本小题满分12分） 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点， 求的值及相应的的值． 19．（本小题满分12分） 已知中，(为变数)， 求面积的最大值． 20．（本小题满分12分）已知直线经过点,倾斜角， （1）写出直线的参数方程． （2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．21．（本小题满分12分） 分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程： （1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数． 22．（本小题满分12分） 已知直线过定点与圆：相交于、两点．求：（1）若，求直线的方程； （2）若点为弦的中点，求弦的方程． 答案与解析：
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
2018届二轮(理)专题十八坐标系与参数方程专题卷(全国通用)
2018衡水名师原创理科数学专题卷 专题十八 坐标系与参数方程 考点58：极坐标与直角坐标（1-6题，13,14题，17-19题） 考点59：参数方程（7-12题，15,16题，20-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点58 易 在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 （ ） A.1 B.32．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷）考点58 中难 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）. （A ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=- 3．【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷） 考点58 中难 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4 πρθθθ=≤≤+ C.cos sin ,02π ρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04π ρθθθ=+≤≤ 4．【来源】2015届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点58 中难 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ??=- ???的下列判断中正确的是 A 、曲线C 关于直线56πθ=对称 B 、曲线C 关于直线3 πθ=对称
选修4-4坐标系与参数方程-高考题-分类汇总-(题目和答案)
坐标系与参数方程 1、（2011天津）下列在曲线sin 2(cos sin x y θ θθθ =??=+?为参数） 上的点是（ ） A 、1 (,2)2- B 、31(,)42 C 、(2,3) D 、 (1,3) 2、(2011·安徽理，5)在极坐标系中点?? ? ??3,2π到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π 2 9 C. 1＋π2 9 D. 3 3、(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2) B ．(1，－π 2 ) C ．(1,0) D ．(1，π) 4、(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程? ?? ?? x ＝－1－t y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ． 圆、圆 D ．直线、直线 5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D ．一条直线和一条射线 6．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝ π 6 (ρ∈R )的距离是________． 7．N3[2012·北京卷] 直线??? ?? x ＝2＋t ， y ＝－1－t (t 为参数)与曲线 ???? ? x ＝3cos α，y ＝3sin α (α为参数)的交点个数为________． 8．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为?? ? x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和 ?? ? x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：????? x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：? ?? ?? x ＝a sin θ， y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点 在x 轴上，则a ＝________. 10．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π 4与曲线? ???? x ＝t ＋1，y ＝t －12 (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________． 11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为???x ＝5cos θ y ＝5sin θ ? ????θ为参数，0≤θ≤π2和 ? ????x ＝1－2 2t y ＝－2 2 t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________． 12.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】在极坐标系中，圆 2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________. 13、(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1： ? ???? x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ 为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 14、 N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2·cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝__________． 17．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为? ?? ?? x ＝8t 2 ， y ＝8t ，(t 为 参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2 ＋y 2 ＝ r 2(r >0)相切，则r ＝________. 18．(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为?? ? x ＝5cos θ y ＝sin θ (0≤θ<π)和????? x ＝54 t 2 y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． 19、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013届高三上学期第一次联考】 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =-???=??， （t 为参数）， 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 20、(2012·高考课标全国卷) 已知曲线C 1的参数方程是? ????x ＝2cos φ， y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2， 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3 )． (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围．
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
专题训练：坐标系与参数方程(全国卷)
选修4－4 坐标系与参数方程 1．(2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ????2，π4，圆心为直线ρsin ????θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 2．(2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为????2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ????θ－π 4＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为? ???? x ＝1＋cos α， y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．
3．(2013·郑州市质量预测)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为? ???? x ＝2＋2cos θ y ＝2sin θ(θ 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin ??? ?θ＋π 4＝2 2. (1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长． 4．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为? ???? x ＝t ＋1， y ＝2t (t 为参数)，曲 线C 的参数方程为? ???? x ＝2tan 2 θ， y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公 共点的坐标．
5．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6 . (1)写出直线l 的参数方程； (2)设此直线与曲线C ：? ??? ? x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |. 6．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角 坐标系，设直线l 的参数方程为??? x ＝5＋32t y ＝1 2t (t 为参数)． (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．
极坐标与参数方程知识点总结大全
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①． 方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《坐标系与参数方程》难题汇编附答案
高考数学《坐标系与参数方程》课后练习 一、13 1．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA =+u u u v u u u v u u u v （,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（ ） A ．[21,221]-+ B ．[422,422]-+ C ．22 [1,2]22- + D ．22 [1,2]44 - + 【答案】D 【解析】 【分析】 建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标，进而可得BP u u u r 的坐标．分类讨论，当 动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值． 【详解】 解：建立如图所示平面直角坐标系，可得， (0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r ， 当点Q 在CD 上运动时，设(4,), [0,4]Q t t ∈， 则点P 在圆Q ：22 (4)()1x y t -+-=上及内部， 故可设(4cos ,sin ),(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，
则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r ， 44cos 4sin m r n t r θθ =+?∴?=+?， 444(sin cos )4sin 4m n t r t πθθθ? ?∴+=+++=+++ ???， 04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ， 当50,1,4t r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14 -； 当4, 1,4 t r π θ=== 时，m n +24+ m n ∴+的取值范围是1244?- +?? ? ； 当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈， 则点P 在圆Q ：22 ()(4)1x s y -+-=上及其内部， 故可设(cos ,4sin ),(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤， 则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r ， 4cos 44sin m s r n r θθ =+?∴?=+?， 444(sin cos )4sin 4m n s r s πθθθ? ?∴+=+++=+++ ???， 04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ， 当50,1,4s r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14 -； 当4, 1,4 s r π θ=== 时，m n +取最大值为 84 +，即24+， m n ∴+的取值范围是1244?- +?? ? ； 故选：D ． 【点睛】 本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2 ρ的最大值为（ ） A ． 7 2 B ．4 C ． 92 D ．5
坐标系与参数方程-知识点总结
坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程