三角形五心分别为

三角形五心及定律

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，内心定理，垂心定理，旁心定理的总称

一、重心定理

1.定义：三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。

2.重心的性质：

（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG。

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF；

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵AF=CF，∴HF=1/2CF，∴HF:CF=1/2；

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2，∴EG=1/2CG

（2）重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O，A分别作a边上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可证S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

（3）重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

（4）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

（5.）以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

二、外心定理

1.定义：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。（三角形有且只有一个外接圆。）

2.外心的性质：

（1）三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

共点证明：

∵l、m分别为线段AB、AC的中垂线

∴AF=BF=CF

∴BC中垂线必过点F

（2）外心到三顶点的距离相等。

（3）若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A

为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

（4）当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

（5）计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：

( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

三、内心定理，

1.定义：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。（三角形有且只有一个内切圆。）

2.性质：

（1）三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

（2）内心到三角形三边距离相等。

（3）直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。

（4）P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

（5）O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

（6）(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．

（7）（内角平分线分三边长度关系）

△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、

R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

四、垂心定理，

1.定义：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

2.垂心的性质：

（1）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

（2）三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））

（3）垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

（4）垂心分每条高线的两部分乘积相等。

五、旁心定理。

1.定义：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

2.旁心的性质：

（1）三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

（2）每个三角形都有三个旁心。

（3）旁心到三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。