广东省揭阳一中、潮州金山中学2013-2014学年高三上学期期中联考文数学试卷(带word解析)

广东省揭阳一中、潮州金山中学2013-2014学年高三上学期期中联考文数学试卷（带word 解析）

第I 卷（选择题）

1

．

已

知

{}|1

0A x

x =+>,{}

2,1,0,1B =--，则

()R

A B = e

（ ）

A ．{}2,1--

B ．{}2-

C ．{}1,0,1-

D ．{}0,1 【答案】A

【解析】

试题分析：{

}{}10

1

A x x

x

x =

+>=>- ，{}1R A x x ∴=≤-e，

(){}2,1R A B ∴=-- e，故选A.

考点：集合的基本运算 2．

()

2

121i

i +=- （ ）

A ．112i --

B ．1

12

i -+ C ．

1

12

i +

D ．112

i -

【答案】B 【解析】 试题分析：

()

2

12121

122

1i

i i i i ++=

=-+--，故选B. 考点：复数的四则运算

3．设p 、q 是简单命题，则“p 或q 是假命题” 是 “非p 为真命题”的 （ ）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件 【答案】A 【解析】

试题分析：因为命题“p 或q 是假命题”，故命题p 和q 都是假命题，从而“非p ”为真命题；另一方面，“非p ”为真命题，只能说明命题p 为假命题，不能保证命题q 的真假性，从而命题“p 或q ”的真假性不确定，故“p 或q 是假命题” 是 “非p 为真命题”的充分而不必要条件，故选A. 考点：1.简单的逻辑联结词；2.充分必要条件 4．函数()()1

lg 11f x x x

=

++- 的定义域是 （ ） A.(),1-∞- B.()1,+∞ C.()()1,11,-+∞ D.(),-∞+∞ 【答案】C

【解析】

试题分析：自变量

x 满足10

10

x x -≠??

+>?，解得1x >-且1x ≠，故函数

()()1

lg 11f x x x

=

++- 的定义域是 ()()1,11,-+∞ ，故选C.

考点：函数的定义域

5．已知向量()1,1m λ=+ ，()2,2n λ=+

，若()()

m n m n +⊥- ，则λ=

（ ）

A.4-

B.3-

C.2-

D.1-

【答案】B 【解析】

试题分析：()()

m n m n +⊥- ，()()

0m n m n ∴+?-= ，即22

m n = ，所以

()

()2

2

221122λλ++=++，

即263λλ=-?=-，故选B.

考点：1.向量的垂直；2.向量的数量积

6．函数()()3x

f x x e =-?的单调递增区间是（ ）

A.(),2-∞

B.()0,3

C.()1,4

D.()2,+∞ 【答案】D 【解析】

试题分析：()(

)3x f

x x e =-? ，()()()32x x x f x e x e x e '∴=+-?=-?，令

()0f x '>，即20x ->，

解得2x >，故函数()f x 的单调递增区间为()2,+∞，故选D. 考点：利用导数求函数的单调区间 7

．

如

果

1tan 2013

1tan α

α

+=-，那么

1t

a n 2

c

o

s

2

αα+= （ ）

A.2010

B.2011

C.2012

D.2013 【答案】D 【解析】 试题分析：

()()()

2

22222221tan 1cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan 1tan αααααα

αααααααα+++++=+==----+

1tan 20131tan α

α

+=

=-，故选D.

考点：1.二倍角；2.弦化切

8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥??

≤??≤?

上的一个

动点，则OA OM ?

的取值范围是（ ）

A.[]1,0-

B.[]0,1

C.[]

0,2 D.[]1,2- 【答案】C 【解析】

试题分析：OA OM x y ?=-+

，令z x y =-+，则z 为直线:l z x y =-+在y 轴上的截距，作出不等式组

2

1

2x y x y +≥??

≤??≤?

所表示的平面区域如下图所示，作直线:l z x y =-+，当直线l 经过平面区域内的点()1,1A ，此时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即

min 111z =-+=；当直线l 经过平面区域内的点()0,2B ，此时直线l 在y 轴上的截距

最大，此时z 取最大值，即max

022z =-+=，故OA OM ?

的取值范围是[]0,2，

故选C.

考点：1.线性规划；2.平面向量的数量积 9．下列说法，正确的是（ ） A. 对于函数()1

f x x

=，因为()()110f f -?<，所以函数()f x 在区间()1,1-内必有零点

B. 对于函数()2

f x x x =-，因为()()120f f -?>，所以函数()f x 在区间

()1,2-内没有零点

C. 对于函数()3

2

331f x x x x =-+-，因为()()020f f ?<，所以函数()f x 在区

间()0,2内必有零点

D. 对于函数()3

2

32f x x x x =-+，因为()()130f f -?<，所以函数()f x 在区间

()1,3-内有唯一零点

【答案】C 【解析】

试题分析：函数()1

f x x

=

的图象在区间()1,1-不是连续的，另一方面，当10x -<<，()0f x <，当01x <<时，()0f x >，故函数()f x 在区间()1,1-内

无零点，故选项A 错误；令()0f x =，可得0x =或1x =，故()f x 在区间()1,2-内有两个零点，选项B 错误；由于函数()3

2

331f x x x x =-+-的图象在区间()

0,2内连续，且()()020f f ?<，所以函数()f x 在区间()0,2内必有零点，选项C 正确；对于函数()3

2

32f x x x x =-+，因为()()130f f -?<，所以函数()f x 在区间

()1,3-内有零点，另一方面，令()0f x =，即32

320x x x -+=，即

()()120x x x --=，解得

0x =，1x =或2x =，即函数()f x 在区间()1,3-内有三个零点，选项D 错误，综上所述，选C.

考点：零点存在定理

10．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]

,a b 上的两个函数，若函数

()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是

“关联函数”，区间[]

,a b 称为“关联区间”．若()2

34f x x x =-+与

()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，则m 的取值范围为 （ ）

A.9,24??-- ???

B.[]1,0-

C.(],2-∞-

D.9,4??

-

+∞ ???

【答案】A 【解析】

试题分析：令()()0f x g x -=，得()()f

x g x =，即2342x x x m -+=+，即

254m x x =-+，若函数()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函

数”，则问题转化为直线y m =与曲线2

54y x x =-+在区间[]0,3上有两个交点，在

同一坐标系中作出直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3图象，由图象知，当

9

24

m -

<≤-时，直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3上有两个交点，故选A.

考点：1.新定义；2.函数的零点

第II 卷（非选择题）

11．在ABC ?中，若3a =，b =3

A π

∠=，则C ∠的大小为_________.

【答案】

2

π 【解析】

试题分析：由正弦定理的

sin 11

sin sin sin 232

a b b A B A B a =?===，a b > ，A B ∴>，

故6

B π

∠=

，因此()362

C A B πππ

ππ??∠=-∠+∠=-+=

???. 考点：1.正弦定理；2.三角形的内角和定理

12．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++ 的值为 . 【答案】36 【解析】 试

题

分

析

：

357553124

a a a a a ++==?= ，

()

19129599362

a a a a a a +∴+++=

== . 考点：等差数列的性质

13．已知函数()3sin 2f x x π??

=- ?3?

?

的图象为C ，则下列说法： ①图象C 关于点(),0π对称； ②图象C 关于直线11

12

x π=

对称； ③函数()f x 在区间51212ππ??

-

???

，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向左平移6

π

个单位长度可以得到图象C ．其中正确的说法的序号为 . 【答案】②③ 【解析】

试题分析：()3sin 23sin 033f

ππππ?

?=-=-=≠ ?

?

?

，故图象C 不关于点

(),0π对称，命题①错误；111133sin 23sin 31212

32

f ππππ???

?=?-==- ? ?

??

?

?

，函数()f x 取到最小值，故图象C 关于直线11

12

x π=

对称，命题②正确；当512

12x π

π-

<<

，2232x πππ-<-<，故函数()f x 在区间51212ππ??

- ???

，内是增函数，命题③正确；将函数3s i n 2y x =图象向左平移

6

π

个单位长度得到函数()3s i n 26h x x π?

?=+ ??

?

3sin 23x π?

?=+ ??

?的图象，而不是曲线C ，故命题④错误.综上所述，正确的命题序号

是②③.

考点：1.三角函数的对称性；2.三角函数的单调性；3.三角函数图象变换 14．已知函数()()40,0a

f x x x a x

=+>>在3x =时取得最小值，则a =__________. 【答案】36 【解析】

试题分析：当0x >，0a >时，由基本不等式得()4a f x x x =+

≥=

当且仅当4a x x =

，即当x =时，函数()f x 336a =?=. 考点：基本不等式

15．已知函数()()2sin cos cos2f x x x x x R =+∈. （1）求()f x 的最小正周期和最大值；

（2）若θ为锐角，且8f πθ??

+

= ?

?

?，求tan 2θ的值.

【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π2）tan 2θ= 【解析】

试题分析：（1）先将函数解析式化简为()24f x x π?

?=

+ ??

?，然后根据相应公

式求出函数()f x 的最小正周期与最大值；（2）先利用83

f πθ??

+

= ?

?

?求出cos 2θ的值，然后利用已知条件确定2θ的取值范围，进而确定sin 2θ的正负，并利用平方关系求出sin 2θ的值，最终求出tan 2θ的值.

试题解析：（1）

(

)2sin cos cos 2sin 2cos 224f x x x x x x x π?

?=+=+=+ ??

? ，

22

T π

π∴=

=，即函数()f x 的最小正周期为π， (

)max f x =()f x

（2

）2228842f ππππθθθθ????

???

?+

=++=+== ? ? ????

??

?????，1

cos 23

θ∴=，

θ 为锐角，所以02

π

θ<<

，故02θπ<<，因此sin 20θ>，

sin 23θ∴===

sin 2tan 23cos 2θθθ∴===

考点：1.三角函数的周期性与最值；2.同角三角函数的基本关系 16．设函数(

)cos f

θθθ=

+，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴

非负半轴重合，

终边经过点(),P x y ，且0θπ≤≤.

（1）若点P

的坐标为12? ??

，求()f θ的值；

（2）若点(),P x y 为平面区域1

:11x y x y +≥??

Ω≤??≤?

上的一个动点，试确定角θ的取值范围，

并求函数()f

θ的最小值和最大值.

【答案】（1）()2f θ=；（2）()max 2f θ=，()min 1f θ=.

【解析】

试题分析：（1）先利用定义求出sin θ和cos θ的值，然后代入()f

θ的表达式中求出

()f θ的值；（2）先利用线性规划所表示的可行域求出角θ的取值范围，并将()

f θ的表达式化为()2sin 6f πθθ??

∴=+ ??

?

，结合角θ的取值范围求出6

π

θ+

的取值范围，

利用正弦函数的图象确定函数()f

θ的最小值和最大值.

试题解析：（1）由三角函数的定义知1cos 2θ=

，sin θ=

()1

cos 22

f θθθ∴=+=+=； （2）作出平面区域M （即三角形区域ABC ），如图所示，其中()1,0A 、()1,1B 、

()0,1C ，于是02

π

θ≤≤

，

又()cos 2sin 6f πθθθθ??

∴=+=+

??

?

，且

26

6

3

π

π

πθ≤+

≤

， 当6

2

π

π

θ+=时，即3

π

θ=

时，()max 23f f πθ??

==

???

， 当6

6

π

π

θ+

=

时，即0θ=时，()()min 01f

f θ==.

考点：1.三角函数的定义；2.三角函数的最值；3.线性规划 17．设函数()3

23

a f x x bx cx d =+++（其中0a >），且方程()90f x x '-=的两个根分别为1、4.

（1）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （2）若()f x 在(),-∞+∞无极值点，求a 的取值范围.

【答案】（1）()3

2

312f x x x x =-+；（2）实数a 的取值范围是[]

1,9.

【解析】

试题分析：（1）先将3a =代入函数()f x 的解析式，利用“曲线()y f x =过原点”先求出d 的值，然后求出二次函数()()9g x f x x '=-的解析式，利用“1、4为二次方程()90f x x '-=的两个根”并结合韦达定理求出b 、c 的值，最终确定函数()f x 的解析式；（2）先利用“1、4为二次方程()90f x x '-=的两个根”并结合韦达定理确定b 、c 与a 的关系，然后求出()f x '，对0a =与0a ≠进行分类讨论，将

()f x 在(),-∞+∞无极值点进行转化，对0a =进行检验；当0a ≠时，得到0?≤，

从而求出实数a 的取值范围.

试题解析：（1）当3a =时，()32

f x x bx cx d =+++，

由于曲线()y f x =过原点，则有()00f d ==，()3

2

f x x bx cx ∴=++，

()232f x x bx c '∴=++，令()()()29329g x f x x x b x c '=-=+-+，

由题意知，1、4是二次函数()g x 的两个零点，由韦达定理得

29

1433

b b -+=-?=-， 14123

c

c ?=

?=，()32312f x x x x ∴=-+； （2）()()()2

929g x f x x ax b x c '=-=+-+，

由于1、4是二次函数()g x 的两个零点，由韦达定理得2914b a -+=-，14c

a

?=， 解得952a b -=

，4c a =，()32

95432

a a f x x x ax d -∴=+

++， ()()2954f x ax a x a '∴=+-+，

当0a =时，()9f x x '=，令()0f x '=，解得0x =，当0x <时，()0f x '<，当

0x >，()0f x '>，

此时0x =为函数()f x 的极小值点，不合乎题意；

故0a ≠，由于函数()f x 在(),-∞+∞无极值点，则()2

95440a a a ?=--??≤，

即()()9549540a a a a ---+≤，化简得()()9190a a --≤，解得19a ≤≤， 故实数a 的取值范围是[]

1,9. 考点：1.导数；2.韦达定理 18．已知函数()()1

ln f x a x a R x

=

-∈. （1）当1a =-时，试确定函数()f x 在其定义域内的单调性； （2）求函数()f x 在(]

0,e 上的最小值；

（3）试证明：()1

11 2.718,n e e n N n +*??

+>=∈ ?

??

.

【答案】（1）当1a =-时，函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为

()1,+∞；

（2）()()min

11,1ln ,ae

a e e

f x a a a a e -?≥-??=??-+-<-??

；（3）详见解析. 【解析】

试题分析：（1）先求出函数()f x 的定义域求出，然后将1a =-代入函数()f x 的解析式，求出导数()f x '，并利用导数求出函数()f x 的减区间与增区间 ；（2）求出

()f x '，并求出方程()0f x '=的1

x a =-，对a 的符号以及1

a

-

是否在区间(]0,e 内进行分类讨论，结合函数()f x 的单调性确定函数()f x 在(]

0,e 上的最小值；（3）利用分析法将不等式1

11n e n +??

+> ?

??

等价转化为11ln

1n n n +>+，然后令1

n x n

+=，将原不等式等价转化为

1

ln 1x x

+>在()1,+∞，利用（1）中的结论进行证明. 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =-时，()1

ln f x x x

=+，则

()22111

x f x x x x

-'=-+=，

解不等式()0f x '<，得01x <<；解不等式()0f x '>，得1x >， 故函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞； （2）()1ln f x a x x =

- ，()211

a ax f x x x x

+'∴=--=-， 当0a ≥时，()0,x e ?∈，()0f x '<，此时函数()f x 在区间(]

0,e 上单调递减， 函数()f x 在x e =处取得最小值，即()()min 11ln ae

f x f e a e e e

-==-=； 当0a <时，令()1

0f x x a

'=?=-， 当1e a -

≥时，即当1

0a e

-≤<，()0,x e ?∈，()0f x '<，此时函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减，

函数()f x 在x e =处取得最小值，即()()min 11ln ae

f x f e a e e e

-==

-=； 当10e a <-<，即当1a e <-时，当10x a <<-，()0f x '<，当1

x e a

-<<时，

()0f x '>，

此时函数()f x 在1

x a

=-

处取得极小值，亦即最小值，

即()()min 11ln ln f x f a a a a a a a ????

=-

=---=-+- ? ?????

， 综上所述，()()min

11,1ln ,ae

a e e

f x a a a a e -?≥-??=??-+-<-

??

；

（3）要证不等式1

11n e n +??

+> ?

??

，即证不等式()11ln 11n n ??

++> ???

，即证不等式

11ln 11n n ??

+>

?+??

， 即证不等式11

ln

1

n n n +>+， 令111n x n n +==+，则12x <≤ 则1

1n x =-，故原不等式等价于111

ln 1111x x x x x ->==-+-，

即不等式1

ln 10x x

+->在(]1,2上恒成立，

由（1）知，当1a =-时，函数()1

ln f x x x

=+在区间()1,+∞上单调递增，

即函数()f x 在区间(]1,2上单调递增，故()()11f x f >=， 故有

1ln 1x x +>，因此不等式1

ln 10x x

+->在(]1,2上恒成立，故原不等式得证， 即对任意n N *

∈，1

11n e n +??+> ?

??

.

考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.函数的最值；3.分析法证明不等式