9 毕业设计(论文)正文

杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文向量法在高中数学中的应用

the application of vector method in high school mathematics

论文作者：李何东

专业：数学101

指导老师：李祖泉

完成时间： 2014年 4月 15日

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摘要

向量是高中数学的一个重要的知识点，运用于方方面面，主要运用在圆锥曲线与立体几何两方面。由于联系到许多其他知识点，向量掌握的好与坏，直接影响学生的高中数学学习质量。近几年的高考趋势表明，向量在高中扮演的角色越来越重要。

Vector Method is a significant and widely-used knowledge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic section and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students’mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of College Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics.

关键词：向量；平面几何；立体几何；代数

Keyword：Vector；planimetry；stereometry；algebra

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目录

引言 (4)

1、平面几何 (6)

1.1、利用向量解决基础平面图形问题 (6)

1.2、利用向量求解圆锥曲线问题 (7)

2、立体几何 (9)

2.1、利用向量解决平行问题 (9)

2.2、利用向量解决垂直问题 (10)

2.3、利用向量来求空间角问题 (11)

2.4、空间距离 (13)

2.4.1、两点距离 (13)

2.4.2、点到直线距离 (13)

2.4.3、点到平面距离 (14)

2.4.4、异面直线距离 (14)

3、代数 (15)

3.1、不等式问题 (15)

3.2、求最值问题 (16)

3.3、三角函数中的应用 (16)

结论 (17)

参考文献 (18)

致谢 (18)

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引 言

向量是高中数学的重要内容，也是数学的重要概念之一，由于它既有几何的表示方法又有代数表示方法，与中学数学的许多主干知识交汇。因此，它或作为知识的载体，或作为解决问题的工具，几乎渗透到数学的所有分支之中。

当然，在本文阐述向量在高中数学中的应用的开始，先来认识一下什么是向量。数学中，向量是既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量。平面上的几何向量常用带箭头的线段—有向线段表示，简称为向量。

向量的表示分为三种，即代数表示，几何表示，坐标表示。 1. 代数表示：一般用黑体小写字母a 表示，或者带箭头的小写

字母表示，或者用带箭头的两个大写字母表示。

2. 几何表示：向量可以用有向线段来表示，用有向线段的长度

表示向量的大小。如图，若规定线段AB 的端点A 为起点，B 为终点，则线段就具有了从起点A 到终点B 的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。

3. 坐标表示：我们仅以平面坐标来说明，多维坐标以此类推。在平面直角坐标系中，为任意向量，则以x0表示在x 轴上的射影长度，y0表示在y 轴上的射影长度。分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，作为一组基底。则=x0*+y0*，并用坐标（x0，y0）唯一的表示a 。

向量的分类：

1. 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。

2. 负向量：如果向量与向量CD 的模相等且方向相反，那么我们把向量叫做向量

的负向量。

3. 单位向量：长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量。与向量同向或反向，且长度为单位1的向量，叫做方向上的单位向量。

4. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a 与b 相等，记作a =b 。

5. 法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量。 向量的运算：

1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。如图，在计算AB +AD 时，将三角形ABD 补成平行四边形ABCD ，显然图中所有的a 相等，所有的b 相等，故

B

A a

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AB +AD =DC + AD =AC 。就是说，如果要

求两向量的和，只要将它们补成平行四边形，从公共点出发的对角线所成的有向线段就是它们的和。

2. 向量的减法：如果a 、b 是互为相反的向量，那么=-，=-，+=。的反向量为。还是上图，-=+=，即共同起点，指数相减。

3. 向量的数乘：实数λ和向量的乘积是一个向量，记作λ，且∣λ∣=∣λ∣·∣∣。 若λ>0，则λ与同向，若λ<0，则λ与反向，若λ=0，则λ=0，方向任意。 数乘的运算规律：

结合律：(λ)·=λ(·)=(·λ)。 第一分配律：(λ+μ) =λ+μ。 第二分配律：λ(+)=λ+λ。

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa =λb ，那么a =b 。② 如果a≠0且λa =μa ，那么λ=μ。

4. 向量的数量积：数量积·=∣∣·∣∣·cos 〈，〉，〈，〉为向量与的夹角。若a 、b 共线，则a ·b =±∣a ∣·∣b ∣。 数量积的运算规律： 交换律：·=· 结合律：(λa )·b =λ(a ·b ) 分配律：(a +b )·c =a ·c +b ·c

在高中数学新课标教材中，在必修二学习空间几何体，点、线、面的位置关系，接着必修四学习了平面向量，这是向量初步进入学生的知识体系。接着选修2-2的空间向量与立体几何，充分将之前学过的平面向量有机的结合在一起，用向量解决空间几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果，比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。这说明了向量法在高中数学解题中的重要性，想要帮学生们减轻负担，我们就要重视运用向量法。

仔细研读《新课标》对“考试内容”的具体要求，不难发现，其重点内容集中在函数、

C

a

B

D

A

b

a

b

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导数、三角函数、向量、概率与统计、数列、不等式、直线与平面、直线与圆锥曲线等是支撑数学学科知识体系的重点内容。而我在本文研究的重点则是放在向量上。下面，我就向量在平面几何与立体几何以及代数运算中的灵活应用做详细的举例阐述。

1、平面几何

高中的平面几何一般有其常用的一套解题放法，往往不会让学生们联想到向量。但试想，如果能将平面几何中的线段转化为向量，线段夹角即转化为向量的夹角，线段的长度转化为求向量的模，于是平面几何中的一些证明、计算就被向量的运算取代，这方便了许多问题的解决。当然，用这种向量方法解决几何问题时可以减少辅助线，但选用何种基向量是很有讲究的，选用的基底向量不同，解法也会有所不同。

当然还存在一种可能，如果能找到一个直角坐标系，把平面图形上的点都用坐标表示，那么几何问题就可以直接转变成了纯代数的问题。所以说，向量法往往可以巧妙的解决一些看似很麻烦的平面几何问题。

运用向量法解决平面几何问题的关键在于两点：即转换与运算。何谓转换，即找一对单位基向量或者直角坐标系，将所有线段用基向量或坐标表示。运算则顾名思义就是向量的运算。不难看出，解决此类问题的步骤一般分为三步：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如垂直、距离、夹角等问题；

（3）把运算结果再次转换成成几何元素。

1.1、 利用向量解决基础平面图形问题 例1.如图所示，在△ABC 中,AB=AC ，D 是BC 的中点，

DE ⊥AC ，E 是垂足，F 是DE 的中点，求证：AF ⊥BE.

证：要证AF ⊥BE ，即证0 =?，由于

AB=AC,D 是BC 中点，故AD ⊥BC ，0 =?BD AD ，

BD DC = .又由DE ⊥AC ，F 是DE 的中点，得0 =?EC DE ，2

1

-=，所以

=+?+=?)()(DE BD EF AE BE AF DE EF BD EF DE AE BD AE ?+?+?+?

?-?-

?+=2121)(?-+?=2

1

)(21=0，故得AF ⊥BE.

分析：例1是一道证明垂直的问题，如果用几何办法

求解，添辅助线是不可避免的，而且容易让人无从下手，而向量法则可以通过AD ⊥BD,DE ⊥EC,将与巧妙的通过AD ，BD ，DE ，EC 这4组基向量表示，通过基向量的垂直，证明AF ⊥BE 。

例2. 已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任意一点，PE

B

A E C

D

F A E

B

F

C

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⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，连接DP 、EF ，求证DP ⊥EF ．

解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，则B （1，0），D （0，1），C （1，1），P （a ，a ），E （a ，0），F （1，a ），=（a ，a-1），=（1-a ，a ），则*=a （1-a ）+（a-1）a=0，所以DP ⊥EF ．

分析：例2也是一道证垂直问题，由于DP 与EF 没有公共点，所以要证垂直必须填辅助线，可以延长DP ，也可以过P 作EF 平行线，但无论如何用平面方法解题，都没有向量法来的方便。建系、定坐标、计算，一气呵成，这就是向量法解题的两点。

例3. 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，设AC=m ，BC=n ．

（1） 若D 为斜边AB 的中点，求证，

CD=2

1

AB ．

（2） 若E 为CD 中点，连接AE 并延长交BC

于F ，求AF 的长度（用m ，n 表示）． 解：（1）如图建立直角坐标系，B （n ，0），

A （0，m ），则D （21n ，2

1m ），

CD=

22)2

1

()21(m n +=

2122m n +，AB=22)0()0(m n -+-=22m n +．所以

CD=

2

1

AB ． （2）E （

41n ，41m ），=（41n ，-4

3m ），设F （x ，0），则=（x ，-m ），由于A ，E ，F 三点共线，得m

m

x n --=4341，所以x=n 31，F （n 31

，0），

AF=2

2)3

(m n

+=

22

93

1m n +． 分析：此题的坐标系也是非常容易建立的，关键在于D ，E ，F 三点的坐标，求得这三点坐标后，所有问题迎刃而解。

1.2、 利用向量求解圆锥曲线问题

用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。高中数学中重点研究的圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。由于圆锥曲线往往在直角坐标系中出现，所以对于各个点的坐标的求解不可避免，而就这点而言，向量法大显身手的时刻到来了，无论是垂直问题，平行问题，求未知数问题，轨迹问题，共线问题，最值问题，都是在向量法的基础上完成的。所以说，向量法是解决大多数圆锥曲线问题的基础方法，给曲线的求解带来了极大的方便。我们来看下面例子。

例4. 如图: 已知椭圆

116

242

2=+y x ，直线L: 1812=+y x ， P 是直线L 上的点，射线OP

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交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足| OP | *| OQ |=| OR |2，当点P 在L 上移动时，求点Q 的轨迹方程．

解：如图，，，共线，可设Q （x ，y ），则R （λx ，λy ），P （μx ，μy ），由于| OP | *| OQ |=| OR |2,则μ=λ2，又由于R 在椭圆上，P 在L 上，

116

24

2

22

2=+

y x λλ，

18

12

=+

y

x

μμ，化简得，

22211624λ=+y x ，μ

1

812=+y x ，所以

812162422y x y x +=+，x ，y 不同时为0． 分析：解决圆锥曲线的轨迹问题时，先把动点坐标用（x ，y ）表示，将其他已知点用x ，

y 的表达式表示，然后通过已知条件，将几何语句表示成x 与y 之间的关系，消去多余未知数，即可得x ，y 的方程即轨迹方程。如上题，要求Q 的轨迹，所以先将Q 设成（x ，y ），然后通过未知数λ，μ将R 点与P 点坐标用未知数表示，最后通过已知条件消去λ，μ。

例5.设p>0是一常数，过点Q （2p ，0）的直线与抛物线y 2=2px 交于相异两点A ，B ，以线段AB 为直径作圆H （H 为圆心）．试证明抛物线顶点在圆H 的圆周上，并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程．

解：由于直线斜率不能为0，故设直线为ky=x-2p ，设A （x a ，y a ），B （x b ，y b ），将ky=x-2p 与y 2=2px 连列，消去y ，得x a ，x b 满足x 2-（4+2k 2）px+4p 2=0，由韦达定理得，x a x b =4p 2，x a +x b =（4+2k 2）p ，同理可得y a y b =-4p 2，y a + y b =2pk ．OA *OB = x a x b + y a y b =0，所以

⊥，所以O 在圆周上．=（

2

b

a x x +，2

b

a y y +）=（2p+k 2p ，pk ），而由于三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以OH=OA=OB=R ，OH=222)()2(kp p k p ++=4524++k k p ，当k=0时，S=2

OH π最

小，S=π4p 2，直线方程为x=2p ．

分析：这是一道圆锥曲线中的最值问题，其实解题思路还是和一般圆锥曲线问题一样，首先将未知条件用未知数表示，如上题直线中的未知数k ，然后将已知条件转换成未知数之间的关系，这是个难点，如上题中的x a x b ，y a y b 是问题的关键，将其用k 表示出来，问题迎刃而解，如果找不到这个点，那么会走很多歪路。如何找这个点，就要求我们清楚明白题目问的是什么，如上题中题目要我们证O 在圆上，这句话和向量的挂钩就是AB ⊥OB ，理清

x

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楚这层关系，那么什么问题都简单明了了。

例6.椭圆14

92

2=+y x 的焦点为F 1，F 2，点P 是其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围.

解：设P （x ，y ），F 1（5-，0），F 2（5，0）由于∠F 1PF 2为钝角，则021

即（5--x ，-y ）?（5-x ，-y ）=0，故x 2

-5+y 2

=0，联例14922=+y x 得，

5

5

3553<<-x . 分析：这是一道比较特殊的圆锥曲线问题， 由∠F 1PF 2为钝角得1与它在2PF 方向0PF F ∠21<，即021

2、 立体几何

用空间向量解决立体几何问题有两个重要手段，即直线的方向向量和平面的法向量，他们实现空间问题的向量解法的桥梁。用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，角的问题，距离问题主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些定理。

2.1、 利用向量解决平行问题

谈到平行，无非两直线平行，线面平行，与面面平行三种，证明平行的方法有很多，向量法是其中一个，在某些情况下，向量法往往可以将问题简化。我们来看如下例题。 例7. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别

是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，E 、F 分别是棱B 1C 1、C 1D 1的

中点． （1）求证：DB//EF （2）求证：平面AMN ∥平面BDFE 证：（1）以D 为原点，DA 为单位长，如图建立空间直角坐标系D-xyz ，

则A （1，0，0），M （1，

21，1），N （21，0，1），E （2

1，1，1），F （0，21，1），EF =（-21，-2

1

，0），DB =（1，1，0），=-2，故DB//EF ．

（2）设平面AMN 的法向量1n =（x ，y ，1），平面BDFE 的法向量2n =（a ，b ，1），

=（-21，-21，0）

，=（0，21，1），=（21，21，0），=（0，2

1

，1），

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由1n 与，垂直，得???????=+=+0

12

102

121y y x ，所以???-==22y x 。则1n =（2，-2，1），同理得

2n =（2，-2，1）

．所以1n //2n 。故平面AMN ∥平面BDFE ． 分析：（1）空间两直线平行问题可通过坐标求得直线上的向量，用向量成比例来证两直

线平行。（2）两平面的平行可以转化为两平面的法向量平行。所以

求得法向量的坐标，即可得证这类题型。当然上题也可以通过一平

面的两条相交直线分别平行另一平面来证得，但显然没有向量法方便。

例8. 如图所示，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在平面互相垂

直, M ,N 分别是对角线 AC 和BF 上的动点,且 AM=FN ，求证：MN

∥平面BEC ．

证：如第二个图，以A 为原点，AB 为单位长，建立空间直

角坐标系A-xyz ，F （1，0，0），B （0，1，0），D （0，0，1），C （0，1，1），E （1，1，0），设AM=FN=2a ，则M （0，a ，

a ），N （1-a ，a ，0），=（1-a ，0，-a ），平面BEC 的法向量=（0，1，0），则MN *n =0, 所以MN ⊥n ，所以MN ∥平面BEC ．

分析：直线与平面的平行可以转化为直线与该平面的法向量垂直。

2.2、 利用向量解决垂直问题

说到垂直，中学设计到的只有异面直线垂直，线面垂直以及面面垂直。而向量法可以贯穿其中，用向量法往往比用定义证明更简单，有事半功倍

的效果，但是如何运用，还是很关键的。下面具体问题具

体分析。

例9. 在正棱锥P-ABC 中，三条侧棱两两垂直，G 是△PAB

的重心，E 、F 分别为BC 、PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2．

(1)求证：EG ⊥BC ，PG ⊥EG

(2)求证：平面EFG ⊥平面PBC

证：（1）如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA 、PB 、PC 所在直线分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令PA ＝PB ＝PC ＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．=（1，-1，-1），=（1，1，0），=（0，-3，3），*=0, *=0,所以EG ⊥BC ，PG ⊥EG ．

F B

x

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（2）=（0，-1，-1），=（1，-1，-1），设平面EFG 的法向量是1n ＝(x ，y ，1)，则1n ⊥EF ，1n ⊥EG ，故??

?=--=--0

10

1y x y ，得???-==10y x ，得1n =（0，-1，1），而显然平

面PBC 的法向量2n ==（3，0，0），1n *2n =0，故1n ⊥2n ，所以平面EFG ⊥平面PBC ． 分析：证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理,转化为线面垂直、

线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直。上题用的是证明法向量垂直，当然利用第一种方法也可以证明，显然没有第二种简单。

例10. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1． 解：以D 为原点，以DA 为单位长，建立如图的空间直角坐标系D-xyz ，E(2，1,0)，F(1,2,0)，D 1 (0,0,2)，B 1 (2,2,2)．设

M(2,2,a)，则＝(－1,1,0)，B 1＝(0,-1,-2)，

D 1＝(2,2，a －2)．因为D 1M ⊥平面EFB 1，所以D 1M ⊥EF ，D 1M ⊥B 1

E 。所以?

??=---=+-0)2(220

22a ，a=1，故当M 为

BB 1中点时，可使D 1M ⊥平面EFB 1．

分析：用向量法证明线面垂直的关键在于在平面上取相交的两直线，并用向量表示出来。即转化成2次线线垂直问题了。

2.3、 利用向量来求空间角问题

空间角一般分异面直线所成角，线面角与二面角三种。解决这三种角，都可以运用解析几何方法解决。但是求异面直线所成角，必须先把两条直线移到同一个平面；求线面角，必须作射影找到那个角；求二面角，则必须找到过公共边上一点分别与公共边垂直的两条直线所成角。这些角，有时候是现成的，但有时候则非常难找，这时候，往往运用向量法会比较方便。三种角都会在如下例题中出现，向量法的关键是建立空间直角坐标系，将所有点都用坐标表示出来，剩下的就只有计算。但是空间直角坐标系的建立是个难点，如例11，非常容易找到三个彼此正交的直线；而例12，则没有明显的三个彼此正交的直线，需要填辅助线建立。

例11 已知点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°． （1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小． 解：（1）如第2个图，以D 为原点，以DA 为单位长，建立空

间

直角坐标系D-xyz ，则A （1，0，0），C （0，1，0），C 1（0，1，1） 链接BD ，B 1D 1，延长DP 交B 1D 1于H ，下面求H 点坐标，

A

B C

D P 1A 1B 1C 1D

x

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不妨设H （a ，a ，1），由于∠PDA=60°，则cos ∠

PDA= ，则

21=221

)2( a a ，得a=22

．

故H （

22，22，1），=（22，2

2

，1），1CC =(0,0,1) cos

=

2

2

，故DP 与CC 1所成角的大小为60°．

（2）平面AA 1D 1D 的发向量=（0，1，0），故cos<,>=

2

1

，故<,>=60°，则DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小为30°．

分析：求异面直线所成角，只要将直线上的任意向量以及向量的模求得，根据公式直接可以求得角的余弦值；而线面角则是需要先求得线上向量与面的法向量的夹角，然后通过90°去减，即可得到线面角。

例12 如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC=90°，O 为BC 中点． （1）证明：SO ⊥平面ABC

（2）求二面角A —SC —B 的余弦值．

解：（1）问与向量无关，略．

（2）由（1）得SO ⊥平面ABC ，取SC 中点M ，

连结AM ，OM ，由于SB=SB=AB=AC=SC ，故三角形SBC

为等腰三角形，由于∠BAC=90°，故三角形ABC 为等

腰直角三角形，故AO=BO=CO=

22AC=2

2SC ，又因为∠SOC=90°，故SO=OC ，故三角形SOC 为等腰

三角形，又因为M 是SC 中点，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC 显然成立．所以∠OMA 为二面角A —SC —B 的平面角．下求cos ∠OMA ，AO ⊥SO ，AO ⊥BC ，故AO ⊥平

面SBC ，则AO ⊥OM ，设AO=1，则OM=

22，AM=2

6

，则cos ∠OMA=

AM OM =3

3

． 这里的M 点的寻找是个难点，即∠OMA 这个二面角

的平面角是很不容易找的，不是每一个学生都找得到。但如果用向量法，就可以将这道题简化。

解：以O 为原点，OB 为单位长，如图建立空间直角

O S B A

C

O

S B

A

C

M

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坐标系O-xyz ，则B （1，0，0），C （-1，0，0），A （0，1，0），S （0，0，1），由于AO ⊥平面SBC ，故平面SBC 的法向量1n =（0，1，0），设平面SBC 的法向量2n =（x ，y ，1），

=（1，0，1），=（1，1，0），由2n 与，分别垂直，

得???=+=+0

1y x x ，所以???=-=11y x 。故2n =（-1，1，1），cos<1n ，2n

*n n 33，故二面角A —SC —B 的余弦值为3

3

． 分析：用向量法求二面角，只需求得每个平面的法向量，两个法向量的夹角即是要求的

二面角。而至于法向量的求得，可以先设法向量为（x ，y ，1），通过平面上的2个不共线的向量分别与法向量垂直，得到两个方程式，从而求解x ，y 。

2.4、 空间距离

向量除了能解决空间平行，空间垂直，空间角问题，在解决空间距离问题上也是把好手，包括两点距离，点到直线距离，点到平面距离，异面直线距离等等。下面将通过例子一一说明如何求解。

2.4.1、 两点距离

例13.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是AD 1的中点，N 是BD 上一点，DN=4

1

DB ，求M ，N 两点间的距离.

解：如图建立空间直角坐标系D-xyz ，A （1，0，0），D 1（0，0，1），则M （

21，0，2

1），B （1，1，0），则N （41，41，0），故MN=222)2

1()41()4121(++-=46

.

分析：例13是一道求两点直接距离的问题，通用的办法则是求得两点M,N 的坐标，用距离公式221221221)()()(z z y y x x d -+-+-=直接求解。

2.4.2、 点到直线距离

例14.同上题，求M 到BD 的距离.

解：已求得M （

21，0，21

），设MN ⊥BD ，N 为垂足，下面确定N 的位置，设N （x ，x ，0），)21-x 21(，，-=x MN ，=（1，1，0），由0=?，得x=41，故N （4

1

，41，0），故MN=222)2

1()41()4121(++-=46

.

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分析：欲求M 到直线BD 的距离，可以先在BD 上取一点N ，令ND BN λ=，根据

0=?或者MN 取最小值求得λ，以确定N 的位置，再用两点距离公式求解。

2.4.3、 点到平面距离

例15.如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB = 4，AD=6，AA 1=4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且CP=2，求：M 到平面AB 1P 的距离.

解：如图所示，建立空间直角坐标系B －xyz ，则A （4,0,0），M （2，3，4），P （0，4，0），B 1（ 0，0，4），设),,(z y x n =是平面AB 1P 的某一法向量.则n ⊥1AB ，

n ⊥AP .1AB ＝（－4 ,0 ,4），AP ＝（－4，4，0），??

?=+-=+-0

440

44z x y x ，因此可取=（1，1，1），由于MA ＝（2，－3，－4），那么点 M 到平面 AB 1P 的距离为：

=

3

1

)4(1)3(12?-+?-+?＝

3

35，故 M 到平面 AB 1P 的距离为

3

3

5. 分析：欲求点到平面的距离，可先求得平面的法向量n ，再在平面外取点A ，平面内任

取一点B ，则A 到平面的距离

。

2.4.4、 异面直线距离

例16.如图在△ABC 中，∠B=90°，D ，E 分别在AB ，AC 上，使

2==EC

AE

DB AD ，AB=6，BC=4.5，现将△ABC 沿DE 折成直二面角，求异面直线AD 和BE 的距离.

解：如图1，由于

2==EC

AE

DB AD ，故DE//BC ，3

2

==BC DE AB AD ，所以DE=3，AD=4，DB=2.又因为∠B=90°，故AD ⊥DE ，DB ⊥DE 折叠后如图2，DA ，DE ，DB 两两垂直，

故可以D 为原点，以方向为x 轴，方向为y 轴，方向为z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，A(0，0，4)，B （2，0，0），E （0，3，0），=（0，0，4），=（-2，3，

D C

图1

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线的方向向量，n 为公垂线的方向向量，联例?????=?=?0

b n 即可得

n ，再在直线a ，b 上各取一点A 、B ，那么a ，b 的距离就可通过求得。

3、代数

向量和代数是2个看似不相干，却有着千丝万缕的关系的朋友，向量问题代数化，代数

问题向量化，是高中架起代数与向量的桥梁，而最通常的手段则是以下2个向量三角不等式。 （1）. ≤（当，平行时取等号）

（2）. +≤±≤-+，则p ，q 同向时，右边不等式取等号，p ，q -，则p ，q 同向时，左边不等式取等号，，反向时，右边不等式取等号）

3.1、 不等式问题

证明不等式往往是个比较复杂的问题，而且有些难题的关键点是一般学生所想不到的。如果某些式子中具有向量代数某些特征时，例如乘方之和或根号下平方和，这时候采用构造向量去解往往能化难为易，让人眼前一亮。

例17. 已知a 、b 、c ∈R ，且632=++c b a ，求证6322

22≥++c b a ．

证：构造向量=)3,2,(c b a ，n =)3,2,1(，有≤，得

32132326222++++≤++=c b a c b a ，所以

632222≥++c b a ，所以

632222≥++c b a ．

图2

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例18.求证：b a b a -≤+-+2211.

证明：设=（1，a ），=（1，b ），则-=（0，a-b ）

-=b a -

2

1a +=

，

21b +=

≤±≤-得证.

分析：例17例18分别用了上述的向量三角不等式，通过构造向量，用向量三角不等式解决不等式问题。

例19.2222222)()()(cz by ax c b a z y x ++=++?++，其中0≠abc ，求证

c

z b y a x ==. 证：设=（x ，y ，z ），=（a ，b ，c ），设他们的夹角为θ，

θcos

=

2

22222c b a z y x cz by ax ++?++++，由已知条件得，θ2

cos =1，θ=0或π，

则//，故

c

z b y a x ==. 分析：由x 2+y 2+z 2和a 2+b 2+c 2可以联想到向量的模，由ax+by+cz 可以联想到向量的数量积，故可构造向量求解。

3.2、 求最值问题

由于最值也涉及到不等号，所以最值问题往往与不等式问题有异曲同工之处，其关键也在于构建向量。 例20. 求函数9)3(422+-++=

x x y 的最小值．

解：构造向量m =(x,2)，n =（3-x ，3），则

++≥=2253+=34．所以当

323=-x x ，即x=5

6

时，34min =y ．

例21. 已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2=6x-4y-9，求2x-3y 的最大值和最小值的和.

解：x 2+y 2=6x-4y-9可化简得到（x-3）2+（y-2）2=4，设=（x-3，y+2），=（2，-3），

由

≤得

9

4)2()3()2(3)3(222+?++-≤+--y x y x ，则

1321232≤--y x ，

132123213212+≤-≤-y x ，故当//时等号成立，（2x-3y ）max +（2x-3y ）min =12-2

13+12+213=24.

3.3、三角函数中的应用

三角函数问题同样可以通过构造向量来解决，

≤可简化三角函数问题，解法简洁流畅，体现于“向量问题函数化，函数问题向量化”的等价转化思想。 例22. 求函数x x x x y 2

2

cos 3cos sin 2sin ++=的最值.

解：原式可化为x x y 2c o s 2s i n

2++=，令z=x x 2cos 2sin +,构造向量=)2cos 2(sin x x ，，=(1，1) ，则z=│x x 2cos 2sin +│=│·│≤││││=2，

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所以2222min max -=+=y y ，.

结 论

新课标改革后，向量被引入高中数学，这极大的丰富和发展了高中数学知识结构体系，也极大的拓展了高中学生的思维空间，尤其是将向量法作为工具对于解决几何问题有其独到之处，将传统几何中的定性推理与代数运算的定量分析作转换，避免了传统几何方法中复杂的推理及论证，充分体现出数学中数形结合思想、形象思维与抽象思维的转化。当然在代数中，向量也有其不可小觑的魅力，将许多让人无从下手的代数问题通过向量重新转化成几何问题，让人有一种柳暗花明又一村的感觉。

当然向量法不是万能的。虽然说许多题目通过向量思维转换，可以化难为易，但是向量法本身存在的难点也是不容忽视的。首先，如何构建向量就是一个技巧，如果找不到合适的向量构建，一味的选择向量法，只会浪费时间；其次向量的运算也不是一个轻松的活，容易出错。所以我们不能仅看见向量优势的一面，还要对向量有一种深层次的反思，不能对向量的认识仅仅停留在数学解题上，应该从更大的范围和角度认识向量，要全面的把握好向量与其他数学工具的关系。通过积极的探索，合理的构造，当拥有丰富的经验后，自然就能对向量法运用自如。

没有向量法是万万不能的。当其他考生在考场死算算的头破血流时，你却早已通过向量法将一切都看破，将一颗牛肉粒放入嘴中，深藏功与名。何等的俯视群雄的姿态，可谓得向量者得天下。

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参考文献

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[12]吐尔孙江．向量在初等代数中的应用[J]．喀什师范学院学报，2005，26：60-61

致谢

本毕业论文是在我的指导老师李祖泉老师的亲切关怀与细心指导下完成的。从课题的选择到论文的最终完成，李祖泉老师始终都给予了细心的指导和不懈的支持，并且在耐心指导论文之余，李祖泉老师仍不忘拓展我们的文化视野，让我们感受到了数学的美妙与乐趣。值得一提的是，李祖泉老师宅心仁厚，闲静少言，不慕荣利，对学生认真负责，在他的身上，我们可以感受到一个学者的严谨和务实，这些都让我们获益菲浅，并且将终生受用无穷。毕竟“经师易得，人师难求”，希望借此机会向李祖泉老师表示最衷心的感谢！

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