内蒙古包头一中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

包头一中2013-2014年度第二学期期末考试

高一年级数学试题

命题人: 朱巴特尔 审题人：高一数学备课组

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.

已知α

为第三象限角，则

2

α所在的象限是

（ ）

A. 第一或第二象限

B. 第二或第三象限

C.第一或第三象限

D. 第二或第四象限

2．已知51

sin()25

πα+=,那么cos α= （ ）

A ．25

- B ．15- C ．15 D ．25

3．如图，F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点， 则=+( )

A. AD

B.

AD 2

1

C. BC 2

1

D.

4. 在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A. )2,1(),0,0(21==e e B . )2,5(),2,1(21-=-=e e C. )10,6(),5,3(21==e e D. )3,2(),3,2(21-=-=e e

5. 设sin33,cos55,tan35,a b c =?=?=?则 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>

6. 等边ABC ?的边长为1,设===,,,则=?+?+?（ ）

A ．23

B ．21

C ．23-

D ．21-

7. 已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）

A.．

2

B C ．

8

D ．

7

8. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )

A. sin()6

y x π

=+

B. sin(2)6y x π=-

C.cos(4)3y x π

=- D.cos(2)6

y x π

=-

9. △ABC 中，若

a cos B ＝b

cos A

，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形但不是直角三角形 B ．直角三角形但不是等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形

10. 已知点(1,1)A -,(1,2)B ,(2,1)C --,(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）

A B C ．D ．

11. 设(0,)2πα∈，(0,)2π

β∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ）

A.32

π

αβ-= B.22

π

αβ-=

C.32

π

αβ+=

D.22

π

αβ+=

12. 已知函数()sin cos f x a x b x =-（a b ，为常数，0a x ≠∈R ，）的图象关于 直线4

π

=

x 对称，则函数)4

3(

x f y -=π

是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称

B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(

π

对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称

D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13. 已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=_________. 14. 通过观察所给两等式的规律， ①;2

3150sin 90sin 30sin 222=

?+?+? ②.2

3

125sin 65sin 5sin 222=?+?+?

请你写出一个（包含上面两命题）一般性的命题： ．

15．将函数()()??? ?

?

<≤->+=220sin π?πω?ω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短

为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移

6

π

的单位长度得到x y sin =的图像， 则=??

?

??6πf ____________.

16. 定义在区间??

?

??20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，

过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为______ .

三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出必要的文字说明和解题步骤）

17. (本小题满分10分) 已知2sin cos 3α+α=，求22sin sin 21tan α+α

+α

的值.

18. （本小题满分12分）

已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1

cos 3

α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的

夹角为β，求cos β的值。

19.（本小题满分12分）（普通班学生做）

已知向量)2,(sin -=θ与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈．

求θsin 和θcos 的值. （实验班学生做）

已知向量5

5

2||),sin ,(cos ),sin ,(cos =-==b a b a ββαα.

求cos

-)αβ（的值.

20. (本小题满分12分) （普通班学生做） 已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （1）求5(

)4

f π

的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. （实验班学生做）

已知函数).,(2cos )6

2sin()62sin()(为常数a a a x x x x f R ∈++-++=π

π

（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；

（2）若0,2x π??

∈????时，()f x 的最小值为– 2 ，求a 的值.

21.（本小题满分12分）（普通班学生做）

已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是

2

π． （1）求ω的值；

（2）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． （实验班学生做）

已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ， 设向量(,)m a c a b =--，(,)n a b c =+，//m n 且. （1）求∠B ； （2）若?==求,3,1b a ABC 的面积.

22. (本小题满分12分) （普通班学生做） 在ABC △中，1tan 4A =，3

tan 5

B =． （1）求角

C 的大小；

（2）若ABC △，求最小边的边长及ABC △的面积. （实验班学生做）

，

中形如图，在等腰直角三角 90,=∠?POQ OPQ

OP =M 在线段PQ 上． 的长；

，求）若（PM OM 51=

（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠=，问：当POM ∠ 取何值时，O M N ?的面积最小？并求出面积的最小值．

包一中高一期末数学试题参考答案

一、选择题 DCABC BDDDA BD

二、填空题 13. ()5,7 14. 2

3)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα

15

16．23

三、解答题 17.解： 由2

sin cos 3

α+α=

,于是得252sin cos (sin cos )19αα=α+α-=-

22sin sin 22sin (sin cos )5

2sin cos cos sin 1tan 9cos α+ααα+α∴==αα=-

α+α+αα .

18．

()()()2222

21212123232129412cos 9

a a e e e e e e α==-=+-?=+-=3222238||||cos ,8,22|

b |3||=

?=?=∴=?==∴b a b a b a a β，同理.

19.(普通班）解：(1)∵与互相垂直，则0cos 2sin =-=?θθ，

即θθcos 2sin =，代入1cos sin 2

2=+θθ得5

5cos ,552sin ±=±=θθ，

又(0,)2

πθ∈，∴5

5

cos ,552sin =

=

θθ. （2）∵2

0π?<<，20πθ<<，∴22π

?θπ<-<-，

则10

103)(sin 1)cos(2=

--=-?θ?θ， ∴cos ?2

2

)sin(sin )cos(cos )](cos[=-+-=--=?θθ?θθ?θθ. 19.(实验班）解(1)∵|→a －→b |＝255，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝45， 将向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)代入上式得 12－2(cos αcos β＋sin αsin β)＋12＝45， ∴cos(α－β)＝3

5. (2)∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π，

由cos(α－β)＝35，得sin(α－β)＝45，又sin β＝－513，∴cos β＝1213， ∴sin α＝sin ［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.

20.(普通班）解（1）5555(

)2cos (sin cos )4444f ππππ=+2cos (sin cos )444

πππ=---2= （2）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =+

+)14

x π

=++.

由222,2

4

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

≤+

≤+

∈，得3,88

k x k k Z ππ

ππ-

≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88

k k k Z ππ

ππ-

+∈ 20.(实验班）解：（1）()f x =2sin(2)6

x a π

+

+ ………………2分

2()2

f x T π

π∴=

=的最小正周期………………4分 当2

26

22

2π

ππ

π

π+

≤+

≤-

k x k 即(),3

6

k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈时

函数()f x 单调递增， 故所求区间为)(6,3

Z k k k ∈??

?

??

?+

-πππ

π………6分 （2）[0,

]2

x π

∈时7,2[,]666

x π

ππ

+

∈………………8分 ,2

x π

∴=

时()f x 取最小值 2sin(2)2,126

a a π

π

∴?

++=-∴=-…………12分

21.（普通班）解：（1）

()2

42sin 22

4sin 2cos 4cos 2sin 22

2cos 2sin 1

2sin 2

2cos 12+??? ?

?

+=+??? ?

?

+=++=+++?=πωπωπωωωωωx x x x x x x

x f

由题设，函数()x f 的最小正周期是

2

π，可得

222π

ωπ=，所以2=ω． （2）由（1）知，()244sin 2+??? ?

?+=πx x f ．

当ππ

π

k x 22

4

4+=

+

，即()Z k k x ∈+

=

216

ππ

时，??? ?

?+44sin πx 取得最大值1， 所以函数()x f 的最大值是22+

，此时x 的集合为?

?????∈+=Z k k x x ,216|ππ．

21.(实验班） 解：（1）n m c b a n b a c a m //),(),,(且+=--=

ac b c a b a b a c c a =-+∴=-+--∴222,0))(()(

由余弦定理得：212cos 2

22=-+=ac b c a B ,又3

0ππ=∴<

(2)B

b A

a b a sin sin :,3,1===由正弦定理得

1sin sin 3

A ∴ 1

s i n 2

A ∴=

B A b a <∴<∴…………8分 2

)6

3(

)(6

ππ

π

πππ

=

+

-=+-=∴=

∴B A c A …………10分

2

3312121=??==

∴?ab S ABC …………12分 22.(普通班）解：（1）π()C A B =-+，13

45tan tan()113145

C A B +

∴=-+=-=--．

又0πC <<，3π4

C ∴=．（

2）

34

C =

π

， AB ∴边最大，即AB =．

又

tan tan 0A B A B π??

<∈ ?2??

，，，， ∴角A 最小，BC 边为最小边．

由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ?==???+=?

，，

且

π02A ??∈ ???，，得sin A =

34343sinB =同理得. 由sin sin AB BC C A

=

得：sin 2sin A

BC AB C ==BC =

4

2

3343431721sinB BC AB 21=

??=??=

∴?ABC S .

22.（实验班）解：（1）在OMP ?中，45

OPM ∠=?，OM =OP =

由余弦定理得，222

2cos 45OM OP MP OP MP =+-????，

得2

430MP MP -+=， 解得1MP =或3MP =．

（2）设POM α∠=，060α?≤≤?， 在OMP ?中，由正弦定理，得sin sin OM OP

OPM OMP

=∠∠，

所以()sin 45sin 45OP OM α?=

?+， 同理()

sin 45sin 75OP ON α?

=?+

故1sin 2OMN

S OM ON MON ?=???∠()()

221sin 454sin 45sin 75OP αα?=??+?+ ()()

1

sin 45sin 4530αα=

?+?++?

=

??

=

=

==

因为060

α

?≤≤?，30230150

α

?≤+?≤?，

所以当30

α=?时，()

sin230

α+?的最大值为1，此时OMN

?的面积取到最小值．即2

30

POM

∠=?时，OMN

?

的面积的最小值为8-