2016高考数学大一轮复习 9.9曲线与方程教师用书 理 苏教版
§9.9曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．( √)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( ×)
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ×)
(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( ×)
1．方程(x 2
＋y 2
－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是下列中的________(填序号)．
答案 ③
解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或???
?
?
x 2
＋y 2
－4＝0，x ＋y ＋1≥0，
它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2
＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．
2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是________． 答案 2x －y ＋5＝0
解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.
3．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件PF 1＋PF 2＝a ＋9
a
(a >0)，则点P 的轨迹是
____________． 答案 椭圆或线段 解析 ∵a ＋9
a
≥2
a ·9
a
＝6.
当a ＝3时，a ＋9
a
＝6，此时PF 1＋PF 2＝F 1F 2，
P 点的轨迹为线段F 1F 2，
当a ≠3时，PF 1＋PF 2>F 1F 2. 由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆．
4．已知M (－2,0)，N (2,0)，PM －PN ＝4，则动点P 的轨迹是____________． 答案 射线
解析 ∵MN ＝4，∴PM －PN ＝MN . ∴P 点的轨迹是射线.
题型一 定义法求轨迹方程
例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． 思维点拨 利用两圆相切的几何性质得出M 的等量关系，结合圆锥曲线定义求方程． 解 如图所示，以O
1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3.
∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支． ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2
＝74
.
∴点M 的轨迹方程为4x 2
9－4y 2
7＝1 (x ≤－3
2
)．
思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．
如图所示，已知C 为圆(x ＋2)2
＋y 2
＝4的圆心，点A (2，
0)，P 是圆上的动点，点Q 在直线CP 上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →
.当点
P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．
解 圆(x ＋2)2＋y 2
＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2，∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →
，∴MQ ⊥AP ，点M 是线段AP 的中点，即MQ 是AP 的垂直平分线，连结AQ ， 则AQ ＝QP ，
∴|QC －QA |＝|QC －QP |＝CP ＝r ＝2，
又AC ＝22>2，根据双曲线的定义，知点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2
＝1，因此点Q 的轨迹方程为x 2
－y 2
＝1. 题型二 相关点法求轨迹方程
例2 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2
＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．
思维点拨 利用重心G 的坐标与点C 的坐标的关系，代入抛物线方程．
解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，
点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由方程组：?
????
x －y ＝4a ，
y 2
＝4ax
消去y 并整理得：
x 2－12ax ＋16a 2＝0.
∴x 1＋x 2＝12a ，
y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .
∵G (x ，y )为△ABC 的重心，
∴?????
x ＝x 0
＋x 1
＋x 2
3＝x 0
＋12a 3，y ＝y 0
＋y 1
＋y 2
3＝y 0
＋4a
3
，∴???
?
?
x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .
又点C (x 0，y 0)在抛物线上，
∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2
＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a
3
(x －4a )．
又点C 与A ，B 不重合，∴x ≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为
(y －4a 3)2＝4a
3(x －4a )(x ≠(6±25)a )．
思维升华 “相关点法”的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式???
??
x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ；
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →
，当点P 在y 轴
上运动时，求点N 的轨迹方程． 解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →
＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 2
0＝0. 由MN →＝2MP →
得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，
∴?
??
??
x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0， 即?
???
?
x 0＝－x ，y 0＝1
2y .
∴－x ＋y 2
4
＝0，即y 2
＝4x .
故所求的点N 的轨迹方程是y 2
＝4x . 题型三 直接法求轨迹方程
例3 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．
思维点拨 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系； (2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．
(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得O 1A ＝O 1M ， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝x 2
＋42
， 又O 1A ＝ x －4 2
＋y 2
， ∴ x －4 2
＋y 2
＝x 2
＋42
， 化简得y 2
＝8x (x ≠0)．
又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2
＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2
＝8x .
(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，
P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
将y ＝kx ＋b 代入y 2
＝8x 中， 得k 2x 2
＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.
由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k
2
，① x 1x 2＝b 2
k
2，②
∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2
x 2＋1
， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，
(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，
2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0.③
将①，②代入③得2kb 2
＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2
b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，
∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．
思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，
OT (点S 、T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →
＝－12
，O 为坐标原
点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →
. (1)求mn 的值；
(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 解 (1)∵OA →·OB →
＝(m ，3m )·(n ，－3n ) ＝－2mn ＝－1
2，
∴mn ＝14
.
(2)设P (x ，y ) (x >0)，由OP →＝OA →＋OB →
，
得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )．
∴??
?
x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，
整理得x 2
－y 2
3
＝4mn ，
又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2
－y 2
3
＝1 (x >0)．
它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2
－y 2
3
＝1的右支．
利用参数法求轨迹方程
典例：(14分)(2013·福建)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，
B 9，连结OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．
(1)求证：点P i (i ∈N *,
1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；
(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．
思维点拨 (1)设A i 的坐标为(i,0)，则B i 的坐标为(10，i )，可用i 表示点P 的坐标，得出
P 的参数方程．(2)设直线l 的斜率为k ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，寻找M ，N
两点坐标之间的关系，再由面积之比即可求出k 的值． 规范解答
方法一 解 (1)依题意，过A i (i ∈N *,
1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，
B i 的坐标为(10，i )，
所以直线OB i 的方程为y ＝i
10
x .[2分]
设P i 的坐标为(x ，y )，由????
?
x ＝i ，y ＝i
10
x ，
得y ＝110
x 2，即x 2
＝10y .
所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2
＝10y .[6分] (2)依题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.
由?
????
y ＝kx ＋10，x 2
＝10y ，得x 2
－10kx －100＝0，
此时Δ＝100k 2
＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .[10分] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则???
?
?
x 1＋x 2＝10k ， ①x 1·x 2＝－100， ②
因为S △OCM ∶S △OCN ＝4∶1，所以S △OCM ＝4S △OCN ， 所以|x 1|＝4|x 2|.
又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，③
把③代入①和②，得?????
－3x 2＝10k ，－4x 2
2＝－100，
解得k ＝±3
2
.[12分]
所以直线l 的方程为y ＝±3
2x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.[14分]
方法二 解 (1)点P i (i ∈N *,
1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2
＝10y 上．
证明如下：过A i (i ∈N *,
1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )， 所以直线OB i 的方程为y ＝i
10
x .[2分]
由?????
x ＝i ，y ＝i 10
x ，解得P i 的坐标为(i ，i 2
10
)，
因为点P i 的坐标都满足方程x 2
＝10y ，
所以点P i (i ∈N *,
1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2
＝10y .[6分] (2)同方法一：
温馨提醒 参数法求轨迹方程的步骤： (1)选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标．
(2)得出动点M 的参数方程???
??
x ＝f k ，
y ＝g k .
(3)消去参数k ，得m 的轨迹方程． (4)由k 的范围确定x ，y 的范围.
方法与技巧 求轨迹的常用方法 (1)直接法：
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数． (3)定义法：
其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程． (4)代入法(相关点法)：
当所求动点M 是随着另一动点P (称之为相关点)而运动．如果相关点P 所满足某一曲线方程，
这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法． 失误与防范
1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应法则．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．
2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．
A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)
1．平面上动点P 到定点F 与定直线l 的距离相等，且点F 与直线l 的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P 的轨迹方程为x 2
＝2y －1，则他的建系方式是下列中的________(填序号)．
答案 ③
解析 因为点P 的轨迹方程为x 2
＝2y －1， 即所求的抛物线方程为y ＝12x 2＋1
2
，
抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为? ??
??0，12.
所以该同学建系方式是③.
2．已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．则点M (x ，y )的轨迹C 的方程为________． 答案
x 2
3
＋y 2
＝1
解析 因为(a ＋3b )⊥(a －3b )，
所以(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 所以a 2
－3b 2
＝0， 所以x 2
＋3y 2
－3＝0，
即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
3．设点A 为圆(x －1)2
＋y 2
＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则P 点的轨迹方程为________________________________________________________________________． 答案 (x －1)2
＋y 2
＝2
解析 由题意知P 到圆心(1,0)的距离为2， ∴P 的轨迹方程为(x －1)2
＋y 2
＝2.
4．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__________________________________________________________________． 答案
x 2
9
－y 2
16
＝1 (x >3)
解析 如图，AD ＝AE ＝8，
BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，
所以CA －CB ＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 2
16
＝1 (x >3)．
5．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为________． 答案 双曲线
解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ， 由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝
32R ，即|x |＝32
R . 而R ＝PF ＝ x －a 2
＋y 2
， ∴|x |＝
32
· x －a 2＋y 2
. 整理得(x ＋3a )2
－3y 2
＝12a 2
， 即 x ＋3a 2
12a 2
－y 2
4a 2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线．
6．设P 是圆x 2
＋y 2
＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则
点M 的轨迹为__________． 答案 椭圆
解析 如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是AM ＝PM ，又由于10＝OP ＝OM ＋
MP ＝OM ＋MA ，即OM ＋MA ＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0)的距离之和是10，故动
点M 的轨迹是以O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．
7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为________________．
答案 (x －10)2
＋y 2
＝36(y ≠0) 解析 设A (x ，y )，则D (x 2，y
2)，
∴CD ＝
x
2－5 2
＋y 2
4
＝3， 化简得(x －10)2
＋y 2
＝36， 由于A 、B 、C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.
8．方程x 2sin 2＋cos 2－y 2
cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是__________________． 答案 焦点在y 轴上的椭圆 解析 ∵π2<2<2π
3
，
∴sin 2>0，cos 2<0，sin 2＋cos 2>0，cos 2－sin 2<0， ∴方程x 2sin 2＋cos 2－y 2
cos 2－sin 2＝1， 即
x 2sin 2＋cos 2＋y 2
sin 2－cos 2
＝1，
故方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆． 9．已知曲线E ：ax 2
＋by 2
＝1(a >0，b >0)，经过点M (
3
3
，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →
.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程． 解 设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M (
3
3
，0)， 故MB →＝(－33，2)，MA →
＝(x 0－33
，y 0)．
由于MB →＝－2MA →
，∴(－33，2)＝－2(x 0－33
，y 0)．
∴x 0＝
32，y 0＝－1，即A (3
2
，－1)． ∵A ，B 都在曲线E 上，∴?????
a ·02
＋b ·22
＝1，a · 32 2＋b · －1 2
＝1，
解得????
?
a ＝1，
b ＝1
4
.∴曲线E 的方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
10．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ →＝23DP →
.
(1)求动点Q 的轨迹方程；
(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →
)(O
是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意， 则点D 的坐标为D (x 0,0)， ∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →
＝(0，y 0)，
又DQ →＝23DP →
，∴?????
x －x 0＝0，y ＝2
3
y 0，即?????
x 0＝x ，y 0＝3
2y .
∵P 在圆O 上，故x 2
＋y 20
＝9，∴x 29＋y 2
4＝1. ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 2
4
＝1.
(2)存在．假设椭圆x 29＋y 2
4＝1上存在两个不重合的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →
)，
则E (1,1)是线段MN 的中点，
且有?????
x 1
＋x
2
2＝1，y 1
＋y
2
2＝1，
即?
??
??
x 1＋x 2＝2，
y 1＋y 2＝2.
又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 2
4
＝1上，
∴?????
x 219＋y 21
4＝1，x 2
2
9＋y 22
4＝1，
两式相减，
得
x 1－x 2 x 1＋x 2 9＋ y 1－y 2 y 1＋y 2
4
＝0.
∴k MN ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝－49
， ∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0. ∴椭圆上存在点M 、N 满足OE →＝12(OM →＋ON →
)，
此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.
B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1．已知定点A (1,0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两动点E ，F 且满足AE →⊥AF →
，另有动点P ，满足EP →∥OA →，FO →∥OP →
(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2
＝4x (x ≠0)
解析 设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为零)，由EP →∥OA →
?y 1＝y ，即E (－1，
y )．
由FO →∥OP →
?y 2＝－y x
，即F (－1，－y x
)．
由AE →⊥AF →?y 2
＝4x (x ≠0)．
2．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →
(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________． 答案 直线
解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →
＝(－1,3)，
∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →
，∴?
??
??
x ＝3λ1－λ2
y ＝λ1＋3λ2
，
又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．
3．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2
(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2
.
其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③
解析 设P (x ，y )为曲线C 上任意一点， 则由PF 1·PF 2＝a 2
，得
x ＋1 2
＋y 2
· x －1 2
＋y 2
＝a 2
.
把(0,0)代入方程可得1＝a 2
，与a >1矛盾，故①不正确．
当M (x ，y )在曲线C 上时，点M 关于原点的对称点M ′(－x ，－y )也满足方程， 故曲线C 关于原点对称，故②正确．
12F PF S ＝12
PF 1·PF 2sin∠F 1PF 2
＝12a 2sin∠F 1PF 2≤12
a 2
，故③正确． 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是______________． 答案 x 2
＋y 2
＝4 (x ≠±2)
解析 设P (x ，y )，∵△MPN 为直角三角形， ∴MP 2
＋NP 2
＝MN 2
，
∴(x ＋2)2
＋y 2
＋(x －2)2
＋y 2
＝16，整理得，x 2
＋y 2
＝4. ∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2， ∴轨迹方程为x 2
＋y 2
＝4 (x ≠±2)．
5.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝1
3AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________． 答案 y 2
＝23x －19
解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连结PH 、PM ，可证
PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，
由PH 2
－PM 2
＝1，
得x 2
＋1－????
??? ????x －132＋y 2＝1，
化简得y 2
＝23x －19.
6.如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且DM ＝2DP .当点P 在圆x 2＋y 2
＝1上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点T (0，t )作圆x 2
＋y 2
＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．
解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y
2
，①
因为P (x 0，y 0)在圆x 2
＋y 2
＝1上，所以x 2
0＋y 2
0＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2
＋y 2
4＝1.
(2)由题意知，|t |≥1.
当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1， 点A 、B 的坐标分别为(－
32，1)，(3
2
，1)， 此时AB ＝3，当t ＝－1时，同理可得AB ＝3； 当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ，
由?
???
?
y ＝kx ＋t ，x 2＋y 2
4＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2
－4＝0.③
设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2
－44＋k 2.
又由l 与圆x 2
＋y 2
＝1相切，得|t |
k 2＋1
＝1，
即t 2
＝k 2
＋1，
所以AB ＝ x 2－x 1 2
＋ y 2－y 1 2
＝
1＋k 2
[4k 2t 2
4＋k 2 2－4 t 2
－4 4＋k 2
]＝43|t |t 2＋3
. 因为AB ＝43|t |t 2＋3＝43
|t |＋
3
|t |
，
且当t ＝±3时，AB ＝2，所以AB 的最大值为2.
依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2
＝1的半径，所以△AOB 面积S 的最大值为12×2×1
＝1，
此时t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3).
高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解
圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2y =上 的两点，且2MN =，MNP ?的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ． 4 5 B ． 25 C ． 23 D ． 13 【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则 122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ，由抛物线的定义得，点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35 2=622 PM PN MN ++> ++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由 2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去， 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以 24552 sin MPN <= = ，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】由题意得，设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-， 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ， 由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点， 因为点O 是PF 的中点，则1 2 OB AF = ，
江苏省南通市高考数学一模试卷(理科)
江苏省南通市高考数学一模试卷（理科） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共10题；共20分) 1. （2分） (2019高三上·西湖期中) 设全集，集合，则下列关系中正确的是（） A . B . C . D . 2. （2分）(2017·息县模拟) 若是z的共轭复数，且满足?（1﹣i）2=4+2i，则z=（） A . ﹣1+2i B . ﹣1﹣2i C . 1+2i D . 1﹣2i 3. （2分）在中，如果有，则的形状是（） A . 等腰三角形或直角三角形 B . 直角三角形 C . 等腰直角三角形 D . 等边三角形 4. （2分） (2017高二上·伊春月考) 用抽签法进行抽样有以下及格步骤：①把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条制作）②将总体中的个体编号；③从这容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀；这些步骤的先后顺序应为（）
A . ②①④③ B . ②③④① C . ①③④② D . ①④②③ 5. （2分）一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为（） A . B . C . 20 D . 40 6. （2分）在△ABC中，A>B是cosA 2021年高考数学大一轮复习高考大题专项练6 文 1.A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: (1)试估计40min内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40min和50min时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 2.(xx天津,文15)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表: 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率. 3.(xx东北三校二模)某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第三、四、五组的频率; (2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品,某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买,求他抽到的2个产品均来自第三组的概率. 4.某重要会议在北京召开,为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作,调查发现,男、女记者中分别有10人和6人会俄语. (1)根据以上数据完成以下2×2列联表,并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关? 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d. 参考数据: 2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷 一、填空题（共14题，共70分） 1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{1，2}． 2．设复数（其中i为虚数单位），则|z|＝． 3．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是25． 4．顶点在原点且以双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是y2＝16x． 5．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣1＝0，若直线l1∥l2，则m＝﹣2． 6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是． 7．若实数x，y满足条件，则z＝3x+2y的最大值为13． 8．将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝﹣． 9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C1上的任意一点，则三棱锥B﹣ECF的体积为． 10．等比数列{a n}的前三项和S3＝42，若a1，a2+3，a3成等差数列，则公比q＝2或．11．记集合A＝[a，b]，当θ∈[﹣，]时，函数f（θ）＝2θ的值域为B，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则b﹣a的最小值是3． 12．已知函数，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是[﹣1，﹣]． 13．过直线l：y＝x﹣2上任意一点P作圆C：x2+y2＝1的一条切线，切点为A，若存在定点B（x0，y0），使得P A＝PB恒成立，则x0﹣y0＝2±． 14．在平面直角坐标系xOy中，已知三个点A（2，1），B（1，﹣2），C（3，﹣1），点P（x，y）满足（?）×（?）＝﹣1，则的最大值为． 二．解答题（共6小题，共90分） 15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是AP的中点，AB⊥BD，PB⊥PD，平面PBD⊥底面ABCD． （1）求证：PC∥平面BDE； （2）求证：PD⊥平面P AB． 16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB＝14，BD＝6，． 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．12i 12i +=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55 -+ 2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数2 e e ()x x f x x --=的图象大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线 2 2 22 1(0,0)x y a b a b -=>>3 A ．2y x = B ．3y x =± C ．2y = D ．3y = 6．在ABC △中，5 cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29D ．5 第1讲集合 1.元素与集合 (1)集合元素的性质:、、无序性. (2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为. (3)集合的表示方法:列举法、和. (4)常见数集及记法 数集 自然 数集正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 符号 2.集合间的基本关系 文字语言符号语言记法 基本关系子集 集合A中的 都是集合B中 的元素 x∈A?x ∈B A?B或 集合A是集合 B的子集,但集 合B中有 一个元素不属 于A A?B,?x0 ∈ B,x0?A A B或 B?A 相等 集合A,B的元 素完全 A?B,B? A 空集 任何元素 的集合,空集 是任何集合的 子集 ?x,x? ?, ??A ? 3.集合的基本运算 表示 运算 文字语言符号语言图形语言记法 交集属于 A 属于B的 元素组成 的集合 {x|x∈A, x∈ B} 并集属于A 属于B的 元素组成 的集合 {x|x∈A, x∈ B} 补集全集U中 属于A的 元素组成 的集合 {x|x∈U, x A} 4.集合的运算性质 (1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A. (2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B. (3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ; ?U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪. 常用结论 (1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等. (2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集; ②任何一个集合是它本身的子集; ③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足); ④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能. (3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用 2018-2019学年江苏省南通市高考数学一模试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种， 终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。 1．函数的最小正周期为． 2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B=． 3．复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为． 4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为． 5．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为． 6．若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为． 7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下： 则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为． 8．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1﹣ A1BD的体积为cm3． 9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为． 10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升． 11．在△ABC中，若?+2?=?，则的值为． 12．已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为． 13．已知函数f（x）=|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为． 14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与 单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值； （2）若点A的横坐标为，求点B的坐标． 函数及其性质 一、填空题 （2016·12）已知函数()() f x x∈R满足()2() f x f x -=-，若函数 1 x y x + =与() y f x =图像的交点为 11 (,) x y，22 (,) x y，…，(,) m m x y，则 1 () m i i i x y = += ∑（） A．0 B．m C．2m D．4m （2015·5）设函数2 1 1log(2)(1) () 2(1) x x x f x x - +-< ? =? ≥ ? ，则 2 (2)(l og12) f f -+=（）A．3 B．6 C．9 D．12 （2015·10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（） A．B．C．D． （2013·8）设 3 log6 a=， 5 log10 b=， 7 log14 c=，则（） A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >> （2013·10）已知函数32 () f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（） A. 00 ,()0 x f x ?∈= R B.函数() y f x =的图像是中心对称图形 C.若 x是() f x的极小值点，则() f x在区间 (,) x -∞单调递减 D.若 x是() f x的极值点，则 ()0 f x'= （2012·10）已知函数 x x x f - + = )1 ln( 1 ) (，则) (x f y=的图像大致为（） A. B. C. D. （2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞ （0，）单调递增的函数是（） A．3 y x =B．||1 y x =+C．21 y x =-+D．|| 2x y- = （2011·12）函数 1 1 y x = - 的图像与函数2sin,(24) y x x π =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（） 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 8.2 空间点、线、面的位置关系 挖命题 【考情探究】 考点内容解读 5年考情 预测热度考题示例考向关联考点 空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平 面位置关系的定义, 并了解四个公理及 推论 2.会用平面的基本性 质证明点共线、线共 点以及点线共面等 问题 3.理解空间两直线的 位置关系及判定,了 解等角定理和推论 2013天津,17 证明异面直 线垂直 求二面角的正 弦值 ★★☆ 2012天津,17 求异面直线 所成角的正 切值 证面面垂直、求 线面角的正弦 值 2008天津,5 直线、平面位 置关系的判 定 充分条件 分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问题.2.会证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,分值约为5分,属于中档题. 破考点 【考点集训】 考点空间点、线、面的位置关系 1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是( ) A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 答案 D 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C 3.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有( ) A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④ 答案 C 4.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD 所成角的余弦值为( ) A.1 3B.√2 3 C.√3 3 D.2 3 答案 C 5.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为. 答案45° 炼技法 【方法集训】 方法1 点、线、面位置关系的判断方法 1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n?α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α 答案 B 2.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH. (1)求AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD三线共点. 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 江苏省高考数学一模试卷（理科） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2018高三上·邹城期中) 设集合，，则（） A . B . C . D . 2. （2分）非零复数z1 ， z2满足|z1+z2|=|z1﹣z2|，u=（） 2 ，则u（） A . u＜0 B . u＞0 C . u=0 D . 以上都可能 3. （2分）(2017·衡阳模拟) 如图，是一个算法流程图，当输入的x=5时，那么运行算法流程图输出的结果 是（） A . 10 B . 20 C . 25 D . 35 4. （2分） (2015高三上·潮州期末) 在区间[﹣1，1]上任取两数s和t，则关于x的方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为（） A . B . C . D . 5. （2分） (2019高一上·辽宁月考) 函数的图象大致是（） A . B . C . D . 6. （2分） (2019高三上·浙江月考) 已知数列满足，前项和为，且 ，下列说法中错误的（） A . 为定值 B . 为定值 C . 为定值 D . 有最大值 7. （2分）已知AB为圆C的弦，C为圆心，且||=2，则=（） A . -2 B . 2 C . D . - 8. （2分） (2020高一上·梅河口期末) 函数的图象如图所示，则函数y的表达式是（） A . B . C . D . 9. （2分）(2018·宣城模拟) 定义在上的奇函数满足，且在上是减函数，则有（） A . B . C . D . 10. （2分）(2019·萍乡模拟) 已知动圆经过点，且截轴所得的弦长为4，则圆心的轨迹是（） A . 圆 B . 椭圆 C . 双曲线 D . 抛物线 11. （2分） (2019高二上·平遥月考) 以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程可以是（） A . B . C . D . 12. （2分） (2016高三上·嵊州期末) 若命题“?x0∈R使得”为假命题，则实数a的取值范围是（） A . [﹣6，2] B . [﹣6，﹣2] 第八讲 数列综合 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线 2 23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= ．7 3. 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A ．1 2 2n +- B.3n C. 2n D.31n - 【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列， 则 2212112221 2 (1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?= 即 2 n a =，所以 2n S n =，故选择答案C 。 4.设集合{1 23456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 {} i i i S a b =，， {} j j j S a b =，（i j ≠，{1 23}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ??????≠???? ??????，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值 是（ B ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 5. 已知正项数列{an}，其前n 项和Sn 满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an . 解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3． 又10Sn －1=an －12+5an －1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an －12)+6(an －an －1)，即(an+an －1)(an －an －1－5)=0 ∵an+an －1>0 ， ∴an －an －1=5 (n≥2)． 当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n －3． 6.已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2 n a 各项的和为 81 5. 第8讲 曲线与方程 一、选择题 1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线． 答案 D 2． 动点P (x ，y )满足5x －1 2 y －2 2 ＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹 是 ( )． A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 解析 设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝ x －1 2 y －2 2 ，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11| 5 . 由已知得|PF | d ＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直 线．选D. 答案 D 3．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )． A.4x 221－4y 2 25＝1 B.4x 221＋4y 2 25＝1 C.4x 225－4y 2 21 ＝1 D.4x 225＋4y 2 21 ＝1 解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴ a ＝52，c ＝1，则 b 2＝a 2－ c 2＝214 ， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 2 21＝1. 答案 D 4．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ? ? ???－ a 2，0，C ? ????a 2，0且满足条件 sin C －sin B ＝1 2sin A ，则动点A 的轨迹方程是( ) A.16x 2 a 2－16y 2 15a 2＝1(y ≠0) B.16y 2a 2－16x 2 3a 2＝1(x ≠0) C.16x 2a 2－16y 2 15a 2＝1(y ≠0)的左支 D.16x 2a 2－16y 2 3a 2＝1(y ≠0)的右支 解析：sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得|AB |－|AC |＝12|BC |＝12a (定值)． ∴A 点的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支，其中实半轴长为a 4，焦距为 |BC |＝a . ∴虚半轴长为? ????a 22－? ?? ??a 42 ＝34a ，由双曲线标准方程得动点A 的轨迹方程 为16x 2 a 2－16y 2 3a 2＝1(y ≠0)的右支． 答案：D 5．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝3 7 .动点 P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )． A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为 第一部分 一 13(文) 一、选择题 1．(2015·东北三校二模)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m [答案] B [解析] 当l 、m 是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A 的条件，故A 错误；对于C ，过l 作平面与平面α相交于直线l 1，则l ∥l 1，在α内作直线m 与l 1相交，满足C 的条件，但l 与m 不平行，故C 错误；对于D ，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l 、m ，满足D 的条件，故D 错误；对于B ，由线面垂直的性质定理知B 正确． 2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 [答案] C [解析] 若α、β换成直线a 、b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ?b ⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ?b ⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α?a ⊥b ”，此命题为真命题，故选C. 3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.1 3＋2π B.13π 6 C.7π3 D.5π2 [答案] B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1， 一、选择题 1．(2012·济南模拟)方程(x －y )2 ＋(xy －1)2 ＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对 解析：(x －y )2 ＋(xy －1)2 ＝0???? ?? x －y ＝0， xy －1＝0. ∴??? ? ? x ＝1，y ＝1， 或??? ? ? x ＝－1，y ＝－1. 答案：C 2．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC ＝2CB ，则点C 的轨迹是( ) A ．线段 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2 ＋b 2 ＝9，① 又AC ＝2CB ，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )， 即???? ? a ＝3x ， b ＝3 2 y ，② 代入①式整理可得x 2 ＋y 2 4＝1. 答案：C 3.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设 CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 解析：由条件知|PM |＝|PF |， ∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |>|OF | ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案：A 4．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( ) A ．y 2 －x 2 48 ＝1(y ≤－1) 2018年江苏省无锡市高考数学一模试卷 一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则? U M= ． 2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|= ． 3．函数f（x）=的定义域为． 4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为． 6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为． 9．设等比数列{a n }的前n项和为S n ，若S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列．且a 2 +a 5 =4，则 a 8 的值为． 10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为． 11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且?=1，则实数λ的值为． 12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）= ． 13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为． 14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为． 二.解答题：本大题共6小题，共计90分 15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且 A﹣B= （1）求边c的长； （2）求角B的大小． 16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，侧面AA 1 C 1 C是菱形，AC 1 与A 1 C交于点O， E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC 1B 1 （1）求证：E是AB中点； （2）若AC 1⊥A 1 B，求证：AC 1 ⊥BC． 17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l． （1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）； （2）问当α为何值时l最小？并求最小值． 高考数学复习题库曲线与方程 一.选择题 1.已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足·＝，则点P的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.拋物线解析设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－ 2. 由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆. 答案 B 2.已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( ). A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线解析由已知：|MF|＝ |MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D. 答案 D 3.长为3的线段AB的端点A.B分别在x轴.y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是( ) A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线解析设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，① 又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，即② 代入①式整理可得x2＋＝ 1.答案 C 4.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( ). A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝ 1.答案 D 5.已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l 的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是( ) A.x2－y2＝9(x≥0) B.x2－y2＝9(x≥0，y≥0) C.y2－x2＝9(y≥0) D.y2－x2＝9(x≥0，y≥0) 解析实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形 Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式.如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0， y≥0). 答案 B 6.△ABC的顶点A(－5,0).B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x>3) 2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上） 1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=． 2．命题：“?x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是． 3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为． 4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人． 5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是． 6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为． 7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程． 8．已知函数的定义域是，则实数a的值为． 9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为． 10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣ a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是．11 ．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则? 等于． 12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a （x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是． 13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是． 14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图 象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B= （1）若a=2，b=2，求c的值； （2）若tanA=2，求tanC的值． 16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点． （1）求证：直线EF∥平面BC1A1； （2）求证：EF⊥B1C． 绝密★启用前 爱学习研究室资料 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知集合} 12≥=x x M ，{} 2≤=x x N ，则=N M （ ） A.[1，2] B.[0，2] C.[-1，1] D.（0，2） 2．若i 为虚数单位 ，则=+-+ -i i i 11 （ ） A.i 2- B.0 C.i 2 1 D.i 2 3．集合{}{}3,2,1,3,2==B A ，从集合B A ,中各任意取一个数，则这两个数的和等于4的 概率是（ ） A. 23 B.12 C.13 D.1 6 4．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程 为（ ） A.2y x =± B.y = C. x y 2 2 ± = D.12 y x =± 5．已知等差数列{}n a 的前13项之和为39，则=++876a a a （ ） A.6 B.9 C.12 D.18 6．下列说法正确的是（ ） A.命题“?x 0∈R ，x 02＋x 0＋1<0”的否定是：“?x ∈R ，x 2 ＋x ＋1>0”; B.“x=－1”是“x 2 －5x －6=0”的必要不充分条件; C.命题“若x 2=1，则x=1”的否命题是：若x 2 =1，则x≠1; 7．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x 的值为（ ） A ．2 B ． C ．－2或－3 D ．2或－3 8．函数2()21log f x x x =-+的零点所在的一个区间是（ ） A.（18，14） B.（14，12） C.（1 2 ，1） D.（1，2） 9．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且外接圆的面积为π9，则=p （ ） A.2 B.4 C.6 D.8 10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ） A. 29 B.3 C.4 D.2 10 3 11．已知函数???>≤+-=1 ,log 1,)(5.02x x x x x x f ， 若对于任意R x ∈，不等式14)(2 +-≤t t x f 恒成立，则实数t 的取值范围是 A.(][)+∞∞-,21, B.(][)+∞∞-,31, C.[ ]3,1 D.(][)+∞∞-,32, 12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC 边上的高为 a 6 3 ，b c2021-2022年高考数学大一轮复习 高考大题专项练6 文
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