2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.1函数及其表示理
第二章函数与基本初等函数I 2.1 函数及其表示理
1．函数与映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
求函数定义域常见结论： (1)分式的分母不为零；
(2)偶次根式的被开方数不小于零； (3)对数函数的真数必须大于零；
(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π
2(k ∈Z )；
(6)零次幂的底数不能为零；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)映射是特殊的函数．( × )
(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )
1．函数y ＝2x －3＋1
x －3
的定义域为( ) A ．[3
2，＋∞)
B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C ．[3
2，3)∪(3，＋∞)
D ．(3，＋∞)
答案 C
解析 由题意知???
??
2x －3≥0，
x －3≠0，
解得x ≥3
2
且x ≠3.
2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
答案 B
解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B.
3．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x
的定义域和值域相同
的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝lg x
C ．y ＝2x
D ．y ＝1
x
答案 D 解析 函数y ＝10lg x
的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同
的函数为y ＝
1
x
，故选D.
4．设函数f (x )＝?????
1＋log 2 2－x ，x ＜1，
2x －1
，x ≥1，
则f (－2)＋f (log 212)等于( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 答案 C
解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1， 所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，
()22log 12-1log 12121
log 122221262
f ??－＝＝＝＝，
故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.
5．设f (x )＝?
????
x ，x ∈ －∞，a ，
x 2
，x ∈[a ，＋∞ .若f (2)＝4，则a 的取值范围为________．
答案 (－∞，2]
解析 因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2].
题型一 函数的概念 例1 有以下判断：
①f (x )＝|x |
x 与g (x )＝?
??
??
1 x ≥0 －1 x <0 表示同一函数；
②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2
－2x ＋1与g (t )＝t 2
－2t ＋1是同一函数；
④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ? ??
??f ? ????12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③
解析 对于①，由于函数f (x )＝
|x |
x
的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝
?
??
??
1 x ≥0 ，－1 x <0 的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义
域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )
表示同一函数；对于④，由于f ? ????12＝??????12－1－??????12＝0，所以f ? ??
??f ? ????12＝f (0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③.
思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
(1)下列所给图象是函数图象的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1
x ＋1
B ．y ＝x 0
和y ＝1
C ．f (x )＝x 2
和g (x )＝(x ＋1)2
D ．f (x )＝ x 2
x 和g (x )＝x
x 2
答案 (1)B (2)D
解析 (1)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x
＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.
(2)A 中两个函数的定义域不同；B 中y ＝x 0
的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同．故选D.
题型二 函数的定义域问题 命题点1 求函数的定义域 例2 (1)函数f (x )＝1－2x
＋1
x ＋3
的定义域为( )
A ．(－3,0]
B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3,0]
D ．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2x
x －1
的定义域是________． 答案 (1)A (2)[0,1)
解析 (1)由题意得?
??
??
1－2x
≥0，
x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0.
所以函数f (x )的定义域为(－3,0]． (2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1， 又x －1≠0，即x ≠1，
所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)． 引申探究
本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]”改为“函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g (x )＝f 2x
x －1
的定义域为________________． 答案 [12，1)∪(1，3
2
]
解析 由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[1,3]，
令?????
1≤2x ≤3，
x －1≠0，
得12≤x ≤3
2
且x ≠1， ∴g (x )的定义域为[12，1)∪(1，3
2]．
命题点2 已知函数的定义域求参数范围
例3 (1)若函数()f x =R ，则a 的取值范围为________．
(2)若函数y ＝
ax ＋1
ax 2＋2ax ＋3
的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．
答案 (1)[－1,0] (2)[0,3)
解析 (1)因为函数f (x )的定义域为R ， 所以22210x ax a
＋－－≥对x ∈R 恒成立，
即2202
2x ax a
＋－≥，
恒成立， 因此有Δ＝(2a )2
＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. (2)因为函数y ＝
ax ＋1
ax 2
＋2ax ＋3
的定义域为R ，
所以ax 2
＋2ax ＋3＝0无实数解，
即函数y ＝ax 2
＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2
－4·3a <0，解得0 思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． (1)已知函数f (x )的定义域为[3,6] ，则函数y = 的定义域为 ( ) A ．[3 2，＋∞) B ．[3 2，2) C ．(3 2，＋∞) D ．[1 2 ，2) (2)若函数y ＝mx －1 mx 2 ＋4mx ＋3 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，3 4] B ．(0，3 4) C ．[0，3 4] D ．[0，3 4 ) 答案 (1)B (2)D 解析 (1) 要使函数y = 需满足1 2 326,log (2)0x x ?? ?-??≤≤＞?????? 32 ≤x ≤3，0<2－x <1?3 2 ≤x <2. (2)要使函数的定义域为R ，则mx 2 ＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m ≠0时，要使不等式恒成立， 需????? m >0，Δ＝ 4m 2 －4×m ×3<0， 即? ?? ?? m >0，m 4m －3 <0或? ?? ?? m <0， Δ<0，即? ?? ?? m <0，m 4m －3 <0. 解得0 4，故选D. 题型三 求函数解析式 例4 (1)已知f (2 x ＋1)＝lg x ，则f (x )＝________. (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1 x )·x －1，则f (x )＝________. 答案 (1)lg 2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13 解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2 t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2 x －1 (x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立， ∴? ?? ?? a ＝2， b ＋5a ＝17，解得? ?? ?? a ＝2， b ＝7， ∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法) 在f (x )＝2f (1x )·x －1中，用1 x 代替x ， 得f (1x )＝2f (x ) ·1 x －1， 将f (1x )＝2f x x －1代入f (x )＝2f (1x )·x －1中， 可求得f (x )＝23x ＋13. 思维升华 函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式； (4)消去法：已知f (x )与f ? ?? ??1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等 式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． (1)已知f (x －1x )＝x 2 ＋1x 2，求f (x )； (2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )． 解 (1)设x －1x ＝t ，则x 2 ＋1x 2＝(x －1x )2＋2， ∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2 ＋2. (2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2 x ＋kb ＋b ， ∴? ?? ?? k 2 ＝4，kb ＋b ＝－1，∴? ??? ? k ＝2，b ＝－1 3或? ?? ?? k ＝－2， b ＝1. 故f (x )＝2x －1 3 或f (x )＝－2x ＋1. (3)以－x 代替x 得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1， ∴f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1可得f (x )＝－x ＋1 4. 2．分类讨论思想在函数中的应用 典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝? ?? ?? 2x ＋a ，x <1， －x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的 值为________________． (2)(2015·山东)设函数f (x )＝? ???? 3x －1，x ＜1， 2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2 f (a ) 的a 的取值范围是 ( ) A.??????23，1 B ．[0,1] C.???? ??23，＋∞ D ．[1, ＋∞) 思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 解析 (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ， 解得a ＝－3 2，不合题意． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－3 4，符合题意． (2)由f (f (a ))＝2 f (a ) ，得f (a )≥1. 当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴2 3≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥2 3，故选C. 答案 (1)－3 4 (2)C 1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3 与y ＝x ＋3 B ．y ＝x 2 －1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0 (x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 答案 C 解析 A 项中两函数的定义域不同；B 项，D 项中两函数的对应关系不同，故选C. 2．函数f (x )＝10＋9x －x 2 lg x －1 的定义域为( ) A ．[1,10] B ．[1,2)∪(2,10] C ．(1,10] D ．(1,2)∪(2,10] 答案 D 解析 要使函数f (x )有意义， 则x 需满足???? ? 10＋9x －x 2 ≥0，x －1＞0， lg x －1 ≠0， 即???? ? x ＋1 x －10 ≤0，x >1，x ≠2， 解得1 所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]． 3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2 －3x B ．g (x )＝3x 2 －2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2 －2x 答案 B 解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴???? ? a ＋ b ＋ c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0， 解得???? ? a ＝3， b ＝－2， c ＝0， ∴g (x )＝3x 2 －2x ，故选B. 4．(2017·武汉调研)函数f (x )＝? ???? sin πx 2 ，－1 e x －1 ，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 所 有可能的值为( ) A ．1或－2 2 B ．－ 22 C ．1 D ．1或 22 答案 A 解析 ∵f (1)＝e 1－1 ＝1且f (1)＋f (a )＝2， ∴f (a )＝1，当－1 )＝1， ∵0 <1，∴0<πa 2 <π， ∴πa 2 ＝π2?a ＝－22； 当a ≥0时，f (a )＝e a －1 ＝1?a ＝1. 5．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D. 2 答案 B 解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2 ，f (x 0)＝4， 即x 2 0＝4，解得x 0＝2. 当x <0时，f (x )＝－x 2 ，f (x 0)＝4， 即－x 2 0＝4，无解，所以x 0＝2， 故选B. *6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝? ?? ?? 1－2a x ＋3a ，x <1， ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范 围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－1，1 2) C ．[－1，1 2) D ．(0，1 2 ) 答案 C 解析 要使函数f (x )的值域为R ， 需使??? ?? 1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ， ∴????? a <12，a ≥－1， ∴－1≤a ＜1 2 . 即a 的取值范围是[－1，1 2 )． 7．已知函数y ＝f (x 2 －1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________________． 答案 [－1,2] 解析 ∵y ＝f (x 2 －1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2 －1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 8．设函数113e ,1(),1x x f x x x -?? =???＜，≥， 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________________． 答案 (－∞，8] 解析 当x <1时，由e x －1 ≤2得x ≤1＋ln 2， ∴x <1； 当x ≥1时，由1 3 2x ≤得x ≤8， ∴1≤x ≤8. 综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8. 9．(2015·浙江)已知函数f (x )＝????? x ＋2x －3，x ≥1， lg x 2＋1 ，x ＜1， 则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3 解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2 ＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0， 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2 x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0； 当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2 ＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. *10.具有性质：f ? ?? ??1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1 x ；③f (x )＝????? x ，0 x ，x >1. 其中满足“倒负”变换的函数是________． 答案 ①③ 解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ? ????1x ＝1 x －x ＝－f (x )，满足； 对于②，f ? ????1x ＝1 x ＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ? ?? ??1x ＝????? 1 x ，0<1 x <1， 0，1 x ＝1， －x ，1x >1， 即f ? ????1x ＝????? 1 x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0 故f ? ?? ??1x ＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2 ＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. ∴a (x ＋1)2 ＋b (x ＋1)＝ax 2 ＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1， ∴????? 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1， 解得????? a ＝1 2，b ＝1 2. ∴f (x )＝12x 2＋1 2 x . 12．已知f (x )＝???? ? f x ＋1 ，－2 x 2－1，x ≥2. (1)求f (－3 2 )的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值． 解 (1)由题意，得f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－1 2) ＝f (－12＋1)＝f (12)＝2×1 2 ＋1＝2. (2)当0 2 ， 当a ≥2时，由f (a )＝a 2 －1＝4，得a ＝5或a ＝－5(舍去)， 综上所述，a ＝3 2 或a ＝ 5.