通信原理答案 第二章

《通信原理》习题参考答案

第二章

2-1.设随机过程ξ(t)可表示成

ξ(t)＝2cos(2πt+θ)

式中θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2、P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及Rξ(0,1)。

解：求E[ξ(1)]就是计算t=1时ξ(1)的平均值：

∵ξ(0)＝2cos(0+θ)＝2cosθ

ξ(1)＝2cos(2π+θ)＝2cosθ

∴E[ξ(1)]＝P(θ=0)×2cos0＋P(θ=π/2)×2cos(π/2)

＝(1/2)×2＋0

＝1

Rξ(0,1)＝E[ξ(0)ξ(1)]

＝E[2cosθ×2cosθ]

＝E[4cos2θ]

＝P(θ=0)×4cos20＋P(θ=π/2)×4cos2(π/2)

＝(1/2)×4

＝2

题解：从题目可知，θ是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出ξ(t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。

2-2. 设Z(t)＝X 1cos ω0t －X 2sin ω0t 是一个随机过程，若X 1和X 2是彼此独立且具有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，试求 (1) E[Z(t)]、E[Z 2(t)]

(2) Z(t)的一维分布密度函数f(z); (3) B(t 1,t 2)与R(t 1,t 2)。

解：(1)∵ E[X 1]＝E[X 2]＝0，且X 1和X 2彼此独立

∴ E[Z(t)]＝E[X 1cos ω0t －X 2sin ω0t] ＝E[X 1cos ω0t]－E[X 2sin ω0t]

＝E[X 1]×cos ω0t －E[X 2]×sin ω0t ＝0

E[Z 2(t)]＝E[(X 1cos ω0t －X 2sin ω0t)2]

＝E[X 12cos 2ω0t －2 X 1 X 2 cos ω0t sin ω0t ＋X 22sin 2ω0t]

＝E[X 12cos 2ω0t]－E[2 X 1 X 2 cos ω0t sin ω0t]＋E[X 22sin 2ω0t] ＝cos 2ω0t E[X 12]－2 cos ω0t sin ω0tE[X 1]E[X 2]＋sin 2ω0t E[X 22] ＝cos 2ω0t E[X 12] ＋sin 2ω0t E[X 22]

又∵ E[X 12]＝D[X 1]＋E 2 [X 1]＝D[X 1]＝σ 2

E[X 22]＝D[X 2]＋E 2 [X 2]＝D[X 2]＝σ 2

∴ E[Z 2(t)]＝σ2 cos 2ω0t ＋σ 2 sin 2ω0t ＝σ 2 (cos 2ω0t ＋sin 2ω0t) ＝σ 2

(2)由于Z(t)＝X 1cos ω0t －X 2sin ω0t 是由两个正态随机变量X 1和X 2叠加而成，因此它仍然服从正态分布，即它的

其中： E[Z(t)]＝0

D[Z(t)]＝E[Z 2(t)]－E 2 [Z(t)]＝E[Z 2(t)]＝σ2

]2exp[21)(2

2)(σσπa x Z f --=

所以得一维分布密度函数f(Z)为：

(3) B(t 1,t 2)＝R(t 1,t 2)－E [Z(t 1)] E [Z(t 2)] ＝R(t 1,t 2)

＝E [Z(t 1) Z(t 2)]

＝E [(X 1cos ω0t 1－X 2sin ω0t 1)( X 1cos ω0t 2－X 2sin ω0t 2)] ＝E [X 12cos ω0t 1 cos ω0t 2－X 1 X 2cos ω0t 1 sin ω0t 2 －X 1X 2sin ω0t 1cos ω0t 2＋X 22sin ω0t 1 sin ω0t 2] ＝cos ω0t 1 cos ω0t 2E [X 12]－cos ω0t 1 sin ω0t 2 E [X 1 X 2]

－sin ω0t 1cos ω0t 2 E [X 1 X 2]＋sin ω0t 1 sin ω0t 2 E [X 22] ＝cos ω0t 1 cos ω0t 2E [X 12] ＋sin ω0t 1 sin ω0t 2 E [X 22] ＝σ2 (cos ω0t 1 cos ω0t 2＋sin ω0t 1 sin ω0t 2) ＝σ 2 cos ω0(t 1－t 2)

＝σ 2 cos ω0τ 其中τ＝∣t 1－t 2∣

2-4. 若随机过程z(t)＝m(t)cos(ω0t ＋θ)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数R m (τ)为

θ是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。 (1) 证明z(t)是宽平稳的；

(2) 绘出自相关函数R z (τ)的波形； (3) 求功率谱密度P z (ω)及功率S 。

]2exp[21)(22

σ

σπx Z f -=??

?

??-+=0

11)(ττ

τR m

τττ其它,10,01,<≤<<-

解：(1) ∵ E[z(t)]＝E[m(t)cos(ω0t ＋θ)] （m(t)和θ彼此独立） ＝E[m(t)] E[cos(ω0t ＋θ)] =0

R Z (τ)＝R Z (t , t+τ) ＝E[z(t) z(t+τ)]

＝E{m(t)cos(ω0t ＋θ) m(t+τ)cos[ω0(t+τ)＋θ]} ＝E[m(t) m(t+τ)] E{cos(ω0t ＋θ)cos[ω0(t+τ)＋θ]}

由上可见：z(t)的均值E[z(t)]与时间t 无关，相关函数R Z (τ)只与时间τ有关

∴ z(t)是宽平稳的随机过程

(2)由R Z (τ)可知：R Z (τ)ττω0cos )(21

m R =是由)(2

1τm R 和cos ω0τ在时域上相乘的结果，而)(2

1τm R 和cos ω0τ在时域上的图形分别如下：

所以R Z (τ)的波形如下：

)(2

1

τm R 的波形 cos ω0τ的波形 θ

πθωπd t t m E 21)cos()]([20

0+=?}

cos 2121]2)2(cos[{21)(200200θτπθπθτωτππωd d t R m ??+++=ττω0cos )(2

1

m R =

(3)由z(t)＝m(t)cos(ω0t ＋θ)可以看出：z(t)是由m(t)和

cos(ω0t ＋θ)在时域上的相乘结果，则在频域上有： P z (ω)＝P m (ω) *P c (ω) ，其中P m (ω)是m(t)的频谱 P c (ω)是cos(ω0t ＋θ)的频谱 又因为 P m (ω)＝)42(212ωs a ＝)2

(212ω

s a

P c (ω)＝]()([

2

1)0

0ωωωω++-δδ

∴P z (ω)＝P m (ω) *P c (ω)

＝

)2(212ωs a *]()([21)00ωωωω++-δδ ＝???

?

????++-)2()2(410202ωωωωs s a

a

S ＝R Z (0)＝0cos )0(21m R ＝2

1

R Z (τ

) 的波形

2-7.将一个均值为零、功率谱密度为n 0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为ωc 、带宽为B 的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。

(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数； (2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。

解： (1)先求出频域上的输出噪声功率：

()()

ωωH P n 20

02

?=

?????=,

0,20n 其它B B c

c πωωπω+≤≤-

再求时域上的自相关函数，实际上就是频域()ωP 0的傅里叶逆变换：

()()ωωπ

τωτd e P R j ?=

?

∞

+∞

-0021

()()ωωπωωπωτ

πωπωωτπωπωd e P d e P j B B j B B c c

c c ?+?=??+-+---002121 ωπωπωτπωπωωτπωπω

d

e n d e n j B B j B B c c c c ?+?=??+-+---2

2122100 ][40ωωπωτπωπωωτ

πωπωd e d e n j B B j B B

c c c c ?+?=??+-+---

][40ωωπωτπωπωωτπωπωd e d e n

j B B j B B

c c c c ?+?=??+-+---

()τωτπc a B BS n cos 0=

c c 图

P2-1

(2)高斯过程通过线性系统时仍然是一个高斯过程，即输出噪声的一维概率密度函数也是一个高斯过程，

又∵[]()00)(=?==H t E a i o μξ 其中()t o ξ是表示输出噪声的时域表达式，i μ是表示输入噪声的均值

同时()[]()B n BS n t E R a o 002020cos 0)(0==-=ξσ ∴输出噪声的一维概率密度函数为： ()???

? ??-=

B n x B n x f 0202exp 21

π

2-10. 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为T b ，脉冲幅度取±1的概率相等。现假设任一间隔T b 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证： (1)自相关函数

?

?

???>≤-=b b T T R τττξ , 0 , /T τ

1b )(

(2)功率谱密度P ξ(ω)＝T b [Sa(πf T b )]2 。

解：(1) ()()()[]τξξττξξ+?=+=t t E t t R R ,)(，实际上就是求在时间t 和t+τ时，()()τξξ+?t t 的乘积的均值。

当b T >τ时，()t ξ和()τξ+t 的取值互相独立，如图(a)所示

于是有： ()()[]τξξτξ+?=t t E R )( ()[]()[]τξξ+?=t E t E

()()???

????-+???????

??-+?=21

121

121

121

1

0=

当b T ≤τ时，()t ξ和()τξ+t 的取值有两种情况：

第一种情况：()t ξ和()τξ+t 都在同一个T b 范围内，也就是说()t ξ和

()τξ+t 的取值相同，这种情况的概率是b

b T T τ

-如图(b)所示

设此时的自相关函数为)(1τξR ,则有 ()()[]τξξτξ+?=t t E R )(1

()()()()b

b T T τ-???????

?-?-+??=21112111

b

b T T τ-=

第二种情况：()t ξ和()τξ+t 不在同一个T b 范围内，也就是说()t ξ和()τξ+t 的取值分别是两个相邻的码元，这时()t ξ和()τξ+t 是相互独立的，如图(c)所示

设此时的自相关函数为)(2τξR ,则有 ()()[]τξξτξ+?=t t E R )(2 ()[]()[]τξξ+?=t E t E

()()???

????-+???????

??-+?=21

121

121

121

1

0=

∴当b T ≤τ时：()()b

b T T R R R τ

τττξξξ-=+=2

1)( 综上所述，有 ??

???>≤-=b b

T T R ττττ , 0 , /T τ

1b )(

(2)(

)τωξξR P ?)( 由()τξR 的取值可以画出它的波形，如图(d)所示：

2-12. 若ξ(t)是一个平稳随机过程，自相关函数为R ξ(τ)，试求它通过如图P2-5系统后的自相关函数及功率谱密度。

图(d)

∴??

?

??=2)(2

b a b T S T P ωωξ ??

?

??=222b a b fT S T π

()b a b fT S T π2

=

ξ

图

P2-5

解：设输入信号()t ξ的功率谱密度为(

)ωξP ；输出信号为()t o ξ，它的自相关函数为()τo R ，它的功率谱密度为()ωo P ，于是有： ()()()T t t t o -+=ξξξ

()()()T t t t o -+++=+τξτξτξ ()()ωτξξP R ? ()()ωτξξωτj e P T R -??- （傅氏变换的时延特性） ()()ωτξξωτj e P T R ??+

∴()()()[]τξξτ+?=t t E R o o o

()()[]()()[]{

}T t t T t t E -++?-?=τξτξξξ ()()[()()+-+++=T t t t t E τξξτξξ

()()()()]T t T t t T t -+-++-τξξτξξ ()()[]()()[]+-+++=T t t E t t E τξξτξξ

()()[]()()[]T t T t E T T t T t E -+-+++--τξξτξξ ()()()()ττττξξξξR T R T R R +++-+= ()()()T R T R R ++-+=τττξξξ2

()()τωo o R P ?

()()()T

j T j e P e P P ωξωξξωωω?+?+=-2 ()()

T j T j e e P ωωξ

ω++?=-2 ()()[]T P ωωξcos 22+?=

()()[

]T P ωωξcos 12+?=