云南省昆明三中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

云南省昆明三中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（3分）若A=，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）

A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．D．{x|0＜x＜2}

2．（3分）下列各组中两个函数是同一函数的是（）

A．B．

C．f（x）=1，g（x）=x0D．

3．（3分）函数f（x）=的定义域（）

A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．（﹣∞，1]

4．（3分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）

A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0

5．（3分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则f（﹣4）等于（）

A．5B．3C．﹣3 D．﹣5

6．（3分）函数f（x）=ax3+bx++5，满足f（﹣3）=2，则f（3）的值为（）

A．﹣2 B．8C．7D．2

7．（3分）下列函数中值域是（0，+∞）的函数是（）

A．B．C．D．

8．（3分）函数y=a|x﹣1|，（0＜a＜1）的图象为（）

A．B．

C．D．

9．（3分）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）

A．a2＞b2B．C．l g（a﹣b）＞0 D．

10．（3分）设a＞0，化简的结果为（）

A．a B．a2C．a4D．a8

11．（3分）下面式子中，

①=3﹣π；

②无理数e是自然对数的底数，可以得logπ1+lne=1；

③若a＞b，则a2＞b2；

④若a＞b，则（）a＜（）b

正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．（3分）函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）

A．或B．2或C．4D．4或

二．填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分，将答案填在答题卡中相应位置. 13．（3分）如果f（lgx）=x，则f（3）的值等于．

14．（3分）已知全集U={2，3，a2+2a﹣3}，若A={b，2}，?U A={5}，则实数的a，b值为a=，b=．

15．（3分）lg25+lg2?lg50+（lg2）2=．

16．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）对任意x∈R成立，当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x，则f（log25）=．

三、解答题：本大题共5道题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并请将答案写在答题卡相应的位置上.

17．（10分）（1）已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x﹣a＜0}若A?B，求实数a的取值范围；（2）求函数y=（0＜a＜1）的定义域．

18．（10分）已知函数f（x）=+ax+1﹣a，a∈R，

（1）若f（x）为奇函数，求a的值；

（2）若a=1，试证f（x）在区间（0，1]上是减函数；

（3）若a=1，试求f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

19．（10分）若函数f（x）=（a≠0），f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，求f（x）的解析式．

20．（10分）已知f（x）=，（a＞0且a≠1）

（1）判断f（x）的奇偶性．

（2）讨论f（x）的单调性．

（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

21．（12分）设f（x）=，若0＜a＜1，试求：

（1）f（a）+f（1﹣a）的值；

（2）f（）+f（）+f（）+…+f（）的值．

云南省昆明三中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（3分）若A=，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）

A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．D．{x|0＜x＜2}

考点：并集及其运算．

专题：计算题．

分析：把两集合的解集表示在数轴上，根据图形可求出两集合的并集．

解答：解：由，B={x|1≤x＜2}，

两解集画在数轴上，如图：

所以A∪B={x|0＜x＜2}．

故选D

点评：本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．2．（3分）下列各组中两个函数是同一函数的是（）

A．B．

C．f（x）=1，g（x）=x0D．

考点：判断两个函数是否为同一函数．

专题：阅读型．

分析：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，观察四个选项结果有三个的定义域不同，从而得出正确选项．

解答：解：A、的定义域为R，的定义域为x≥0，两函数

的定义域不同，故不是同一函数；

B、，相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数；

C、f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为x≠0，两函数的定义域不同，故不是同一函数；

D、的定义域为x≠﹣2；g（x）=x﹣2的定义域为R，两函数的定义域不同，

故不是同一函数，

则选项B中的两函数表示同一函数．

故选B．

点评：本题考查判断两个函数是否是同一函数，在开始学习函数的概念时，这是经常出现的一个问题，注意要从三个方面来分析：定义域、对应法则、值域，只有三要素完全相同，才能判断两个函数是同一个函数，这是判定两个函数为同一函数的标准．

3．（3分）函数f（x）=的定义域（）

A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．（﹣∞，1]

考点：函数的定义域及其求法．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：要使函数有意义，则需1﹣x≥0，解得即可得到定义域．

解答：解：要使函数有意义，则需1﹣x≥0，

解得，x≤1．

则定义域为（﹣∞，1]．

故选D．

点评：本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负，考查运算能力，属于基础题．

4．（3分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）

A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0

考点：集合的包含关系判断及应用．

专题：计算题．

分析：利用A∪B=A?B?A，写出A的子集，求出各个子集对应的m的值．

解答：解：∵A∪B=A∴B?A

∴B=?；B={﹣1}；B={1}

当B=?时，m=0

当B={﹣1}时，m=﹣1

当B={1}时，m=1

故m的值是0；1；﹣1

故选：D

点评：本题考查等价转化的数学思想方法、分类讨论的数学思想方法、写出集合的子集．

5．（3分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则f（﹣4）等于（）

A．5B．3C．﹣3 D．﹣5

考点：函数奇偶性的性质．

专题：计算题．

分析：由已知中当x＞0时，f（x）=﹣x+1，可以求出f（4）的值，再由函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x）进而得到答案．

解答：解：∵当x＞0时，f（x）=﹣x+1，

∴f（4）=﹣4+1=﹣3

又∵函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x）

则f（﹣4）=﹣f（4）=3

故选B．

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，其中根据已知中函数为奇函数，将求f（﹣4）的值转化为求f（4）的值是解答的关键．

6．（3分）函数f（x）=ax3+bx++5，满足f（﹣3）=2，则f（3）的值为（）

A．﹣2 B．8C．7D．2

考点：函数奇偶性的性质．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：由于函数f（x）=ax3+bx++5，由f（﹣3）=2得到a?33+b?3+=3，运用整体代换法，即可得到f（3）．

解答：解：由于函数f（x）=ax3+bx++5，

则f（﹣3）=a?（﹣3）3+b?（﹣3）++5=2，

即有a?33+b?3+=3，

则有f（3）=a?33+b?3++5=3+5=8．

故选B．

点评：本题考查函数的奇偶性及运用，运用整体代换法是解题的关键，同时考查运算能力，属于中档题．

7．（3分）下列函数中值域是（0，+∞）的函数是（）

A．B．C．D．

考点：函数的值域．

专题：函数的性质及应用．

分析：利用基本函数的值域即可求出各函数的值域，从而可求得答案．

解答：解：∵≠0，∴≠1，的值域为（0，1）∪（1，+∞），故排除A；

y=的值域为[0，+∞），故排除B；

∵2x＞0，∴2x+1＞1，所以的值域为（1，+∞），故排除C；

=2x﹣2，其值域为（0，+∞），

故选D．

点评：本题考查的是函数值域的求解问题．在解答的过程当中充分考查了各类函数的性质特征．值得同学们体会和反思．

8．（3分）函数y=a|x﹣1|，（0＜a＜1）的图象为（）

A．B．

C．D．

考点：指数函数综合题；函数的图象；指数函数的图像与性质．

专题：图表型；探究型；数形结合．

分析：由函数的解析式y=a|x﹣1|，（0＜a＜1）知，此函数图象关于x=1对称，故可通过研究x＞1时的函数的图象得出函数图象的大致形状，选出正确选项

解答：解：由函数的解析式知，此函数图象关于x=1对称

当x＞1时，函数解析式为y=a x﹣1，（0＜a＜1），这是一个减函数，最大值在x=1处取到

由函数图象的对称性知函数x＜1时是递增的

综上讨论知，C图象符合条件

故选C

点评：本题考查指数型函数图象的变化趋势，函数的单调性，函数图象的对称性，解题的关键是理解指数函数的性质且能根据函数的解析式判断出函数图象与指数函数图象的关系，分类讨论，逐一对函数图象在各个范围内的图象进行研究是本题的难点，也是本题的解题技巧．

9．（3分）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）

A．a2＞b2B．C．l g（a﹣b）＞0 D．

考点：不等式比较大小．

专题：综合题．

分析：由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．

解答：解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；

如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；

如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；

满足指数函数的性质，正确．

故选D．

点评：本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．

10．（3分）设a＞0，化简的结果为（）

A．a B．a2C．a4D．a8

考点：有理数指数幂的化简求值．

专题：计算题．

分析：直接利用有理数指数幂运算法则，求解即可．

解答：解：

=

=

=a4．

故选C．

点评：本题考查有理指数幂的化简求值，是基础题．

11．（3分）下面式子中，

①=3﹣π；

②无理数e是自然对数的底数，可以得logπ1+lne=1；

③若a＞b，则a2＞b2；

④若a＞b，则（）a＜（）b

正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：不等关系与不等式．

专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析：①根据根式的性质进行化简即可；

②根据对数的运算性质进行化简即可；

③举反例即可判断命题真假；

④考查指数函数y=的单调性即可．

解答：解：对于①，∵3＜π，∴=|3﹣π|=π﹣3，命题错误；

对于②，∵无理数e是自然对数的底数，∴logπ1+lne=0+1=1，命题正确；

对于③，∵0＞a＞b时，a2＜b2，∴命题错误；

对于④，y=是R上的减函数，∴a＞b时，（）a＜（）b，命题正确．

综上，以上正确的命题有②④两个．

故选：B．

点评：本题考查了根式的化简，指数函数的性质以及对数的运算性质和不等式的性质的应用问题，是基础题

12．（3分）函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）

A．或B．2或C．4D．4或

考点：对数函数的单调性与特殊点．

专题：函数的性质及应用．

分析：利用对数函数的单调性以及分类讨论即可得到结论．

解答：解：①若a＞1，则函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上单调递增，

则满足f（2a）﹣f（a）=，

即log a2a﹣log a a=，

则log a2=，解得，即，

解得a=4．

②若0＜a＜1，则函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上单调递减，

则满足f（a）﹣f（2a）=，

即log a a﹣log a2a=，

则log a2=﹣，解得，

解得a=．

综上a=或4，

故选：D

点评：本题主要考查对数函数单调性的应用，注意要对a进行分类讨论．

二．填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分，将答案填在答题卡中相应位置. 13．（3分）如果f（lgx）=x，则f（3）的值等于1000．

考点：对数的运算性质．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：由题意，令lgx=3解出x即可．

解答：解：∵f（lgx）=x，

∴令lgx=3得，x=1000，

故f（3）=1000，

故答案为：1000．

点评：本题考查了函数的运算与求值，属于基础题．

14．（3分）已知全集U={2，3，a2+2a﹣3}，若A={b，2}，?U A={5}，则实数的a，b值为a=2或﹣4，b=3．

考点：补集及其运算．

专题：集合．

分析：根据全集U及A，以及A的补集，确定出a与b的值即可．

解答：解：∵全集U={2，3，a2+2a﹣3}，A={b，2}，?U A={5}，

∴a2+2a﹣3=5，b=3，

解得：a=2或﹣4，b=3，

故答案为：2或﹣4；3

点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

15．（3分）lg25+lg2?lg50+（lg2）2=2．

考点：对数的运算性质．

专题：计算题．

分析：我们对后两项提取公因式lg2，根据对数的运算性质：lg25=lg（52）=2lg5，

lg50+lg2=lg100，我们可将原式化为2（lg5+lg2）形式，进而得到答案．

解答：解：lg25+lg2?lg50+（lg2）2=lg25+lg2?（lg50+lg2）=lg（52）+lg2?lg（50?2）

=lg（52）+lg2?lg（100）

=2（lg5+lg2）

=2

故答案为：2

点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，其中熟练掌握对数的运算性质及常用对数的运算性质，如lg5+lg2=1，是解答本题的关键．

16．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）对任意x∈R成立，当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x，则f（log25）=﹣．

考点：函数的周期性．

分析：由f（x+2）=f（x）得函数的周期是2，然后利用函数的周期性和奇偶性之间的关系即可求值．

解答：解：由f（x+2）=f（x）得函数的周期是2，

∵2≤log25≤3，

∴0≤log25﹣2≤1，

即0≤log2≤1，

若x∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），

∵当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x，

∴f（﹣x）=2﹣x，

∵函数是奇函数，

∴f（﹣x）=2﹣x=﹣f（x），

即f（x）=﹣2﹣x，

∴f（log25）==，

故答案为：．

点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件求出函数的周期性以及利用函数的周期性和奇偶性之间的关系是解决本题的关键．

三、解答题：本大题共5道题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并请将答案写在答题卡相应的位置上.

17．（10分）（1）已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x﹣a＜0}若A?B，求实数a的取值范围；（2）求函数y=（0＜a＜1）的定义域．

考点：对数函数的定义域；集合的包含关系判断及应用．

专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析：（1）直接由子集间的关系求得实数a的取值范围；

（2）由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案．

解答：解：（1）∵A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a}，

且A?B，

∴a≥4，即a的取值范围为[4，+∞）；

（2）由题log a（3x﹣2）≥0，得0＜3x﹣2≤1，

∴．

则函数y=（0＜a＜1）的定义域为{x|＜x≤1}．

点评：本题考查了对数函数的定义域的求法，考查了集合间的关系，是基础题．

18．（10分）已知函数f（x）=+ax+1﹣a，a∈R，

（1）若f（x）为奇函数，求a的值；

（2）若a=1，试证f（x）在区间（0，1]上是减函数；

（3）若a=1，试求f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质；基本不等式．

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）函数的定义域为{x|x≠0}，奇函数满足f（﹣x）=﹣f（x），代入已知可得a值；（2）当a=1时，f（x）=+x，任取x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，可判f（x1）﹣f（x2）＞0，

由单调性的定义可得；

（3）当a=1时，函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，同理可证函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，由此可得x=1处取最小值，计算可得．

解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠0}，

∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），

即﹣﹣ax+1﹣a=﹣﹣ax﹣1+a，

化简可得1﹣a=﹣1+a，解得a=1

（2）当a=1时，f（x）=+x，

任取x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=﹣（）

=，

∵x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，1﹣x1x2＞0

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在区间（0，1]上是减函数；

（3）由（2）知当a=1时，函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，

同理可证函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，

故在区间（0，+∞）上，当x=1时，函数取最小值2

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，涉及函数的奇偶性的应用，属中档题．19．（10分）若函数f（x）=（a≠0），f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，求f（x）的解析式．

考点：根的存在性及根的个数判断．

专题：函数的性质及应用．

分析：将问题转化为ax2+（1﹣2a）x=0有唯一解，根据根的判别式△=0，求出a的值，从而求出f（x）的表达式．

解答：解：由f（2）=1得=1，即b=2﹣2a，

故f（x）=，

又f（x）=x有唯一解，即=x有唯一解，

即ax2+（1﹣2a）x=0有唯一解，

而a≠0，故△=（1﹣2a）2﹣4a?0=0，

解得：a=，

故f（x）=．

点评：本题考查了求函数解析式的问题，考查了一元二次方程根的判别式，是一道基础题．20．（10分）已知f（x）=，（a＞0且a≠1）

（1）判断f（x）的奇偶性．

（2）讨论f（x）的单调性．

（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

考点：指数函数综合题；函数奇偶性的判断．

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）由函数的解析式可求函数的定义域，先证奇偶性：代入可得f（﹣x）=﹣f（x），从而可得函数为奇函数；

（2）再证单调性：利用定义任取x1＜x2，利用作差比较f（x1）﹣f（x2）的正负，从而确当f （x1）与f（x2）的大小，进而判断函数的单调性；

（3）对一切x∈[﹣1，1]恒成立，转化为b小于等于f（x）的最小值，利用（2）的结论求其最小值，从而建立不等关系解之即可．

解答：解：（1）∵f（x）=，

所以f（x）定义域为R，

又f（﹣x）=（a﹣x﹣a x）=﹣（a x﹣a﹣x）=﹣f（x），

所以函数f（x）为奇函数，

（2）任取x1＜x2

则f（x2）﹣f（x1）=（a x2﹣a x1）（1+a﹣（x1+x2））

∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a﹣（x1+x2）＞0

①当a＞1时，a2﹣1＞0，a x2﹣a x1＞0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，

②当0＜a＜1时，a2﹣1＜0．，a x2﹣a x1＜0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，

所以f（x）为增函数；

（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，

即b小于等于f（x）的最小值，

由（2）知当x=﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为（）=﹣1，

∴b≤﹣1．

求b的取值范围（﹣∞，﹣1]．

点评：本题考查了函数的奇偶性的判断，函数单调性的证明，抽象函数性质应用，关键是正确应用函数的基本性质解题．

21．（12分）设f（x）=，若0＜a＜1，试求：

（1）f（a）+f（1﹣a）的值；

（2）f（）+f（）+f（）+…+f（）的值．

考点：函数的值．

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）利用函数直接求f（a）+f（1﹣a）的值即可．

（2）根据（1）的结论，计算即可．

解答：解：（1）因为f（x）=，所以f（a）+f（1﹣a）

=+=+==1．

（2）由（1）得f（a）+f（1﹣a）=1，

∴f（）+f（）=f（）+f（）=…=f（）+f（）=1．

∴原式=1×500=500．

点评：本题主要考查分式函数的求值，利用条件寻找f（a）+f（1﹣a）=1是解决本题的关键．考查学生的运算能力．