湘教版九年级下1.2二次函数的图像与性质(4)优秀教学设计

湘教版九年级下1.2二次函数的图像与性质(4)优秀教学设计
湘教版九年级下1.2二次函数的图像与性质(4)优秀教学设计

第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

【知识与技能】

1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.掌握y=a(x-h)2+k的图象和性质.

2.掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的位置关系.

3.理解y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,y=ax2+k及y=ax2的图象之间的平移转化. 【过程与方法】

经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程,进一步领会数形结合的思想,培养观察、分析、总结的能力.

【情感态度】

1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性.

2.体验数学活动中充满着探索性,感受通过认识观察,归纳,类比可以获得数学猜想的乐趣.

【教学重点】

二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.

【教学难点】

由二次函数y=a(x-h)2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线.

一、情境导入,初步认识

复习回顾:同学们回顾一下:

①y=ax2,y=a(x-h)2,(a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,y随x 的增减性分别是什么?

②如何由y=ax2(a≠0)的图象平移得到y=a(x-h)2的图象?

③猜想二次函数y=a(x-h)2+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x

的增减性如何?

二、思考探究,获取新知

探究1 y=a(x-h)2+k的图象和性质

1.由老师提示列表,根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题:

①y=-1

2

(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何?

②将抛物线y=-1

2

x2向左平移1个单位,再向下平移1个单位得抛物线

y=-1

2

(x+1)2-1.

2.同学们讨论回答:

①一般地,当h>0,k>0时,把抛物线y=ax2向右平移h个单位,再向上平

移k个单位得抛物线y=a(x-h)2+k;平移的方向和距离由h,k的值来决定.

②抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何?

探究2二次函数y=a(x-h)2+k的应用

【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的图象是,对称轴是,顶点坐标是,当

a>0时,开口向,当a<0时,开口向.

答案:抛物线,直线x=h,(h,k),上,下

三、典例精析,掌握新知

例1 已知抛物线y=a(x-h)2+k,将它沿x轴向右平移3个单位后,又沿y轴

向下平移2个单位,得到抛物线的解析式为y=-3(x+1)2-4,求原抛物线的解析式.

【分析】平移过程中,前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓

住顶点的变化,根据平移规律可求出原抛物线顶点,从而得到原抛物线的解析式.

解:抛物线y=-3(x+1)2-4的顶点坐标为(-1,-4),它是由原抛物线向右平移3

个单位,向下平移2个单位而得到的,所以把现在的顶点向相反方向移动就得到

原抛物线顶点坐标为(-4,-2).故原抛物线的解析式为y=-3(x+4)2-2.

【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小,所以a值不变,平移时抓住关键点:顶点的变化.

例2 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图,发射台OA的高度为2m,火炬的高度为12m,距发射台OA的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C

发射一个火球点燃火炬,该火球运行的轨迹为抛物线形,当火球运动到距地面最大高度20m时,相应的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C?并说明理由.

【分析】建立适当直角坐标系,构建二次函数解析式,然后分析判断.

解:该火球能点燃目标.如图,以OB所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立直角坐标系,则点(12,20)为抛物线顶点,设解析式为y=a(x-12)2+20,∵点

(0,2)在图象上,∴144a+20=2,∴a=-1

8,∴y=-

1

8

(x-12)2+20.当x=20时,

y=-1

8

×(20-12)2+20=12,即抛物线过点(20,12),∴该火球能点燃目标.

【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的应用关键是构造出二次函数模型.

四、运用新知,深化理解

1.若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2,则必须()

A.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位

B.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位

C.先向左平移1个单位,再向下平移4个单位

D.先向右平移1个单位,再向上平移4个单位

2.抛物线y=x2-4与x轴交于B,C两点,顶点为A,则△ABC的周长为()

3.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()

4.二次函数y=-2x2+6的图象的对称轴是,顶点坐标是,

初中数学二次函数的图像与性质教案

第13课时二次函数的图像与性质(二) 【复习目标】 1.能根据图象确定a、b、c的符号. 2.会用待定系数法求二次函数的解析式. 3.理解二次函数与一元二次方程的关系.并能用二次函数图象解一元二次方程的根及确定当函数值大于或小于0时自变量的取值范围. 【知识梳理】 1.二次函数解析式的求法: (1)若给出抛物线上三点,通常可设一般式:________(a≠0). (2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值,通常可设顶点式:________(a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为直线x=h. (3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)及其他一个条件,通常可设交点式:_______(a≠0).其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标. 2.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当给定y的值时,二次函数可转化为一元二次方程,所以我们可ax2+bx+c=_______. 3.当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有_______交点. 4.当b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有_______交点. 5.当b2-4ac-<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴_______交点. 【考点例析】 考点一二次函数的各项系数与图象之间的关系 例1已知二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①abc>0;②b2-4ac<0;③4a-2+c<0;④b=-2a,其中结论正确的是( ) A.①③B.③④C.②③D.①④

22.1.4二次函数的图像和性质 教案

22.1 二次函数(6) 教学目标: 1.使学生掌握用描点法画出函数y =ax 2+bx +c 的图象。 2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.让学生经历探索二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y =ax 2+bx +c 的性质。 重点难点: 重点:用描点法画出二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。 难点:理解二次函数y =ax 2+b x +c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x =-b 2a 、(-b 2a ,4ac -b24a )是教学的难点。 教学过程: 一、提出问题 1.你能说出函数y =-4(x -2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 2.函数y =-4(x -2)2+1图象与函数y =-4x 2的图象有什么关系? (函数y =-4(x -2)2+1的图象可以看成是将函数y =-4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3.函数y =-4(x -2)2+1具有哪些性质? (当x <2时,函数值y 随x 的增大而增大,当x >2时,函数值y 随x 的增大而减小;当x =2时,函数取得最大值,最大值y =1) 4.不画出图象,你能直接说出函数y =-12x 2+x -5 2的图象的开口方向、对称轴和顶点 坐标吗? 5.你能画出函数y =-12x 2+x -5 2的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题 由以上第4个问题的解决,我们已经知道函数y =-12x 2+x -5 2的图象的开口方向、对称 轴和顶点坐标。根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作出函数y =-12x 2+x -5 2的图 象,进而观察得到这个函数的性质。 解:(1)列表:在x 的取值范围内列出函数对应值表; x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -612 -4 -212 -2 - 212 -4 - 612 … (2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点。

二次函数的图像与性质的教案

二次函数的图像与性质的教案(3) 【目标】 1. 经历探索二次函数y =ax 2(a ≠0)及y =a(x-h)2 (a ≠0)的图象作法和性质 的过程; 2. 能够理解函数y =a(x-h)2 (a ≠0)与y =ax 2的图象的关系,了解a,h,k 对 二次函数图象的影响。 3.能正确说出函数 y =a(x-h)2的图象的开口方向,顶点坐标和对称轴。 【重点】 理解函数y =a(x-h)2 (a ≠0)与y =ax 2的图象的关系及性质; 【难点】 理解函数y =a(x-h)2 (a ≠0)与y =a x 2的图象的关系及性质; 同学们还记得一次函数y=2x 与y=2(x-1)的图象的关系吗? 你能由此推测二次函数2 x y =与y =(x-1)2的图象之间的关系吗?那么 2x y =与y=(x-1)2的图象之间又有何关系? 动手操作、探究: 在同一平面内画出函数2 x y =与y=(x-1)2的图象。比较它们的性质,你可以 得到什么结论? 【探究问题1】 形如 的二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标各是什么? 我们已经了解到,函数k ax y +=2的图象,可以由函数2ax y =的图象上下 平移所得,那么函数2)2(2 1-=x y 的图象,是否也可以由函数221x y =平移 而得呢?画图试一试,你能从中发现什么规律吗? 1、在平面直角坐标系中,并画出函数2)1(+=x y 的图象。 2、比较它与函数2 x y =的图象之间的关系。 结论: (1)抛物线y=a(x-h)2(a ≠0)与抛物线y =ax 2(a ≠0)的形状一样,只是位置不 同,因此抛物线y=a(x-h)2可通过平移抛物线y =ax 2(a ≠0)得到。当h >0时, 把抛物线y =ax 2(a ≠0)向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2,当h<0时, 把抛物线y =ax 2(a ≠0)向右平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗?

二次函数的图像与性质教案

二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与性质 年级:九年级 执教老师:田老师 【教学目标】 1. 知识与技能 会用配方法确定二次函数y= ax 2+bx+c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。理解二次函数y= ax 2+bx+c 的性质。 2. 过程与方法 让学生经历配方的过程,掌握抛物线的对称轴和顶点坐标。 3. 情感态度与价值观 培养学生积极探索、合作交流的意识。 【教学重点】 理解、掌握对称轴a b x 2-= , 顶点坐标(a b 2- ,a b ac 442-) 【教学难点】 用配方法确定对称轴、顶点坐标。 【教学过程】 一、温故知新 1. 耐心填一填

2. 抛物线y =-2(x +3)2-6的开口 ,对称轴是 , 顶点坐标为 。 当x 时,y 随x 的增大而减小;当x 时,y 随x 的增大而增大; 当x 时,函数y 有最 值 。 3. 你能说出y =-2x 2+6x -1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 二、探索新知 1.你能将二次函数 y =-2(x +3)2-6化成一般形式吗? 2. 怎样将二次函数一般式y =-2x 2+6x -1化成顶点式y=a(x -h)2+k ? y =-2x 2+6x -1 =-2(x 2-3x +21 ) 提:提取二次项系数 =-2[x 2-3x +223)(-223)(+21 ] 配:括号内配成完全平方 =-2[(x -23)2-47 ] (加上再减去一次项系数一半的平方) =-2(x -23)2+2 7 化:化成顶点式 3. 提问: ⑴ 对称轴是 , 顶点坐标是( ) ⑵ 当x 等于多少时,函数的值最大?最大值是多少? 4. 求函数122 12-+-=x x y 的最大值。

初三二次函数的图像与性质

龙文教育学科导学 教师:学生:年级:日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大,所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标:1、理解二次函数的概念;会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数; 2、熟练的画出各种抛物线的图像,根据解析式的变化判断图像的平移方法; 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移;待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容: 知识回顾 1.一般地,形如y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其中,x 是自变量, a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 (1)二次函数解析式的一般式(通式):,它的顶点坐标为(,),对称轴为;(2)二次函数解析式的顶点式(通式):,顶点坐标为(,)对称轴是;(3)二次函数解析式的交 点式:。此时抛物线的对称轴为。其中,(x 1,0)(x 2 ,0)是抛 物线与X轴的交点坐标。显然,与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a,b,c的符号与图像性质的关系: 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系

二次函数的常规解法: 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时,可选用y=ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y=ax2+bx+c(a≠0)为一般式(三点式)。 例:二次函数图象经过A(1,3)、B(-1,5)、C(2,-1)三点,求此二次函数的解析式。 说明:因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上,反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组,解方程组得a、b、c的值,即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时,可选用y=a(x+m)2+k (a≠0)求解。我们称y =a(x+m)2+k (a≠0)为顶点式(配方式)。 例:若二次函数图像的顶点坐标为(-2,3),且过点(-3,5),求此二次函数的解析式。 说明:由于顶点式中要确定a、m、k的值,而已知顶点坐标即已知了-m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的,不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)为双根式(交点式)。 例:已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3)三点,求此二次函数的解析式。 说明:很多同学看到此例会想到使用一般式来解,将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标,而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时,可选用 或 例:抛物线y=2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4,求此二次函数的解析式。 说明:对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程,记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之,要求一个二次函数的解析式,可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法,使计算过程简单化,达到迅速解题的目的。当然,也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数,才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法,提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),那么y叫做x的二次函数 注意:二次函数的表达形式为整式,且二次项系数不为0,b ,c可分别为0,也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习:

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);

九年级下二次函数图像与性质教案

第1课时 26.1 二次函数 一、阅读教科书 二、学习目标: 1.知道二次函数的一般表达式; 2.会利用二次函数的概念分析解题; 3.列二次函数表达式解实际问题. 三、知识点: 一般地,形如____________________________的函数,叫做二次函数。其中x 是________,a 是__________,b 是___________,c 是_____________. 四、基本知识练习 1.观察:①y =6x 2;②y =-3 2x 2+30x ;③y =200x 2+400x +200.这三个式子中,虽 然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是______次.一般地,如果y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a ≠0),那么y 叫做x 的_____________. 2.函数y =(m -2)x 2+mx -3(m 为常数). (1)当m__________时,该函数为二次函数; (2)当m__________时,该函数为一次函数. 3.下列函数表达式中,哪些是二次函数?哪些不是?若是二次函数,请指出各项对应项的系数. (1)y =1-3x 2 (2)y =3x 2+2x (3)y =x (x -5)+2 (4)y =3x 3+2x 2 (5)y =x +1 x 五、课堂训练 1.y =(m +1)x m m 2-3x +1是二次函数,则m 的值为_________________. 2.下列函数中是二次函数的是() A .y =x +1 2 B . y =3 (x -1)2 C .y =(x +1)2-x 2 D .y =1 x 2-x 3.在一定条件下,若物体运动的路段s (米)与时间t (秒)之间的关系为 s =5t 2+2t ,则当t =4秒时,该物体所经过的路程为() A .28米 B .48米 C .68米 D .88米 4.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________. 5.已知y 与x 2成正比例,并且当x =-1时,y =-3. 求:(1)函数y 与x 的函数关系式; (2)当x =4时,y 的值; (3)当y =-1 3时,x 的值.

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移;当0>h 时向左平移;当0

3.二次函数的最值公式: 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ,图像有最低点,函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ;时当0?时抛物线与x 轴有两个交点;当0=?抛物线与x 轴有一个交点;当 0

二次函数的性质教案

4.2二次函数的性质 一、教材的地位与作用 初中学习了一元二次函数2(0) =++≠图象、开口方向、对称轴 y ax bx c a 最大、最小值,有了初步的感性认识。在高一阶段将进一步从“数和形”两个方面研究一般二次函数的图象和性质,二次函数也是我们用来研究函数性质的最典型的函数。可以以它为素材来研究函数的单调性,奇偶性,最值等问题。还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系基础,是解决数学问题的常用工具,也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。 二、教学目标 1、知识与技能:掌握研究二次函数的一般方法——配方法,进而研究其性质。 2、过程与方法:进一步培养学生探究、合作、交流能力,培养学生的观察、 分析、归纳概括能力,进一步向学生渗透数形结合的数学思想方 法。 3、情感态度与价值观:通过本节课的教学,渗透二次函数图象的对称美,和谐 的数学美。 三、教学重难点 教学重点:掌握研究二次函数图象的重要方法---配方法,能够较快求出二次函数的开口方向对称轴,单调区间、最值及顶点坐标。 教学难点:运用配方法研究二次函数的性质。 四、教法学法和教具 教师启发讲授,学生探究学习的教学方法,教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,目的是让学生直接感受抛物线这种对称和谐美,有助于学生对问题的理解和认识。 教具:多媒体

五、教学过程 一、问题提出 1.画出函数2243y x x =--的图像,根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. 2.画出函数245y x x =-++的图像,根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. 3.讨论函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. 22(1)5y x =-- 2(2)9y x =--+ 222432(1)5y x x x =--=--,∴开口向上,对称轴1x =,顶点坐标 -15(,), ∞(-,1)递减,∞(1,+)递增,min ()5f x =- 2245(2)9y x x x =-++=--+∴开口向下,对称轴2x =,顶点坐标 (2,9), ∞(-,2)递增,∞(2,+)递减,max ()9f x = 设计意图:从具体到抽象,从简单到复杂的认知,概括2(0)y ax bx c a =++≠的 开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.渗透分类讨论和数形结合的思想。 探究:函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、

《二次函数的图像和性质》教案

5、4二次函数的图像与性质(1) 教材分析: 本节内容就是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质,以及二次函数的有关概念的基础上进行的,它既就是前面所学知识的应用、拓展,又就是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华,还就是今后学习的基础,在教材中起着非常重要的作用. 教学设计: 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤与方法,然后根据表中的各对对应值,在直角坐标系中描出相应的各点,用光滑的曲线连接,画出图象.通过画出图象,让学生分析、归纳二次函数的图象与性质、 教学目标: 知识与技能:1、掌握二次函数的图象的作法及其性质,会根据图象用数学语言表达图象的性质. 2、能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点. 过程与方法:通过对二次函数图象与性质的发现,提高分析、归纳等能力,体验数学中的数形结 合思想的应用、 情感态度与价值观:引导学生养成全面瞧问题,分类讨论的学习习惯,通过直观多媒体演示与学 生动手作图、分析,激发学生学习数学的积极性. 教学重难点: 重点:能在直角坐标系中,正确画出二次函数的图象,并能说出二次函数的图象的性质、 难点:作二次函数图象时要选取适当的点,选取适当数目的点、 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排:4课时 教学过程: 知识回顾: 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线 反比例函数: (k ≠0)图象:双曲线 问:1.如何画出函数图象呢? 2.如何得到相应的性质呢? 【设计意图】: 通过对一次函数与反比例函数解析式、图象的回顾,一方面巩固学生的旧知,另一方面对本节课的学习起到类比作用、 合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象 请同学们用描点法按下列要求画图: k y x

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2,y=a(x-h)2,y =a(x-h)2+k 和c bx ax y ++=2图象,能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口 方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2的性质: 2. y =ax 2+k 的性质: (k 上加下减) 3. y =a (x -h )2的性质: (h 左加右减)

4. y =a (x -h)2+k 的性质: 5. y =ax 2+bx+c 的性质: 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如 下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”. 方法二:

二次函数的图像和性质知识点与练习

第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2 ,y=a(x-h)2,y =a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象, 能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 ,y =-x 2 ,y =2x 2 ,y =-2x 2 ,y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2 的性质: x y O

2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y=a (x-h)2+k的性质: 5. y=ax2+bx+c的性质:

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”. 方法二:

二次函数图像与性质

二次函数的图像与性质 一、知识点梳理 二次函数的概念: 一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 4422 -=-=,. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2 h x a y -=; ④()k h x a y +-=2 ;⑤c bx ax y ++=2. 抛物线2y ax bx c =++的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0

二次函数y=ax2的图像和性质教学反思.doc

二次函数y=ax2的图象和性质教学反思 反思一:二次函数y=ax2的图象和性质教学反思 这节课是人教版九年级数学下册的一节探究课。 在教学中我采用了体验探究的教学方式,在教师的配合引导下,让学生自己动手作图,观察、归纳出二次函数的性质,体验知识的形成过程,力求体现”主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。整个教学过程主要分为三部分:第一部分是前置性作业,前置作业是前T发给学生的,主要涉及如何作图、一次函数和反比例函数的性质等问题。我的设计目的就上让学生在复习这些知识的过程中体会从函数图像来研究函数性质的。应该说这样设计既让初三同学复习了旧知又使他们体会到如何研究函数,从哪些方面研究函数,从思维层面锻炼了学生的探究能力。第二部分是学习探究,探求活动前先让一名同学读了学习目标,让大家带着目标去探究。探究活动一是让学生在坐标纸上画出二次函数y=ax A2的图象。 画图的过程包括列表、描点、连线。列表过程是我引导学生取点的,其间我引导大家要明确取点注意的事项,比如代表性、易操作性。这样学生在下一个环节就能游刃有余。学生在我的引导下顺利地画出了函数的图象。紧接着我让学生按照学案的要求自主探讨当a>0时函数y=ax2的性质。探究活动二是独立画出函数y=-2x A2 的图象,然后是自主探讨当a<0时函数y=y=ax2的性质。探讨函数的性质主要从开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标和最值方面入手,让学生从特殊函数来归纳忌结一般函数的性质。应该说探究活动二在活动一得基础上让学生锻炼了自我学习

的能力,学生们完成的很好。探索活动三是小组合作活动。观察自己画出的两个图象,它们代表函数y=ax人2的两种情况,找出a的符号不同时他们的相同点、不同点和联系点。这个环节能充分发挥小组合作的优势,让学生在谈论中体会分类思想。小组讨论完毕后我让学生展示他们的成果,大部分学生跃跃欲试,他们讨论的很全面,出乎我的预料。这里面还有个知识点我是用几何画板演示的,就是通过改变a 的值让学生们观察图象的开口方向和开口宽度。几何画板在此起到了突破难点的作用,让我真正体会到了掌握几何画板对自己的教学是多么的有利。第三部分是课堂检测。最后五分钟时我让学生们独立完成课堂检测部分题目。 课堂检测共出了U个小题(基础题)一个应用题(选做题),下课铃声响了,大部 分的同学还没有完成选做题,所以我就让同桌交换试卷,公布前U个基础题的答案。我的优点主要包括: 1、教学目标明确、思路清晰,注重学生的自我学习培养和小组合作学习的落实。 2、能运用现代化的教学手段教学,尤其是能用几何画板等软件突破重难点。 我的不足之处表现在:

一元二次函数的图像和性质教学设计

§ 3.4一元二次函数的图象和性质教学设计 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式: a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

二次函数的性质教案教案

2.3二次函数的性质 教学目标:1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 难点:二次函数的性质的应用. 教学过程: 一. 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 , 在 侧,即x_____0时, y 随着x 的增大而增大;在 侧,即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时,函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:根据上边已画好的函数图象填空: 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ,在 侧,即x_____0时, y 随着x 的增大而减少;在 侧,即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时,函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随着x 的增大 而增大;当 时,函数y 有最小值 。当a ﹤0时,在对称轴的 左侧,y 随着x 的增大而增大;在对称轴的右侧,y 随着x 的增大而减小。当 时,函数y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 a 2b x -=a 2b x -=a 4ac 4b 2-a 4ac 4b 2 -

二次函数图像与性质总结

二次函数图像与性质总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后 者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中 2 424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴 对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2 b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3.两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).

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