大学高等数学第一章函数(模拟题精讲)

第1章 函 数

§1.1 函数的概念与性质

1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >）

（1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2

）

2112

a b

a b

+≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值）

一般地，

1212111n

n

x x x n n

x x x +++≤≤

+++

（3）{}max ,22a b a b a b -+=

+；{}min ,22

a b

a b a b -+=- 2. 函数概念与性质

对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。

注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈<

1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤?

??

≥?

?单调递增单调递减

；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x

>?

?严格单增严格单减

（3）奇偶性 ()()

()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???

-=-?

?为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点

注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。

（4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。

（5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；

arcsin 2

x π

≤

，arccos x π≤，[]1,1-；arctan 2

x π

<

，arccot x π<，(,)-∞+∞

3. 复合函数

设)(u f y =的定义域为f D ，)(x u ?=的值域为?Z ，且Φ≠?Z D f （空集），则称

[])(x f y ?=为x 的复合函数。

4. 反函数 设1

()()f f f f

y f x D Z y f x Z D -=???=??

定义域为值域为定义域为值域为

注意：正反函数的图形对称于直线x y =；严格单调函数必有反函数；

1()f f x x -??=??

()f x f x Z ∈的；[]1()f f x x -= ()f x f x D ∈的 5. 初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合而成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。

基本初等函数：幂函数μx y =（μ为实数）；指数函数x a y =（0>a ，1≠a ）；对数函数x y a log =（0>a ，1≠a ）；三角函数x y sin =，x cos ，x tan ，x cot ，x sec ，x csc ；反三角函数x y arcsin =，x arccos ，x arctan ，x arc cot .

６. 分段函数与幂指函数

分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示； 幂指函数x y x =一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但若规定

0x >，则ln x x x y x e ==，是初等函数。

§1.2 典型例题解析

例3 已知不等式211x x +>-，用区间表示不等式的解集 分析 解此不等式应先去掉绝对值符号，由于1

2

x =-，1x =分别为21x +，1x -的零值点，于是将区间划分为1(,)2-∞-，1

[,1]2

-，(1,)+∞，再考虑各小区间x 的取值范围及端点，最后综合得出结论。

解法1 1211(,)21211211(,1)2211(1,)x x x x x x

x x ?-->--∞-???+>-=+>--??+>-+∞???12(,)210(,1)22(1,)x x x ?

<--∞-??

?

=>-??

>-+∞??? ? (,2)(0,x ∈-∞

-+∞ 解法2 22

(21)(1)x x +>- ? (2)0x x +> ? (,2)(0,x ∈-∞

-+∞

1. 函数定义域的求法 解题思路

（1）分式的分母0≠，对数的真数0>，偶次方根下的表达式0≥，反正弦、反余弦号内的表达式绝对值1≤；

（2）复合函数的定义域=简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。 例4 求下列函数的定义域

（1

）1arcsin

4x

y -= 解 21141lg(2)020340

x

x x x x ?-≤???

--≥??->?--≠?? ?

35

1221;4

x x x x x -≤≤??≤?

?

>??≠-≠? ? (](2,4)4,5

（2）已知()f x 的定义域是[]0,1，试求()()f x a f x a ++- (0)a >的定义域

解 ()f x a +的定义域：01x a ≤+≤ ? 1a x a -≤≤-

()f x a -的定义域：01x a ≤-≤ ? 1a x a ≤≤+； ()()f x a f x a ++-的定义域：[][],1,1x a a a a ∈--+

当1a a -<，12a >

时，定义域为空集；当1a a -≥，1

2

a ≤时，定义域为[],1a a -；故取交集定义域为[],1a a -

2. 函数解析式的求法

解题思路

（1）将已知变量凑成与()f 内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性求解； （2）对()f 内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。 （3）由[]()f x ?的表达式求)(x f 的一般方法是令()u x ?=，从中解出1()x u ?-=，

将其代入[]()f

x ?中可得()f u

例5 求下列函数解析式

（2）已知x x

bf x af sin )1()(=-+，()a b ≠, 求)(x f ； 解 令x t 1

-

=代入原式得 11()()sin()bf t af t t

+-=-，则

1()()sin 11()()sin()

af x bf x x

bf x af x x ?

+-=????+-=-??

? )1sin sin (1)(2

2x b x a b a x f +-= （3）已知41

1

()ln ln(1)2

f x x x x +=-+,求)(x f ； 解法1

24

42221111111()ln ln(1)ln ln ln 1122122()2

x f x x x x x x x x x

+=-+===+++-

令1x t x +

=，则 211()ln 22f t t =- ? 211

()ln 22

f x x =- 解法2 将x 换成1x ，得4111

()ln ln(1)2f x x x x

+=--+，和原式相加得

441111

2()ln(1)ln(1)22f x x x x

+=-+-+

222211111()ln()ln ()242f x x x x x x ??

+=-+=-+-????

令1x t x +

=，则 211()ln 22f t t =- ? 211

()ln 22

f x x =- 例6 求下列函数解析式

（1）已知221(ln )1x f x x -=+，()x ?的定义域为0x <，且[]()x f x e ?=，求()x ?

解 令ln u x =，2

2u

x e =，221

()1

u u e f u e -=+，且[]()x f x e ?=，则

2()2()11x x x e e e ??-=+ ? 2()

11x x x e e e ?+=- ? 11()ln 21x x

e x e

?+=-（0x <） （2）已知1

1(ln )ln 01

x x f x x x ->?=?

<≤?，求)(x f

解 令ln u x =， u

x e =，则

110

()010u u u

e e u

f u u

e u ?->?>=?

<≤?≤? ? 10

()0x e x f x x x ?->=?≤?

3. 利用定义确定函数的有关特性

解题思路

（1）若()()0f x f x +-=，则()f x 为奇函数；

（2）若T 是()f x 的周期，则()b ax f +的周期为/T a ；若()f x ，()g x 分别是以1T ，

2T 12()T T ≠为周期的函数，则()()f x g x ±的周期为1T ，2T 的最小公倍数。

（3）将函数取绝对值，由不等式的缩放法或求函数的最值确定函数的有界性； （4）若12x x <，且21()()0f x f x -≥，21()/()1f x f x ≥，则可确定()f x 单增性。 例7 设)()()(y F x F y x F +=+，求)1121)(

(x

a x F y +-=，(0,1)a a >≠的奇偶性 解 设)1(21

1121)(x x x a a a x g +-=+-=，11()()2(1)2(1)

x x x x

a a g x g x a a -----==-=-++ 由于)()()(y F x F y x F +=+，分别令0=y ，x y -=，得0)0(=F

()()(0)0F x F x F +-== ? )()(x F x F -=-

即)(x F 为奇函数，故)11

21)(

(x a

x F y +-=为偶函数。 例8 设()f x 在[],a a -(0)a >上有定义，证明：()f x 可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，且表示法唯一

分析 若()()x x ??-=，()()x x ψψ-=-，则有()()()f x x x ?ψ=+，

()()()f x x x ?ψ-=-，由此引入辅助函数

证 设[]1()()()2x f x f x ?=

+-，[]1

()()()2

x f x f x ψ=-- [][]11

()()()()()()22x f x f x f x f x x ??-=-+=+-=

[][]11

()()()()()()22

x f x f x f x f x x ψψ-=--=---=-

故()x ?为偶函数，()x ψ为奇函数，且

[][]11

()()()()()()()22

x x f x f x f x f x f x ?ψ+=

+-+--= 唯一性：设另有偶函数1()x ?及奇函数1()x ψ使得11()()()f x x x ?ψ=+，则

1111()()()()()()()()x x x x x x x x ?ψ?ψ??ψψ+=+??---=---? ? 1111

()()()()

()()()()x x x x x x x x ??ψψ??ψψ-=-??

-=-+? 解得1()()x x ??=，1()()x x ψψ=，即表示法唯一。

例9 证明下列函数为周期函数，并求其最小正周期 （1）()sin(23)f x x =+

解法1 由于sin x 的周期为2π，故所求周期为22

T π

π=

= 解法2 []()sin(23)sin(232)sin 2()3()f x x x x f x πππ=+=++=++=+，T π= （2）sin cos y x x =+

解 ()sin()cos()cos sin ()222

f x x x x x f x π

ππ

+

=+++=+= ? 2T π=

例11 设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，证明：

（1）若()y f x =的图形关于直线x a =(0)a >对称，则()()f x a f a x +=-； （2）若()y f x =的图形关于直线1x =，2x =对称，则()f x 是周期的偶函数。 分析（1）若()y f x =的图形关于直线x a =对称点为(,)x y 与(,)x y ''，则

2x a x '=-，y y '= ? ()(2)f x f a x =-

反之，若(2)()f a x f x -=，则()y f x =关于直线x a =对称

证（1）必要性：x R ?∈，有()(2)f x f a x =-，则

[]()2()()f x a f a x a f a x +=-+=-

充分性：若x R ?∈，有()()f x a f a x +=-，则

[][]()()()(2)f x f a x a f a x a f a x =+-=--=-

（2）由题设知(1)(1)f x f x +=-，(2)(2)f x f x +=-，则

[][]()1(1)1(1)(2)(2)f x f x f x f x f x =+-=--=-=+ [][]()1(1)1(1)(2)()f x f x f x f x f x -=-+=++=+=

故()f x 是以2为周期的偶函数

例12 判断下列函数的有界性 （1）2221

222

x y x x +=

-++

解 由2

2

2a b ab +≥，有22

22(1)12(1)x x x x ++=++≥+，则

22

22222(1)

122(1)12(1)

x x x x x x x +++=≤=+++++

23221122222x x x +-≤-≤++ ? 222132222

x x x +-≤++ 例13 设1λμ+=（0,0λμ>>），证明：

（1）若()f x 是[)0,+∞的单减函数，则()()()f x f x f x λλμμ≤+； （2）若

()

f x x

是(0,)+∞的单减函数，则()()()f x f x f x λμ≤+； （3）()()()f a b f a f b +≤+（0,0a b >>） 证（1）由题设知，

01λ<<，01μ<< ? x x λ≤，x x μ≤，[)0,x ∈+∞

由于()f x 单减，有()()f x f x λ≥，()()f x f x μ≥，则

()()()()()f x f x f x f x f x λλμμλμ+≥+=

（2）由于

()f x x 单减，有()()f x f x x x λλ≥，()()

f x f x x x

μμ≥，则

()()f x f x λλ≥，()()f x f x μμ≥ ? ()()()f x f x f x λμ+≥

（3）令x a b =+，a a b λ=

+，b

a b

μ=+，则 ()()()f a f b f a b +≥+

例14 求下列函数的反函数

分析：求分段函数的反函数，要注意x 的不同取值范围对应原来函数的值域

（2）?????≤≤+<≤+=21)2(3

1

1

0)1(212

x x x x y

解 当10<≤x 时，)1(212

+=x y 的值域为

121

<≤y ? 12-=y x 当21≤≤x 时，)2(3

1

x y += 的值域为

3

4

1≤≤y ? 23-=y x

故

1

1

2

4

321

3

y

x

y y

≤<

=?

?-≤≤

??

?

?

?

?

?

?

≤

≤

-

<

≤

-

=

3

4

1

2

3

1

2

1

1

2

x

x

x

x

y

例15 在底为a，高为h的三角形中内接一矩形，将矩形面积S表示为其底x的函数。

解设矩形高为y，由三角形相似关系得h y x

h a

-

=，

hx

y h

a

=-，则()

h

S xy x a x

a

==-

例16 某商场以每件a元的价格出售某种商品，若顾客一次购买50件以上，则超出50件的商品以每件0.8a元的价格出售，试将一次成交的销售收入R表示成销售量x的函数。

解

050050 500.8(50)500.81050

ax x ax x

R

a a x x ax a x

≤≤≤≤??

==

??

+->+>??