第1讲 绝对值不等式

第1讲 绝对值不等式

1.设函数f (x )=|2x +1|-|x -4|.

(1)解不等式f (x )>2;

(2)求函数y =f (x )的最小值.

解 (1)法一 令2x +1=0,x -4=0分别得x =-12,x =4.

原不等式可化为:

⎩⎪⎨⎪⎧x <-12,-x -5>2或⎩⎪⎨⎪⎧-12≤x <4,3x -3>2

或⎩⎨⎧x ≥4,x +5>2. 即⎩⎪⎨⎪⎧x <-12,x <-7或⎩⎪⎨⎪⎧-12≤x <4,x >53

或⎩⎨⎧x ≥4,x >-3, ∴x <-7或x >53.

∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪

⎪⎪x <-7或x >53. 法二 f (x )=|2x +1|-|x -4|=⎩⎪⎨⎪⎧-x -5 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x <-123x -3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12≤x <4x +5 (x ≥4)

画出f (x )的图象,如图所示.

第1讲 绝对值不等式

求得y =2与f (x )图象的交点为(-7,2),⎝ ⎛⎭

⎪⎫53,2. 由图象知f (x )>2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <-7或x >53. (2)由(1)的法二图象知:当x =-12时,

知:f (x )min =-92.

2.(2017·长沙一模)设α,β,γ均为实数.

(1)证明:|cos(α+β)|≤|cos α|+|sin β|,|sin(α+β)|≤|cos α|+|cos β|;

(2)若α+β+γ=0,证明:|cos α|+|cos β|+|cos γ|≥

1.

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