解决三角函数问题的几种方法

解决三角函数的几种方法

三角函数的各类问题，由于涉及的三角公式较多，问题的解法也比较灵活，但也会呈现出一定的规律性，本文拟对其中的解题方法进行总结归纳．

１ 凑角法

一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答． 例１ 求tan 204sin 20?+?的值．

解析 原式sin 202sin 40sin 202sin(6020)cos 20cos 20?+??+?-?==?? sin 202(sin 60cos 20cos60sin 20)

cos 20?+??-??==?

． 评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(6040)2sin 40?-?+?，或者化为sin(3010)2sin(3010)?-?+?+?，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！

２ 降幂法

一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及22

sin cos 1αα+=，或降幂公式221cos 21cos 2sin ,cos 22

αααα-+==等借助降幂策略解答． 例２ 若2cos cos 1αα+=，求26sin sin αα+的值．

解析 由2cos cos 1αα+=，得cos α=，cos α=．由2cos cos 1αα+=，又可得22cos 1cos sin ααα=-=，

则263sin sin cos cos αααα+=+，又由2c o s c o s 1αα+=，得2c o s 1c o s αα=-，故322c o s c o s c o s (1c o s )c o s (2c o s )2c o s c o s 3c o ααααααααα+=+=-=-=-，代值可得

265sin sin 2

αα+=． 评注 若求出cos α的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．

３ 对偶法 根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答．

例３ 已知(0,)2x π

∈，且222cos cos 2cos 31x x x ++=，求x 的值．

解析 设222cos cos 2cos 3m x x x =++，令222s i n s i n 2s i n 3n x x x =++，则3m n +=，

cos2cos4cos6m n x x x -=++，其中，2cos62cos 31x x =-，

cos 2cos 4cos(3)cos(3)2cos cos3x x x x x x x x +=-++=，2cos3(cos cos3)1m n x x x -=+-，又c o s c o s 3c o s (2)c o s (2)2c o s x x x x x x x x +=-++=，故4cos cos2cos31m n x x x -=-，故可解得1cos cos 2cos3(22)0(1)4

x x x m m =-== ．则c o s 0x =，或c o s 20x =，或c o s 30x =，又(0,)2

x π∈，则6x π=或4x π

=． 评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如22sin cos 1θθ+=等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答． 例4 求cos

7

π＋cos 37π＋cos 57π的值． 解：设M ＝cos 7

π＋cos 37π＋cos 57π，构造其对偶式 N ＝sin 7

π＋sin 37π＋sin 57π．则 M ·N ＝21sin 27π＋21sin 67π＋21sin 107

π＋sin 47π＋sin 67π＋sin 87π ＝21( sin 7

π＋sin 37π＋sin 57π)＝21N ． ∴ M ＝cos 7π＋cos 37π＋cos 57π＝21． ４ 换元法

给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值（包括求周期、对称轴、对称中心等）问题．

例5 求sin 75cos 4515ααα+?++?+?（）（）（）的值．

解析 令15αβ+?=，则原式sin(60)cos(30)βββ=+?++?

(sin cos60cos sin 60)(cos cos30sin sin 30)0βββββ=?+?+?-?-=．

评注 教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．

５ 方程法 有时可以根据已知构造所求量的方程解答．

例6 若33cos sin 1x x =+，试求sin x 的值．

解析 令cos sin x x t =+，则21cos sin (1)2x x t =

-，[t ∈．由已知，有 2

221(cos sin )(cos sin cos sin )(1)12

t x x x x x x t --++=+=，即3232(1)(2)0t t t t --=+-=，得1t =-，或2t =（舍去）．即cos sin 1x x =+，又22sin cos 1x x +=，整理可得2sin sin 0x x +=，解得sin 0x =或sin 1x =-．

评注 将已知转化为关于sin x 的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有n 个需要确定的未知数，则只要构造n 个方程解答即可．

６ 讨论法

涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．

例7 已知ABC !中，54sin ,cos 135

A B =

=，求cos C ． 解析 由5sin 13A =，得12cos 13A =±．当12cos 13A =-时，因为,A B 是ABC !的内角，需要满足0A B π<+<，有0A B ππ<<-<，而余弦函数在区间(0,)π是减函数，得cos cos()cos A B B π>-=-，但124cos cos 135A B =-

<-=，故此情形不合题意． 可以验证12cos 13A =符合题意，故33cos cos()sin sin cos cos 65

C A B A B A B =-+=-=-． 评注 分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！

７ 平方法

分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．

例8 已知sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=，求cos()αβ-的值．

解析 有sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式两边平方后对应相加，可得2222(sin sin 2sin sin )(cos cos 2cos cos )αβαβαβαβ+++++

22(sin )(cos )1γγ=-+-=，即1cos()2

αβ-=-． 评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的．

８ 猜想法

有时根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．

例9

已知1sin cos 2

αα+=，且α为第二象限角，则sin α= ． 解析 由sin 0,cos 0αα><

及22221

sin cos 1,()(122αα+=+-=，可得1sin 2

α=． 评注 实际上，

将sin cos αα+=与22sin cos 1αα+=联立所得二元二次方程组只有两组解，

即1sin ,cos 2αα==

或1cos ,sin 2αα==，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．

９ 图象法

有时候，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．

例10 已知函数()sin 1(1)f x A x A =+>的图象与直线y A =在x 轴右侧的与x 轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A 的值．

解析 如右图，设三个交点的坐标为(,)B b A ，(,)C c A ，

(,)D d A ，由三角函数图象的对称性，则有22b c π

π+=?=，

3232

c d ππ+=?=，有b c π=-，3d c π=-，又222()(3)34c b d c c c c ππππ==--=-+，解得34c π=．故函数图象经过3(,)4A π，代入可

得2A =．

评注 数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．

１０ 比例法

借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．

例１1 求证 2(cos sin )cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααααα

-=-++++． 解析 若cos 0α=（或sin 0α=），因为sin 1(cos 1),αα≠-≠-或，故sin 1α=，或cos 1α=，验证可知等式成立．

若cos 0α≠，则由2cos (1sin )(1sin )ααα=+-，2

sin (1cos )(1cos )ααα=+-及比例性质a c a c b d b d +==+，可得cos 1sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααα

--+==+++． sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos αααααααα

-+-==+++，代入等式左边可知所证成立． 评注 本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式sin 1cos tan 21cos sin α

αααα

-==+，按照比例性质，立得1cos sin tan 21cos sin ααααα

-+=++． １０ 构造三角形法

例１2 求值：sin 220°+cos 2

50°+sin20°cos50°

设△ABC 中，A=20°B= 40°C=120°利用余弦定理求解

原始= sin 220°+sin 240°+sin20°sin40°= sin 220°+sin 240°-2sin20°sin40°cos120°=sin 2120°=3/4