第26讲 平面向量的数量积及应用

第二十六讲—平面向量的数量积及应用

一．课标要求：

1．平面向量的数量积

①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2．向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

二．命题走向

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。

预测2010年高考：

（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。

（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；

三．要点精讲

1．向量的数量积

（1）两个非零向量的夹角

已知非零向量a 与a ，作＝，＝，则∠A ＯA ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；

说明：（1）当θ＝０时，a 与b 同向；

（2）当θ＝π时，与反向；

（3）当θ＝2

π时，与垂直，记⊥； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0?≤θ≤180?。

（2）数量积的概念 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·

︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）。规定00a ?= ；

向量的投影：︱b ︱cos θ=||

a b a ? ∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

（3）数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。

（4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：22||a a a a ?==

。

②乘法公式成立 ()()

2222a b a b a b a b +?-=-=- ； ()2222a b a a b b ±=±?+ 222a a b b =±?+ ；

③平面向量数量积的运算律

交换律成立：a b b a ?=? ；

对实数的结合律成立：()()

()

()a b a b a b R λλλλ?=?=?∈ ； 分配律成立：()a b c a c b c ±?=?±? ()c a b =?± 。 ④向量的夹角：cos θ=cos ,a b a b a b ?<>=? =22

2221212121y x y x y y x x +?++。 当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，

同时0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

C

（5）两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y == ，则a ·b =1212x x y y +。

（6）垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ?a 2b ＝O ?02121=+y y x x ，平面向

量数量积的性质。

（7）平面内两点间的距离公式 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x +=。 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x -+-=(平面内两点间的距离公式)。

2．向量的应用

（1）向量在几何中的应用；

（2）向量在物理中的应用。

四．典例解析

题型1：数量积的概念

例1．判断下列各命题正确与否： （1）00a ?= ；

（2）00a ?= ；

（3）若0,a a b a c ≠?=? ，则b c = ；

（4）若a b a c ?=? ，则b c ≠ 当且仅当0a = 时成立；

（5）()()a b c a b c ??=?? 对任意,,a b c 向量都成立；

（6）对任意向量a ，有2

2a a = 。 解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。

点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚a ?0为零向量，而a ?0为零。

例2．（1）（2002上海春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（ ）

A ．)()(++=++

B ．?+?=?+)(

C ．m （+）=m +m

D ．)()(??=??

（2）(2000江西、山西、天津理，4)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a 2b ）c －（c 2a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b 2c ）a －（c 2a ）不与垂直

④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ）

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

解析：（1）答案：D ；因为c b a c b a ??=??θcos ||||)(，而a c b c b a ??=??θcos ||||)(；而方向与方向不一定同向。

（2）答案：D ①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（b 2c ）a －（c 2a ）b ］2c =（b 2c ）a 2c －（c 2a ）b 2c =0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=922－42=9||2－4||2成立。故④真。

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2：向量的夹角

例3．（1）（06全国1文，1）已知向量、满足1||=、4||=，且2=?，则与b 的夹角为（ ）

A ．6π

B ．4π

C ．3π

D ．2

π （2）（06北京文，12）已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且a ±≠b ，那

么b a +与b a -的夹角的大小是 。

（3）已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3c a b d b a =-=- ，试求c 与d 的

夹角。

（4）（2005北京3）| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为

（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°

解析：（1）C ；（2）

2π； （3）由题意，1a b == ，且a 与b 的夹角为0120， 所以，01cos1202

a b a b ?==- ， 2c c c =?= (2)(2)a b a b -?- 22447a a b b =-?+= ，

c ∴=

同理可得d ∴=

而c d ?= 2217(2)(3)7322

a b b a a b b a -?-=?--=- ， 设θ为c 与d 的夹角， 则182911713

7217

cos -==θ。 （4）C ；设所求两向量的夹角为θ

c a b c a →→→→→=+⊥ 2.()..0c a a b a a a b →→→→→→→→∴=+=+= 2||||||cos a a b θ→→→∴=- 即：2||||1cos 2||||||a a a b b θ→→

→→→-=

=-=- 所以120.o θ= 点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式cos =θ要掌握向量坐标形式的运

算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于.||||cos a b a b θ→→→→=这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。

例4．（1）（06全国1理，9）设平面向量1a 、2a 、3a 的和0321=++a a a 。如果向量1b 、2b 、3b ，满足||2||i i b =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）

A ．－1b +2b +3b =

B ．1b -2b +3b =

C ．1b +2b -3b =

D ．1b +2b +3b =

（2）（06湖南理，5）已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=?++b a x a x 有实根, 则与的夹角的取值范围是（ ）

A ．]6,0[π

B ．],3[ππ

C ．]32,3[ππ

D ．],6

[ππ 解析：（1）D ；（2）B ；

点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。

题型3：向量的模

例5．（1）（06福建文，9）已知向量a 与b 的夹角为120o ，3,a a b =+= 则b 等

于（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．1

（2）（06浙江文，5）设向量,,a b c 满足0a b c ++= ,,||1,||2a b a b ⊥== ,则2||c = （ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．5

解析：（1）B ；（2）D ； 点评：掌握向量数量积的逆运算Q b cos ||||=，以及22

||=。 例6．已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1。

解析：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有x a +y b =(3x +4y ,4x +3y )；

又（x a +y b ）⊥a ?(x a +y b )2a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0；

即25x +24y ＝０ ①；

又｜x a +y b ｜=1?｜x a +y b ｜２＝１；

?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１；

整理得25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②；

由①②有24xy +25y ２＝１ ③；

将①变形代入③可得：y =±7

5； 再代回①得：???

????=-=???????-==75

3524753524y x y x 和。

点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。

题型4：向量垂直、平行的判定

例7．(2005广东12)已知向量)3,2(=，)6,(x =，且//，则=x 。 解析：∵b a //，∴1221y x y x =，∴x 362=?，∴4=x 。

例8．已知()4,3a = ，()1,2b =- ，,m a b λ=- 2n a b =+ ，按下列条件求实数λ的

值。（1）m n ⊥ ；（2）//m n ；(3)m n =

。 解析：()4,32,m a b λλλ=-=+- ()27,8n a b =+=

（1）m n ⊥

()()082374=?-+?+?λλ9

52-=?λ； （2）//m n ()()072384=?--?+?λλ2

1-=?λ； (3)m n = ()()088458723422222=--?+=-++?λλλλ 5

1122±=?λ。 点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。

题型5：平面向量在代数中的应用

例9．已知a b c d ac bd 2222

111+=+=+≤，，求证：||。

分析：a b c d 222211+=+=，，可以看作向量)()(d c b a ，，==的模的平方，

而ac bd +则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。

证明：设)()(d c y b a x ，，，==

则2222||||d c y b a x bd ac y x +=+=+=?，，。

1||||||||2

222=+?+≤+∴?≤?d c b a bd ac y x y x ，

点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如||||||||||||||||||a b a b a b a b a b a b a b +≥-+≤+?≤?≤?，；等。

例10．已知()()a b →→==cos sin cos sin ααββ，，，，其中0<<<αβπ。

（1）求证：a b →→＋与a b →→－互相垂直；

（2）若k a b →→+与k a b →→-（k ≠0）的长度相等，求βα-。

解析：（1）因为()()a b a b a a b b a b →→→→→→→→→→=-＋2－2＋2－22

=-=-=+-+=-=→→→→a b a b 22222222110||||cos sin cos sin ααββ 所以a b →→＋与a b →→－互相垂直。

（2）()k a b k k →→=++＋，cos cos sin sin αβαβ，

()k a b k k →→-=--cos cos sin sin αβαβ，，

所以()||cos k a b k k →→+=

+-+221βα， ()||cos k a b k k →→-=

--+221βα， 因为||||k a b k a b →→→→

+=-，

所以()()k k k k 22

2121+-+=--+cos cos βαβα， 有()()22k k cos cos βαβα-=--，

因为k ≠0，故()cos βα-=0，

又因为00<<<<-<αβπβαπ，， 所以βαπ

-=2。

点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。

题型6：平面向量在几何图形中的应用

例11．（2002年高考题）已知两点)01()01(，，，N M -，且点P （x ，y ）使得→

→?MN MP ，→→→→??NP NM PN PM ，成公差小于零的等差数列。

（1）求证)0(322>=+x y x ；

（2）若点P 的坐标为)(00y x ，，记→PM 与→

PN 的夹角为θ，求θtan 。

解析：（1）略解：122-+=?→→y x PN PM ，由直接法得)0(322>=+x y x

（2）当P 不在x 轴上时， |||||2

1tan 2

1sin ||||2

10y MN PN PM PN PM S PMN →→→→→?=?==θθ 而2||21)1()1(20200000==-+=-?---=?→

→→MN y x y x y x PM PN ，，，

所以||tan 0y =θ，当P 在x 轴上时，0tan 00==θ，y ，上式仍成立。

y

P

M O N x

θ

图1

点评：由正弦面积公式θθθθtan 2

1tan cos ||||21sin ||||21→

→→→→→?===b a b a b a S 得到了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。

例12．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。

已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点（不与A 、B 重合），求证：∠APB ＝90°。

证明：联结OP ，设向量b OP a OA =→=→，，则a OB -=→且b a OP OA PA -=→-→=→，

b a OP OB PB -=→-→=→

0|a ||b |a b PB PA 2222=-=-=→?→∴

→⊥→∴PB PA ，即∠APB ＝90°。

点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。

题型7：平面向量在物理中的应用

例13．如图所示，正六边形PABCDE 的边长为b ，有五个力→→→→PD PC PB PA 、、、、→PE

作用于同一点P ，求五个力的合力。

解析：所求五个力的合力为→+→+→+→+→PE PD PC PB PA ，如图3所示，以PA 、PE 为边作

平行四边形PAOE ，则→+→=→PE PA PO ，由正六边形的性质可知b |PA ||PO |=→=→，且O

点在PC 上，以PB 、PD 为边作平行四边形PBFD ，则→+→=→PD PB PF ，由正六边形的性

质可知b 3|PF |=→，且F 点在PC 的延长线上。

由正六边形的性质还可求得b 2|PC |=→

故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b 6b 3b 2b =++，方向与→PC 的方

向相同。

五．思维总结

1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定；

（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积3，而?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“2 ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“3”代替；

（3）在实数中，若a ≠0，且a ?b =0，则b =0；但是在数量积中，若≠0，且?=0，不

能推出b =0。因为其中cos θ有可能为0；

（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ? a=c 。但是?= ?=；

如右图：?= |||cos β = |||O A |，?c = ||c |cos α = |||O A |?? =?，但 ≠；

(5)在实数中，有(a ?b )c = a (b ?c )，但是(a ?b )c ≠ a (b ?c )，显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c 不共线。

2．平面向量数量积的运算律

特别注意：

（1）结合律不成立：()()

a b c a b c ??≠?? ； （2）消去律不成立a b a c ?=? 不能得到b c =? ；

（3）a b ? =0不能得到a =0 或b =0 。

3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；

4．注重数学思想方法的教学

①．数形结合的思想方法。

由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。

②．化归转化的思想方法。

向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式2

2a a =，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。

③．分类讨论的思想方法。

如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反

向向量；向量a 在b 方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种

情形；定比分点公式中的λ随分点P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零。

5．突出向量与其它数学知识的交汇

“新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平。