课时四函数奇偶性和周期性学生版

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课时四、函数周期性和奇偶性

一、课前检测

1. 若函数 ( 且 )的值域是 ,则实数 的

取值范围是. 2.函数f (x

≤x ≤2π)的值域是

(A)[-11,44

]

(B)[-11,

33] (C)[ -11,22] (D)[-22

,33] 3.若函数)1,0)(4(log )(≠>-+=a a x

a

x x f a 的值域为R ,则实数a 的取值范围为

____________ 4.求函数

3

log 25

log 322++x x 的值域

二、知识点精讲

一、函数的奇偶性

利用定义判断函数奇偶性的步骤:

(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x 取值的任意性,应分段讨论,讨

()6,2,

3log ,2,

a x x f x x x -+≤?=?+>?0a >1a ≠[)4,+∞a

论时可依据x 的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.

二、周期性 1.周期函数

对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. 2.最小正周期

如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.

【感悟提升】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值. (2)函数周期性的三个常用结论: ①若f(x +a)=-f(x),则T =2a , ②若f(x +a)=

1

f x

,则T =2a ,

③若f(x +a)=-

1

f x

,则T =2a (a>0).

高频考点一 判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x ; (2)f(x)=(x +1)

1-x

1+x

; (3)f(x)=??

?

x2+x , x<0,

-x2+x ,x>0.

【变式探究】(1)设函数f(x),g(x)的定义域都为R ,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )

A .f(x)g(x)是偶函数

B .|f(x)|g(x)是奇函数

C .f(x)|g(x)|是奇函数

D .|f(x)g(x)|是奇函数

(2)函数f(x)=loga(2+x),g(x)=loga(2-x)(a>0且a≠1),则函数F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)的奇偶性是( )

A .F(x)是奇函数,G(x)是奇函数

B .F(x)是偶函数,G(x)是奇函数

C .F(x)是偶函数,G(x)是偶函数

D .F(x)是奇函数,G(x)是偶函数 高频考点二 函数的周期性

例2、(1)定义在R 上的函数f(x)满足f(x +6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x +2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)等于________.

(2)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,并且f(x +2)=-1

f x

,当2≤x≤3时,f(x)=x ,则f(105.5)=______.

【变式探究】 设函数f(x)(x ∈R)满足f(x +π)=f(x)+sinx .当0≤x<π时,f(x)=0,则f ?

??

??

23π6=__________________________________________. 高频考点三 函数性质的综合应用

例3、(1)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( )

A .4

B .3

C .2

D .1

(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)=xln(x +a +x2)为偶函数,则a =________.

【变式探究】(1)已知f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=

2a -3

a +1

,则实数a 的取值范围为( ) A .(-1,4) B .(-2,0)

C .(-1,0)

D .(-1,2)

(2)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x -4)=-f(x),且在区间上是增函数,则( )

A .f(-25)

B .f(80)

C .f(11)

D .f(-25)

【感悟提升】(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.

(2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便:(i)f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|).(ii)若奇函数在x =0处有意义,则f(0)=0.

【举一反三】 (1)若f(x)=ln(e3x +1)+ax 是偶函数,则a =________. (2)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x ,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________.

三、精讲精练

1.下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是( ) A .y =log 2|x | B .y =cos2x C .y =2x -2-x

2

D .y =log 2

2-x

2+x

2.已知函数f (x )=ln(1+9x 2-3x )+1,则f (lg2)+f ? ????

lg 12等于( )

A .-1

B .0

C .1

D .2

3.已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,则f (2019)等于( ) A .-2 B .2 C .-98

D .98

4.定义在R 上的偶函数f (x ),对任意x 1,x 2∈∪∪上单调递增,求实数a 的取值范围.

10.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x ,恒有f (x +2)=-f (x ),

当x ∈[0,2]时,f (x )=2x -x 2. (1)求证:f (x )是周期函数;

(2)当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式; (3)计算f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2016).

11.已知f (x )是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f (x )是减函数,如果f (m -2)+f (2m -3)>0,那么实数m 的取值范围是( ) A.?

?

???1,53

B.? ?

???-∞,53

C .(1,3)

D.? ??

??

53,+∞ 12.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间上,f (x )=

???

ax +1,-1≤x <0,

bx +2x +1

,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f ? ????12=f ? ??

??

32,则a +3b 的值为________.

13.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x <2时,f (x )=x 3-x ,则函数y =f (x )的图象在区间上与x 轴的交点个数为________.

14.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)=-f (x ),且在上是增函数,给出下列关于f (x )的结论:①f (x )是周期函数;②f (x )的图象关于直线x =1对称;③f (x )在上是增函数;④f (x )在上是减函数;⑤f (2)=f (0).其中正确结论的序号是________.

15.函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2). (1)求f (1)的值;

(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论;

(3)如果f (4)=1,f (x -1)<2,且f (x )在(0,+∞)上是增函数,求x 的取值范围.

1.3.2__函数的奇偶性_(第一课时)

1.3.2 函数的奇偶性(第一课时)1、下列命题中,真命题是( ) A.函数y=1 x 是奇函数,且在定义域内为减函数 B.函数y=x3(x-1)0是奇函数,且在定义域内为增函数 C.函数y=x2是偶函数,且在(-3,0)上为减函数 D.函数y=ax2+c(ac≠0)是偶函数,且在(0,2)上为增函数 2、奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6) +f(-3)的值为( ) A.10 B.-10 C.-15 D.15 3.f(x)=x3+1 x 的图象关于( ) A.原点对称 B.y轴对称 C.y=x对称D.y=-x对称 4、函数f(x)=x的奇偶性为( ) A.奇函数B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数5、下列函数为偶函数的是( ) A.f(x)=|x|+x B.f(x)=x2+1 x C.f(x)=x2+x D.f(x)= |x| x2 6、设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 7、已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数8、奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必过点( ) A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a)) C.(-a,-f(a)) D.(a,f(1 a )) 9、f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)≥2,则当x≤0时( ) A.f(x)≤2 B.f(x)≥2 C.f(x)≤-2 D.f(x)∈R 10、如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数,那么a=________. 11、若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=________. 12、下列四个结论:①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③f(x)=0(x ∈R)既是奇函数,又是偶函数;④偶函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题是________. 13、①f(x)=x2(x2+2);②f(x)=x|x|;③f(x)=3 x+x;④f(x)= 1-x2 x . 以上函数中的奇函数是________.14、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(x-1) 1+x 1-x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x x<0 -x2+x x>0 . 15、判断函数f(x)= 1-x2 |x+2|-2 的奇偶性.

函数的奇偶性及其应用举例

函数的奇偶性及其应用举例 (湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚) 【摘要】 函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线,也是高中数学的核心 内容,那么真正掌握函数,其中最主要的就是掌握函数的基本性质。函数的奇偶性是函数重要性质之一。近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都是热点问题。本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。 【关键词】 函数的奇偶性,判定,应用 一、奇、偶函数的定义: 若函数)(x f ,在其定义域内,任取x 都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或者, 则称函数)(x f 在区间I 上是奇函数(或者偶函数) 二、函数的奇偶性分类 ???? ? ?? =--=-≠--≠-=--=-)()()()()()()()(:)()(:)()(:x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 且既奇且偶函数: 且非奇非偶函数偶函数奇函数 三、奇、偶函数的图象: 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数 偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 四、函数奇偶性的性质: ①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称 ②若f(x)是奇函数,且x 在0处有定义,则f(0)=0 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反 ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个 偶函数的和。 五、 判断函数奇偶性的方法: (1)定义法:欲判断函数)(x f 在给定区间或者定义域内的奇偶性:

第一步:先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称,若 不对称,则函数)(x f 一定是非奇非偶函数。 第二步:若对称,再判断)(x f -与)(x f 的关系: ①若)(x f -=-)(x f ,则)(x f 是奇函数 ②若)(x f -=)(x f ,则)(x f 是偶函数 ③若)(x f -=-)(x f 且)(x f -=)(x f ,则)(x f 是既奇且偶函数 ④若)(x f -≠-)(x f 且)(x f -≠)(x f ,则)(x f 是非奇非偶函数 (2)图象法:图象关于原点成中心对称的函数是奇函数; 图象关于y 轴对称的函数是偶函数。, 六、函数奇偶性的应用: (1)函数奇偶性的判断 例1、(2011年高职统考第4题)下列函数为奇函数的为 )0(.5 1<=x x y A )0(.7 1>=x x y B 2 1.x y C = 3 1.x y D = 析:A,B ,C 这三个函数的定义域都不关于原点对称,故均为非奇非偶函数, 只有D 选项,定义域为()+∞∞-,,关于原点对称,并且()3 13 1x x -=-,故D 项所在函数为奇函数。 例2、(2014年文化综合第25题改编)下列函数中为奇函数的是 A .2 ()1f x x =- B .3 ()f x x = C .5()3x f x ?? = ??? D .2 ()log f x x = 析:A 项2()1f x x =-的定义域为()+∞∞-,关于原点对称,但 () 11)(2 2 -=--=-x x x f ,)()(x f x f =-故为偶函数; C 项5()3x f x ?? = ??? 定义域 为()+∞∞-,关于原点对称,但)()()()(,35)(x f x f x f x f x f x -≠-≠-??? ??=--且, 故为非奇非偶函数;D 项2()log f x x =,定义域为()+∞,0,不关于原点对称, 故为非奇非偶函数,只有B 项符合。 例3、判断函数12)(2+-=x x x f 的奇偶性: 析:(法1-定义法)()f x 函数的定义域是()-∞+∞, , ∵ 2()21f x x x =-+,

《函数的奇偶性与周期性》教案

教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数

二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用

三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.

考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .

函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求:了解函数的奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标:1、理解函数奇偶性的概念; 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法; 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法; 4、培养学生观察和归纳的能力,培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点:1、理解奇偶函数的定义; 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法,并探索其中简单的规律。 教学难点:1、对奇偶性定义的理解; 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程: 一、知识要点: 1、函数奇偶性的概念 一般地,对于函数)(x f ,如果对于函数定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f =-,那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地,对于函数)(x f ,如果对于函数定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解: (1)奇偶性是针对整个定义域而言的,单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是,奇偶性是一个“整体”性质,单调性是一个“局部”性质; (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类,函数可分为四类: 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象:

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数,偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质: ①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。 ②常用的结论:若f(x)是奇函数,且x 在0处有定义,则f(0)=0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

函数的奇偶性与周期性练习题

函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .

奇偶性教案

1.3.2《函数的奇偶性》教学设计 一、教材分析 “奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的函数入手,从特殊到一般,从具体到抽象,注重信息技术的应用,比较系统地介绍了函数的奇偶性.从知识结构看,它既是函数概念的拓展和深化,又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此,本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性,能使学生再次体会到数形结合思想,初步学会用数学的眼光看待事物,感受数学的对称美。 二、学情分析 从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单函数的储备。同时,刚刚学习了函数单调性,积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来思考和解决问题。但是,学生看待问题还是静止的、片面的,抽象概括能力比较薄弱,这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。 三、教学目标 【知识与技能】1.能判断一些简单函数的奇偶性。2.能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程,提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。

四、教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念和几何意义。难点:判断函数奇偶性的方法和格式。 五、教学方法 引导发现法为主,直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件 七、教学过程 (一)设疑导入、观图激趣:出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图:通过图片引起学生的兴趣,培养学生的审美观,激发学习兴趣。

函数奇偶性在解题中的应用

函数奇偶性在解题中的应用 徐辉 函数的奇偶性是函数的重要性质之一,也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。它应用广泛,在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用,在解题过程中如果应用的好,常能使难题变易,繁题变简,起到事半功倍的效果。 1.用于求值 例1:已知奇函数,则 解:因为奇函数, 所以对任意,都有成立. 令,则有,从而可得; 令,则有, 从而 . 故. 注:此解利用了若函数是奇函数,则对定义域内的任意, 都有这一性质,特别地,当0在定义域内时,必有. 2.用于比较大小 例2.已知偶函数在区间上单调递减,试比较 的大小.

解:因为是偶函数,所以,故此题只需比较的大小即可. 又因在区间上单调递减,而且 所以,故. 注:此解利用了若函数是偶函数,则对定义域内的任意x,都有这一性质.当然此题也可利用偶函数图象关于y 轴对称这一性质,首先得到在区间是单调递增的,然后再用单调性进行求解. 3.用于求最值 例3.如果奇函数在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么在区间[-7,-3]上是() A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 解:由在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,有, 又是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称, 故有在[-7,-3]上也是增函数,且当x=-3时,函数取得最大值, 故选B. 注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质. 4.用于求参数的值 例4.已知函数(a、b、c∈Z)是奇函数,又f(1)=2,f(2)<3,求a、b、c的值.

解:由是奇函数,知f(-x)=-f(x), 从而,即-bx+c=-(bx+c),c=-c,∴c=0. 又由f(1)=2,知,得a+1=2b①, 而由f(2)<3,知,得② 由①②可解得-1<a<2. 又a∈Z,∴a=0或a=1. 若a=0,则b=,应舍去; 若a=1,则b=1∈Z. ∴a=1,b=1,c=0. 注:本题从函数的奇偶性入手,利用函数的思想建立方程或不等式,组成混合组,最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值,如由f(-1)=-f(1),可得c=0. 5.用于求函数的解析式 例5.已知定义在(-∞,+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+2,求函数f(x)的解析式。解:当x<0时,-x>0,故f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2 因函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数, 于是f(-x)=-f(x),从而当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+2)=-x2-2x-2,

函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1

2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解

函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性:对于函数 )(x f y =,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有 )()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略),请用图形来理解。 3、 对称性: 我们知道:偶函数关于y (即x=0)轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的 探讨:(1)函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==, 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成:)()(x b f x a f -=+,函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 (2)函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,即) (11x f y =,通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知, b x f x a f 2)()2(11=+-,所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成:c x b f x a f =-++)()(,函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 (3)函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称,即关于任一个x 值,都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0,则 有可能会出现关于 b y =对称,比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性: (1)函数 )(x f y =满足如下关系系,则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+(等式右边加负号亦成立)

函数的奇偶性及周期性综合运用

函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],

函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳

函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳 一、基础知 1.函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 若f (x )≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下: (1)f (-x )=f (x )?f (-x )-f (x )=0?f (-x ) f (x )=1?f (x )为偶函数; (2)f (-x )=-f (x )?f (-x )+f (x )=0?f (-x ) f (x )=-1?f (x )为奇函数. 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T ,使f (x +T )=f (x )为恒等式,即自变量x 每增加一个T 后,函数值就会重复出现一次. (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 二、常用结论 1.函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则一定有f (0)=0;如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )=f (|x |). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x : (1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a (a >0). (2)若f (x +a )= 1 f (x ) ,则T =2a (a >0). (3)若f (x +a )=-1 f (x ),则T =2a (a >0). 3.函数图象的对称性 (1)若函数y =f (x +a )是偶函数,即f (a -x )=f (a +x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. (3)若函数y =f (x +b )是奇函数,即f (-x +b )+f (x +b )=0,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称. 考点一 函数奇偶性的判断 [典例] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=36-x 2 |x +3|-3; (2)f (x )=1-x 2+x 2-1; (3)f (x )=log 2(1-x 2) |x -2|-2 ; (4)f (x )=? ??? ? x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0. [解] (1)由f (x )=36-x 2 |x +3|-3,可知????? 36-x 2≥0,|x +3|-3≠0?????? -6≤x ≤6, x ≠0且x ≠-6, 故函数f (x )的定 义域为(-6,0)∪(0,6],定义域不关于原点对称,故f (x )为非奇非偶函数.

高中数学_函数的奇偶性教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1.4《函数的奇偶性》 一、教材分析 (一)教材所处的地位和作用 函数的奇偶性是普通高中标准实验教科书数学必修一B版第二章函数的第4小节,函数的奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟知的函数入手,结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称感受奇函数和偶函数的图像特征,从特殊到一般,从具体到抽象,注重信息技术的应用,比较系统地学习函数的奇偶性。从知识结构上,奇偶性既是函数概念的拓展和深化,又是后续研究基本初等函数的基础。起着承上启下的作用。 (二)学情分析 从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单函数的储备。同时,刚刚学习了函数单调性,已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来思考和解决问题. (三)教学目标 基于以上对教材和学生的分析,以及新课标理念,我设计了这样的教学目标: 【知识与技能】 1.理解函数奇偶性的概念和图象特征。 2.能判断一些简单函数的奇偶性。

【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程,提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。通过组织学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质。 (四)教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念及其建立过程,判断函数的奇偶性。 “函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解,但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式,只根据奇偶性的定义检验f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x) 成立即可,而忽视了考虑函数定义域的问题。因此,在介绍奇、偶函数的定义时,一定要揭示定义的隐含条件,从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此,我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解,还特意安排了一道例题,来加强本节课重点问题的讲解。 难点:对函数奇偶性概念理解与认识。 二、教法与学法分析 (一)教法 根据本节教材内容和编排特点,为了更有效地突出重点,突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师为主导,学生为主体,训练为主

函数奇偶性的定义与应用

函数2:函数的奇偶性 【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念,掌握判断函数奇偶性的方法; 【重点难点】 重点:函数的奇偶性的有关概念; 难点:奇偶性的应用 一、函数的奇偶性 1.偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做 偶函数. 2.奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫 做奇函数. 3.判断函数奇偶性的方法: (1)图像法:偶函数的图像关于y 轴对称;奇函数的图像关于原点对称. (2)定义法:○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ②确定f(-x)与f(x)的关系; ○ 3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 4.奇偶函数的简单性质: (1)奇函数:奇函数的图像关于原点对称,其单调性在对称区间内相同,如在[a,b ]上为 增函数,则在[-b ,-a ]上也为增函数. (2)偶函数:奇函数的图像关于y 轴对称,其单调性在对称区间内相反,如在[a,b ]上为 增函数,则在[-b ,-a ]上为减函数. 二、函数奇偶性的应用 1、利用定义判断函数奇偶性 例1(1)x x x f 2)(3+= ; (2)2 432)(x x x f +=; (3)1)(2 3--=x x x x f ; (4)2)(x x f = []2,1-∈x ; (5)x x x f -+-=22)( ; (6)2211)(x x x f -+-=; (7)2211(0)2()11(0)2 x x g x x x ?+>??=??--x 时,()()x x x f -=1,求()x f 在R 上解析式;

2017高考一轮复习教案-函数的奇偶性与周期性

第三节函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性 结合具体函数,了解函数奇偶性与周期性的含义. 知识点一函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0). 3.分段函数奇偶性判定时,利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的. 必记结论 1.函数奇偶性的几个重要结论: (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集. (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.有关对称性的结论: (1)若函数y=f(x+a)为偶函数,则函数y=f(x)关于x=a对称. 若函数y=f(x+a)为奇函数,则函数y=f(x)关于点(a,0)对称. (2)若f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于x=a对称. 若f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)关于点(a,b)对称. [自测练习] 1.函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的奇偶性是( )

函数的奇偶性教学设计优秀

一.教材分析 1 . 教材的地位与作用 内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节; 函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用; 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。 2 . 学情分析 已经学习了函数的单调性,对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称,对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识; 在研究函数的单调性方面,学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识; 高一学生具备一定的观察能力,但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高;

高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机,能自觉配合教师完成教学内容。 二.目的分析 教学目标知识与技能目标: ……理解函数奇偶性的概念 ……能利用定义判断函数的奇偶性 过程与方法目标: ……培养学生的类比,观察,归纳能力 ……渗透数形结合的思想方法,感悟由形象到具体,再 从具体到一般的研究方法 情感态度与价值观目标: ……对数学研究的科学方法有进一步的感受 ……体验数学研究严谨性,感受数学对称美 重点与难点 重点:函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断 难点:函数奇偶性概念的探究与理解 三.教法、学法 教法 借助多媒体和几何画板软件 以引导发现法为主,直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式遵循研究函数性质的三步曲 学法

(完整版)函数的奇偶性教学设计

《函数的奇偶性》教学设计 深圳市第一职业技术学校数学科-----黄美德 课标分析 函数的奇偶性是函数的重要性质,是对函数概念的深化.它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起,反映在图像上为:偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于坐标原点成中心对称.这样,就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析. 教材分析 教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象,概括出了函数奇偶性的准确定义.然后,为深化对概念的理解,举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例.最后,为加强前后联系,从各个角度研究函数的性质,讲清了奇偶性和单调性的联系.这节课的重点是函数奇偶性的定义,难点是根据定义判断函数的奇偶性. 教学目标 1. 通过具体函数,让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论,体验数学概念的建立过程,培养其抽象的概括能力. 教学重难点 1.. 理解、掌握函数奇偶性的定义,奇函数和偶函数图像的特征,并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性. 2. 在经历概念形成的过程中,培养学生归纳、抽象概括能力,体验数学既是抽象的又是具体的. 学生分析 这节内容学生在初中虽没学过,但已经学习过具有奇偶性的具体的函数:正比例函数y =kx,反比例函数,(k≠0),二次函数y=ax2,(a≠0),故可在此基础上,引入奇、偶函数的概念,以便于学生理解.在引入概念时始终结合具体函数的图像,以增加直观性,这样更符合学生的认知规律,同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔.对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析,让学生理解:奇函数、偶函数的定义域是关于原

函数奇偶性与单调性的综合应用 专题

函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语:亲爱的孩子,将来的你一定会感现在拼命努力的自己!】 教学目标:1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质;. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质; 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点:函数单调性的证明;根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么?如何证明一个函数的单调性? 2.函数奇偶性的概念是什么?如何证明一个函数的奇偶性? 3.奇函数在关于原点对称的区间上,其单调性有何特点?偶函数呢? 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性,比较两个或多个函数值的大小; 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f -->0(或<0)”或“)(x xf >0(或<0)”时,往往还是 考察单调性; 3.证明或判断某一函数的单调性; 4.证明或判断某一函数的奇偶性; 5.根据奇偶性与单调性,解某一函数不等式(有时是“)(x f >0(或<0)”时x 的取值围); 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数(参数)的取值围.

二、常用解题方法 1.画简图(草图),利用数形结合; 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化; 3.证明或判断函数的单调性时,有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质,与区间无关; 2.判断函数奇偶性,应首先判断其定义域是否关于原点对称; 3.奇函数若在“0=x ”处有定义,必有“0)0(=f ”; 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质,因题而异; 5.运用单调性解不等式时,应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤: (1) 根据题意在区间上设 ; (2) 比较大小 ; (3) 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤: (1)考察函数的定义域 ; 例1 设)(x f 是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在[0,+∞)上单调递增,若a =)3 1(log 2 f ,b =)2 1 (log 3 f ,c =)2(-f ,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c b a >> B .a c b >> C .b a c >> D .a b c >> 【考点】函数单调性;函数奇偶性,对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3

函数的奇偶性与周期性试题(答案)

函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ,且是奇函数的是( ) A .f(x)=x2+x B .f(x)=tan x C .f(x)=x +sin x D .f(x)=lg 1-x 1+x 2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R ,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A .f(x)g(x)是偶函数 B .|f(x)|g(x)是奇函数 C .f(x)|g(x)|是奇函数 D .|f(x)g(x)|是奇函数 3.(2015·长春调研)已知函数f(x)=x2+x +1x2+1,若f(a)=23 ,则f(-a)=( ) A.23 B .-23 C.43 D .-43 4.已知f(x)在R 上是奇函数,且满足f(x +4)=f(x),当x ∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)等于( ) A .-2 B .2 C .-98 D .98 5.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x ∈[0,2]时,f(x)=x -1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( ) A .(1,3) B .(-1,1) C .(-1,0)∪(1,3) D .(-1,0)∪(0,1) 6.设奇函数f(x)的定义域为R ,最小正周期T =3,若f(1)≥1,f(2)=2a -3a +1 ,则a 的取值范围是( ) A .a<-1或a≥23 B .a<-1 C .-1

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