江苏省句容市第三中学2015届高三数学上学期 三角函数与解三角形 14正弦定理与余弦定理(2)教学案
正弦定理与余弦定理(2)
【教学目标】通过对正弦定理、余弦定理的运用,培养学生解三角形的能力及运算的灵活性.
【教学重点】运用正弦定理、余弦定理及其它的变形等有关公式解三角形. 【教学难点】正弦定理、余弦定理,判断三角形问题. 【教学过程】 一、知识梳理:
1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理:
正弦定理: (其中R 为△ABC 的外接圆的半径).
变式:(1)a =2R sin A ,b = ,c = ;(2)sin A = ,sin B = ,sin C = ; (3)a ∶b ∶c = ;(4)
===C
c
B b A a sin sin sin (等比性质) . 1.余弦定理:22
2____________________________
________________________________________________________
a b
c ===
2.余弦定理的变式:
=A cos ;=B cos ;=C cos .
3.利用余弦定理,我们可以解决以下两类解三角形的问题:
(1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 二、基础自测:
1.在ABC ?中,015,10,60a b A ===,则cos B =________. 2.在ABC ?中,面积22()S a b c =--,则cos A =_________.
3.在ABC ?中,已知sin 2sin cos A B C =,则该三角形的形状为________.
4.在ABC ?中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c
,若222()tan a c b B +-=,则角B 的值为 . 三、典型例题:
例1.在ABC ?中,三个内角分别为,,A B C ,且cos()2cos 3
A A π
-=.
(1)
若cos 3C BC ==,求AC . (2)若(0,)3B π∈,且4
cos()5
A B -=,求B sin .
例2.ABC ?中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知,sin()sin()444
A b C c
B a π
ππ
=
+-+=.
反思:
(1)求证:2
B C π
-=
; (2)若a =ABC ?的面积.
例3.ABC ?中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c B
(1)若1
cos 3
A =,求sin C 的值;(2)若3sin b A C ==,求三角形ABC 的面积.
【变式拓展】已知在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 成等差数列.
(1)若b =7,a +c =13,求此三角形的面积; (2)求3sin A +sin ?
????C -π6的取值范围.
四、课堂反馈:
1.在ABC ?中,若02,4,60a c B ===,则b = .
2.若ABC ?的面积为3,BC =2,C =60°,则边AB 的长度等于________.
3.在ABC ?中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c .c .若a cos A =b sin B ,则sin A cos A +cos 2
B = .
4.已知ABC ?的一个内角为0120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC ?的面积为_________.
五、课后作业: 学生姓名:___________ 1.在ABC ?中,若0
60=A ,3=
a ,则
=++++C
B A c
b a sin sin sin __________.
2.在ABC ?中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c .,已知a ,b ,c 成等比数列,且a 2
-c 2
=ac -bc , 则∠A =________,△ABC 的形状为__________.
3.在ABC ?中,若b =5,∠B =π4,sin A =1
3,则a = .
4.在ABC ?中,若AB =5,AC =5,且cos C =9
10,则BC = .
5.在ABC ?中,∠C =60°,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边,则
a
b +
c +
b
c +a
= .
6.在锐角ABC ?中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c .若b a +a b =6cos C ,则tan C tan A +tan C
tan B
的值是 .
7.在ABC ?中,AC =7,BC =2,B =60°,则BC 边上的高等于 .
8.ABC ?的三个内角,,A B C 所对边分别为,,a b c .,a sin A sin B +b cos 2
A =2a ,则b a
= . 9.设ABC ?的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,且060,3A c b ==.
(1)求c
a
的值; (2)求tan tan B C +的值.
10.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知4
cos 5
A =,5b c =.
(1)求sin C 的值; (2)求sin(2)A C +的值;
(3)若△ABC 的面积3
sin sin 2
S B C =,求a 的值.
11.设ABC ?的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c
,且222333b c a +-=.
(1)求sin A 的值; (2)求
2sin()sin()
441cos2A B C A
ππ
+++-的值.
12.如图,现有一块半径为2m ,圆心角为090的扇形铁皮AOB ,欲从其中裁剪出一块内接五边形
ONPQR ,使点P 在AB 弧上,点MN 别在半径OA 和OB 上,四边形PMON 是矩形,点Q 在弧AP 上,R 点在线段AM 上,四边形PQRM 是直角梯形.现有如下裁剪方案:先使矩形PMON 的面积达到最大,在此前提下,再使直角梯形PQRM 的面积也达到最大.(1)设BOP θ∠=,当矩形PMON 的面积最大时,求θ的值;(2)求按这种裁剪方法的原材料利用率.
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1.函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ,求导数,利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? , 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?, 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈,() 32 61g t t t =--+为减函数,且102g ??= ??? , 所以当03 x π <<时, ()1 1,02 t g t <<<,从而()'0f x <; 当 3 2 x π π << 时,()1 0,02 t g t << >,从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选:A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换,利用导数求函数的最小值,换元法,属于中档题. 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足,222b c a bc +-=,
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
高中数学三角函数基础知识点及答案
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z , 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 弧度:一周的弧度数为2πr/r=2π,360°角=2π弧度,因此,1弧度约为57.3°,即57°17'44.806'', 1°为π/180弧度,近似值为0.01745弧度,周角为2π弧度,平角(即180°角)为π弧度, 直角为π/2弧度。(答:25-;5 36 π- ) (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈; α终边在y 轴上的角可表示为:,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称,则α=____________。 (答:Z k k ∈+ ,3 2π π) 4、α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角,则2 α 是第_____象限角 (答:一、三) 5.弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22 S lR R α==,1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。 (答:22cm ) 6、任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是220r x y =+>,那么 s i n ,c o s y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec r x α=()0x ≠, ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。
高三数学 三角函数专题训练(含解析)
三角函数专题训练 19.(本小题满分12分) 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、,设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且, (Ⅰ)若sin sin A B +=6,求A ; (Ⅱ)若ABC ?的外接圆半径为1,且,abx a b =+试确定x 的取值范围. 17.(本小题共12分) 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示. (I )求函数()f x 的解析式; (II )在△ABC 中,角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围.
17.(本小题满分12分)已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==.记()n m x f ?= (I )若32f ()α=,求23 cos()πα-的值; (Ⅱ)在?ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且满足 ()2cos cos a c B b C -=,若13f (A )+= ,试判断?ABC 的形状. 17、海岛B 上有一座高为10米的塔,塔顶的一个观测站A ,上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上,且俯角为30°的C 处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上,且俯角45°的D 处。(假设游船匀速行驶) (1)求该船行使的速度(单位:米/分钟)(5分) (2)又经过一段时间后,游船到达海岛B 的正西方向E 处,问此时游船距离海岛B 多远。(7分) 19.解:因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且, 所以cos cos a A b B =,-------------------------------------------1分 由正弦定理,得sin cos sin cos A A B B =,
高中数学解三角形和平面向量
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角:{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角:{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角: {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号 三角函数大题压轴题练习 1.已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解:(1) ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ (2) 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增,在区间[,]32 ππ 上单调 递减, 所以 当3 x π= 时,()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=,当12 x π =-时,()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2.已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? (0ω>)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03 ?????? ,上的取值范围. 解:(Ⅰ)1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?. 因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以 2π π2ω =,解得1ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?. 因为2π03 x ≤≤, 所以ππ7π2666 x --≤≤, 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤, 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤,即()f x 的取值范围为302?????? ,. 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-,m ·n =1,且A 为锐角. (Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解:(Ⅰ) 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = (Ⅱ) 由(Ⅰ)知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ,所以[]sin 1,1x ∈-,因此,当1sin 2x =时,f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时,()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ,最新上海高中数学三角函数大题压轴题练习
高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例