2019-2020学年(新课标)高三数学一轮复习 第6篇 均值不等式学案 理
2019-2020学年(新课标)高三数学一轮复习 第6篇 均值不等式学案 理
1.利用均值不等式证明其他不等式
2.利用均值不等式求最值
1.几个重要不等式：
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈??
? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“相等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：
b
a 11
2
+2
a b
+≤≤≤2
2
2b a +。 2、函数()(0)b
f x ax a b x
=+
>、图象及性质 (1)函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；
②单调递增区间：(,-∞
，)+∞；
单调递减区间：(0,
，[0)
1.已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则14
y a b
=
+的最小值是（ ） A ．7
2
B ．4
C ． 9
2
D ．5
2.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A ．22
2a b ab +> B
．a b +≥C ．
11a b +>．2b a a b +≥
]
课堂探究案
考点1 利用基本不等式、均值不等式求最值
【典例1】 (1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1
y
的最小值为________；
(2)当x ＞0时， f (x )＝2x
x 2
＋1
的最大值为________．
【变式1】(1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋
1
x －1
的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25
，则y ＝2x －5x 2
的最大值为________．
【变式2】已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n + 的最小值是 .
考点2 利用基本不等式、均值不等式证明不等式 【典例2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c .
【变式3】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1
c
≥9.
考点3 解决恒成立问题 【典例3】若对任意x ＞0，
x
x 2
＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
【变式4】已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．
1.【2012高考浙江文9】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A.
245 B. 285
C.5
D.6 2. 【2012高考陕西文10】小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a
2a b + D.v=2
a b
+ 3．【（2012年高考福建理】下列不等式一定成立的是（ ）
A ．2
1
lg()lg (0)4
x x x +>> B ．1
sin 2(,)sin x x k k Z x
π+≥≠∈ C ．2
12||()x x x R +≥∈
D ．
2
1
1()1
x R x >∈+ 4. 若实数b a ,满足2=+b a ，则b
a 33+的最小值是( )
(A)18 (B)6 (C)32 (D)432 5.y x x x R =
++∈22
54
()的最小值为 。
6.已知+
∈R y x ,且
14
1=+y
x ， y x u +=的最小值为 .
7.求函数()()
y x x x
=
++49的极值为 。
8.若+∈R y x ,,且12=+y x ，则y
x 1
1+的最小值为 .
9.若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,22++中最大的是 . 10.设1x >-，求函数()()521
x x y x ++=+的最小值。
课后拓展案
组全员必做题
1．“a ＞b ＞0”是“ab ＜
a 2＋
b 2
2
”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知f (x )＝x ＋1
x
－2(x ＜0)，则f (x )有 ( )
A ．最大值为0
B ．最小值为0
C ．最大值为－4
D ．最小值为－4
3．若0＜x ＜1，则f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为 ( ) A.1
3
B.12
C.3
4
D.2
3
4．有一个面积为1 m 2
，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理(够用且最省)的是 ( )
A ．4.7 m
B ．4.8 m
C ．4.9 m
D ．5 m
5．已知不等式(x ＋y )? ??
??1x ＋a y ≥9，对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 取最小值为 ( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
6、已知28
,,0,
1x y x y
>+=，则xy 的最小值为________。 7．函数y ＝
x 2
x 4＋9
(x ≠0)的最大值为________，此时x 的值为____．
组提高选做题
1．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2
n
的最小值为______．
2．西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算
年销售量S (万双)与广告费x (万元)之间的函数关系为S ＝3－1
x
(x ＞0)．已知羊皮手套的固定投入为3万元，
每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元．(年销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费的50%)
(1)试将羊皮手套的年利润L (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；
(2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？
参考答案
1.C
2.D
【典例1】（1）3+（2）1 【变式1】（1）3；（2）
1
5
【变式2】7
【典例2】证明：∵0a >，0b >，0c >，
∴
2bc ac c a b +≥=，同理2bc ab b a c +
≥，2ac ab a b c +≥． ∴2()2()bc ac ab
a b c a b c ++≥++， ∴bc ac ab a b c a b c
++≥++．当且仅当a b c ==时等号成立． 【变式3】证明：∵1a b c ++=， ∴1113b a c a c b a b c a b a c b c ++=++++++32229≥+++=．当且仅当1
3
a b c ===时等号成立． 【典例3】1
5
a ≥
【变式4】10
1.C
2.A
3.C
4.B
5.
5
2
6.9
7.25，1
8.3+9.a b +
10.解：(5)(2)1x x y x ++=+27101x x x ++=+2(1)5(1)41
x x x ++++=
+4
(1)51x x =++++9≥， 当且仅当4
11
x x +=+，即1x =时取等号．
组全员必做题
1.A
2.C
3.D
4.C
5.B
6.64
7.1
6
；
组提高选做题
1.8
2.解：（1）由题意，羊皮手套成本为(163)S +万元，年销售收入为(163)150%50%S x +?+?， 年利润为(163)150%50%(163)L S x S x =+?+?-+-1
(163)2
S x =
+-． 又13S x =-，∴25116
2x x L x
-+-=
(0)x >． （2）由251162x x L x -+-=
518
()22x x =-+5142≤-21.5=， 当且仅当8
2x x
=，即4x =时，L 有最大值21.5． ∴当广告费投入为4万元时，年利润最大为21.5万元．
均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题 一、选择题 1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ） A ．x 2+1≥x B ．11 2+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ） Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．2 10 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ） Ａ．（a+b ）(b a 1 1+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋ x 1 ≥2 D ．当0
均值不等式练习题.doc
利用均值不等式求最值的方法 均值不等式a b ab a b +≥>>2 00(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当04<
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
2020高考理科数学不等式问题的题型与方法
专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络
其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，
高中数学竞赛均值不等式讲义
均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.
高中数学基本不等式题型总结
专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 .
【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 .
【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .
高一数学必修 不等式知识点总结
不等式 一、基本不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③ a b a c b c >?+>+；④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >；⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >． 3、设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．4、均值不等式定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即 2a b ab +≥．5、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +??≤>> ???；④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ．6、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ． 例：（13-14耀华7）若2-m 与|m |-3异号，则m 的取值范围是 A、m >3 B、-3
2014届高考数学一轮复习方案 第36讲 均值不等式课时作业 新人教B版
课时作业(三十六) [第36讲 均值不等式] (时间：45分钟 分值：100分) 基础热身 1．[教材改编试题] 函数y ＝x ＋1 x (x <0)的值域为( ) A ．(－∞，－2] B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．若M ＝a 2＋4 a (a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( ) A ． (－∞，－4]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4] C ．[4，＋∞) D ．[－4，4] 3．[2012·济南外国语学校质检] 已知x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则1x ＋1 3y 的最小值是( ) A ．2 2 B ．2 C ．4 D ．4 2 4．已知a >0，b >0，且a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 能力提升 5．[2012·锦州月考] 已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2 cd 的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 6．[2012·郑州预测] 若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6 7．[2012·黄冈中学调研] 已知二次不等式ax 2 ＋2x ＋b >0的解集为?????? x ? ??x ≠－1a 且a >b ，则a 2＋b 2 a －b 的最小值为( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 8．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2 ＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞) C ．(－2，4) D ．(－4，2) 9．[2012·浙江卷] 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A. 245 B.285 C ．5 D ．6 10．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 11．[2012·天津一中月考] 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 12．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________． 13．[2012·武汉部分重点中学联考] 一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达 B 市，已知两地铁路路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于? ?? ??v 202 km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________ h(不计货车的车身长)． 14．(10分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2 ＋y 2 ＋2)(x 2 ＋y 2 －1)－18≤0. (1)求x 2 ＋y 2 的取值范围； (2)求证：xy ≤2. 15．(13分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2 x ＋y ， 并指出等号成立的条件； (2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ? ???? x ∈? ????0，12的最小值，并指出取最小值时x 的值．
高三数学不等式选讲 知识点和练习
不等式选讲 一、绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|≤|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 （2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。 定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 2．绝对值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差） （2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。
第41讲--基本(均值)不等式
第41讲 基本(均值)不等式 夯实基础 【p 87】 【学习目标】 1．了解基本(均值)不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【基础检测】 1．若函数f(x)＝x ＋1 x －2 (x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 2．若a>0，b>0，且1 4 a ＋4 b ＝1，则ab 的最大值为______________． 3．若a>0，则a ＋8 2a ＋1 的最小值为__________． 4．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝????x ＋1x ??? ?y ＋1 y 的最小值为________．
【知识要点】 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥ __2ab__(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥__2__(a ，b 同号)； (3)ab ≤ ????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4) ????a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0， (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4 (简记：和定积最大)．
【经典】高三数学基本不等式题型精讲精练
基本不等式 基本不等式知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2．（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等） 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232x y =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．4 （4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c b a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2 ，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 技巧二 凑系数 例2 当40< VIP 免费 欢迎下载 学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语： 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求 x 1+y 1的最小值. 点拨：∵x 、y 为正数，且x +2y =1， 日期： 2012- 时间： ∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22， 当且仅当 x y 2=y x ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. （2）注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨： 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104 xy <≤相矛盾。 解析：z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 不等式的解题归纳第一部分含参数不等式的解法 例1解关于x的不等式2x2? kx _ k岂0 例2 .解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0. 2x2+2k x +k 例3、若不等式2x 2 2kx 1 :::1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围. 4x +6x +3 例4若不等式ax2+bx+1>0的解集为｛x | -3 1. (2010年高考福建卷)已知函数f(x) = |x —a|. (1)若不等式f(x)w 3的解集为｛x|—K x< 5｝，求实数a的值； ⑵在(1)的条件下，若f(x) + f(x+ 5)> m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 2. 设函数f (x) =|x-1| |x-a|, (1 )若a = -1，解不等式f(x)_3 ；(2)如果- x R , f(x) —2，求a的取值范围 3. 设有关于x的不等式lg(j x + 3+|x-7?a 均值不等式知识点: 二、习题讲解： 例1： (1)求y = x+Z(x>O)的最小值 (2)求y = x + 2(x ≥ 2)的最小值 X (3)己知x>2,求y = x+ —的最小值x-2 变式训练： 4 1.已知x>o,求y = 2- X -一的最大值 X 2.当x>-l时，求f(x)= x+ —的最小值 x + 1 3?已知xv-?求函数y=4x-2+—-一的最上值 4 4x-5 4?己知JU b. c ∈ R ?求证：a2 +b2 + c2≥ ab+bc+ ac y= 2-3x--(x>0)的最大值是2-4石 5?X 6.y = ZxH—-—,x>3 x-3 7.y = 2sinx÷-—,xu(O,τr) Sin X 例2： (1)已知OVXV丄，求y =ZX(I-2x)的最衣值 2 2 (2)已知：a、b都是正数，Ka + b = l, α=a÷i, β = b+-f求a+β的最小值a b 变式训练： 1.己知OVXV 求函数y =x(l - 3x)的最大值 2.当0 Cx <4时，求y =χ(8 - 2x)的最人值。 3.设0 2.设x ∈f θ,-1,则函数y = 2血x + 1的最小值为 2 丿 sin2x 5 Z X Y - — 4x+ S 3.己知Xnz 则f(x)=-~~ 的最小值 2 2x-4 y=手宀的最小值是 4. √X 2 + 2 IK X 2 + 7x+10 “ 一… 求y= (x>-l)的值域。 χ- + 5 6求函数y =-==的值域。 7?设x ，y,z 为正实数.且满足x-2y+3z = 0 ?则的最小值 例 4：己知a,b,cwR+,且a + b+c = l?求证：丄 + —+ - ≥9 变式训练： 1 4 1.己知a >0,b >0,a +b= 2 >则y = — +二的最小值是 2正数x 5y 满足X +2y = l,求l∕x+l∕ y 的最小值。 例3：求函数y = X - +3x+3 x+1 (x>-l)的1?小值 变式训 练: 2014届高三数学第二轮复习 第3讲 不等式 一、本章知识结构： 实数的性质 二、高考要求 （1）理解不等式的性质及其证明。 （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。 （3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 （4）掌握某些简单不等式的解法。 （5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析 1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注. 2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点. 3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点. 4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识. 不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点： （1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。 基本不等式 知识点： 1.基本不等式：ab b a ≥+2 ，（▼使用条件：b a ,正数、当且仅当时取“=”）。 例题讲解： ▼▼例1、（只含有一个字母）：22)1(x x y +=的最小值为. 练习1、当0 ▼▼例4、求)0(452>++=x x x x y 的值域。 练习7、求函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. 例5、（换元法）： 求的值域。 例6、（凑常数）：已知，则函数的最大值为. 练习8、求函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. 例7、（凑系数）：当40< 高三复习专题：不等式证明 [设计思路] 从近几年的高考试题来看，有关不等式的试题基本上都是一道选择题或填空题和一道解答题，解答题一般是解不等式和证明不等式，纯粹本单元的试题分值逐渐减少，但在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的知识，在综合题的解题过程中处处分布着不等式的知识、方法和技巧，理科平均约9%，文科约7%。 证明不等式是理科考查的重点，不等式证明题历来难度大，区分度高，综合性强，创新不断，学生平时练习题与试题差距较大，所以教学时一方面要重视对基础知识、基本方法的复习，另一方面更要注重证明方法中蕴含的思想方法、技巧、技能在其他章节知识中的应用，强调知识的综合和知识的内在联系。 [历年高考试题回顾] [重点] 不等式证明方法的基本思想方法。 [难点] 不等式证明方法的综合应用。 [课时安排] 第一课时重在复习巩固几种常见的证明方法 第二课时重在培养学生的综合应用能力 [例题设计] 第一课时 揭示主题:这节课我们一起来复习不等式的证明方法, 不等式证明的常用方法有哪些? 不等式证明的方法有比较法,分析法,综合法,放缩法,反证法,换元法等等. 提出问题： 例1 已知在a，b，c∈R+，求证a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2≥6abc 学生活动：学生自主思考、分析、回忆、后讨论，最终解决问题。 解法1：比较法 a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2-6abc =a2b-2abc+bc2+ab2-2abc+ac2+a2c-2abc+b2c =b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 2 a，b，c∈R+ 且(a-c) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-b) 2≥0}→b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 2≥0 从而a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2≥6abc [知识总结] 比较法包括作差比较法和作商比较法两种,作差比较法是重中之重. 不等式的解题归纳 第一部分 含参数不等式的解法 例1解关于x 的不等式022 ≤-+k kx x 例2．解关于x 的不等式：(x-2 x +12)(x+a)<0. 例3、若不等式13 64222 2<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3 【课堂练习】 1、已知(2a -1) 2 x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 2、解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x 3、解关于x 的不等式：.012 <-+ax ax 【课后练习】 1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥2 1 (x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是 2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是 3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2 x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围 4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2α ＋2 β关于k 的解析式，并求y 的取值范围 第二部分 绝对值不等式 1．(2010年高考福建卷)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）基本(均值不等式)不等式知识点基础练习
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