直线方程及其应用
直线方程及其应用
一. 教学内容：
直线方程及其应用
【教学要求】
1. 理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练求出直线方程。
2. 掌握两直线平行、垂直的条件；掌握两条直线所成角的公式和点到直线的距离公式。
3. 了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单应用。
二. 知识串讲： （一）基本公式 1. 有向线段
设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）
()
（）则向量，（或与平行的向量）称为直线
112212112P P x x y y P P →=--→
P P 12的方向向量。
（）两点间距离公式。21212212212
||||()()P P P P x x y y =→=-+-?→? （）是直线上不同于，的任意一点，若存在实数，使3P P
P P P 1212λ P P PP P P P P 1212→=→→
λλ，则叫做点分有向线段所成的比，点叫定比分点。
λλ=→→≠-P P PP 12
1()
P 1 P P 2 P 1 P 2 P P P 1 P 2
P 为内分点，λ＞0；P 为外分点，λ＜0。
定比分点公式：x x x y y y =++=++??
??
???≠-12
12111λλλλλ()
中点坐标公式：x x x y y y =+=+??
?????12122
2
例如：设△ABC ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）
（）为重心，则13
3123123
G ABC x x x x y y y y G G ?=++=++?
?
?????
A
E
G
B D F C
（）为∠平分线，则2AF BAC BF FC AB AC λ=
=
||
||
2. 直线l 的倾斜角α（直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角）
)
0≤<απ
斜率k =≠
tan ()ααπ
2
k y y x x x x =
--≠21
21
12()
若，时，tan arctan αα=>=m m m 0 m m <=-0时，απarctan||
（二）直线方程 1. 直线方程： （1）点斜式： y －y 0＝k （x －x 0）（已知：点P 0（x 0，y 0），斜率k ） （2）斜截式： y ＝kx ＋b （已知：斜率k 及纵截距b ）
（3）两点式：
y y y y x x x x x x y y P x y P x y --=--≠≠1211
21
1212111222()()()，（已知：两点，，，）
（4）截距式：
x a y
b a b +=1（已知：，是横、纵截距）
（5）一般式： Ax ＋By ＋C ＝0（A 、B 不同时为0） 2. 两条直线的位置关系：
设：：或l l 11122211122200y k x b y k x b A x B y C A x B y C =+=+?????++=++=???
（）∥（）
12
12121212k k b b =≠?≠
(),l l ααπ
A A
B B C
C 121212
12
=≠?l l ∥
（）·⊥（，存在）21121212k k k k =-?l l A A B B 1212120··⊥+=?l l
（）若的方向向量是，的方向向量是，则3l l 12a b →
→
l l 12∥?=∈→→
a b R λλ()
l l 120⊥·?=→
→
a b
（）
与相交，解方程组求交点坐标。4121
2
12A A B B ≠?l l
（5）夹角θ：按逆时针方向从l 1转到l 2所成的角，叫做l 1到l 2的角。
0180
≤<θ
两条直线相交所成的锐角或直角，叫做两条直线的夹角θ。
090 ≤≤θ
l 2
θ' l 1
θ
当∥，或重合时，l l 120θ=
l l k k k k 1221
12
1到的到角公式：·（有方向）
tan θ=
-+
夹角公式：（无方向）
tan |
|θ=-+k k k k 21
12
1
3. 点到直线的距离公式：
P （x 0，y 0）是已知点，l ：Ax ＋By ＋C ＝0是已知直线，则
d Ax By C A B =
+++||
0022
4. 对称点：
（）点、关于点对称是中点1A B C C AB ?
（）点、关于直线对称⊥的中点在上2A B l AB l
AB l ???
???
?=-?????k k AB l AB l ·中点坐标满足直线的方程1
5. 直线系方程：
（1）过定点（x 1，y 1）的直线系方程：
A x x
B y y A B ()()-+-=1100（、不同时为） （2）平行于直线Ax ＋By ＋
C ＝0的直线系方程： Ax By C C ++=110（为任意实数）
（3）垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程： Bx Ay C C -+=220（为任意实数）
（）过两直线：和：交点的直线4l A x B y C l A x B y C 1111222200++=++= 系方程：
A x
B y
C A x B y C l 11122220+++++=λλ()（不包含方程）（为任意实数）
（三）简单的线性规划
1. 二元一次不等式表示平面区域 一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域。
只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0，y 0）从Ax 0＋By 0＋C 的正、负即可判断Ax ＋By ＋C ＞0表示直线哪一侧的区域。（若C ≠0时，可取原点（0，0））
不含边界线，包含边界线。
00
++>++≥
Ax By C Ax By C
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
2. 线性规划：
I. 基本概念：
（1）线性约束条件：
由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x，y的约束条件。
（2）目标函数：
222
=+=+
x y z x y z x y
关于，的解析式，如：，
线性目标函数：关于x，y的一次解析式。
（3）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。
（4）可行域：所有可行解组成的集合。
（5）最优解：使目标函数达到最值的可行解。
（6）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大（小）值问题。
II. 用图解法解线性规划的步骤：
（1）分析并将已知数据列出表格；
（2）确定约束条件；
（3）确定线性目标函数；
（4）画出可行域；
（5）利用线性目标函数，求出最优解；
（6）实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解。
例如：已知动点（x，y）所在区域是如图所示的阴影部分（包括边界），则目标函数z ＝x＋2y的最小值和最大值分别为_____________。
解：作直线x ＋2y ＝0 平移此直线经过第一个点是（1，0） 此时z min =1
再往上平移到最后一点为（4，4） 此时z max =12
【典型例题】
例1. 直线·的倾斜角的取值范围是（）x y cos α++=10
A B ..-??????
??????
π
ππ
π4
44
34，，
C D ..0434022，∪，，∪，ππππππ??
????????
??
??
??
???? ?
??
解析：设，∵k =--≤-≤cos cos αα11
∴-≤≤11k
设直线倾斜角为，则θθ-≤≤11tan
x
[
)又，θπ
∈0
如图知：，∪，θπππ∈??????????
??
0434 ∴选C
例
2.
若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线l y kx x y =-+-=32360
l 的倾斜角的取值范围是
解析1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得斜率的范围，进而得到倾斜角的范围。 解析2：如图，直线过点（，），（，）23603002x y A B +-=
直线必过点（，）l C 03-
y
B
l
O A x
C
当过点时，两直线交点在轴上l A x
当绕点逆时针旋转时，交点进入第一象限l C
k CA ==
=tan ααπ00336，∴
∴，απ
π∈?? ???
62
例3. 一条直线经过点P （2，3），并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线x －4y ＋3＝0的倾斜角的2倍。
（2）与x ，y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小。 解：（1）设所求直线的倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则
θαα==
21
4，且tan
且t a n t a n t a n t a n θααα==
-=2218
152
故所求直线的方程为：y x -=-38
152()
即81560x y -+=
()
（）设直线方程为
，代入点，的坐标，得：2x a y
b P +=123
23126
24a b ab ab ＋，得：=≥≥
从而S ab AOB ?=
≥1
212
当且仅当，∴233
2a b k b a ==-=-
∴所求直线方程为：y x -=--33
22()
即为32120x y +-=
例4.
如图，为正三角形，边、上各一点、，且，?ABC BC AC D E BD BC =1
3
CE CA AD BE P AP CP =
1
3，、交于。求证：⊥。
y A
E P B
O D C x
证明一：以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。
取|BC|为单位长1，则各点坐标为：
()()
B C A D 00101232130，，，，，，?? ????? ?
??
,
由题意：，设（，），则AE EC E x y →=→
2
x y =+?+==+?+=
122112563220
1236，
∴，E 56
36?? ???
直线的方程为：AD y x =-?
? ??
?
<>
33131
直线的方程为：BE y x =
<>
35
2
联立、，解得：，<><>==125143
14x y
∴点的坐标为，P 514314?? ?
??
∴k PC =-
3
9
∴·k k AP PC
=?-?? ?
??=-33391
∴AP ⊥CP 证明二：以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，过D 作DF ∥BE 交AC 于F 点，取|BC|为单位长1，则
EF EC AE AE =
=?=13131216
∴PD AP =
16
∴AP AD
→=→67
()
又，，，，，D A C 130123210
?? ?
???? ???
AD CA →=--?? ???→=-?? ???
16321232，，，
∴，AP AD →=→=--?? ?
??
6717
337
CP CA AP →=→+→=-?? ???
914314，
由·CP AD →→
=0 ∴AP ⊥CP 说明：数形结合强调的是将代数问题几何化，而解析法则是通过坐标系将几何问题代数化。
例5. 已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，求过点
（，）与，垂直并且被，截得的弦长为的直线方程。m n l l l l 12125
解：
∵∥，∴
l l m m n 12281=≠-
∴或m n m n =≠-???=-≠??
?4242
（）当时，：144801m l x y n =++=
l x y 22410：+-=
在上取一点，，则点到的距离为l P P l 211205
?? ?
??
即
41
28048
5
2
2
?+?++=n
∴n +=220
∴或n n ==-1822
∴或m n m n ==???==-???418422
又，∴所求直线的斜率为k k l 11
22
=-=
()()∴所求直线方程为：或y x y x -=-+=-18242224
即或21002300x y x y -+=--=
（）当时，：244801m l x y n =--++=
l x y 22410：--=
在上取一点，，则点到的距离为l P P l 21111205
?? ?
??
()
即
-?+?+-+=41
2
8048
5
2
2
n
∴n -=220
∴或n n ==-2218 ∴或m n m n =-=???=-=-???422418
∴所求直线方程为或22602140x y x y ++=+-=
例6. 求直线：关于直线：对称的直线的方程l x y l x y l 122403410+-=+-=
解：由解得：与的交点（，－）且点也在上
24034103212x y x y l l A A l +-=+-=???
解法1：在直线l 1上取一点B （2，0），设点B 关于直线l 的对称点C 的坐标为C （x 0，y 0）
则有·中点在上k k BC l BC l =-??
?1 即···y x x y 00
000
234132240210---=-+++-=????
???()
解得即（，－）
x y C 004585458
5
==-??
?????
∴-----=--
直线的方程：
l y x 22285334
5()()
即211160x y ++=
y
O x
l 2 l
l 1
解法2：设的斜率为，又知的斜率为，直线的斜率为，则（由l k l l 2123
4--
到角公式）：
－
·34213423
4134--+--=--+-()()()()()
k k
解得：k =-
2
11 ∴--=--l y x 222
113的方程：()()
即211160x y ++=
例7. 直线交，轴于，两点2360x y x y A B +-= （）试在直线上求一点，使最小；1111y x P P A P B =-+
（）在求一点，使最大，并求出两最值及的值。222212y x P P A P B P P =-
解：直线：与，轴的交点分别是（，），（，）l x y x y A B 23603002+-=
()（）作点关于直线的对称点，则，120B y x B B =--''
连即轴交于点（，）即为点AB x y x P '=-001 （由三角形两边之和大于第三边）
P B P A P B P A B A 1111+=+≥''
∴当为直线与的交点时，最小P AB y x P B P A 111'=-+
()最小值为B A '=--=325
()（）作点关于直线的对称点，则，220B y x B B =""
∵||"P B P B 22=
∴P A P B P A P B AB 2222321-=-≤=-=""
（由三角形两边之差小于第三边）
当且仅当，，共线（又在上）P B A P y x 22"=
即为直线（即轴）与交点于（，）时，最大，P B A x y x P A P B 22200"=-
且为1。
∴，重合于原点，P P P P 12120=
注：
（1）
B
作关于对称点，连交于，则最小。A l A A B l P PA PB ''+
l
A B l B l B AB l P PA PB 、在异侧时，作关于对称点，连交于，则最大，''-
且为AB '
例8. 若直线按向量平移到直线，那么（）y x a y x a ==+→
→
226
A. 只能是（-3，0）
B. 只能是（0，6）
C. 只能是（-3，0）或（0，6）
D. 有无数个
解析：()本题若用配凑法，y x x =+=+2623
则平移向量为（-3，0），就可能误选A 。
()事实上，设，，则，即a h k x x h y y k x x h
y y k →
==+=+???=-=-??
?''''
代入得：y x y k x h =-=-222'' 即y x k h ''=+-22 ∴y x k h =+-22 ∴k h -=26
显然（h ，k ）不唯一确定
∴选D
例9. 画出不等式组表示的平面区域。
x y x y x -+>++≥<-≤???
??210210123||
解：不等式表示直线右下方的点的集合x y x y -+>-+=210210 不等式表示直线上及其右上方的点的集合x y x y ++≥++=210210 不等式，即或1231135<-≤-≤<<≤x x x
它表示夹在两平行线和之间或在两平行直线和之间的x x x x =-===1135
带状区域，但不包括直线x ＝1和x ＝3上的点。
所以，原不等式组表示的区域如图所示：
例10. 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15t ，已知生产甲产品1t ，需煤9t ，电力4kW ·h ，劳动力3个；生产乙产品1t 需煤4t ，电力5kW ·h ，劳动力10个。甲产品每1t 利润7万元，乙产品每1t 利润12万元，但每天用煤不超过300t ，电力不超过200kW ·h ，劳动力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？
分析：将已知数据列成表：
解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，利润总额为z 万元
那么，z x y =+712
94300452003103001515x y x y x y x y +≤+≤+≤≥≥??
?????，
如图作出可行域，作出一组平行直线7x ＋12y ＝m （m 为参数）中，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线，此直线过4x ＋5y ＝200和3x ＋10y ＝300的交点A （20，24），即生产甲、乙两种产品分别为20t 、24t 时，利润总额最大， z max =?+?=7201224428（万元）
【模拟试题】
一. 选择题。
1. 直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则（ ） A. k ·sin α>0 B. k ·cos α>0 C. k ·sin α≤0
D. k ·cos α≤0
2. 经过点（10，-4）且倾斜角的余弦值为-
5
13的直线方程是（ ）
A. 1251000x y +-=
B. 52580x y --=
C. 61380x y +-=
D. 1351100x y +-=
3. 直线l 过点P （1，2）且与两坐标轴围成等腰三角形，则l 的方程为（ ） A. x y ++=10 B. x y -+=10或x y +-=30 C. x y +-=30
D. x y --=30或x y ++=10
4. 已知两条直线l y x l ax y 120：，：=-=，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在
012，π?? ???内变动时，a 的取值范围是（ ）
A. ()
01，
B. 333，??
?
??
C. ()
33113，∪，?? ?
??
D.
()13，
5. 点A （4，5）关于直线l 的对称点为(
)
B -27，，则l 的方程为（ ） A. 330x y ++= B. 330x y -+=
C. x y ++=330
D. x y -+=330
6. 在约束条件3515
521000
x y x y x y +≤+≤≥≥???
??，下，目标函数z x y =+53（ ）
A. z z max min ==30，
B. z z max min ==50，
C.
z z max min =
=235
190，
D. z z max min ==52，
二. 填空题。
7. 从M （2，2）射出一条光线，经过x 轴反射后过点N （-8，3），则反射点P 的坐标为__________。
8. 已知过点
(
)P -31
，及Q （0，b ）的直线的倾斜角介于120°与150°之间，则b 的
取值范围是______________。
9. 如果直线ax y ++=220与直线320x y --=平行，那么系数a 等于__________。 10. 如果直线ax y ++=210与直线x y +-=20互相垂直，那么a 的值为________。 11. 直线l 过点（2，1），且原点到l 的距离是1，则l 的方程是________________。
三. 解答题。
12. 如图，已知△ABC 的三边方程分别为AB x y ：43100-+=，BC ：y -=20，CA ：
3450x y --=，求：
（1）∠B 的大小；
（2）∠BAC 的内角平分线所在直线的方程；
（3）AB 边上的高所在直线的方程。
y
2
1
O 1 2 x
A
B C
13. 若一直线被直线460x y ++=和3560x y --=截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程。
14. 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行。
【试题答案】
一. 选择题。 1. B 2. A
3. B
4. C
提示：直线l 1的倾斜角为π
4
依题意l 2的倾斜角的取值范围为
ππ
ππππ41244412-?? ???+?? ???，∪，
即π
πππ6
443，∪，?? ????? ???
从而l 的斜率k 2的取值范围为()
33113，∪，?? ?
??
y
y=x
l 1
O x
答：选C 。 5. B 6. C 二. 填空题。 7. ()
-20， 8. -<<20b
提示：
∵k b PQ =
-13
由题意…
tan tan 120131503133
3?<
-
9. -6 10. -2
11. y -=10或4350x y --= 三. 解答题。
12. 解：（1）由已知得：
k k AB BC =
=4
30，
∠B 是直线BA 到BC 的角
∴·∴∠tan arctan
B k k k k B B
C BA
BC BA
=
-+=
-
+?
=-
=-1043
1043
43
43
π
（2）设()
P x y ，为∠BAC 平分线上任意一点，则
()
()4310
43345342
22
x y x y -++-=
--+-2
解得：7750x y -+=或x y ++=150
（一条为∠BAC 内角平分线，另一条为外角平分线）
由图形知7750x y -+=即为所求。
（3）先求出BC 与AC 的交点C 1332，?? ?
??，k AB =4
3
∴AB 边上的高线的斜率为-
3
4
∴y x -=--?? ?
??
234133，即34210x y +-=
13. 由于两已知直线在y 轴上的截距不是互为相反数，故所求直线不是y 轴，设所求直线
方程为y kx =，由y kx x y =++=??
?460得交点为
A k k k -+-+?
? ???6464，
因为A 点关于原点对称点
A k k k '6
464++?? ???，在直线3560x y --=上 代入，得
k =-
1
6
故所求直线的方程为x y +=60
14. 解：设桌、椅分别买x 、y 张，把所给的条件表示成x ，y 的不等式组为
直线方程的应用(习题及答案)
2 2 2 2 2 ? 例题示范 扫一扫 对答案 直线方程的应用（习题） 例 1：若过点 A (4，0)的直线 l 与圆(x -2)2+y 2=1 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ． 思路分析： 根据圆的标准方程，画出符合题意的图形．直线与圆有公共点， 说明直线与圆的位置关系为相切或相交，其中相切为临界状态． 计算直线与圆相切时直线的斜率： 如图，设圆心为点 B ，直线 AM ，AN 分别与圆相切于点 M ，N ， 则 BM ⊥AM ，BN ⊥AN ，且 BM =BN =1，AB =2， 所以∠MAB =∠NAB =30°， 进而可得k AM = - 3 ，k = 3 ， 3 AN 3 结合图形易得直线 l 的斜率的取值范围是[- 3 ， 3 ] ． 3 3 例 2：在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2+y 2-4x =0．若直线 l ：y =k (x +1)上存在一点 P ，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是 ． 思路分析： 由题意，圆 C ：(x -2)2+y 2=4，圆心 C (2，0)，半径 r =2． ∵过点 P 的两条切线相互垂直， ∴过点 P ，C 以及两切点组成的四边形是正方形， ∴对角线 PC = 2r = 2 ， 即 l 上存在一点到圆心的距离等于2 ， ∴圆心 C 到直线 l ：kx -y +k =0 的距离小于或等于2 ， 2k + k 即 ≤ 2 ， k 2 +1 解得-2 ≤ k ≤ 2 ． 2
1
3 ? 巩固练习 1. 若直线l ：y = kx - 与直线2x +3y -6=0 的交点位于第一象限， 则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[30°，60°) B ．[30°，90°] C ．(60°，90°) D ．(30°，90°) 2. 已知点 M (2，-3)，N (-3，-2)，若直线 l ：y =ax -a +1 与线段 MN 相交，则实数 a 的取值范围是（ ） A ． a ≥ 3 或 a ≤ - 4 4 C ． 3 ≤ a ≤ 4 4 B ． - 4 ≤ a ≤ 3 4 D ． - 3 ≤ a ≤ 4 4 3. 若点 P (x ，y )在以 A (-3，1)，B (-1，0)，C (-2，0)为顶点的 △ABC 的内部（不包括边界），则 y - 2 的取值范围是（ ） x -1 A ．[ 1 ，1] 2 B ． ( 1 ，1) 2 C ．[ 1 ，1] 4 D ． ( 1 ，1) 4 4. 过点 A (2，1)以及两直线 x -2y -3=0 与 2x -3y -2=0 的交点的直线方程是（ ） A ．2x +y -5=0 B ．5x -7y -3=0 C ．x -3y +5=0 D ．7x -2y -4=0 5. 过点(2，3)，且到原点的距离最大的直线方程是（ ） A ．3x +2y -12=0 B ．2x +3y -13=0 C ．x =2 D ．x +y -5=0 2
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， x x
3.2 直线的方程 单元测试
3. 2 直线的方程 单元测试 1. 下列命题中正确的是： （ ） A 、经过点P 0（x 0, y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k (x －x 0)表示 B 、经过定点A （0, b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 C 、经过任意两个不同点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线都可用方程 （x 2－x 1）(y －y 1)=(y 2－y 1)(x －x 1)表示 D 、不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示 2. 直线x cosα+y si n α+1=0,α)2,0(π∈的倾斜角为( ) A α B 2 π－α C π－α D 2 π+α 3. 以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A.3x －y －8=0 B .3x +y +4=0 C. 3x －y +6=0 D. 3x +y +2=0 4．方程012)1(=++--a y x a )(R a ∈表示的直线( ) A.恒过(－2, 3) B. 恒过(2, 3) C. 恒过(－2, 3)或(2, 3) D.都是平行直线 5. 过点Ｍ(2, 1)的直线与x 轴，y 轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,则l 的方程是（ ） A. x －2y +3=0 B. 2x －y －3=0 C .2x +y －5=0 D. x +2y －4=0 6. 直线2x +y +m =0和x +2y +n =0的位置关系是（ ） A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 7．把直线l 1: x +3y －1=0沿y 轴负方向平移1个单位后得到直线l 2，又直线l 与直线l 2关于x 轴对称，那么直线l 的方程是（ ） A. x －3y +2=0 B. x －3y －4=0 C. x －3y －2=0 D. x －3y +4=0 8. 如图，直线 ax y 1 - =的图象可能是（ ） A B C D 9．设A 、B 两点是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为x －y+1=0，则PB 的方程为 （ ） A ．x+y －5=0 B ．2x －y －1=0 C ．2 y －x －4=0 D ．2x +y －7=0 10．过点P （1，－2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 11. 直线l 1, l 2在x 轴上的截距都是m ，在y 轴上的截距都是n ，则l 1, l 2满足（ ） A ．平行 B ．重合 C ．平行或重合 D ．相交或重合 12. 已知直线l 1的方程为y =x ，直线l 2的方程为ax －y =0（a 为实数）．当直线l 1与直线l 2的夹角在（0， 12 π ）之间变动时，a 的取值范围是（ ）
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ x x
《直线与方程》单元测试卷
《直线与方程》单元测试题 1．若直线x ＝2015的倾斜角为α，则α( ) A ．等于0° B ．等于180° C ．等于90° D ．不存在 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 3．已知三角形ABC 的顶点坐标为A (－1，5)，B (－2，－1)，C (4，3)，若M 是BC 边的中点，则中线AM 的长为( ) A ．4 2 C ．2 5 D ．213 4．若光线从点P (－3，3)射到y 轴上，经y 轴反射后经过点Q (－1，－5)，则光线从点P 到点Q 走过的路程为( )A ．10 B ．5＋17 C ．4 5 D ．217 5．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程是( ) A ．3x －4y －11＝0 B ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0 C ．3x －4y ＋9＝0 D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0 6．直线5x －4y －20＝0在x 轴上的截距，在y 轴上的截距和斜率分别是( ) A ．4，5，54 B ．5，4，54 C ．4，－5，54 D ．4，－5，4 5 7．若直线(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0恒过某个点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(3，5) B ．(－3，5) C ．(－3，－5) D ．(3，－5) 8．如图D3-1所示，直线l 1：ax －y ＋b ＝0与直线l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图像应该是( ) 图D3-1 9．若直线3x ＋y －3＝0与直线6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 13 13 10 10．点P (7，－4)关于直线l ：6x －5y －1＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(5，6) B ．(2，3) C ．(－5，6) D ．(－2，3) 11．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) 12．已知△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线l ：x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则a 的值是( ) B ．1＋ 22 C ．1＋33 13．过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并且与原点的最短距离为1 2的直线的方程为________． 14．已知a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点________． 15．过点(－2，－3)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程是________． 16．已知点A(1，－1)，点B(3，5)，点P 是直线y ＝x 上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P 的坐标是________． 17．已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及应用 问题1:(直线由点与方向确定) 求经过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)就是直线l 上任意一点,(方向为直线L 的正方向)过点P 作y 轴的平行线,P 0作x 轴的平行线,两条直线相交于Q 点、 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0与P 重合时, P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时,P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t,t 为参数, 又∵P 0Q ＝0x x -, 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 就是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t,t 为参数,t 的几何意义就是:有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量,且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时,点P 在点P 0的上方; ② 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ③ 当t<0时,点P 在点P 0的下方; 特别地,若直线l 的倾斜角α＝0时,直线l ?+=0t x x ④ 当t>0时,点P 在点P 0的右侧; ⑤ 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ⑥ 当t<0时,点P 在点P 0的左侧; 问题2:直线l 上的点与对应的参数t 对应关系？ 我们把直线l 瞧作就是实数轴, 以直线l 向上的方向为正方向,以定点P 0 为原点,以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t 便与这条实数轴上的点P 一一对应关系、 问题3:P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？,∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x
必修二《直线与方程》单元测试题(含详细答案)
第三章《直线与方程》单元检测试题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．已知点A (1，3)，B (－1，33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° [答案] C 2．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 [答案] D 3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－6 C ．32 D ．23 [答案] B 4．直线x a 2－y b 2＝1在y 轴上的截距为( ) A ．|b | B ．－b 2 C ．b 2 D ．±b [答案] B 5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是( ) A ．0 B ．－4 C ．－8 D ．4 [答案] C 6．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D 7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1
[答案] C 8．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0 [答案] C 9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) [答案] C 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 [答案] D 11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．2 [答案] B 12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点 B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6) D ．(0,2) [答案] A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为_________. [答案] －2 3 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2 2 ＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又 x 1＋x 2 2＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝ －3－1 4－－2
直线方程的一般式及应用
§1.2.2直线方程的一般式及应用 班级姓名组号分值 学法指导： 1、利用10分钟阅读教材65~67页，并完成本节导学案的预习案， 2、认真限时完成，规范书写，课上小组合作探究，答疑解惑。 学习目标： 1、知识与技能 （1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线． （2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化． 2、过程与方法 学会用分类讨论的思想方法解决问题。体会坐标法的数形结合思想。 3、情态态度与价值观 认识事物之间普遍联系与相互转化,用联系的观点看问题,感受数学文化的价值和底蕴。 学习重、难点： 1、重点：直线方程的一般式及各种形式之间的互相转化和数形结合思想的应用。 2、难点：对直线方程一般式的理解与应用，灵活应用直线的各种形式方程。 【预习案】 （一）直线方程的一般式： 在平面直角坐标系中，直线可分为两类：一类是与轴不垂直的；另一类是与轴垂直的，它们的方程可以分别写为直线y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）的形式，我们把形如关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）称为直线方程的一般形式。 （二）直线和二元一次方程的对应关系： 在平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程来表示，反过来，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示直线。
事实上，对于任意一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）： 当0B ≠时，可变为A C y x B B =- -，它表示一条与轴不垂直的直线，其中A B -为直线的斜率；当0B =时，则0A ≠，所以可变为C x A =-，它表示一条与轴垂直的直线。 【结论】 1.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用关于,x y 的二元一次方程 0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）来表示。 2.直线和二元一次方程是一一对应关系； 3.一般情况下，如果题中不作特别说明，所求直线方程都要化成一般形式。 （三）写出下列直线的方程： 1.经过点(4,0),(0,3)A B -； 2.斜率为 2 ，在轴上的截距为； 3.经过点(1,2),(3,1)M N - 【我的疑问】 【探案究】
必修2《直线与方程》单元测试题
必修2《直线与方程》单元测试题 （时间：120分钟，满分：150分） 班别 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若直线过点（１，２），（４，２＋ 3 ），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０° 2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=（ ） A 、 -3 B 、-6 C 、2 3 D 、3 2 3. 已知点A （1,2），B （3,4），C （5,6），D （7,8），则直线AB 与CD 直线的位置关系是（ ） （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）重合 4. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５ 5.直线的倾斜角的取值范围是（ ） Ａ 0°≤α＜180° B 0°≤α＜180°且α≠90° C 0°≤α＜360° D 0°≤α≤180° 6.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ） Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（ ） A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）
8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有（ ） A. k 1 直线方程的应用（习题） ?例题示范 例1：若过点A(4，0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_______________． 思路分析： 的位置关系为相切或相交，其中相切为临界状态． 计算直线与圆相切时直线的斜率： 如图，设圆心为点B，直线AM，AN分别与圆相切于点M，N， 则BM⊥AM，BN⊥AN，且BM=BN=1，AB=2， 所以∠MAB=∠NAB=30°， 进而可得 AM AN k k == 结合图形易得直线l的斜率的取值范围是[ 33 -，． 例2：在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x=0．若直线l：y=k(x+1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是_______________． 思路分析： 由题意，圆C：(x-2)2+y2=4，圆心C(2，0)，半径r=2． ∵过点P的两条切线相互垂直， ∴过点P，C以及两切点组成的四边形是正方形， ∴对角线PC== 即l上存在一点到圆心的距离等于 ∴圆心C到直线l：kx-y+k=0的距离小于或等于， 解得k -≤． ?巩固练习 1.若直线l：y kx =2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（） A．[30°，60°) B．[30°，90°] C．(60°，90°) D．(30°，90°) 2.已知点M(2，-3)，N(-3，-2)，若直线l：y=ax-a+1与线段MN相交，则实数 a的取值范围是（） A． 3 4 4 a a- ≥≤ 或B． 3 4 4 a -≤≤ C．3 4 4 a ≤≤D． 3 4 4 a -≤≤ 3.若点P(x，y)在以A(-3，1)，B(-1，0)，C(-2，0)为顶点的△ABC的内部（不 包括边界），则 2 1 y x - - 的取值范围是（） A． 1 [1] 2 ，B． 1 (1) 2 ，C． 1 [1] 4 ，D． 1 (1) 4 ， 4.过点A(2，1)以及两直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点的直线方程是（） A．2x+y-5=0 B．5x-7y-3=0 C．x-3y+5=0 D．7x-2y-4=0 5.过点(2，3)，且到原点的距离最大的直线方程是（） A．3x+2y-12=0 B．2x+3y-13=0 C．x=2 D．x+y-5=0 6.已知点M(2，3)，N(4，-5)，直线l经过点P(1，2)，且点M，N到直线l的 距离相等，则直线l的方程是（） 直线参数方程的应用》 教材说明：人教版选修4-4 《直线的参数方程》 课型：习题课 课时：1 课时 学情分析 （一）学生已有知识基础或学习起点学生刚刚学习了曲线的参数方程,以及直线的参数方程,本班学生具备较好的知识基础对直线的参数方程的一般形式和标准形式都已经了解,并且能够进行标准参数方程和一般参数方程的互化,对参数的几何意义相对也比较熟悉. （二）学生已有生活经验和学习该内容的经验在前面学生已经学过了直线的标准参数方程和一般方程, 具备了把一般参数方程转化为标准参数方程的能力, 能解决一些实际问题, 并能够进行合作 交流,具备合作探究的能力 （三）学生的思维水平以及学习风格 学生的思维系统不够完善, 缺乏逻辑思维能力和发散能力.学生中沉思型的学生少, 在碰到问题时不愿意深思熟虑，不用充足的时间考虑、审视问题，更不会权衡各种问题解决的方法，然后从中选择一个满足多种条件的最佳方案;多数是冲动型学习,看到题倾向于很快地检验假设，根据问题的部分信息或未对问题做透彻的分析就仓促作出决定，反应速度较快，但容易发生错误。 （四）学生学习该内容可能的困难学生学习该内容时可能遇到如下困难：不看参数方程的形式是否标准,直接套用,t 的几何意义找不准,欠缺转化能力,数形结合能力和计算能力. （五）学生学习的兴趣、学习方式和学法分析由于学生自我归纳能力较差又习惯于就题论题，因此适合提问引导启发式授课方式和层层设疑的学习方法。授课讲解的时候，应做到帮助学生分析题干，引发学生对问题的思考，引导学生找到解题思路并选择简洁的解题方法，并能及时归纳总结. 教学内容分析 （一）教学的主要内容 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习直线参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合 必修2 第三章 《直线与方程》过关检测 时间：100分钟 满分：100分 制卷：王小凤 学生姓名 一．选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分） 1．直线()为常数a a y x 03=+-的倾斜角为( ) A ． 3π B ．6 π C ．32π D ．65π 2．若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足( ) A ． 0≠m B ． 2 3 -≠m C ． 1≠m D ． 1≠m ，2 3 -≠m ，0≠m 3．若两条直线x +（1 + m ）y + m －2 = 0与mx + 2y + 8 = 0平行，则( ) A ．m = 1或－2 B ．m = 1 C ．m =－2 D ．3 2=m 4．以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A ．380x y --= B ．340x y ++= C ．360x y -+= D ．320x y ++= 5．若点()1,1+-m m A ，()m m B ,关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) A ．01=-+y x B ．01=+-y x C ．01=++y x D ．01=--y x 6．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是( ) x y O x y O x y O x y O 7．若直线0=++c by ax 在第一、二、三象限，则( ) A ．0,0>>bc ab B ．0,0<>bc ab C ．0,0> 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用 一. 教学内容： 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。 ［基本知识点］ （1）直线的参数方程 <1>标准形式： <2>一般形式 （2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式： <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2| <2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点?t 1+t 2=0 <3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数 （3）圆锥曲线的参数方程 <1> <2> 角）。 :),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α)t (sin t y y cos t x x 00为参数???+=+=αα)1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+???+=+=为参数且)y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数???+=+=αα的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0:t,M M 0故即=2t t t 2 1M +=)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα???===+轴正方向的旋转角的几何意义动半径对于 其中x α其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222 ααα???===+ <3> <4>抛物线y 2=2px 的参数方程为 （4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。 （5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件： 极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。 <2>互化公式 （6）曲线的极坐标方程 <1>定义：在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变数的方程来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。 <2>直线与圆的极坐标方程。 过极点的直线方程θ=θ0（ρ∈R ） 过点A （a,0），倾角为α的直线方程 以极点为圆心，半径为r 的圆的方程ρ=r 圆心在C （a,0），半径为a 的圆的方程ρ=2acos θ 圆心在（ρ0，θ0），半径为r 的圆的方程 【例题选讲】 例1 ，M 是AB 的中点，求|MF|。 )(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα???==)(t pt 2y pt 2x 2 为参数?????==?????≠==+???==)0x (x y tg y x )2(sin y cos x )1(222θρθρθραθαρsin )sin(a =-220002r )cos(2=+--ρθθρρρ两点与双曲线交于的直线作倾角为的右焦点过双曲线B ,A l 45F 116y 9x 2 2 =- 直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的数轴上点的坐标的几何意义是什么 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA u u u r 为数轴的单位方向向量，OA u u u r 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =u u u u r u u u r ；②当OM u u u u r 与OA u u u r 方向一致时（即OM u u u u r 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM u u u u r 与OA u u u r 方向相反时（即OM u u u u r 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =u u u u r ．教师用几何画板软件演示上述过程． 直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α x 第三章《直线与方程》单元测试题 一、选择题 1. 直线l 经过原点和点（ 1，1），则它的倾斜角是（） Ａ．3Ｂ．5Ｃ．或5Ｄ． 4 4 4 4 4 2. 斜率为2的直线过（3，5），（ a，7），（－1，b）三点，则a，b的值是（） Ａ． a 4 ， b 0 Ｂ． a 4 ， b 3 Ｃ． a 4 ， b 3 Ｄ． a 4 ， b 3 3. 设点A（2，3），B（ 3，2），直线过P（1，1）且与线段AB相交，则l 的斜率k的取 值范围是（） 3 3 3 Ａ．k≥ 3或k≤ 4 Ｂ．4≤ k≤ 3Ｃ．3≤k≤4 Ｄ．以上都不对 4 4 4 4. 直线（a 2）x （1 a）y 3 0与直线（a 1）x （2a 3）y 2 0互相垂直，则 a （） 3 Ａ． 1 Ｂ． 1 Ｃ． 1 Ｄ． 2 5. 直线l过点A 1，2 ，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（） Ａ．0，2 Ｂ．0，1 Ｃ．0，1Ｄ．0，1 22 6. 到两条直线3x 4y 5 0 与5x 12y 13 0 的距离相等的点P（ x，y）必定满足方程（） Ａ．x 4y 4 0 Ｂ．7x 4y 0 Ｃ．x 4y 4 0或4x 8y 9 0 Ｄ．7x 4y 0 或32x 56y 65 0 7. 已知直线3x 2y 3 0 和6x my 1 0 互相平行，则它们之间的距离是（） Ａ． 4 Ｂ． 2 13Ｃ．5 13 Ｄ．7 13 13 26 26 8. 已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x y 2 0 ，直角顶点是C（3，2），则两条 直角边AC，BC 的方程是（） Ａ．3x y 5 0，x 2y 7 0 Ｂ．2x y 4 0，x 2y 7 0 Ｃ．2x y 4 0，2x y 7 0 Ｄ．3x 2y 2 0，2x y 2 0 9. 入射光线线在直线l1：2x y 3 0 上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y 轴反射到直线 Ａ．x 2y 3 0 Ｂ．2x y 3 0 Ｃ．2x y 3 0 Ｄ．2x y 6 0 l3上，则直线l3 的方程为（） 直线的方程及应用 一．知识梳理 1．倾斜角：直线向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 。 2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的 。 过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k= （若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。 4．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件 11112222l 1, l 2交点的直线方程为 ；与l 2平行的直线方程为 二．课前自测 1、过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （ ） （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 2、过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为 4直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为 5.过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为 三．典例解析 【例1】一条直线经过点P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线x －4y +3=0的倾斜角的2倍； （2）与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点） 【练习1】直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段中点为P （－1，2）.求直线l 的方程. 直线方程单元综合题 基础训练： 1. 直线_______12053==-+a A y ax ），则实数， （经过点 2. 过两点_______AB ______1),5(),3,(==--、，则的直线的斜率为 a a B a A 3. 直线L 过点P(-5，-4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5个平方单位，则直线L 的方程为_________________ 4. 直线L 倍，轴上的截距的轴上的截距是在它在），（过点2,65y x P 则该直线方程为___________ 5.已知直线______122=+=++=+a a y ax a ay x 平行，则实数与直线 6.已知点_____________1531的方程为），则直线，（的对称点为）关于直线，（ l B l A - 典型例题： 已知),2,1(,012A y x CD ABC 两个顶点为的方程为的一条内角平分线=-+?），（11--B ，则第三个顶点C 的坐标为__________ 在直角坐标系中，已知射线作直线分别，过点)01(),0(033:),0(0:P x y x OB x y x OA ≥=+≥=-OB OA ,交射线于点A ，B ，（1）当的方程时，求直线中点为AB P AB ；（2）当x y AB 2 1=中点在直线的方程上时，求直线AB 。 课堂检测： 1.已知点___________ 4..5)1,1(点的坐标为，则轴的距离等于，且到的距离为与点A y P A - 2.已知两条平行直线，则之间的距离等于和20320632=++=-+a y x y x 实数a =______ 3.已知平面内两点恒有公共点，则与线段直线AB kx y B A 2),1,3(),1,4(+=-- 实数k 取值范围是______________ 4.求证：无论必经过）取任何实数，直线（ 0)142()32(41=-+--+k y k x k k 一个定点，并求出定点的坐标为_________直线方程的应用(习题)
《直线参数方程的应用》
必修2第三章 直线与方程单元测试卷
直线的参数方程,圆锥曲线的参数方程及其应用等-高中数学
直线的参数方程教案
直线的参数方程及其应用(不错哦,放心用)
人教版数学必修2直线与方程单元测试题
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直线方程单元综合题