第六章 微分方程与差分方程
第六章微分方程与差分方程
一、知识网络图
二、内容与要求
1．了解常微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解等概念．
2．能正确判断一阶微分方程的类型，熟练掌握可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法．
3．能用降阶法解特殊类型的高阶微分方程（包括，，
的解法）．
4．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法．
5．理解二阶线性方程的通解结构，掌握自由项形如的二阶常系数非齐次线微分性方程的解法．
6．会对一些简单的经济、几何等问题建立微分方程模型并求解．
7．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．
8．掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法．
9．会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题．
重点微分方程与差分方程的概念；可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程的解法；一阶常系数线性差分方程的解法．
难点二阶常系数非齐次线性微分方程的求解；一阶常系数非齐次线性差分方程的求解；微分方程与差分方程的应用．
三、概念、定理的理解与典型错误分析
1、基本概念
（1）微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程．
（2）微分方程的阶微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．
（3）微分方程的解代入微分方程能使其成为恒等式的函数，称为微分方程的解．
（4）微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，那么这样的解称为微分方程的通解．通解有两种：一种称显式通解，一种称隐式通解．（5）微分方程的特解微分方程的解如果是完全确定的（即不含有任何参数），称为微分方程的特解．
微分方程的特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线．
（6）微分方程的初值问题求满足一定条件的微分方程的特解，这个问题称为微分方程的初值问题，这个条件称为微分方程的初始条件．
（7）一阶差分对任何数列，称数列为原数列的一阶差分．
（8）阶差分阶差分的差分称为数列的阶差分，记为
．二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
（9）差分方程含有自变量，未知函数或求知函数的差分的方程称为差分方程．
（10）差分方程的阶差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差数称为此差分方程的阶．
（11）差分方程的解满足差分方程的函数，称为差分方程的解．
（12）差分方程的通解若解中所含相互独立的任意常数个数与差分方程的阶数相同，
则这个解称为此差分方程的通解．
（13）差分方程的特解确定了任意常数的解，称为此差分方程的特解．
（14）差分方程的初始条件用来确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件．
2、主要定理
（1）对二阶常系数齐次线性微分方程
①
我们有
定理1若和是方程①的两个解，则也是方程①的解，其中是任意常数．
特别地，当线性无关时，则是方程①的通解．
（2）对二阶常系数非齐次线性微分方程
②
我们有
定理2若是方程②的一个特解，是其对应的齐次方程①的通解，则
是方程②的通解，其中是任意常数．
定理3设和分别是非齐次线性微分方程
和
的特解，则是方程的特解．
3、微分方程和差分方程的类型及解法
（1）一阶微分方程及其解法
（i）可分离变量的微分方程形如的方程．
解法分离变量（即把含有x的放在一边，把含有y的放在另一边），将方程变为
，两边积分，得．
这是方程的隐式通解，若化简方便，则化简为．
（ii）齐次微分方程形如的方程．
解法作变量代换, 令，代入方程得
这是一个变量u关于变量x的可分离变量的方程，求出u的通解，再用代入，即得原方程的通解．
（iii）一阶齐次线性微分方程形如的方程．
解法分离变量法．
（iv）一阶非齐次线性微分方程形如的方程．
解法常数变易法或公式法．
常数变易法先解对应齐次方程的通解，然后将通解中的常数C 变易为待定函数，即令代入原方程求出待定函数，便得方程的通解．
通解公式法
（v）贝努利方程形如（n ≠ 0, 1）的方程．
解法作变量代换, 令代入方程得
这是一个变量 z关于x的一阶线性微分方程．求出通解，再用代入即得原微分方程的通解．
（2）高阶微分方程及其解法
（i）可降阶的高阶微分方程
型
解法经过n 次积分，就可得方程的通解．
型（不显含）
解法设，，代入方程得，这是一个p关
于x的一阶微分方程，求出通解，再积分就可得原方程的通解．
型（不显含）
解法设，，代入方程得，这是一个p关于y的一阶微分方程，求出通解，再分离变量，积分就可得原方程的通解．
（ii）二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程（其中p ,q 为常数）
解法第一步：写出特征方程；
第二步：计算特征根；
第三步：根据的不同情况，按下表写出方程的通解．
（iii）二阶常系数非齐次线性微分方程形如的方程（p ,q 为常数）．
解法先求出对应齐次微分方程的通解，再求出原方程的一个特解
，则原方程的通解为．
下面以表格形式列出的两种不同类型时，特解的形式．然后代入方程用待
定系数法求出特解．
（3）一阶常系数线性差分方程的解法
（i）一阶常系数齐次线性差分方程形如的方程
解法写出特征方程，得特征根，则差分方程的通解为．其中为任意常数．
（ii）一阶常系数非齐次线性差分方程形如的方程
解法先求出对应齐次差分方程的通解，再求出原方程
的一个特解，则原方程的通解为．
设
其中是已知的次多项式，则方程的特解形式为
4、典型错误分析
（1）注意方程有漏解的情形
在求解方程过程中，有时会出现漏解，特别是有分式运算时，要注意分母为零的情形．例如求的通解．
解分离变量得．
两边积分，得通解．
此外也是方程的解，这不能由确定，此解易被漏掉．
（2）作变量替换后，注意代回原来变量
例如求的通解．
解这是伯努利方程，，令，，代入原方程得
．
由一阶线性方程求解公式，得通解
．
本题到此并未解答完毕，最后应代回原变量，得
．
（3）求通解时，注意任意常数
在求一阶微分方程通解时，其任意常数是必须有的，且出现在适当的运算位置上，不能随意添加或删去，否则会出错．
例如求方程的通解．
解两边积分，得通解或．上述是解，但不是通解；而随意加任意常数，不是方程的通解．
本题正确的解法是，由得，得通解
．
（4）对二阶线性微分方程通解的理解错误
例如给出二阶线性微分方程的两个解，则该方程的通解为
解上述结论是错误的，因为
a. 没有明确所给方程是“齐次”还是非齐次；
b. 没有明确所给的两个解是“线性相关”还是“线性无关”．
如果把问题改为给出二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解，则该方程的通解为
（其中为任意常数）成立．
（5）对二阶线性非齐次微分方程叠加原理（定理1）的理解错误
例如容易验证和都是微分方程和
的解，则两个解的叠加（其中为任意常数）都满足上述两个方程．
解上述结论是错误的，可以验证只满足前一个方程而不能满足后一个方程，其原因在于：上述两个微分方程在本质上有差异，前一个方程是线性齐次微分方程，后一个方程是非线性微分方程．我们知道解的叠加原理（定理1）只适用于线性齐次方程，而非线性方程不具有此性质，因此两个解的叠加只满足第一个方程，而不满足第二个方程．
（6）在解含有变上限积分的方程中的时，遗漏定解条件
例如设为一连续函数，且满足方程，求．
解这是一个含有变上限的积分方程，可改写为
．
两边对求导，得
，
两边对再求导，得
，
即，
这是一个二阶线性非齐次方程，其通解为．
这时题目还未解完，因为用可得，由
可得，因此据上述初始条件得，因而所求的
函数．
（7）在确定差分方程的阶时出错．
例如确定差分方程的阶.
解一般会认为该方程的阶数为3．但事实上，上述差分方程可改写为下面的二阶差分方程形式：
四、解题方法与例题
因为每种类型的方程都有特殊解法，所以解题前应先判断所给方程的类型，然后依类型确定解法．要判断方程是属于什么类型的，一般是根据每种类型的标准形式来检验，但往往需将所给方程恒等变形，才能看出是哪种类型．
例1．求微分方程的通解．
解所给方程是可分离变量的微分方程．分离变量得，
两边积分
于是（为任意常数）
即为所求方程通解．
例2．求微分方程满足条件的特解．
解方程为分离变量得，
两边积分
整理得
由初始条件，将x = 0 , y = 2 代入得：2 = – 3 , 即= 5．所以原方程的特解为
例3．求微分方程的通解
解方程化为，分离变量得，
两边积分，
化简得，
即为方程的通解．
从上述解题过程中不难看出在积分号去掉时，要马上加上一个任意常数，但在化简通解时，把含有任意常数的常数式子再令为任意常数，使通解的表达式简明清楚．（例如为常数，也为常数，记
为）
例4．求微分方程的通解．
解方程化为，这是一个齐次微分方程．
令，代入方程得
，
分离变量并两边积分，
将代入，于是），
为原方程的隐式通解．
例5．求微分方程的通解.
解方程化为
这是变量x关于y的齐次方程．令，代入方程得
分离变量并两边积分
即为代入得所求通解为．
注意：此题方程也可变形为，这是变量y关于x的齐次方程．读者不妨做一下，然后比较哪种方法更简便些，从而知道求解齐次微分方程也可以采用例5的方法．
例6．求微分方程满足条件的特解．
解法一公式法
所给方程可改写为，这是一阶线性微分方程．
对照标准式可知代入公式得
将初始条件代入，得原方程的特解为．
解法二常数变易法
先解方程所对应的齐次方程，分离变量并两边积分
（把式中常数c换成函数）设为原方程的解，则
将代入原方程并整理得，
所以原方程的通解为．
将初始条件代入得2 = 1 + c , 得c = 1，所以原方程的特解为
．
例7．求微分方程的通解．
解方程改写为
这是x关于y的一阶线性微分方程．由公式得
从这个例子看出，在求解微分方程时，首先应掌握各种类型的微分方程解法，同时也应学会把x看成是y的函数，来套用已知类型的微分方程的解法．
例8．求微分方程满足条件的特解．
解方程变形为这是的贝努利方程．
令，将方程化为一阶线性方程
通解为
故原方程通解为
将初始条件代入通解得，
所以原方程特解为
例9．解下列方程
解（1）所给方程是型，只需对方程连续积分三次，即可得通解．
（2）所给方程是型（不显含y），令，代入方程并化简有这是一阶线性方程，代公式得
，
即为，积分可得，这就是所求的通解．
（3）所给方程是型（不显含），令代入方程并化
简，
这是的贝努利方程．又令，得，为一阶线性方程．
则
所以
分离变量并积分
∵∴
两边平方得，
为所求方程通解．
（4）所给方程是型（不显含y），也是型（不显含x）．两种方法都能做，通常按型（不显含y）做，令，得，即
．分离变量并积分
，
再积分就得方程通解．
例10．解下列方程
解（1）所给方程的特征方程为，解得特征根．
故方程的通解为．
将条件，代入得，
故方程的特解为
（2）所给方程的特征方程为，解得特征根，
故方程的通解为．
(3) 所给方程的特征方程为，解得特征根，
故方程的通解为．
例11．解下列方程：
解（1）方程对应的齐次方程的特征方程为，解得特征根，
故对应齐次方程的通解为．
对照标准方程可知，是特征方程的单根，所以应设待定特解为，代入方程得
比较两端的同次幂系数得
因此求得一个特解为，
从而，所求方程的通解为．
（2）对应的齐次方程的特征方程为，其特征根为一对共轭复根．
故对应齐次方程的通解为．
对照标准方程可知不是特征方程的根，故应设方程的特解为
代入方程得
比较两端的同次幂系数得
因此求得一个特解为，
从而，所求方程的通解为．
（3）对应的齐次方程的特征方程为，特征根为两相同实根
故对应齐次方程的通解为，
由于是特征方程的重根，所以应设方程的特解为，代入方程得
两边消去，再比较两端的同次幂系数得
因此求得一个特解为，
从而，所求方程的通解为．
注意求这类微分方程的关键是特解的设定，首先是确定k，它由λ决定．其次是
m次多项式要用m次多项式的一般形式来设定，即，
而不能根据题目中的形式来设定．如例11中题（1），虽然= x ，但应设为
，而不能设为，题（2）也同样，虽然，但应设为，而不能设为．
例12．解下列方程
解（1）方程对应的齐次方程的特征方程为，解得特征根，
故对应齐次方程的通解为．
由于不是特征方程的根，所以可设特解为，代入方程得
比较等式两端同类项系数，得
所求一个特解为，
故所求方程通解为．
(2) 方程对应的齐次方程的特征方程为，其根为一对共轭复根
故对应齐次方程的通解为，
由于是特征方程的单根，所以应设待定特解为
，
计算，
将上面三式代入方程得，
比较等式两端同类项系数得，
因此求得一个特解为，
故所求方程通解为．
注意设定这类微分方程的特解时要记住右端函数的标准形式：
，根据标准形式特解就不难设定了．比如例12中题（1）
右端函数为写成，这样很容易看出
特征根，从而决定k的取值为0；中前面的多项式0与x的最高次为1，即为一次多项式，因此在设定特解时要用一次多项式的一般形式．因此设特解
为，即
又如例12中题（2）右端函数为写成：，容易看出等于一个特征根，可决定k的取值为1；式中多项式1、0的最
高次为零次，因此设特解为．
例13 求的一阶差分.
解
=
=
=
=
例14 设有一笔投资(本金) ，若利率每年按r 的复利计算，年后的本利和为多少？
解设年后的本利和为，根据题意有
且满足条件：
易得年后的本利和为：
注：如果每年投资，那么年后的本利和为
此时也满足条件：
解得：
例15 求差分方程的解．
解方程可改写为
可得特征方程为
3
特征根为，于是方程的通解为
把初始条件代入通解，得C = 5. 于是方程的解为
例16 求差分方程的通解
解差分方程对应的齐次方程的通解为
（为任意常数）
由于方程中b = 1 ( 即1是特征根 )，为二次多项式，故中 s=1．设特解为
代入非齐次方程得
所以，非齐次差分方程的通解为，为任意常数．
例17 求在初始条件下的解．
解方程可改写为
其对应的齐次方程通解为
（为任意常数）
显然5不是特征根，故可设特解为．
代入非齐次方程得．
所以，非齐次差分方程的通解为，为任意常数．把初始条件代入通解，得，所以原差分方程满足初始条件的解为
五、部分习题选解
1、（习题6－2，3（6））求方程的通解．
解原方程可化为
故这是以为自变量的一阶线性非齐次方程．其通解为
即
2、（习题6－3，1（3））求方程的通解．
解此题虽然不是书中所提三种类型之一，但显然可通过令来降阶，此时原方程变为，其通解为
即
两端积分得
再对上式两端积分即得原方程的通解为
3、（习题6－4, 1（9））求方程的通解．
解原方程可化为，其特征方程的两个根为
．故对应的齐次方程的通解为
下面求的一个特解，可设为，代入方程中可得
，从而．
再求的一个特解，可设为，代入方程
得，从而．
因此原方程的一个特解为．
从而原方程的通解为．
4、（复习题六，5）借助变量代换，（），求微分方程
满足初始条件，的特解．
解令，则
，
，
代入原方程得，即．对其两端连续积分两次得．
从而．
所以．
又，代入上式得．
而，故由得．
因此所求特解为．
5、（复习题六，7）设可微，且满足
试求．
解原方程可改写为
两边求导得
两边再求一次导得，且由上式还可知．
易知的通解为，再由知所求函数为
．
6、（复习题六，11）设有微分方程，其中
常微分方程第一章
第一章一阶微分方程 1、1学习目标: 1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、 2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、 3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、 4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、 5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、 6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、 7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、 1、2基本知识: (一)基本概念 1.什么就是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是 指等式),称之为微分方程、 2.常微分方程与偏微分方程: (1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例 如, 、 (2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微 分方程、例如, 、 本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、 3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如, 就是二阶常微分方程; 与就是二阶偏微分方程、 4.n阶常微分方程得一般形式: , 这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、 5.线性与非线性: (1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、
常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：3，分数：6.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是 （分数：2.00） A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3． B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3． C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3． D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√ 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)． 3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00） A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x． B.C 1 +C 2 cos2x． C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√ D.C 1 +C 2 cos 2 x． 解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)． 二、填空题(总题数：1，分数：2.00) 4.当y＞0时的通解是y= 1． （分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于 是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得 三、解答题(总题数：25，分数：50.00) 5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可
高等数学第七章微分方程试题及复习资料
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题
For personal use only in study and research; not for commercial use 2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题 第六章 For personal use only in study and research; not for commercial use 一、选择题 1. 微分方程xy y 2='的通解为 （ ） A. C e y x +=2 ； B. 2 x Ce y =； For personal use only in study and research; not for commercial use C. 2 C x y e =； D. x Ce y =. 2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的 （ ） A. 通解； B. 特解； C. 不是解； D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解. 3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解， 21,C C 是任意常数，则该方程的通解是 （ ） A. 32211y y C y C ++； B. 3212211)(y C C y C y C +-+； C. 3212211)1(y C C y C y C ---+； D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x += +'是 （ ） A. 可分离变量的微分方程； B. 齐次微分方程； C. 一阶线性齐次微分方程； D. 一阶线性非齐次微分方程. 二、填空题 1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 . 2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________.
常微分方程第1章教案
第一章 绪论 定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+ = 1=，3121x x x --=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+- 以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x = 二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210 x y z ++-=等等 根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算 一、引例 例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意 1d 2(1)d 2(2)x y x x y =?=???=? 由（1）得2d y x x =?，即2y x C =+ （3） 把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221 C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+ 例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式 00 220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t s v t s ===?=-???==???=??（） 把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t = =-+ （6）
常微分方程边值问题的数值解法
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
常微分方程和差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳 1. 一阶微分方程部分 ① 可分离变量方程（分离变量法） 如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为) ()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dx dy =为可分离变量的方程。 对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 dx x g y h dy )() (=的形式，再对此式两边积分得到 C dx x g y h dy +=??)()(从而解出)()(y h x g dx dy =的解，其中C 为任意常数。 具体例子可参考书本P10—P11的例题。 ②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法） 如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为 y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dx dy =+为一阶线 性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。 对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程 0)(=+y x P dx dy ，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到?=-dx x P Ce y )(，其中C 为任意常数。这也是一阶线性 非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性 非齐次微分方程存在着形如?=-dx x P e x C y )()(的解。将其代入)()(x Q y x P dx dy =+我们就可 得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---这其实也就是 ? ='dx x P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dx x P +? =? )()()(，于是将其回代入 ? =-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+的通解? ? ? ??+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。 具体例子可参照书本P16—P17的例题。
第七章微分方程
第七章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ?=xdx y 2, 即y =x 2 +C , (3)
常微分方程第一章初等积分法
第一章 初等积分法 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数. 然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等. 物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数. 在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为： 5=dt ds ，x dx dy 2=） ，这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法. 1.1 微分方程的基本概念 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一
微分方程与差分方程详细讲解与例题
第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。
第六章 常微分方程 - 答案
第六章 常微分方程 一、填空题 1．x ce y 2-= 2. 1()x x y xe e C x --=--+ 3. y =()x e x C + 4. 044=+'-''y y y 二、单项选择题 1. A 2.C 3.C 4.A 5.D 6. C 7.A 8. A 9. B 10. D 三/计算题 1.解：通解为 []11ln ln sin ...........................3sin 1 cos .............................................6dx dx x x x x x y e e dx C x x e e dx C x x C x - -????=+??????=+????=-+??分 分 2.解：通解为 []tan tan ln cos ln cos 1...........................2cos 1cos 11cos ..............................4cos cos 1.....................................cos xdx xdx x x y e e dx C x e e dx C x xdx C x x x C x --?? ? ?=+???? ?? =+?? ?? ?? = +???? =+???分分...............6分 求微分方程 x x y y x ln =-' 满足初始条件11==x y 的特解． 3.解： x y x y ln 1 =- ' ??? ? ??+??=?-C dx e x e y dx x dx x 1 1)(ln () ??? ??+=+=??-C dx x x x C dx e x e x x ln )(ln ln ln ?? ? ???+=C x x 2)(ln 2 由 11 ==x y 得1=C , 所以?? ? ???+=12)(ln 2x x y ． 4.解：令y u x =,则dy du u x dx dx =+,原方程化为1du x dx u =,即2 2u e Cx =.通解为 2 2 2y x e Cx =.
常微分课后答案第一章
第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．
解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='；
微分方程与差分方程 详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。
专业常微分方程学习活动3 第一章初等积分法的综合练习全解
常微分方程学习活动3 第一章 初等积分法的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1．微分方程0)(4 3 ='-'+''y y y x y xy 是 二 阶微分方程． 2．初值问题00 d (,) d ()y f x y x y x y ?=???=?的解所满足的积分方程是 0 0(,)d x x y y f s y s =+? ． 3．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是 一阶线性非齐次微分方程 ．（就方程可积类型而言） 4．微分方程0d )2e (d e =++y y x x y y 是 全微分方程 ．（就方程可积类型而言） 5．微分方程03)(2 2 =+'+''x y y y 是 恰当导数方程 ．（就方程可积类型而言） 6．微分方程 y x x y sin d d 2=的所有常数解是 …±±==210k ，， π，k y ． 7．微分方程21d d y x y -=的常数解是 1±=y ． 8．微分方程x x y y x 122 e -=-'的通解为 ）（﹣C x x 1 +=e y ． 9．微分方程2)(21 y y x y '+ '=的通解是 22 1C Cx y += ．. 10．一阶微分方程的一个特解的图像是 二 维空间上的一条曲线． 二、计算题 1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程： （1） 22d d x y x y += 答：一阶，非线性
第七章：常微分方程
高等数学复习题 第七章：常微分方程 一、选择题（本题20分，每小题2分） （1）下列微分方程中，给出通解的选项是（ ）. A. x y y '= ，y x = B. x y y '=，222x y C -= C. x y y '=- ，C y x = D. x y y '=-，222 x y C += （2）函数sin y C x =（其中C 为任意常数）是方程0y y ''+=的（ ）. A. 通解 B. 特解 C. 解 D. 不是解 （3）微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解是（ ）. A. 2 2 x y C += B. x y C += C. 1y x =+ D. 2 2 x xy y C -+= （4）下列微分方程中，可分离变量的方程是（ ）. A. dy xy x dx =+ B. sin xy dy y e x dx = C. 2dy xy x dx =+ D. 22dy y x dx =+ （5）给定一阶微分方程2dy x dx =，下列结果正确的是（ ）. A. 通解为2 y Cx = B. 通过点(1,4)的特解为2 15y x =- C. 满足 1 2ydx =?的解为2 53 y x =+ D. 与直线23y x =+相切的解为2 1y x =+ （6）设()y f x =是微分方程sin x y y e '''+=的解，并且0()0f x '=，则()f x 在0x 处（ ）. A. 取极小值 B. 取极大值 C. 不取极值 D. 取最大值 （7）微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解是（ ）. A. 2 2 x y C += B. x y C += C. 1y x =+ D. 2 2 x xy y C -+= （8）函数()y y x =的图形上点(0,2)-的切线为236x y -=，且该函数满足微分方程 6y x ''=，则此函数为（ ）. A. 2 2y x =- B. 2 32y x =+ C. 3 33260y x x --+= D. 323 y x x =+ （9）若1y 和2y 是二阶齐次线性方程()()0 y P x y Q x y '''++=的两个特解，则
常微分方程第二版答案第6章6-1
习 题 6-1 1． 求出齐次线性微分方程组 y t A dt dy )(=的通解，其中A （t ）分别为： （1）???? ??=1011)(t A ；（2）???? ??-=0110)(t A ；（3）???? ? ??=000010100)(t A 。 （1）方程组的分量形式为： 211y y dt dy += ，22y dt dy = 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和 t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为 ()0t t t e te t e ??Φ= ??? 又 2det ()0t t e Φ=≠ 。因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为 ??? ? ??+???? ??=???? ??t t t e te c e c y y 21210 （2）方程的分量形式为 ?????-==1221y dt dy y dt dy 由①、②可和 21120d y y dt += 由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。这样就 求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ??Φ= ?-?? 又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此 )(t Φ中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为1122cos int int cos y t s c c y s t ??????=+ ? ? ?-???? ?? ① ②
常微分方程数值解法
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。