2018年全国2卷理科数学十年真题分类汇编10 立体几何

10 立体几何

一．基础题组

1. 【2013课标全国Ⅱ，理4】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，

l α，l β，则( )．

A ．α∥β且l ∥α

B ．α⊥β且l ⊥β

C ．α与β相交，且交线垂直于l

D ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】：D

【解析】因为m ⊥α，l ⊥m ，l

α，所以l ∥α.同理可得l ∥β.

又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D.

2. 【2012全国，理4】已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，，E 为CC 1的中点，则直线

AC 1与平面BED 的距离为( )

A ．2 B

C

D ．1 【答案】 D

又△AC C 1为等腰直角三角形，∴CH =2.∴HM =1.

1CC

3. 【2011新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )

(正视图)

(俯视图)

【答案】D 【解析】

4. 【2006全国2，理4】过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为

B.

C.

D.

【答案】

16

316

98

332

9

5. 【2006全国2，理7】如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α,β所成的角分别为

和.过A ,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A ′,B ′,则AB ∶A ′B ′等于

∶

B.3

∶

C.3∶

D.4∶

【答案】

6. 【2005全国3，理4】设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，

则四棱锥B —APQC 的体积为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

4

π6

π

16

V 14

V 13

V 12

V

【答案】C

【解析】连接，在侧面平行四边形中，∵，

∴ 四

边

形

APQC

的

面

积

=四边形

的

面

积

，

记B 到面

的距离为h ，∴

，

，

∴

，

∵，∴，∴. 7. 【2005全国2，理2】正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（ ）

(A) 三角形 (B) 四边形

(C) 五边形

(D) 六边形

【答案】D

8. 【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．

B ．

C ．

D ． 11,BA BC 11AAC C 1PA QC =1

S 11PQA C 2

S 11AAC C

11

3B APQC V S h -=1121

3

B PQA

C V S h -=11

B APQ

C B PQA C V V --=11113B A B C V V -=11233B APQC B PQA C V V V V V --+=-

=3

B APQ

C V V -=1111ABC

D A B C D -P Q R AB AD 11B C P Q

R 8171615

1

【答案】D

【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱

【考点定位】三视图．

9. 【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

A ．

1111ABCD A B C D -111A A B D

-90

π

B ．

C ．

D ． 【答案】B 【解析】

试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积

，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积

，故该组合体的体积．故选B ．

【考点】 三视图、组合体的体积

【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 二．能力题组

1. 【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

63π42π36π213436V =π??=π221

(36)272

V =?π??=π12362763V V V =+=π+π=π172759

1027

1

3

2. 【2010全国2，理9】已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝

( )

A．

C．2 D．3

【答案】：C

3

3. 【2011新课标，理15】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝

则棱锥O -ABCD 的体积为

__________．

【答案】 【解析】

4. 【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C

【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为

，此时，故，则球的表面积为，故选C ．

【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．

5. 【2016高考新课标2理数】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

AOB O ABC -O R 23111

36326

O ABC C AOB V V R R R --==

??==6R =O 24144S R ππ==

（A ）20

（B ）24

（C ）28

（D ）32

【答案】C

【考点】三视图，空间几何体的表面积 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:

6.【2016高考新课标2理数】α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：

①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m α，那么m ∥β.

④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④

【考点】空间中的线面关系

【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线、面位置关系.

7.【2017课标II ，理10】已知直三棱柱中，，，，

则异面直线与所成角的余弦值为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

试题分析：如图所示，补成直四棱柱， 则所求角为，

易得，因此

C ．

【考点】 异面直线所成的角、余弦定理、补形的应用

【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；

111ABC A B C -120ABC ∠=?2AB =11BC CC ==1AB 1BC 2

5

5

3

1111ABCD A B C D -1111,

BC D BC BD C D AB ∠=====222

11C D BD BC =+111cos BC BC D C D ∠=

==

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 三．拔高题组

1. 【2014新课标，理11】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）

A. B.

【答案】

C

2. 【2013课标全国Ⅱ，理7】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．

【答案】：A

(0,]2

110

25

3. 【2010全国2，理11】与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点( )

A ．有且只有1个

B ．有且只有2个

C ．有且只有3个

D ．有无数个 【答案】：D

【解析】经验证线段B 1D 上的点B ，D ，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点． 4. 【2005全国2，理12】将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里．这个正四面体的高的最小值为（ ）

(A) (B) (C)

【答案】C

【解析】由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2

，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面

（1即小钢球的半径），

2+

4+

1

4

14=1+

所以可知正四棱锥的高的最小值为

C ． 5. 【2012全国，理16】三棱柱ABC －A 1B 1C

1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1＝∠

CAA 1＝60°，则异面直线AB

1与BC 1所成角的余弦值为__________． 【答案】

：

6. 【2010全国2，理16】已知球O

的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆

N 的公共弦，AB ＝4，若OM ＝ON ＝

3，则两圆圆心的距离MN ＝________. 【答案】：3

【解析】：∵|

OM |＝|ON |＝

3，

∴圆M 与圆N

取AB 中点C ，连结MC

、NC ，则MC ⊥

AB ，NC ⊥AB ，

|MC |＝|NC |

易知OM 、CN 共面且OM ⊥MC ，ON ⊥NC ，

|OC |，

sin ∠OCM ∴|MN |＝2|MC |·sin∠OCM ＝＝3. 1)44+?=+

6

2

7. 【2005全国2，理20】(本小题满分12分)

如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，、分别为、的中点．

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 设，求与平面所成的角的大小．

∵PB 、FA 为平面PAB 内的相交直线 ∴EF ⊥平面PAB

P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD AD PD =E F CD PB EF ⊥

PAB AB =AC

AEF

方法二

以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。

(I)证明：设E(，0,0)，其中>0，则C(2，0,0)，A(0,1，0)，B(2，1,0)，P(0,0，1)，F(，

，)。

，∴EF ⊥PB ，∴EF ⊥AB

又PB 平面PAB ，AB 平面PAB ，PB∩AB=B ∴EF ⊥平面PAB

121

2

11

(0,,),(2,1,1),(2,0,0)22

EF PB a AB a ==-=0EF PB ?=0AB EF ?=?

?

8. 【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）

如图，长方体中,，，，点，分别在，上，

．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

． 1111ABCD A B C D -=16AB =10BC 18AA =E F 11A B 11C D 114A E D F ==E F αAF

α15

D

D 1

C 1

A 1 E

F

A B

C

B 1

【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．

9. 【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE =CF =

，EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△的位置，. （Ⅰ）证明：

平面ABCD ；

（Ⅱ）求二面角的正弦值

.

5

4

D EF

'OD '=D H '⊥B D A C '--

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）. 【解析】

故. 又，而，

所以.

25

D H OH '⊥D H EF '⊥OH

EF H =D H ABCD '⊥

平面

【考点】线面垂直的判定、二面角.

【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α；③α∥β，

a ⊥α?a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法

就是分别求出二面角的两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 10. 【2014新课标，理18】（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，

，求三棱锥

E-ACD 的体积.