2018年普通高中学业水平考试数学模拟试卷二参考答案

2018年普通高中学业水平考试数学模拟试卷(二)参考答案

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M={1，2}，N={2，3}，则M ∪N 的子集的个数为 A ．4 B ．7 C ．8 D ．16 解：∵M ∪N={1，2，3}，∴选C 2．下列函数中，为奇函数的是 A ．f (x )=

2

1x B ．f (x )=1

x

C ．f (x )=x 2

D ．f (x )=cos x

解：选B

3

则y 与x 的线性回归方程a x b y

???+=必过点 A ．(2，6)

B ．(2.5，6)

C ．(3，8)

D ．(3.5，8)

解：线性回归方程a x b y

???+=必过数据中心，选B 4化简：(sin α-cos α)2=

A ．1+sin2α

B ．1-sin α

C ．1-sin2α

D ．1+sin α

解：选C

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．π2

B ．π

C ．3π2

D ．2π

解：这是半圆柱的三视图，选B

6．已知角α的终边经过点P(-3，-4)，则下列结论中正确的是 A ．tan α=-4

3

B ．sin α=-4

5

C ．cos α=3

5

D ．sin α=4

5

解：∵点P(-3，-4)在第三象限，∴选B

7．已知向量a =(x ，1)，b =(3，6)，若a ⊥b ，则实数x 的值为 A ．12

B ．-12

C ．2

D ．-2

解：由3x +6=0知选D

8．在等差数列{a n }中，若a 2+a 8=6，a 1=1，则a 9等于 A ．5 B ．9 C ．10 D ．11 解：∵a 2+a 8=6，∴a 5=3，又a 1=1，∴4d =2，于是a 9=a 1+8d =5，选A 9．阅读右边的流程图，输出的结果是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

解：x =1→y =3→b =7，选D

10．由直线y =x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 A ．1 B ．7 C ．2 2 D ．3 解：首先圆心(3，0)到直线x -y +1=0的距离为d =22， 所以切线长的最小值为722=-r d ，选B

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5)上的数据的频数为________.

解：∵在区间[4，5)上的数据的频率为0.3，∴频数为30。 12．已知直线l 1：y =3x +1，l 2：kx -2y -3=0，若l 1∥l 2，则k =________.

解：由12

3--=k 知k =6

13．若x >0，则2x +1

x 的最小值为________.

解：由均值不等式立得2x +1

x

的最小值为2 2

14．已知点(x ，y )在如图所示的阴影部分内运动，则z =2x +y 的最小值为________.

解：由于动直线y =-2x +z 经过点A 时z 最小，所以z 的最小值为1 15设???>≤=0

,ln 0,)(x x x e x g x ，则=-))21

((g g ________.

解：因为21

)21(-=-e g ，所以2

1

ln )())21((21

21

-===---e e g g g

三、解答题：本大题共5小题，满分40分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本题满分6分)

如图是一名篮球运动员在某一赛季10场比赛得分原始记录的茎叶图。

(1)计算该运动员这10场比赛的平均得分；

(2)估计该运动员在每场比赛中得分不少于40分的概率。

解：(1)341013

118631691733=++++++---+=x ；

(2)3.010

3

==P

17．(本题满分8分) 已知函数f (x )=sin x +3cos x 。 (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)将函数f (x )的图像上所有的点向右平移π

3个单位，得到函数g (x )的图像，写出g (x )的解析式，并

求g (x )在x ∈(0，π)上的单调递增区间。 解：(1)∵f (x )=sin x +3cos x =2sin(x +π

3)，∴T=2π；

(2)g (x )=f (x -π3)=2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为]2

,0(π。

18．(本题满分8分)

如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为BC 和PC 的中点。 (1)求证：EF ∥平面PBD ；

(2)如果AB=PD ，求异面直线EF 与BD 所成角的正切值。

证：(1)∵E 、F 分别为BC 和PC 的中点，∴EF ∥PB 。 又EF ?平面PBD ，PB ?平面PBD ， ∴EF ∥平面PBD ；

解：(2)由(1)知∠PBD 为异面直线EF 与BD 所成的角， 在Rt △PDB 中，2

22tan ===

∠AB PD BD PD PBD 。

19．(本题满分8分)

在等差数列{a n }中，已知a 2=2，a 4=4。 (1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)设n a

n b 2=，求数列{b n }前5项的和S 5。

解：(1)∵12

42

4=--=

a a d ，∴a n =a 2+(n -2)d =n ； (2)由(1)知

b n =2n ，所以S 5=b 1+b 2+b 3+b 4+b 5=2+4+8+16+32=62。

20．(本题满分10分)

已知函数x

a x f 2

1)(+-=(x >0)。

(1)证明：f (x )在(0，+∞)上为减函数； (2)解关于x 的不等式f (x )>0；

(3)若f (x )+2x ≥0在(0，+∞)上恒成立，求a 的取值范围。

证：(1)∵x >0，∴02

)(2<-='x

x f ，因此f (x )在(0，+∞)上为减函数；

解：(2)∵x >0，∴不等式f (x )>0即a x 1

2>，也即21

当a >0时，解21

当a <0时，解21

得x >2a ，此时解集为{x |x >0}。

综上，f (x )>0不等式f (x )>0的解集为{x |00的解集为{x |x >0}。

(3)f (x )+2x ≥0在(0，+∞)上恒成立，即a

1

≤2x +2x 在(0，+∞)上恒成立，

由于y =2x +2x 在(0，+∞)上的最小值为4，所以a

1

≤4，解得实数a 的取值范围是),41[)0,(+∞-∞ 。