【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之144导数研究函数最值
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之144导数研究函数最值一、选择题(共40小题;共200分)
1. 设函数f x=e2x2+1
x ,g x=e
2x
e
,对任意x1,x2∈0,+∞,不等式g x1
k
≤f x2
k+1
恒成立,则正数
k的取值范围是
A. 1,+∞
B. 1,+∞
C. 1
2e?1,+∞ D. 1
2e?1
,+∞
2. 当x∈?2,1时,不等式mx3≥x2?4x?3恒成立,则实数m的取值范围是
A. ?6,?9
8
B. ?6,?2
C. ?5,?3
D. ?4,?3
3. 函数f x=3x?4x3,x∈0,1的最大值是
A. 1
2
B. ?1
C. 0
D. 1
4. 已知函数f x=x2+m与函数g x=?ln1
x ?3x x∈1
2
,2的图象上至少存在一对关于x轴对
称的点,则实数m的取值范围是
A. 5
4+ln2,2 B. 2?ln2,5
4
+ln2
C. 5
4
+ln2,2?ln2 D. 2?ln2,2
5. 若f x=sin3x+a cos2x在0,π上存在最小值,则实数a的取值范围是
A. 0,3
2B. 0,3
2
C. 3
2
,+∞ D. 0,+∞
6. 下列命题正确的是
A. 若ln a?ln b=a?3b,则a>b>0
B. 若ln a?ln b=a?3b,则0 C. 若ln a?ln b=3b?a,则a>b>0 D. 若ln a?ln b=3b?a,则0 7. 已知函数f x=x?ln x+ 在区间1 e ,e2上任取三个实数a,b,c,均存在以f a,f b,f c为边长的三角形,则实数 的取值范围是 A. ?∞,e2 B. ?∞,e2?4 C. e2,+∞ D. e2?4,+∞ 8. 已知函数f x=ln x?m x+n x+1 m>0,n∈R在0,+∞上不单调,若m?n>λ恒成立,则实数λ的取值范围为 A. 3,+∞ B. 4,+∞ C. ?∞,3 D. ?∞,4 9. 设实数λ>0,若对任意的x∈0,+∞,不等式eλx?ln x λ ≥0恒成立,则λ的最小值为 A. 1 e B. 1 2e C. 2 e D. e 3 10. 已知函数f x=1 e ?e x+a 2 x2?a+1x+a a>0,其中e为自然对数的底数.若函数 y=f x与y=f f x有相同的值域,则实数a的最大值为 A. e B. 2 C. 1 D. e 2 11. 若函数f x=x?1x+2x2+ax+b是偶函数,则f x的最小值为 A. ?25 4B. 7 4 C. ?9 4 D. 41 4 12. 函数f x=?x+1 x 在 ?2,?1 3 上的最大值是 A. 3 2B. ?8 3 C. ?2 D. 2 13. 已知函数f x=a e x?2x?2a,a∈1,2,若函数f x在区间0,ln2上的值域为p,q,则 A. p≥?5 2,q≤?1 2 B. p≥?1 2 ,q≤1 2 C. p≥?2,q≤?1 D. p≥?1,q≤0 14. 函数f x=3x?4x3x∈0,1的最大值是 A. 1 B. 1 2 C. 0 D. ?1 15. 函数f x=1 2e x sin x+cos x在区间0,π 2 上的值域为 A. 1 2,1 2 eπ B. 1 2 ,1 2 eπ C. 1,eπ D. 1,eπ 16. 函数f x=x3?3x?1,若对于区间?3,2上的任意x1,x2都有∣f x1?f x2∣≤t,则实 数t的最小值是 A. 20 B. 18 C. 3 D. 0 17. 函数f x=x3?3x2在区间?2,4上的最大值为 A. ?4 B. 0 C. 16 D. 20 18. 函数f x=ln x?x a a>0,若?x0∈R,使得?x1∈1,2都f x1 范围是 A. 0,1 B. 1,2 C. 2,+∞ D. 0,1∪2,+∞ 19. 如图,已知矩形ABCD中,AB=2,BC=1,O为线段AB的中点,动点P从B出发,沿矩形 ABCD的边逆时针运动,运动至A点时终止.设∠BOP=x,OP=d,将d表示为x的函数d=f x.则下列命题中: ①f x有最小值1; ②f x有最大值; ③f x有3个极值点; ④f x有4个单调区间. 其中正确的是 A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④ 20. 函数f x x>0的导函数为f?x,若xf?x+f x=e x,且f1=e,则 A. f x的最小值为e B. f x的最大值为e C. f x的最小值为1 e D. f x的最大值为1 e 21. 如果函数f x=1 3 x3?a2x满足:对于任意的x1,x2∈0,1,都有|f x1?f x2|≤1恒成立,则a的取值范围是 A. ?23 3,23 3 B. ?23 3 ,23 3 C. ?23 3,0∪0,23 3 D. ?23 3 ,0∪0,23 3 22. 设奇函数f x在R上存在导数f?x,且在0,+∞上f?x 1 3 1?m3?m3,则实数m的取值范围为 A. ?1 2,1 2 B. 1 2 ,+∞ C. ?∞,1 2D. ?∞,?1 2 ∪1 2 ,+∞ 23. 函数f x=2x3?3x2?12x+5在0,3上的最大值和最小值分别是 A. 5,?15 B. 5,?4 C. ?4,?15 D. 5,?16 24. 若函数f x=1?2x,x≤0 x3?3x+a,x>0的值域为0,+∞,则实数a的取值范围是 A. 2≤a≤3 B. a>2 C. a≥2 D. 2≤a<3 25. 已知函数f x=x3+ax2+bx+c,x∈?2,2表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率 均为?1,有以下命题: ①f x的解析式为:f x=x3?4x,x∈?2,2;②f x的极值点有且仅有一个;③f x的最 大值与最小值之和等于零,则下列选项正确的是 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 26. 已知定义在R上的奇函数f x,满足2016f?x 论正确的是 A. f2016<0 B. f2016 C. f2<0 D. f2>e?4032 27. 已知函数f x=ln x 2+1 2 ,g x=e x?2,对?m∈R,?n∈0,+∞使得g m=f n成立,则 n?m的最小值为 A. ?ln2 B. ln2 C. 2e?3 D. e2?3 28. 若函数f x=e x sin x+a cos x在π 4,π 2 上单调递增,则实数a的取值范围是 A. ?∞,1 B. ?∞,1 C. 1,+∞ D. 1,+∞ 29. 已知函数f x=e2x,g x=ln x+1 2 ,对?a∈R,?b∈0,+∞,使得f a=g b,则b?a 的最小值为 A. 1+ln2 2B. 1?ln2 2 C. 2e?1 D. e?1 30. 设函数f x=e x x3?3x+3?a e x?x x≥?2,若不等式f x≤0有解.则实数a的最小 值为 A. 2 e ?1 B. 2?2 e C. 1+2e2 D. 1?1 e 31. 直线y=m分别与y=2x+3及y=x+ln x交于A,B两点,则∣AB∣的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 32. 函数f x= x?a2+e,x≤2 x ln x +a+10,x>2(e是自然对数的底数),若f2是函数f x的最小值,则 a的取值范围是 A. ?1,6 B. 1,4 C. 2,4 D. 2,6 33. 函数y=f x图象上不同两点A x1,y1,B x2,y2处的切线的斜率分别是k A,k B,规定 φA,B=∣k A?k B∣ ∣AB∣ 叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.设曲线y=e x上不同的两点 A x1,y1, B x2,y2,且x1?x2=1,若t?φA,B<3恒成立,则实数t的取值范围是 A. ?∞,3 B. ?∞,2 C. ?∞,1 D. 1,3 34. 已知函数f x=e2x,g x=ln x+1 2 的图象分别与直线y=b交于A,B两点,则∣AB∣的最小值为 A. 1 B. e 1 2 C. 2+ln2 2 D. e?ln3 2 35. 已知函数f x=x e x?m 2 x2?mx,则函数f x在1,2上的最小值不可能为 A. e?3 2m B. ?1 2 m ln2m C. 2e2?4m D. e2?2m 36. 已知函数f x=x+x ln x,若m∈Z,且f x?m x?1>0对任意的x>1恒成立,则m的 最大值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 37. 已知a,b∈R,且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立,则ab的最大值是 A. 1 2e3 B. 2 2 e3 C. 3 2 e3 D. e3 38. 设函数f x=x+2?a x?a,若存在唯一的整数x0使得f x0<0,则实数a的取值范围 为 A. 6 3,35?7 4 B. 6 3 ,15?5 2 C. 22?2,3 2D. 22?2,15?5 2 39. 设函数f x与g x是定义在同一区间a,b上的两个函数,若对任意的x∈a,b,都有 ∣f x?g x∣≤1,则称f x与g x在a,b上是“密切函数”,区间a,b称为“密切区间”.设 函数f x=ln x与g x=mx?1 x 在1 e ,e上是“密切函数”,则实数m的取值范围是 A. e?2,2 B. e?1,2 C. 1 e ?e,1+e D. 1?e,1+e 40. 若对任意的x,y∈0,+∞,不等式e x+y?4+e x?y?4+6≥4x ln a恒成立,则正实数a的最大值 是 A. e B. 1 2 e C. e D. 2e 二、填空题(共40小题;共200分) 41. 函数y=x+2cos x在区间0,π 2 上的最大值是. 42. 已知函数f x=?x3+ax2?4在x=2处取得极值,若m,n∈?1,1,则f m+f?n的最 小值是. 43. 设函数f x=2x3?3x2?12x+5在?2,1上的最大,最小值分别是M,n,则M? m=. 44. 已知函数f x=a x+x2?x ln a,对任意的x1,x2∈0,1,不等式∣f x1?f x2∣≤a?1恒 成立,则a的取值范围为. 45. 已知y=f x的图象在点1,f1处的切线方程为y=x?1,且f?x=ln x+1,则函数 f x的最小值为. 46. 若曲线C1:y=ax2a>0与曲线C2:y=e x在0,+∞上存在公共点,则a的取值范围 为. 47. 已知函数f x=x m+e?x(其中e为自然对数的底数),曲线y=f x上存在不同的两点, 使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,则实数m的取值范围是. 48. 设函数f x=x ln x,则f x在点1,0处的切线方程是;函数f x=x ln x的最小值 为. 49. 设点P在曲线y=1 2 e x上,点Q在曲线y=ln2x上,则∣PQ∣∣的最小值为. 50. 已知f x=x3?3x+3+m m>0,在区间0,2上存在三个不同的实数a,b,c,使得以 f a,f b,f c为边长的三角形是直角三角形,则m的取值范围是. 51. 已知a≥1,f x=x3+3∣x?a∣,若函数f x在?1,1上的最大值和最小值分别记为M, m,则M?m的值为. 52. 已知函数f x=ln x+1 x ,若对任意的x∈1,+∞及m∈1,2,不等式f x≥m2?2tm+2恒成立,则实数t的取值范围是. 53. 函数f x=e x?x(e为自然对数的底数)在区间?1,1上的最大值是. 54. 已知a≤1?x x +ln x对任意的x∈1 2 ,2恒成立,则实数a的最大值为. 55. 已知函数f x=2x3?6x2+3,若对任意的x∈?2,2,f x≤a恒成立,则实数a的取值范 围是. 56. 已知函数f x=?x3+x2+b在x∈ ?1 2,1上的最大值为3 8 ,则b=. 57. 已知y=f x是奇函数,当x∈0,2时,f x=ln x?ax a>1 2 ,当x∈?2,0时,f x的 最小值为1,那么实数a的值为. 58. 函数f x=1 2 x2?ln x的最小值为. 59. 若函数f x=x3?3ax?a在0,1内有最小值,则实数a的取值范围为. 60. 函数f x=e x sin x在区间0,π 2 上的值域为. 61. 已知函数p x=ln x+1,q x=e x,若q x1=p x2成立,则x2?x1的最小值为. 62. 如图,矩形ABCD的边AB在x轴上,顶点C,D在函数y=x+1 x x>0的图象上.若 AB=m,BC=n,则m n2 的最大值为. 63. 已知函数f x=x∣x2?a∣,若存在x∈1,2,使得f x<2,则实数a的取值范围是. 64. 函数f x=x e?x,x∈0,4的最小值为. 65. 已知函数f x=1 2 x4?2x3+3m,x∈R,若f x+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是. 66. 设曲线y=ax?1e x在点A x0,y1处的切线为l1,曲线y=1?x e?x在点B x0,y2处的切 线为l2.若存在0≤x0≤3 2 ,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围是. 67. 函数y=ln x?x在x∈0,e上的最大值为. 68. 设点M x1,f x1和点N x2,g x2分别是函数f x=e x?1 2 x2和g x=x?1图象上的点,且x1≥0,x2>0,若直线MN∥x轴,则M,N两点间的距离的最小值为. 69. 已知函数f x=a ln x+1?x2,在区间0,1内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式 f p+1?f q+1 p?q >1恒成立,则实数a的取值范围为. 70. 已知x,y,z均为非负数且x+y+z=2,则1 3 x3+y2+z的最小值为. 71. 已知函数f x=x?a x+a ,若对于定义域内任意x1,总存在x2使得f x2 72. 已知函数f x=e x+m ln x(m∈R,e为自然对数的底数),若对任意正数x1,x2,当 x1>x2时都有f x1?f x2>x2?x1成立,则实数m的取值范围是. 73. △ABC中,sin A?B=sin C?sin B,D是边BC的一个三等分点(靠近点B),记sin∠ABD sin∠BAD =λ,则当λ取最大值时,tan∠ACD=. 74. 已知a>0,b>?1,且a+b=1,则a2+2 a +b2 b+1 的最小值为. 75. 若实数x,y满足2x?3≤ln x+y+1+ln x?y?2,则xy=. 76. 若x∈1,+∞时,关于x的不等式x ln x x+1 ≤λx?1恒成立,则实数λ的取值范围为. 77. 已知函数f x=ln x+e?a x?b,其中e为自然对数的底数.若不等式f x≤0恒成立,则 b a 的最小值为. 78. 函数y=f x图象上不同两点A x1,y1,B x2,y2处的切线的斜率分别是k A,k B,规定 φA,B=∣k A?k B∣ ∣AB∣2 叫做曲线y=f x在点A,B之间的“平方弯曲度”.设曲线y=e x+x上不同两点A x1,y1,B x2,y2,且x1?x2=1,则φA,B的取值范围是. 79. 在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f x=e x x>0的图象上的动点,该图象在点P处 的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是. 80. 已知函数f x=e x+a ln x的定义域是D,关于函数f x给出下列命题: ①对于任意a∈0,+∞,函数f x是D上的减函数; ②对于任意a∈?∞,0,函数f x存在最小值; ③存在a∈0,+∞,使得对于任意的x∈D,都有f x>0成立; ④存在a∈?∞,0,使得函数f x有两个零点. 其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号). 三、解答题(共20小题;共260分) 81. 已知函数f x=x3+ax2+b的图象上一点P1,0,且在P点处的切线与直线3x+y=0平行. (1)求函数f x的解析式; (2)求函数f x在区间0,t0 (3)在(1)的结论下,关于x的方程f x=c在区间1,3上恰有两个相异的实根,求实数c 的取值范围. 82. 已知函数f x=x+a x +b x≠0,其中a,b∈R. (1)若曲线y=f x在点P 2,f2处的切线方程为y=3x+1,求函数f x的解析式; (2)讨论函数f x的单调性; (3)若对于任意的a∈1 2,2,不等式f x≤10在1 4 ,1上恒成立,求b的取值范围. 83. 设函数f x=x4+ax3+2x2+b x∈R,其中a,b∈R. (1)当a=?10 3 时,讨论函数f x的单调性; (2)若函数f x仅在x=0处有极值,求a的取值范围; (3)若对于任意的a∈?2,2,不等式f x≤1在?1,1上恒成立,求b的取值范围. 84. 已知函数f x=ln x?ax,a∈R. (1)若函数f x在点1,f1处切线方程为y=3x+b,求a,b值; (2)当a>0时,求函数f x在1,2上的最小值; (3)设g x=x2?2x+2,若对任意x1∈0,+∞,均存在x2∈0,1,使得f x1 85. 已知函数 f x =12x 2? a +1 a x +ln x ,其中 a >0. (1)当 a =2 时,求曲线 y =f x 在点 1,f 1 处切线的方程; (2)当 a ≠1 时,求函数 f x 的单调区间; (3)若 a ∈ 0,1 2 ,证明对任意 x 1,x 2∈ 1 2,1 x 1≠x 2 ,∣f x 1 ?f x 2 ∣ x 12?x 2 2<1 2 恒成立. 86. (1)证明:当 x >1 时,不等式 x ?1> x ln x 成立; (2)试探求对任意 x >0 且 x ≠1,不等式 x?m ln x > x 恒成立的充要条件. 87. 设函数 f x =e x ?ax ?a 2(x ∈R ,实数 a ∈ 0,+∞ ,e =2.71828? 是自然数的底数, e =1.64872?). (1)若 f x ≥0 在 x ∈R 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 e x ≥ln x +m 对任意 x >0 恒成立,求证:实数 m 的最大值大于 2.3. 88. 已知函数 f x =ln x ?ax 在 x =2 处的切线 l 与直线 x +2y ?3=0 平行. (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f x +m =2x ?x 2 在 1 2,2 上恰有两个不相等的实数根,求实数 m 的取 值范围; (3)记函数 g x =f x +1 2x 2?bx ,设 x 1,x 2 x 1 2,且 g x 1 ?g x 2 ≥k 恒成立,求实数 k 的最大值. 89. 已知函数 f x =x ?ln x +a 的最小值为 0,其中 a >0. (1)求 a 的值; (2)若对任意的 x ∈ 0,+∞ ,有 f x ≤kx 2 成立,求实数 k 的最小值; (3)证明: 2 2i?1n i =1?ln 2n +1 <2 n ∈N ? . 90. 已知函数 f x =x e ?x x ∈R . (1)求函数 f x 的单调区间和极值; (2)已知函数 y =g x 的图象与函数 y =f x 的图象关于直线 x =1 对称,证明:当 x >1 时,f x >g x ; (3)如果 x 1≠x 2,且 f x 1 =f x 2 ,证明:x 1+x 2>2. 91. 已知 x =1 是函数 f x =mx 3?3 m +1 x 2+nx +1 的一个极值点,其中 m ,n ∈R ,m <0. (1)求 m 与 n 的关系表达式; (2)求 f x 的单调区间; (3)当 x ∈ ?1,1 时,函数 y =f x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ,求 m 的取值范 围. 92. 已知函数 f x = 2?a x ?2 1+ln x +a ,g x =e x e x . (1)若函数 f x 在区间 0,1 2 无零点,求实数 a 的最小值; (2)若对任意给定的 x 0∈ 0,e ,在 0,e 上方程 f x =g x 0 总存在两个不等的实根,求实 数 a 的取值范围. 93. 已知函数 f x =nx ?x n ,x ∈R ,其中 n ∈N ?,且 n ≥2. (1)讨论f x的单调性; (2)设曲线y=f x与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g x,求证:对于任意的正实数x,都有f x≤g x; (3)若关于x的方程f x=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:∣x2?x1∣ 1?n +2.94. 已知函数f x=4x?x4,x∈R. (1)求f x的单调区间; (2)设曲线y=f x与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g x,求证:对于任意的实数x,都有f x≤g x; (3)若方程f x=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,且x1 3 + 413. 95. 已知函数f x=1 3x3+1?a 2 x2?ax?a,x∈R,其中a>0. (1)求函数f x的单调区间; (2)若函数f x在区间?2,0内恰有两个零点,求a的取值范围; (3)当a=1时,设函数f x在区间t,t+3上的最大值为M t,最小值为m t,记 g t=M t?m t,求函数g t在区间?3,?1上的最小值. 96. 已知函数f x=ax+x ln x a∈R. (1)若函数f x在区间e,+∞上为增函数,求a的取值范围; (2)若函数f x的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.且k∈Z时,不等式k x?1 (3)当n>m≥4时,证明:mn n m>nm m n. 97. 已知函数f x=ln x?ax+1?a x ?1a∈R. (1)当a≤1 2 时,讨论f x的单调性; (2)设g x=x2?2bx+4,当a=1 4 时,若对任意x1∈0,2,存在x2∈1,2,使f x1≥ g x2,求实数b的取值范围. 98. 已知函数f x=m ln x?x2+2m∈R. (1)当m=1时,求函数f x的单调区间; (2)若m≤8,当x≥1时,恒有f x?f?x≤4x?3成立,求m的取值范围.(提示ln2≈0.7) 99. 已知函数f x=e?x?ax x∈R. (1)当a=?1时,求函数f x的最小值; (2)若x≥0,f?x+ln x+1≥1,求实数a的取值范围; (3)求证:e2?e<3 2 . 100. 设函数f x=ln x,g x=m x+n x+1 m>0. (1)当m=1时,函数y=f x与y=g x在x=1处的切线互相垂直,求n的值; (2)若函数y=f x?g x在定义域内不单调,求m?n的取值范围; (3)是否存在实数a,使得f2a x ?f e ax+f x 2a ≤0对任意正实数x恒成立?若存在,求出 满足条件的实数a;若不存在,请说明理由. 答案 第一部分 1. A 2. B 3. D 【解析】函数f x=3x?4x3的导数为f?x=3?12x2=31?4x2, 由f?x=0,可得x=1 2(?1 2 舍去), f x在0,1 2递增,1 2 ,1递减, 可得f x在x=1 2 处取得极大值,且为最大值1. 4. D 【解析】由题意知方程f x+g x=x2+m?ln1 x ?3x=0在1 2 ,2上有解,等价于 m=?x2+3x?ln x. 令 x=?x2+3x?ln x,则 ?x=?2x?1x?1 x . 令 ?x=0,得x=1 2或1,则由 1=2, 2=2?ln2, 1 2 =5 4+ln2 ,比较大小知 x max=2, x min=2?ln2. 所以实数m的取值范围是2?ln2,2. 5. D 【解析】由f?x=3sin2x?cos x+2a cos x??sin x=3sin x?cos x?sin x?2a 3 ,x∈0,π, 因为sin x>0,令g x=cos x?sin x?2a 3 , 若2a 3≥1,即a≥3 2 时,sin x?2a 3 ≤0恒成立, 所以x∈0,π 2时g x<0,x∈π 2 ,π 时g x>0, 所以当x=π 2 时f x有最小值, 当0<2a 3<1,即0 2 时,令sin x?2a 3 =0, 不妨设两解为x1,x2, 当x∈0,x1时g x<0,x∈ x1,π 2 时g x>0, 当x∈π 2 ,x2时g x<0,当x∈x2,π时,g x>0,所以函数f x必有最小值f x1与f x2中较小者. 6. C 【解析】设f x=ln x?x,g x=ln x?3x, 因为f?x=1 x ?1=1?x x ,由0 所以函数f x在0,1上递增,在1,+∞上递减,所以f x≤f1=?1, 同理可知函数g x在0,1 3上递增,在1 3 ,+∞ 上递减,g x≤g1 3 =?ln3?1, 因为f x?g x=2x>0, 所以当f a=g b时,a,b的大小关系不确定; 令 x=ln x+x,d x=ln x+3x, 因为 x,d x在0,+∞上递增,且 x?d x=?2x<0,所以 a=d b时,a>b>0. 7. D 【解析】任取三个实数 a ,b ,c ,均存在以 f a ,f b ,f c 为边长的三角形, 等价于 f a +f b >f c 恒成立, 所以 2f x min >f x max 且 f x max >0, 令 f? x =?1 x +1=0,解得 x =1. 当 1 e 当 1 所以当 x =1 时,f x min =f 1 =1+ ,f x max =max f 1 e , f e 2 =max 1 e +1+ ,e 2?2+ , 从而得到 2 1+ >e 2?2+ ,1+ >0, 解得 >e 2?4. 所以实数 的取值范围是 e 2?4,+∞ . 8. C 【解析】f? x =1 x ?m x +1 ?m x +n x +1=x 2+ mn ?m +2 x +1 x x +1 2 . 因为函数 f x =ln x ?m x +n x +1 m >0,n ∈R 在 0,+∞ 上不单调, 所以函数 f x 在 0,+∞ 上存在极值点. 所以 x 2+ mn ?m +2 x +1=0 有不相等的正的实数根. 所以 m ?mn ?2>0,Δ= m ?2?mn 2?4>0, 由 Δ>0 化为: m ?mn ?4 1?n >0, 所以 m ?mn ?4>0,1?n >0 或 m ?mn ?4<0,1?n <0, 由 m ?mn ?4>0,1?n >0, 可得:m >4 1?n >2 1?n , 所以 m ?n >4 1?n ?n =g n , g? n = 3?n 1+n 1?n 2 , 可得:n =?1 时,函数 g n 取得极小值即最小值,g ?1 =3. 所以 λ<3. 由 m ?mn ?4<0,1?n <0. 可得:m >4 1?n ,而 4 1?n <2 1?n ,舍去. 综上可得:λ<3. 9. A 【解析】实数 λ>0,若对任意的 x ∈ 0,+∞ ,不等式 e λx ?ln x λ ≥0 恒成立,即为 e λx ? ln x λ min ≥0, 设 f x =e λx ? ln x λ ,x >0,f? x =λe λx ?1 λx , 令 f? x =0,可得 e λx =1 λ2x , 由指数函数和反比例函数在第一象限的图象, 可得y=eλx和y=1 λ2x 有且只有一个交点, 设为m,n,当x>m时,f?x>0,f x递增;当0 即有f x在x=m处取得极小值,且为最小值. 即有eλm=1 λm ,令eλm?ln m λ =0, 可得m=e,λ=1 e , 则当λ≥1 e 时,不等式eλx?ln x λ ≥0恒成立. 则λ的最小值为1 e .10. B 【解析】f x=1 e ?e x+a 2 x2?a+1x+a a>0, f?x=1 e ?e x+ax?a+1,a>0, 则x<1时,f?x<0,f x递减, x>1时,f?x>0,f x递增, 而x→+∞时,f x→+∞,f1=a 2 , 即f x的值域是a 2 ,+∞ ,恒大于0, 而f f x的值域是a 2 ,+∞ , 则要求f x的范围包含1,+∞, 即1,+∞?a 2 ,+∞ , 故a 2 ≤1,解得:a≤2, 故a的最大值是2. 11. C 【解析】根据题意,函数f x=x?1x+2x2+ax+b是偶函数,则有f?x=f x,即?x?1?x+2x2?ax+b=x?1x+2x2+ax+b, 分析可得:?21?a+b=0,44+2a+b=0, 解可得:a=?1,b=?2, 则f x=x?1x+2x2?x?2=x4?5x2+4,f?x=4x3?10x=x4x2?10, 令f?x=0,可得当x=±10 2 时,f x取得最小值; 又由函数为偶函数, 则f x min=10 24 ?510 2 2 +4=?9 4 . 12. A 【解析】函数f x=?x+1 x 的导数为f?x=?1?1 x2 ,则f?x<0, 可得f x在 ?2,?1 3上递减,即有f?2取得最大值,且为2?1 2 =3 2 . 13. C 【解析】f x=a e x?2?2x是关于a的一次函数,因为当x∈0,ln2时,e x?2≤0,a∈1,2, 所以f x的值在2e x?2?2x,e x?2?2x上变化, 令M x=2e x?2?2x, x∈0,ln2,则M?x=2e x?2≥0,M x在x∈0,ln2上为增函数,故M x在x∈0,ln2上的最小值为M0=?2;又令N x=e x?2?2x,同理可求得N x在x∈0,ln2上的最大值N0=?1,所以p≥?2,q≤?1. 14. A 【解析】f?x=3?12x2, 令f?x=0,则x=?1 2(舍去)或x=1 2 , f0=0,f1=?1, f1 2=3 2 ?1 2 =1, 所以f x在0,1上的最大值为1.15. A 【解析】f?x=1 2e x sin x+cos x+1 2 e x cos x?sin x=e x cos x, 当0≤x≤π 2 时,f?x≥0, 所以f x是0,π 2 上的增函数. 所以f x的最大值在x=π 2处取得,fπ 2 =1 2 eπ, f x的最小值在x=0处取得,f0=1 2 . 所以函数值域为1 2,1 2 eπ. 16. A 【解析】对于区间?3,2上的任意x1,x2都有∣f x1?f x2∣≤t,等价于对于区间?3,2上的任意x,都有f x max?f x min≤t, 因为f x=x3?3x?1, 所以f?x=3x2?3=3x?1x+1, 因为x∈?3,2, 所以函数在?3,?1,1,2上单调递增,在?1,1上单调递减. 所以f x max=f2=f?1=1,f x mi n=f?3=?19. 所以f x max?f x min=20, 所以t≥20. 所以实数t的最小值是20. 17. C 18. D 【解析】由题意可知函数f x的定义域为0,+∞,f?x=1 x ?1 a a>0, 当x∈0,a时,f?x>0,f x单调递增;当x∈a,+∞时,f?x<0,f x单调递减; 故f x max=f a,?x0∈R,使得?x1∈1,2都有f x1 所以实数a的取值范围是0,1∪2,+∞. 19. D 【解析】根据图形,P在BC上时,随着x的增大,d不断增大, 所以此时d=f x递增; 若取线段CD的中点E,同理得,P从C到E时,d=f x递减,P从而E到D时,d=f x递增,P从D到A时,d=f x递减; 所以函数d=f x有4个单调区间,有三个极值点; 且d=f x的最小值为1,最大值2; 所以四个命题全正确. 20. A 21. A 【解析】a=0时,满足题意,排除C,D,a=±23 3 时成立,排除B,正确答案为 ?23 3,23 3 . 22. B 23. A 24. A 【解析】x≤0时,0<2x≤1; 所以0≤1?2x<1; 所以x>0时,f x=x3?3x+a的值域B满足1,+∞?B?0,+∞, f?x=3x2?1; 所以0 所以x=1时,f x取最小值a?2; 所以0≤a?2≤1; 所以2≤a≤3; 所以实数a的取值范围是2,3. 25. B 【解析】因为函数f x=x3+ax2+bx+c,x∈?2,2表示的曲线过原点,所以c=0.对函数f x求导,得f?x=3x2+2ax+b, 因为在x=±1处的切线斜率均为?1, 所以f?1=?1,f??1=?1, 即3+2a+b=?1,3?2a+b=?1, 解得a=0,b=?4. 所以f x=x3?4x,x∈?2,2,①正确. f?x=3x2?4,令f?x=0,得x=±23 3 , 所以f x的极值点有两个,②错误. f?2=0,f ?23 3=163 9 ,f23 3 =?163 9 ,f2=0, 所以f x的最大值为163 9,最小值为?163 9 ,最大值与最小值之和等于零,③正确. 26. D 【解析】因为f x为实数集上的奇函数,且2016f?x 令g x=f x e?2016x , 则g?x=f?x?e ?2016x+2016f x?e?2016x e =f?x+2016f x e >0, 所以函数g x=f x e 为实数集上的增函数,又f1=e?2016, 所以g2>g1, 即f2 e?20162>f1 e?2016 =e?2016 e?2016 =1, 所以f2>e?4032 . 27. B 【解析】根据题意,g m=f n, 即e m?2=ln n 2+1 2 , 所以m=2+ln ln n 2+1 2 , 所以 n?m=n?2?ln ln n 2 + 1 2 =lne n?2?ln ln n + 1 =n?2 n e 2 设 x=x?2 x e , 则 ?x=e x?2ln x 2 +1 2 ?1 x ln x 2 +1 2 2 , 令 ?x=0,得ln x 2+1 2 ?1 x =0, 由x>0,可知ln x 2+1 2 ?1 x 递增, 当x=2时, ?x=0,x>2时, ?x>0, x递增;0 可得 x在x=2处取得极小值且最小值 2=2, 所以n?m的最小值为ln2. 28. A 【解析】因为f x=e x sin x+a cos x在π 4,π 2 上单调递增, 所以f?x=e x1?a sin x+1+a cos x≥0在π 4,π 2 上恒成立, 因为e x>0在π 4,π 2 上恒成立, 所以1?a sin x+1+a cos x≥0在π 4,π 2 上恒成立, 所以a sin x?cos x≤sin x+cos x在π 4,π 2 上恒成立, 所以a≤sin x+cos x sin x?cos x , 设g x=sin x+cos x sin x?cos x , 所以g?x=?2 sin x?cos x <0在π 4 ,π 2 上恒成立, 所以g x在π 4,π 2 上单调递减, 所以g x>gπ 2 =1 所以a≤1. 29. A 30. D 【解析】不等式f x≤0有解即e x x3?3x+3?x x≥?2≤a e x有解. 即a≥x3?3x+3?x e x 有解. 设g x=x3?3x+3?x e ,即a≥g x min. g?x=3x2?3+x?1 e =x?13x+3+1 e . 令 x=3x+3+e?x, ?x=3?e?x. ?x≤0解得x≤?ln3; ?x≥0解得x≥?ln3. 所以 x在?2,?ln3单调递减,在?ln3,+∞单调递增. 所以 x≥ ?ln3=32?ln3>0. 所以g?x的正负由x?1决定,g x在?2,1单调递减,在1,+∞单调递增.g x min=g1=1?1 e . 所以a min=1?1 e . 31. B 【解析】设A x1,m,B x2,m, 由图象知y=2x+3的图象总在y=x+ln x图象的上方, 故x1 所以∣AB∣=x2?x1, 又2x1+3=m,x2+ln x2=m, 所以x2?x1=x2?1 2x2+ln x2?3=1 2 x2?1 2 ln x2+3 2 , 令g x=1 2x?1 2 ln x+3 2 , g?x=1 2?1 2x =x?1 2x , x∈0,1时,g x单调递减,x∈1,+∞时,g x单调递增, 所以g x min=g1=1 2?0+3 2 =2. 32. D 【解析】当x>2时,对函数f x=x ln x +a+10的单调性进行研究,求导后发现f x在2,e上单调递减,在e,+∞上单调递增,即函数f x在x>2时的最小值为f e;当x≤2时,f x=x?a2+e是对称轴方程为x=a的二次函数,欲使f2是函数的最小值,则 a≥2, f2≤f e?a≥2, ?1≤a≤6 ?2≤a≤6. 33. A 【解析】y=e x的导数为y?=e x, φA,B=∣k A?k B∣∣AB∣ = x1x2 x1?x22+e x?e x2 = x1x2 1+e x1?e x22 >0, 可得1 φA,B =x x2 ∣e x1?e x2∣ =1+1 e x1?e x22 >1,t?φA,B<3恒成立,则t<3 φA,B 恒成立, 由3 φA,B >3, 即有t≤3. 34. C 35. D 【解析】f?x=e x+x e x?m x+1=x+1e x?m,因为1≤x≤2, 所以e≤e x≤e2, ①当m≤e时,e x?m≥0,由x≥1,可得f?x≥0,此时函数f x单调递增. 所以当x=1时,函数f x取得最小值,f1=e?3 2 m. ②当m≥e2时,e x?m≤0,由x≥1,可得f?x≤0,此时函数f x单调递减. 所以当x=2时,函数f x取得最小值,f2=2e2?4m. ③当e2>m>e时,由e x?m=0,解得x=ln m. 当1≤x 当ln m 所以当x=ln m时,函数f x取得极小值即最小值,f ln m=?m 2 ln2m. 36. B 【解析】因为f x=x+x ln x,所以f x?m x?1>0对任意x>1恒成立,即m x?1 因为x>1,也就是m x?1 对任意x>1恒成立. 令 x=x?ln x+x x?1,则 ?x=x?ln x?2 x?12 , 令φx=x?ln x?2x>1,则φ?x=1?1 x =x?1 x >0, 所以函数φx在1,+∞上单调递增. 因为φ3=1?ln3<0,φ4=2?2ln2>0, 所以方程φx=0在1,+∞上存在唯一实根x0,且满足x0∈3,4. 当1 当x>x0时,φx>0,即 ?x>0, 所以函数 x在1,x0上单调递减,在x0,+∞上单调递增. 所以 x min= x0=x01+x0?2 x0?1 =x0∈3,4. 所以m 因为x0∈3,4,故整数m的最大值是3. 37. A 【解析】若a<0,由于一次函数y=ax+b单调递减,不能满足且e x+1≥ax+b对x∈R 恒成立,则a≥0. 若a=0,则ab=0. 若a>0,由e x+1≥ax+b得b≤e x+1?ax,则ab≤a e x+1?a2x. 设函数f x=a e x+1?a2x, 所以f?x=a e x+1?a2=a e x+1?a,令f?x=0得e x+1?a=0,解得x=ln a?1, 因为x 所以f?x<0,所以函数f x递减; 同理,x>ln a?1时,f?x>0,所以函数f x递增; 所以当x=ln a?1时,函数取最小值,f x的最小值为f ln a?1=2a2?a2ln a. 设g a=2a2?a2ln a a>0,g?a=a3?2ln a a>0, 由g?a=0得a=e 3 ,不难得到a 3 时,g?a>0;a>e 3 时,g?a<0; 所以函数g a先增后减,所以g a的最大值为g e 3 2= 1 2 e3,即ab的最大值是1 2 e3,此时a=e32, b=1 2 e3. 38. A 【解析】f x<0,即x+2x+2 x+1 . 令g x=x+2 x+1,则g?x= 1x?2 x+12 ,令g?x=0得x=4, 所以g x=x+2 x+1 在0,4为减函数,在4,+∞为增函数, 所以若存在唯一的整数x0使得f x0<0,只需满足min g3,g5≥a, g4 所以a∈6 3,35?7 4 . 39. A 【解析】因为函数f x=ln x与g x=mx?1 x 在1 e ,e上是“密切函数”, 所以对任意的x∈1 e ,e,都有∣ f x? g x∣≤1,即有∣∣ln x+1 x ?m∣∣≤1,m?1≤ln x+1 x ≤m+1. 令 x=ln x+1 x 1 e ≤x≤e, ?x=1 x ?1 x =x?1 x ,当x>1时, ?x>0;当x<1时, ?x<0; 所以当x=1时, x取极小值,也是最小值. 故 x在1 e ,e上的最小值为1,最大值为e?1. 所以m?1≤1且m+1≥e?1,e?2≤m≤2. 40. A 【解析】设f x=e x+y?4+e x?y?4+6,则问题转化为不等式4x ln a≤f x恒成立.又因为f x=e x?4e y+e?y+6≥6+2e x?4(当且仅当y=0时取等号), 所以4x ln a≤6+2e x?4,即有2ln a≤3+e x?4 x 在x>0时恒成立, 记g x=3+e x?4 x ,则g?x=e x?4x?1?3 x , 令g?x=0,即x?1e x?4=3, 记 x=x?1e x?4,则 ?x=x e x?4, 因为x>0,e x?4>0,所以 ?x>0, 所以 x在0,+∞上单调递增, 又因为 4=3,即有x?1e x?4=3的根为4, 所以当x>4时g x递增,当0 所以当x=4时,g x取得最小值g4=1, 所以2ln a≤1,ln a≤1 2 ,