【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之144导数研究函数最值

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之144导数研究函数最值
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之144导数研究函数最值

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之144导数研究函数最值一、选择题(共40小题;共200分)

1. 设函数f x=e2x2+1

x ,g x=e

2x

e

,对任意x1,x2∈0,+∞,不等式g x1

k

≤f x2

k+1

恒成立,则正数

k的取值范围是

A. 1,+∞

B. 1,+∞

C. 1

2e?1,+∞ D. 1

2e?1

,+∞

2. 当x∈?2,1时,不等式mx3≥x2?4x?3恒成立,则实数m的取值范围是

A. ?6,?9

8

B. ?6,?2

C. ?5,?3

D. ?4,?3

3. 函数f x=3x?4x3,x∈0,1的最大值是

A. 1

2

B. ?1

C. 0

D. 1

4. 已知函数f x=x2+m与函数g x=?ln1

x ?3x x∈1

2

,2的图象上至少存在一对关于x轴对

称的点,则实数m的取值范围是

A. 5

4+ln2,2 B. 2?ln2,5

4

+ln2

C. 5

4

+ln2,2?ln2 D. 2?ln2,2

5. 若f x=sin3x+a cos2x在0,π上存在最小值,则实数a的取值范围是

A. 0,3

2B. 0,3

2

C. 3

2

,+∞ D. 0,+∞

6. 下列命题正确的是

A. 若ln a?ln b=a?3b,则a>b>0

B. 若ln a?ln b=a?3b,则0

C. 若ln a?ln b=3b?a,则a>b>0

D. 若ln a?ln b=3b?a,则0

7. 已知函数f x=x?ln x+ 在区间1

e

,e2上任取三个实数a,b,c,均存在以f a,f b,f c为边长的三角形,则实数 的取值范围是

A. ?∞,e2

B. ?∞,e2?4

C. e2,+∞

D. e2?4,+∞

8. 已知函数f x=ln x?m x+n

x+1

m>0,n∈R在0,+∞上不单调,若m?n>λ恒成立,则实数λ的取值范围为

A. 3,+∞

B. 4,+∞

C. ?∞,3

D. ?∞,4

9. 设实数λ>0,若对任意的x∈0,+∞,不等式eλx?ln x

λ

≥0恒成立,则λ的最小值为

A. 1

e B. 1

2e

C. 2

e

D. e

3

10. 已知函数f x=1

e ?e x+a

2

x2?a+1x+a a>0,其中e为自然对数的底数.若函数

y=f x与y=f f x有相同的值域,则实数a的最大值为

A. e

B. 2

C. 1

D. e

2 11. 若函数f x=x?1x+2x2+ax+b是偶函数,则f x的最小值为

A. ?25

4B. 7

4

C. ?9

4

D. 41

4

12. 函数f x=?x+1

x 在 ?2,?1

3

上的最大值是

A. 3

2B. ?8

3

C. ?2

D. 2

13. 已知函数f x=a e x?2x?2a,a∈1,2,若函数f x在区间0,ln2上的值域为p,q,则

A. p≥?5

2,q≤?1

2

B. p≥?1

2

,q≤1

2

C. p≥?2,q≤?1

D. p≥?1,q≤0

14. 函数f x=3x?4x3x∈0,1的最大值是

A. 1

B. 1

2

C. 0

D. ?1

15. 函数f x=1

2e x sin x+cos x在区间0,π

2

上的值域为

A. 1

2,1

2

eπ B. 1

2

,1

2

eπ C. 1,eπ D. 1,eπ

16. 函数f x=x3?3x?1,若对于区间?3,2上的任意x1,x2都有∣f x1?f x2∣≤t,则实

数t的最小值是

A. 20

B. 18

C. 3

D. 0

17. 函数f x=x3?3x2在区间?2,4上的最大值为

A. ?4

B. 0

C. 16

D. 20

18. 函数f x=ln x?x

a

a>0,若?x0∈R,使得?x1∈1,2都f x1

范围是

A. 0,1

B. 1,2

C. 2,+∞

D. 0,1∪2,+∞

19. 如图,已知矩形ABCD中,AB=2,BC=1,O为线段AB的中点,动点P从B出发,沿矩形

ABCD的边逆时针运动,运动至A点时终止.设∠BOP=x,OP=d,将d表示为x的函数d=f x.则下列命题中:

①f x有最小值1;

②f x有最大值;

③f x有3个极值点;

④f x有4个单调区间.

其中正确的是

A. ①②

B. ②③

C. ①②④

D. ①②③④

20. 函数f x x>0的导函数为f?x,若xf?x+f x=e x,且f1=e,则

A. f x的最小值为e

B. f x的最大值为e

C. f x的最小值为1

e D.

f x的最大值为1

e

21. 如果函数f x=1

3

x3?a2x满足:对于任意的x1,x2∈0,1,都有|f x1?f x2|≤1恒成立,则a的取值范围是

A. ?23

3,23

3

B. ?23

3

,23

3

C. ?23

3,0∪0,23

3

D. ?23

3

,0∪0,23

3

22. 设奇函数f x在R上存在导数f?x,且在0,+∞上f?x

1

3

1?m3?m3,则实数m的取值范围为

A. ?1

2,1

2

B. 1

2

,+∞

C. ?∞,1

2D. ?∞,?1

2

∪1

2

,+∞

23. 函数f x=2x3?3x2?12x+5在0,3上的最大值和最小值分别是

A. 5,?15

B. 5,?4

C. ?4,?15

D. 5,?16

24. 若函数f x=1?2x,x≤0

x3?3x+a,x>0的值域为0,+∞,则实数a的取值范围是

A. 2≤a≤3

B. a>2

C. a≥2

D. 2≤a<3

25. 已知函数f x=x3+ax2+bx+c,x∈?2,2表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率

均为?1,有以下命题:

①f x的解析式为:f x=x3?4x,x∈?2,2;②f x的极值点有且仅有一个;③f x的最

大值与最小值之和等于零,则下列选项正确的是

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

26. 已知定义在R上的奇函数f x,满足2016f?x

论正确的是

A. f2016<0

B. f2016

C. f2<0

D. f2>e?4032

27. 已知函数f x=ln x

2+1

2

,g x=e x?2,对?m∈R,?n∈0,+∞使得g m=f n成立,则

n?m的最小值为

A. ?ln2

B. ln2

C. 2e?3

D. e2?3

28. 若函数f x=e x sin x+a cos x在π

4,π

2

上单调递增,则实数a的取值范围是

A. ?∞,1

B. ?∞,1

C. 1,+∞

D. 1,+∞

29. 已知函数f x=e2x,g x=ln x+1

2

,对?a∈R,?b∈0,+∞,使得f a=g b,则b?a 的最小值为

A. 1+ln2

2B. 1?ln2

2

C. 2e?1

D. e?1

30. 设函数f x=e x x3?3x+3?a e x?x x≥?2,若不等式f x≤0有解.则实数a的最小

值为

A. 2

e ?1 B. 2?2

e

C. 1+2e2

D. 1?1

e

31. 直线y=m分别与y=2x+3及y=x+ln x交于A,B两点,则∣AB∣的最小值为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

32. 函数f x=

x?a2+e,x≤2

x

ln x

+a+10,x>2(e是自然对数的底数),若f2是函数f x的最小值,则

a的取值范围是

A. ?1,6

B. 1,4

C. 2,4

D. 2,6

33. 函数y=f x图象上不同两点A x1,y1,B x2,y2处的切线的斜率分别是k A,k B,规定

φA,B=∣k A?k B∣

∣AB∣

叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.设曲线y=e x上不同的两点

A x1,y1,

B x2,y2,且x1?x2=1,若t?φA,B<3恒成立,则实数t的取值范围是

A. ?∞,3

B. ?∞,2

C. ?∞,1

D. 1,3

34. 已知函数f x=e2x,g x=ln x+1

2

的图象分别与直线y=b交于A,B两点,则∣AB∣的最小值为

A. 1

B. e 1

2 C.

2+ln2

2

D. e?ln3

2

35. 已知函数f x=x e x?m

2

x2?mx,则函数f x在1,2上的最小值不可能为

A. e?3

2m B. ?1

2

m ln2m C. 2e2?4m D. e2?2m

36. 已知函数f x=x+x ln x,若m∈Z,且f x?m x?1>0对任意的x>1恒成立,则m的

最大值为

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

37. 已知a,b∈R,且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立,则ab的最大值是

A. 1

2e3 B. 2

2

e3 C. 3

2

e3 D. e3

38. 设函数f x=x+2?a x?a,若存在唯一的整数x0使得f x0<0,则实数a的取值范围

A. 6

3,35?7

4

B. 6

3

,15?5

2

C. 22?2,3

2D. 22?2,15?5

2

39. 设函数f x与g x是定义在同一区间a,b上的两个函数,若对任意的x∈a,b,都有

∣f x?g x∣≤1,则称f x与g x在a,b上是“密切函数”,区间a,b称为“密切区间”.设

函数f x=ln x与g x=mx?1

x 在1

e

,e上是“密切函数”,则实数m的取值范围是

A. e?2,2

B. e?1,2

C. 1

e

?e,1+e D. 1?e,1+e

40. 若对任意的x,y∈0,+∞,不等式e x+y?4+e x?y?4+6≥4x ln a恒成立,则正实数a的最大值

A. e

B. 1

2

e C. e D. 2e

二、填空题(共40小题;共200分)

41. 函数y=x+2cos x在区间0,π

2

上的最大值是.

42. 已知函数f x=?x3+ax2?4在x=2处取得极值,若m,n∈?1,1,则f m+f?n的最

小值是.

43. 设函数f x=2x3?3x2?12x+5在?2,1上的最大,最小值分别是M,n,则M?

m=.

44. 已知函数f x=a x+x2?x ln a,对任意的x1,x2∈0,1,不等式∣f x1?f x2∣≤a?1恒

成立,则a的取值范围为.

45. 已知y=f x的图象在点1,f1处的切线方程为y=x?1,且f?x=ln x+1,则函数

f x的最小值为.

46. 若曲线C1:y=ax2a>0与曲线C2:y=e x在0,+∞上存在公共点,则a的取值范围

为.

47. 已知函数f x=x m+e?x(其中e为自然对数的底数),曲线y=f x上存在不同的两点,

使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,则实数m的取值范围是.

48. 设函数f x=x ln x,则f x在点1,0处的切线方程是;函数f x=x ln x的最小值

为.

49. 设点P在曲线y=1

2

e x上,点Q在曲线y=ln2x上,则∣PQ∣∣的最小值为.

50. 已知f x=x3?3x+3+m m>0,在区间0,2上存在三个不同的实数a,b,c,使得以

f a,f b,f c为边长的三角形是直角三角形,则m的取值范围是.

51. 已知a≥1,f x=x3+3∣x?a∣,若函数f x在?1,1上的最大值和最小值分别记为M,

m,则M?m的值为.

52. 已知函数f x=ln x+1

x

,若对任意的x∈1,+∞及m∈1,2,不等式f x≥m2?2tm+2恒成立,则实数t的取值范围是.

53. 函数f x=e x?x(e为自然对数的底数)在区间?1,1上的最大值是.

54. 已知a≤1?x

x +ln x对任意的x∈1

2

,2恒成立,则实数a的最大值为.

55. 已知函数f x=2x3?6x2+3,若对任意的x∈?2,2,f x≤a恒成立,则实数a的取值范

围是.

56. 已知函数f x=?x3+x2+b在x∈ ?1

2,1上的最大值为3

8

,则b=.

57. 已知y=f x是奇函数,当x∈0,2时,f x=ln x?ax a>1

2

,当x∈?2,0时,f x的

最小值为1,那么实数a的值为.

58. 函数f x=1

2

x2?ln x的最小值为.

59. 若函数f x=x3?3ax?a在0,1内有最小值,则实数a的取值范围为.

60. 函数f x=e x sin x在区间0,π

2

上的值域为.

61. 已知函数p x=ln x+1,q x=e x,若q x1=p x2成立,则x2?x1的最小值为.

62. 如图,矩形ABCD的边AB在x轴上,顶点C,D在函数y=x+1

x

x>0的图象上.若

AB=m,BC=n,则m

n2

的最大值为.

63. 已知函数f x=x∣x2?a∣,若存在x∈1,2,使得f x<2,则实数a的取值范围是.

64. 函数f x=x e?x,x∈0,4的最小值为.

65. 已知函数f x=1

2

x4?2x3+3m,x∈R,若f x+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是.

66. 设曲线y=ax?1e x在点A x0,y1处的切线为l1,曲线y=1?x e?x在点B x0,y2处的切

线为l2.若存在0≤x0≤3

2

,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围是.

67. 函数y=ln x?x在x∈0,e上的最大值为.

68. 设点M x1,f x1和点N x2,g x2分别是函数f x=e x?1

2

x2和g x=x?1图象上的点,且x1≥0,x2>0,若直线MN∥x轴,则M,N两点间的距离的最小值为.

69. 已知函数f x=a ln x+1?x2,在区间0,1内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式

f p+1?f q+1

p?q

>1恒成立,则实数a的取值范围为.

70. 已知x,y,z均为非负数且x+y+z=2,则1

3

x3+y2+z的最小值为.

71. 已知函数f x=x?a

x+a

,若对于定义域内任意x1,总存在x2使得f x2

72. 已知函数f x=e x+m ln x(m∈R,e为自然对数的底数),若对任意正数x1,x2,当

x1>x2时都有f x1?f x2>x2?x1成立,则实数m的取值范围是.

73. △ABC中,sin A?B=sin C?sin B,D是边BC的一个三等分点(靠近点B),记sin∠ABD

sin∠BAD

=λ,则当λ取最大值时,tan∠ACD=.

74. 已知a>0,b>?1,且a+b=1,则a2+2

a +b2

b+1

的最小值为.

75. 若实数x,y满足2x?3≤ln x+y+1+ln x?y?2,则xy=.

76. 若x∈1,+∞时,关于x的不等式x ln x

x+1

≤λx?1恒成立,则实数λ的取值范围为.

77. 已知函数f x=ln x+e?a x?b,其中e为自然对数的底数.若不等式f x≤0恒成立,则

b

a

的最小值为.

78. 函数y=f x图象上不同两点A x1,y1,B x2,y2处的切线的斜率分别是k A,k B,规定

φA,B=∣k A?k B∣

∣AB∣2

叫做曲线y=f x在点A,B之间的“平方弯曲度”.设曲线y=e x+x上不同两点A x1,y1,B x2,y2,且x1?x2=1,则φA,B的取值范围是.

79. 在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f x=e x x>0的图象上的动点,该图象在点P处

的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是.

80. 已知函数f x=e x+a ln x的定义域是D,关于函数f x给出下列命题:

①对于任意a∈0,+∞,函数f x是D上的减函数;

②对于任意a∈?∞,0,函数f x存在最小值;

③存在a∈0,+∞,使得对于任意的x∈D,都有f x>0成立;

④存在a∈?∞,0,使得函数f x有两个零点.

其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号).

三、解答题(共20小题;共260分)

81. 已知函数f x=x3+ax2+b的图象上一点P1,0,且在P点处的切线与直线3x+y=0平行.

(1)求函数f x的解析式;

(2)求函数f x在区间0,t0

(3)在(1)的结论下,关于x的方程f x=c在区间1,3上恰有两个相异的实根,求实数c 的取值范围.

82. 已知函数f x=x+a

x

+b x≠0,其中a,b∈R.

(1)若曲线y=f x在点P 2,f2处的切线方程为y=3x+1,求函数f x的解析式;

(2)讨论函数f x的单调性;

(3)若对于任意的a∈1

2,2,不等式f x≤10在1

4

,1上恒成立,求b的取值范围.

83. 设函数f x=x4+ax3+2x2+b x∈R,其中a,b∈R.

(1)当a=?10

3

时,讨论函数f x的单调性;

(2)若函数f x仅在x=0处有极值,求a的取值范围;

(3)若对于任意的a∈?2,2,不等式f x≤1在?1,1上恒成立,求b的取值范围.

84. 已知函数f x=ln x?ax,a∈R.

(1)若函数f x在点1,f1处切线方程为y=3x+b,求a,b值;

(2)当a>0时,求函数f x在1,2上的最小值;

(3)设g x=x2?2x+2,若对任意x1∈0,+∞,均存在x2∈0,1,使得f x1

85. 已知函数 f x =12x 2? a +1

a

x +ln x ,其中 a >0.

(1)当 a =2 时,求曲线 y =f x 在点 1,f 1 处切线的方程; (2)当 a ≠1 时,求函数 f x 的单调区间; (3)若 a ∈ 0,1

2 ,证明对任意 x 1,x 2∈ 1

2,1 x 1≠x 2 ,∣f x 1 ?f x 2 ∣

x 12?x 2

2<1

2

恒成立.

86. (1)证明:当 x >1 时,不等式 x ?1> x ln x 成立;

(2)试探求对任意 x >0 且 x ≠1,不等式 x?m

ln x > x 恒成立的充要条件.

87. 设函数 f x =e x ?ax ?a

2(x ∈R ,实数 a ∈ 0,+∞ ,e =2.71828? 是自然数的底数,

e =1.64872?).

(1)若 f x ≥0 在 x ∈R 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 e x ≥ln x +m 对任意 x >0 恒成立,求证:实数 m 的最大值大于 2.3.

88. 已知函数 f x =ln x ?ax 在 x =2 处的切线 l 与直线 x +2y ?3=0 平行.

(1)求实数 a 的值;

(2)若关于 x 的方程 f x +m =2x ?x 2 在 1

2,2 上恰有两个不相等的实数根,求实数 m 的取

值范围;

(3)记函数 g x =f x +1

2x 2?bx ,设 x 1,x 2 x 1

2,且 g x 1 ?g x 2 ≥k 恒成立,求实数 k 的最大值.

89. 已知函数 f x =x ?ln x +a 的最小值为 0,其中 a >0.

(1)求 a 的值;

(2)若对任意的 x ∈ 0,+∞ ,有 f x ≤kx 2 成立,求实数 k 的最小值; (3)证明: 2

2i?1n i =1?ln 2n +1 <2 n ∈N ?

90. 已知函数 f x =x e ?x x ∈R .

(1)求函数 f x 的单调区间和极值;

(2)已知函数 y =g x 的图象与函数 y =f x 的图象关于直线 x =1 对称,证明:当 x >1

时,f x >g x ;

(3)如果 x 1≠x 2,且 f x 1 =f x 2 ,证明:x 1+x 2>2.

91. 已知 x =1 是函数 f x =mx 3?3 m +1 x 2+nx +1 的一个极值点,其中 m ,n ∈R ,m <0.

(1)求 m 与 n 的关系表达式; (2)求 f x 的单调区间;

(3)当 x ∈ ?1,1 时,函数 y =f x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ,求 m 的取值范

围.

92. 已知函数 f x = 2?a x ?2 1+ln x +a ,g x =e x

e x .

(1)若函数 f x 在区间 0,1

2 无零点,求实数 a 的最小值;

(2)若对任意给定的 x 0∈ 0,e ,在 0,e 上方程 f x =g x 0 总存在两个不等的实根,求实

数 a 的取值范围.

93. 已知函数 f x =nx ?x n ,x ∈R ,其中 n ∈N ?,且 n ≥2.

(1)讨论f x的单调性;

(2)设曲线y=f x与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g x,求证:对于任意的正实数x,都有f x≤g x;

(3)若关于x的方程f x=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:∣x2?x1∣

1?n

+2.94. 已知函数f x=4x?x4,x∈R.

(1)求f x的单调区间;

(2)设曲线y=f x与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g x,求证:对于任意的实数x,都有f x≤g x;

(3)若方程f x=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,且x1

3

+ 413.

95. 已知函数f x=1

3x3+1?a

2

x2?ax?a,x∈R,其中a>0.

(1)求函数f x的单调区间;

(2)若函数f x在区间?2,0内恰有两个零点,求a的取值范围;

(3)当a=1时,设函数f x在区间t,t+3上的最大值为M t,最小值为m t,记

g t=M t?m t,求函数g t在区间?3,?1上的最小值.

96. 已知函数f x=ax+x ln x a∈R.

(1)若函数f x在区间e,+∞上为增函数,求a的取值范围;

(2)若函数f x的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.且k∈Z时,不等式k x?1

(3)当n>m≥4时,证明:mn n m>nm m n.

97. 已知函数f x=ln x?ax+1?a

x

?1a∈R.

(1)当a≤1

2

时,讨论f x的单调性;

(2)设g x=x2?2bx+4,当a=1

4

时,若对任意x1∈0,2,存在x2∈1,2,使f x1≥

g x2,求实数b的取值范围.

98. 已知函数f x=m ln x?x2+2m∈R.

(1)当m=1时,求函数f x的单调区间;

(2)若m≤8,当x≥1时,恒有f x?f?x≤4x?3成立,求m的取值范围.(提示ln2≈0.7)

99. 已知函数f x=e?x?ax x∈R.

(1)当a=?1时,求函数f x的最小值;

(2)若x≥0,f?x+ln x+1≥1,求实数a的取值范围;

(3)求证:e2?e<3

2

100. 设函数f x=ln x,g x=m x+n

x+1

m>0.

(1)当m=1时,函数y=f x与y=g x在x=1处的切线互相垂直,求n的值;

(2)若函数y=f x?g x在定义域内不单调,求m?n的取值范围;

(3)是否存在实数a,使得f2a

x ?f e ax+f x

2a

≤0对任意正实数x恒成立?若存在,求出

满足条件的实数a;若不存在,请说明理由.

答案

第一部分

1. A

2. B

3. D 【解析】函数f x=3x?4x3的导数为f?x=3?12x2=31?4x2,

由f?x=0,可得x=1

2(?1

2

舍去),

f x在0,1

2递增,1

2

,1递减,

可得f x在x=1

2

处取得极大值,且为最大值1.

4. D 【解析】由题意知方程f x+g x=x2+m?ln1

x ?3x=0在1

2

,2上有解,等价于

m=?x2+3x?ln x.

令 x=?x2+3x?ln x,则 ?x=?2x?1x?1

x

令 ?x=0,得x=1

2或1,则由 1=2, 2=2?ln2, 1

2

=5

4+ln2

,比较大小知 x max=2,

x min=2?ln2.

所以实数m的取值范围是2?ln2,2.

5. D

【解析】由f?x=3sin2x?cos x+2a cos x??sin x=3sin x?cos x?sin x?2a

3

,x∈0,π,

因为sin x>0,令g x=cos x?sin x?2a

3

若2a

3≥1,即a≥3

2

时,sin x?2a

3

≤0恒成立,

所以x∈0,π

2时g x<0,x∈π

2

,π 时g x>0,

所以当x=π

2

时f x有最小值,

当0<2a

3<1,即0

2

时,令sin x?2a

3

=0,

不妨设两解为x1,x2,

当x∈0,x1时g x<0,x∈ x1,π

2

时g x>0,

当x∈π

2

,x2时g x<0,当x∈x2,π时,g x>0,所以函数f x必有最小值f x1与f x2中较小者.

6. C 【解析】设f x=ln x?x,g x=ln x?3x,

因为f?x=1

x ?1=1?x

x

,由00,x>1?f?x<0,

所以函数f x在0,1上递增,在1,+∞上递减,所以f x≤f1=?1,

同理可知函数g x在0,1

3上递增,在1

3

,+∞ 上递减,g x≤g1

3

=?ln3?1,

因为f x?g x=2x>0,

所以当f a=g b时,a,b的大小关系不确定;

令 x=ln x+x,d x=ln x+3x,

因为 x,d x在0,+∞上递增,且 x?d x=?2x<0,所以 a=d b时,a>b>0.

7. D 【解析】任取三个实数 a ,b ,c ,均存在以 f a ,f b ,f c 为边长的三角形,

等价于 f a +f b >f c 恒成立, 所以 2f x min >f x max 且 f x max >0, 令 f? x =?1

x +1=0,解得 x =1. 当 1

e

当 10,

所以当 x =1 时,f x min =f 1 =1+ ,f x max =max f 1

e ,

f e 2 =max 1

e +1+ ,e 2?2+ ,

从而得到 2 1+ >e 2?2+ ,1+ >0,

解得 >e 2?4.

所以实数 的取值范围是 e 2?4,+∞ . 8. C

【解析】f? x =1

x ?m x +1 ?m x +n

x +1=x 2+ mn ?m +2 x +1

x x +1

2

. 因为函数 f x =ln x ?m x +n x +1 m >0,n ∈R 在 0,+∞ 上不单调,

所以函数 f x 在 0,+∞ 上存在极值点.

所以 x 2+ mn ?m +2 x +1=0 有不相等的正的实数根. 所以 m ?mn ?2>0,Δ= m ?2?mn 2?4>0, 由 Δ>0 化为: m ?mn ?4 1?n >0, 所以 m ?mn ?4>0,1?n >0

或 m ?mn ?4<0,1?n <0,

由 m ?mn ?4>0,1?n >0,

可得:m >4

1?n >2

1?n , 所以 m ?n >4

1?n

?n =g n ,

g? n =

3?n 1+n

1?n 2

, 可得:n =?1 时,函数 g n 取得极小值即最小值,g ?1 =3. 所以 λ<3.

由 m ?mn ?4<0,1?n <0.

可得:m >4

1?n ,而 4

1?n <2

1?n ,舍去. 综上可得:λ<3. 9. A

【解析】实数 λ>0,若对任意的 x ∈ 0,+∞ ,不等式 e λx ?ln x λ

≥0 恒成立,即为 e λx ?

ln x λ

min

≥0,

设 f x =e λx ?

ln x λ

,x >0,f? x =λe λx ?1

λx ,

令 f? x =0,可得 e λx =1

λ2x ,

由指数函数和反比例函数在第一象限的图象,

可得y=eλx和y=1

λ2x

有且只有一个交点,

设为m,n,当x>m时,f?x>0,f x递增;当0

即有f x在x=m处取得极小值,且为最小值.

即有eλm=1

λm ,令eλm?ln m

λ

=0,

可得m=e,λ=1

e

则当λ≥1

e 时,不等式eλx?ln x

λ

≥0恒成立.

则λ的最小值为1

e

.10. B

【解析】f x=1

e ?e x+a

2

x2?a+1x+a a>0,

f?x=1

e

?e x+ax?a+1,a>0,

则x<1时,f?x<0,f x递减,

x>1时,f?x>0,f x递增,

而x→+∞时,f x→+∞,f1=a

2

即f x的值域是a

2

,+∞ ,恒大于0,

而f f x的值域是a

2

,+∞ ,

则要求f x的范围包含1,+∞,

即1,+∞?a

2

,+∞ ,

故a

2

≤1,解得:a≤2,

故a的最大值是2.

11. C 【解析】根据题意,函数f x=x?1x+2x2+ax+b是偶函数,则有f?x=f x,即?x?1?x+2x2?ax+b=x?1x+2x2+ax+b,

分析可得:?21?a+b=0,44+2a+b=0,

解可得:a=?1,b=?2,

则f x=x?1x+2x2?x?2=x4?5x2+4,f?x=4x3?10x=x4x2?10,

令f?x=0,可得当x=±10

2

时,f x取得最小值;

又由函数为偶函数,

则f x min=10

24

?510

2

2

+4=?9

4

12. A 【解析】函数f x=?x+1

x 的导数为f?x=?1?1

x2

,则f?x<0,

可得f x在 ?2,?1

3上递减,即有f?2取得最大值,且为2?1

2

=3

2

13. C 【解析】f x=a e x?2?2x是关于a的一次函数,因为当x∈0,ln2时,e x?2≤0,a∈1,2,

所以f x的值在2e x?2?2x,e x?2?2x上变化,

令M x=2e x?2?2x,

x∈0,ln2,则M?x=2e x?2≥0,M x在x∈0,ln2上为增函数,故M x在x∈0,ln2上的最小值为M0=?2;又令N x=e x?2?2x,同理可求得N x在x∈0,ln2上的最大值N0=?1,所以p≥?2,q≤?1.

14. A 【解析】f?x=3?12x2,

令f?x=0,则x=?1

2(舍去)或x=1

2

f0=0,f1=?1,

f1

2=3

2

?1

2

=1,

所以f x在0,1上的最大值为1.15. A

【解析】f?x=1

2e x sin x+cos x+1

2

e x cos x?sin x=e x cos x,

当0≤x≤π

2

时,f?x≥0,

所以f x是0,π

2

上的增函数.

所以f x的最大值在x=π

2处取得,fπ

2

=1

2

eπ,

f x的最小值在x=0处取得,f0=1

2

所以函数值域为1

2,1

2

eπ.

16. A 【解析】对于区间?3,2上的任意x1,x2都有∣f x1?f x2∣≤t,等价于对于区间?3,2上的任意x,都有f x max?f x min≤t,

因为f x=x3?3x?1,

所以f?x=3x2?3=3x?1x+1,

因为x∈?3,2,

所以函数在?3,?1,1,2上单调递增,在?1,1上单调递减.

所以f x max=f2=f?1=1,f x mi n=f?3=?19.

所以f x max?f x min=20,

所以t≥20.

所以实数t的最小值是20.

17. C 18. D 【解析】由题意可知函数f x的定义域为0,+∞,f?x=1

x ?1

a

a>0,

当x∈0,a时,f?x>0,f x单调递增;当x∈a,+∞时,f?x<0,f x单调递减;

故f x max=f a,?x0∈R,使得?x1∈1,2都有f x1f x1对?x1∈1,2恒成立,故a?1,2,

所以实数a的取值范围是0,1∪2,+∞.

19. D 【解析】根据图形,P在BC上时,随着x的增大,d不断增大,

所以此时d=f x递增;

若取线段CD的中点E,同理得,P从C到E时,d=f x递减,P从而E到D时,d=f x递增,P从D到A时,d=f x递减;

所以函数d=f x有4个单调区间,有三个极值点;

且d=f x的最小值为1,最大值2;

所以四个命题全正确.

20. A

21. A 【解析】a=0时,满足题意,排除C,D,a=±23

3

时成立,排除B,正确答案为

?23

3,23

3

22. B 23. A 24. A 【解析】x≤0时,0<2x≤1;

所以0≤1?2x<1;

所以x>0时,f x=x3?3x+a的值域B满足1,+∞?B?0,+∞,

f?x=3x2?1;

所以01时,f?x>0;

所以x=1时,f x取最小值a?2;

所以0≤a?2≤1;

所以2≤a≤3;

所以实数a的取值范围是2,3.

25. B

【解析】因为函数f x=x3+ax2+bx+c,x∈?2,2表示的曲线过原点,所以c=0.对函数f x求导,得f?x=3x2+2ax+b,

因为在x=±1处的切线斜率均为?1,

所以f?1=?1,f??1=?1,

即3+2a+b=?1,3?2a+b=?1,

解得a=0,b=?4.

所以f x=x3?4x,x∈?2,2,①正确.

f?x=3x2?4,令f?x=0,得x=±23

3

所以f x的极值点有两个,②错误.

f?2=0,f ?23

3=163

9

,f23

3

=?163

9

,f2=0,

所以f x的最大值为163

9,最小值为?163

9

,最大值与最小值之和等于零,③正确.

26. D 【解析】因为f x为实数集上的奇函数,且2016f?x0恒成立,

令g x=f x

e?2016x

则g?x=f?x?e ?2016x+2016f x?e?2016x

e

=f?x+2016f x

e

>0,

所以函数g x=f x

e

为实数集上的增函数,又f1=e?2016,

所以g2>g1,

即f2

e?20162>f1

e?2016

=e?2016

e?2016

=1,

所以f2>e?4032 .

27. B 【解析】根据题意,g m=f n,

即e m?2=ln n

2+1

2

所以m=2+ln ln n

2+1

2

所以

n?m=n?2?ln ln n

2

+

1

2

=lne n?2?ln ln n

+

1

=n?2

n e 2

设 x=x?2

x e

则 ?x=e x?2ln x

2

+1

2

?1

x

ln x

2

+1

2

2

令 ?x=0,得ln x

2+1

2

?1

x

=0,

由x>0,可知ln x

2+1

2

?1

x

递增,

当x=2时, ?x=0,x>2时, ?x>0, x递增;0

可得 x在x=2处取得极小值且最小值 2=2,

所以n?m的最小值为ln2.

28. A 【解析】因为f x=e x sin x+a cos x在π

4,π

2

上单调递增,

所以f?x=e x1?a sin x+1+a cos x≥0在π

4,π

2

上恒成立,

因为e x>0在π

4,π

2

上恒成立,

所以1?a sin x+1+a cos x≥0在π

4,π

2

上恒成立,

所以a sin x?cos x≤sin x+cos x在π

4,π

2

上恒成立,

所以a≤sin x+cos x

sin x?cos x

设g x=sin x+cos x

sin x?cos x

所以g?x=?2

sin x?cos x <0在π

4

2

上恒成立,

所以g x在π

4,π

2

上单调递减,

所以g x>gπ

2

=1

所以a≤1.

29. A 30. D

【解析】不等式f x≤0有解即e x x3?3x+3?x x≥?2≤a e x有解.

即a≥x3?3x+3?x

e x

有解.

设g x=x3?3x+3?x

e

,即a≥g x min.

g?x=3x2?3+x?1

e =x?13x+3+1

e

令 x=3x+3+e?x, ?x=3?e?x.

?x≤0解得x≤?ln3; ?x≥0解得x≥?ln3.

所以 x在?2,?ln3单调递减,在?ln3,+∞单调递增.

所以 x≥ ?ln3=32?ln3>0.

所以g?x的正负由x?1决定,g x在?2,1单调递减,在1,+∞单调递增.g x min=g1=1?1

e

所以a min=1?1

e

31. B 【解析】设A x1,m,B x2,m,

由图象知y=2x+3的图象总在y=x+ln x图象的上方,

故x10.

所以∣AB∣=x2?x1,

又2x1+3=m,x2+ln x2=m,

所以x2?x1=x2?1

2x2+ln x2?3=1

2

x2?1

2

ln x2+3

2

令g x=1

2x?1

2

ln x+3

2

g?x=1

2?1

2x

=x?1

2x

x∈0,1时,g x单调递减,x∈1,+∞时,g x单调递增,

所以g x min=g1=1

2?0+3

2

=2.

32. D 【解析】当x>2时,对函数f x=x

ln x

+a+10的单调性进行研究,求导后发现f x在2,e上单调递减,在e,+∞上单调递增,即函数f x在x>2时的最小值为f e;当x≤2时,f x=x?a2+e是对称轴方程为x=a的二次函数,欲使f2是函数的最小值,则

a≥2,

f2≤f e?a≥2,

?1≤a≤6

?2≤a≤6.

33. A 【解析】y=e x的导数为y?=e x,

φA,B=∣k A?k B∣∣AB∣

=

x1x2

x1?x22+e x?e x2

=

x1x2

1+e x1?e x22

>0,

可得1

φA,B =x x2

∣e x1?e x2∣

=1+1

e x1?e x22

>1,t?φA,B<3恒成立,则t<3

φA,B

恒成立,

由3

φA,B

>3,

即有t≤3.

34. C 35. D

【解析】f?x=e x+x e x?m x+1=x+1e x?m,因为1≤x≤2,

所以e≤e x≤e2,

①当m≤e时,e x?m≥0,由x≥1,可得f?x≥0,此时函数f x单调递增.

所以当x=1时,函数f x取得最小值,f1=e?3

2

m.

②当m≥e2时,e x?m≤0,由x≥1,可得f?x≤0,此时函数f x单调递减.

所以当x=2时,函数f x取得最小值,f2=2e2?4m.

③当e2>m>e时,由e x?m=0,解得x=ln m.

当1≤x

当ln m0,此时函数f x单调递增.

所以当x=ln m时,函数f x取得极小值即最小值,f ln m=?m

2

ln2m.

36. B 【解析】因为f x=x+x ln x,所以f x?m x?1>0对任意x>1恒成立,即m x?1

因为x>1,也就是m

x?1

对任意x>1恒成立.

令 x=x?ln x+x

x?1,则 ?x=x?ln x?2

x?12

令φx=x?ln x?2x>1,则φ?x=1?1

x =x?1

x

>0,

所以函数φx在1,+∞上单调递增.

因为φ3=1?ln3<0,φ4=2?2ln2>0,

所以方程φx=0在1,+∞上存在唯一实根x0,且满足x0∈3,4.

当1

当x>x0时,φx>0,即 ?x>0,

所以函数 x在1,x0上单调递减,在x0,+∞上单调递增.

所以 x min= x0=x01+x0?2

x0?1

=x0∈3,4.

所以m

因为x0∈3,4,故整数m的最大值是3.

37. A 【解析】若a<0,由于一次函数y=ax+b单调递减,不能满足且e x+1≥ax+b对x∈R 恒成立,则a≥0.

若a=0,则ab=0.

若a>0,由e x+1≥ax+b得b≤e x+1?ax,则ab≤a e x+1?a2x.

设函数f x=a e x+1?a2x,

所以f?x=a e x+1?a2=a e x+1?a,令f?x=0得e x+1?a=0,解得x=ln a?1,

因为x

所以f?x<0,所以函数f x递减;

同理,x>ln a?1时,f?x>0,所以函数f x递增;

所以当x=ln a?1时,函数取最小值,f x的最小值为f ln a?1=2a2?a2ln a.

设g a=2a2?a2ln a a>0,g?a=a3?2ln a a>0,

由g?a=0得a=e 3

,不难得到a

3

时,g?a>0;a>e

3

时,g?a<0;

所以函数g a先增后减,所以g a的最大值为g e 3

2=

1

2

e3,即ab的最大值是1

2

e3,此时a=e32,

b=1

2

e3.

38. A 【解析】f x<0,即x+2x+2

x+1

令g x=x+2

x+1,则g?x=

1x?2

x+12

,令g?x=0得x=4,

所以g x=x+2

x+1

在0,4为减函数,在4,+∞为增函数,

所以若存在唯一的整数x0使得f x0<0,只需满足min g3,g5≥a, g4

所以a∈6

3,35?7

4

39. A 【解析】因为函数f x=ln x与g x=mx?1

x 在1

e

,e上是“密切函数”,

所以对任意的x∈1

e ,e,都有∣

f x?

g x∣≤1,即有∣∣ln x+1

x

?m∣∣≤1,m?1≤ln x+1

x

≤m+1.

令 x=ln x+1

x 1

e

≤x≤e, ?x=1

x

?1

x

=x?1

x

,当x>1时, ?x>0;当x<1时, ?x<0;

所以当x=1时, x取极小值,也是最小值.

故 x在1

e

,e上的最小值为1,最大值为e?1.

所以m?1≤1且m+1≥e?1,e?2≤m≤2.

40. A

【解析】设f x=e x+y?4+e x?y?4+6,则问题转化为不等式4x ln a≤f x恒成立.又因为f x=e x?4e y+e?y+6≥6+2e x?4(当且仅当y=0时取等号),

所以4x ln a≤6+2e x?4,即有2ln a≤3+e x?4

x

在x>0时恒成立,

记g x=3+e x?4

x ,则g?x=e

x?4x?1?3

x

令g?x=0,即x?1e x?4=3,

记 x=x?1e x?4,则 ?x=x e x?4,

因为x>0,e x?4>0,所以 ?x>0,

所以 x在0,+∞上单调递增,

又因为 4=3,即有x?1e x?4=3的根为4,

所以当x>4时g x递增,当0

所以当x=4时,g x取得最小值g4=1,

所以2ln a≤1,ln a≤1

2

所以0

41. π

6

+3

【解析】令y?=1?2sin x=0,则x=π

6.比较0,π

6

2

处的函数值,得y max=π

6

+3.

42. ?13

【解析】因为f x=?x3+ax2?4,

所以f?x=?3x2+2ax.

由题意知f?2=0,即?3×4+2a×2=0,解得a=3,

所以f x=?x3+3x2?4,f?x=?3x2+6x,

易知f x在?1,0上单调递减,在0,1上单调递增,

所以当m∈?1,1时,f m min=f0=?4.

又f?x=?3x2+6x的图象开口向下,且图象的对称轴方程为x=1,

所以当n∈?1,1时,f?n min=f??1=?9,

故f m+f?n的最小值为?13.

43. 20

44. e,+∞

【解析】由题意,对任意的x1,x2∈0,1,不等式∣f x1?f x2∣≤a?1恒成立,等价于对任意的x∈0,1,f x max?f x min≤a?1恒成立,所以只需要求f x的最大值和最小值即可.

f?x=a x ln a+2x?ln a=a x?1ln a+2x,

当x∈0,1时,对于a>1和0

所以f x max=f1=a+1?ln a,f x min=f0=1.

所以令a+1?ln a?1≤a?1,解得a≥e.

45. ?1

e

【解析】由题意,不妨设f x=x ln x+C,由切线方程知f1=0,即1?ln1+C=0,

所以C=0,

所以f x=x ln x,令f?x=ln x+1=0,得x=1

e

所以,当0

e 时,f?x<0,当x>1

e

时,f?x>0,

所以,f x在0,1

e 上单调递减,在1

e

,+∞ 上单调递增,

所以f x min=f1

e =1

e

?ln1

e

=?1

e

46. e2

4

,+∞

【解析】由题意知方程ax2=e x a>0在0,+∞上有解,则a=e x

x ,x∈0,+∞,令f x=e

x

x

x∈0,+∞,则f?x=e x x?2

x3

,x∈0,+∞.

当02时,f?x>0,函数f x是增函数,所以

当x=2时,函数f x=e x

x2在0,+∞上取得最小值,最小值为f2=e2

4

,所以a≥e

2

4

47. 0,e?2

【解析】曲线存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,等价于函数f x有两个不同的极值点,等价于方程f?x=0有两个不同的实根.

令f?x=m+e?x?x e?x=0,得m=x?1

e x

令g x=x?1

e

,则条件等价于直线y=m与曲线y=g x有两个不同的交点.

g?x=e x?x?1e x

e x2=2?x

e x

当x=2时,g?x=0;当x>2时,g?x<0;当x<2时,g?x>0,

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. (ii )当0,2x π?? ∈ ???时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而

2020年高考数学导数压轴题每日一题 (1)

第 1 页 共 1 页 2020年高考数学导数压轴题每日一题 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. 例1 (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-10+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1}, f ′(x )=e x -1x +m =e x (x +1)-1x +1, 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2), 则g ′(x )=e x -1x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1(x +2)2 >0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -132 <0,g ′(0)=1-12>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-12,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1t +2=0????-12g ′(t )=0,g (x )单调递增; 所以g (x )min =g (t )=e t -ln(t +2)=1t +2+t =(1+t )2t +2>0, 当m ≤2时,有ln(x +m )≤ln(x +2), 所以f (x )=e x -ln(x +m )≥e x -ln(x +2)=g (x )≥g (x )min >0.

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题 【2007新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++ (I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln 2 . 【解析】(Ⅰ)1()2f x x x a '= ++,依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ,∞,当312x -<<-时,()0f x '>; 当1 12 x -<<-时,()0f x '<; 当1 2 x >- 时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????,,, ∞单调增加,在区间112?? -- ??? ,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221 ()x ax f x x a ++'=+. 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-. (ⅰ)若0?< ,即a << ()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值. (ⅱ)若0?= ,则a a = 若a = ()x ∈+ ,2 ()f x '= . 当x =时,()0f x '=,

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ,∞时, ()0f x '>,所以()f x 无极值. 若a =)x ∈+,()0f x '= >,()f x 也无极值. (ⅲ)若0?>,即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点, 故()f x 无极值. 当a > 1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值. 综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+. ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=. 【2008新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为y =3. (Ⅰ)求()f x 的解析式: (Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 21.解:(Ⅰ)2 1 ()() f x a x b '=- +,

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

函数与导数经典例题高考压轴题含答案

函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈,其中t R ∈. (Ⅰ)当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间; (Ⅲ)证明:对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点. 2. 已知函数21 ()32 f x x = +,()h x = (Ⅰ)设函数F (x )=18f (x )-x 2[h (x )]2,求F (x )的单调区间与极值; (Ⅱ)设a ∈R ,解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---; (Ⅲ)设*n ∈N ,证明:1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L . 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(,0>a (Ⅰ)求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)求所有实数a ,使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立. 注:e 为自然对数的底数. 4. 设2 1)(ax e x f x +=,其中a 为正实数. (Ⅰ)当3 4 = a 时,求()f x 的极值点;(Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围. 5. 已知a , b 为常数,且a ≠0,函数f (x )=-ax+b+axlnx ,f (e )=2(e=2.71828…是自然对数 的底数)。 (I )求实数b 的值; (II )求函数f (x )的单调区间; (III )当a=1时,是否同时存在实数m 和M (m

高考导数压轴题题型(精选.)

高考导数压轴题题型 李远敬整理 2018.4.11 一.求函数的单调区间,函数的单调性 1.【2012新课标】21. 已知函数()f x 满足满足12 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+; (1)求()f x 的解析式及单调区间; 【解析】 (1)12 11()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得:(0)1f = 1211 ()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得:21 ()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得:()f x 的解析式为21()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ 2.【2013新课标2】21.已知函数f (x )=e x -ln(x +m ). (1)设x =0是f (x )的极值点,求m ,并讨论f (x )的单调性; 【解析】 (1)f ′(x )=1 e x x m - +. 由x =0是f (x )的极值点得f ′(0)=0,所以m =1. 于是f (x )=e x -ln(x +1),定义域为(-1,+∞),f ′(x )=1 e 1 x x -+. 函数f ′(x )=1 e 1 x x -+在(-1,+∞)单调递增,且f ′(0)=0. 因此当x ∈(-1,0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0. 所以f (x )在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. 3.【2014新课标2】21. 已知函数()f x =2x x e e x --- (1)讨论()f x 的单调性; 【解析】 (1)+ -2≥0,等号仅当x=0时成立,所以f (x )在(—∞,+∞)单调递 增 【2015新课标2】21. 设函数 f (x )=e mx +x 2-mx 。 (1)证明: f (x )在 (-¥,0)单调递减,在 (0,+¥)单调递增; (2)若对于任意 x 1,x 2?[-1,1],都有 |f (x 1)-f (x 2)|£e -1,求m 的取值范围。

函数与导数例题高考压轴题含答案

函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈,其中t R ∈. (Ⅰ)当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间; (Ⅲ)证明:对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点. 【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14分。 (Ⅰ)解:当1t =时,3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- (Ⅱ)解:2 2 ()1266f x x tx t '=+-,令()0f x '=,解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠,以下分两种情况讨论: (1)若0,,t t t x <<-则 当变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表: 所以,()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ??-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 (2)若0,t t t >-< 则,当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表: 所以,()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ??-∞-+∞ ??? 的单调递减区间是,.2t t ? ?- ??? (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知,当0t >时,()f x 在0,2t ? ? ??? 内的单调递减,在,2t ?? +∞ ??? 内单调递增,以下分两种情况讨论: (1)当1,22 t t ≥≥即时,()f x 在(0,1)内单调递减, 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点。

函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)

函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)

所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零 点。 (2)当01,022t t <<<<即时,()f x 在0,2t ?? ??? 内单调递减,在,12t ?? ???内单调递增,若3 3177(0,1],10.244t f t t t ??∈=-+-≤-< ??? 2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+> 所以(),12t f x ?? ??? 在内存在零点。 若()3377(1,2),110.244t t f t t t ??∈=-+-<-+< ??? (0)10f t =-> 所以()0,2 t f x ?? ???在内存在零点。 所以,对任意(0,2),()t f x ∈在区间(0,1)内均存在 零点。 综上,对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在 零点。 2. 已知函数21 ()32 f x x =+,()h x =. (Ⅰ)设函数F (x )=18f (x )-x 2[h (x )]2,求F (x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)设a ∈R ,解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---; (Ⅲ)设*n ∈N ,证明:1 ()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥. 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证

明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力. 解:(Ⅰ)223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥, 2()312F x x '∴=-+. 令()0F x '∴=,得2x =(2x =-舍去). 当(0,2)x ∈时.()0F x '>;当(2,)x ∈+∞时,()0F x '<, 故当[0,2)x ∈时,()F x 为增函数;当[2,)x ∈+∞时,()F x 为 减函数. 2x =为()F x 的极大值点,且(2)824925F =-++=. (Ⅱ)方法一:原方程可化为 422 33log [(1)]log ()log (4)24f x h a x h x --=---, 即为4222log (1)log log log x -==,且,14,x a x , 此时3x ==±∵1x a <<, 此时方程仅有一解3x = ②当4a >时,14x <<,由14a x x x --=-,得2640x x a -++=,364(4)204a a ?=-+=-, 若45a <<,则0?> ,方程有两解3x =± 若5a =时,则0?=,方程有一解3x =; 若1a ≤或5a >,原方程无解. 方法二:原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-, 即222 1log (1)log log 2x -+,

高考导数压轴题题型

高考导数压轴题题型 远敬整理 2018.4.11 一.求函数的单调区间,函数的单调性 1.【2012新课标】21. 已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+ ; (1)求()f x 的解析式及单调区间; 【解析】 (1)1211()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得:(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得:21()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得:()f x 的解析式为21()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ 2.【2013新课标2】21.已知函数f (x )=e x -ln(x +m ). (1)设x =0是f (x )的极值点,求m ,并讨论f (x )的单调性; 【解析】 (1)f ′(x )=1e x x m -+. 由x =0是f (x )的极值点得f ′(0)=0,所以m =1. 于是f (x )=e x -ln(x +1),定义域为(-1,+∞),f ′(x )=1e 1x x - +. 函数f ′(x )=1e 1 x x -+在(-1,+∞)单调递增,且f ′(0)=0. 因此当x ∈(-1,0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0.

(完整)2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(一).doc

2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(一) 1.已知函数f (x) x2 ax ln x(a R) . (1)函数f (x)在 [1,2] 上的性; (2)令函数g( x) e x 1 x2 a f (x) ,e=2.71828?是自然数的底数, 若函数 g (x) 有且只有一个零点m,判断 m 与 e 的大小,并明理由 . 2.已知函数 f (x) x3ax2bx c 在x 2 与x 1都取得极. 3 (1)求 a, b 的与函数f( x)的区; (2)若x [ c,1] ,不等式 f (x) c 恒成立,求 c 的取范 . 2 3.已知函数 f (x) ln(1 x) ln(1x) . (1)明 f '(x) 2 ; (2)如果 f (x) ax x [0,1) 恒成立,求 a 的范 .

x 1 4.已知函数f (x) ( e 自然数的底数) . e x (1)求函数f (x)的区; (2)函数(x) xf (x) tf '(x) 1 x1, x2 [0 ,1] ,使得 2 ( x1 )(x2 ) x ,存在数 e 成立,求数t 的取范 . 5.已知函数 f ( x) kx a x,其中k R,a 0且a 1 . (1)当 a e ( e=2.71 ?自然数的底),f(x)的性;(2)当k 1,若函数f(x)存在最大g(a),求g(a)的最小. 6.已知函数 f x x2ax ln x a R (1)当a 3 ,求函数f(x)在 1 , 2 上的最大和最小; 2 (2)函数 f(x)既有极大又有极小,求数 a 的取范 .

7.已知 f( x)是定义在 R 上的奇函数,当 x 0 时, f x 1 x 3 ax a R ,且曲线 f(x)在 3 x 1 处的切线与直线 y 3 x 1平行 2 4 (1)求 a 的值及函数 f(x)的解析式; (2)若函数 y f x m 在区间 3, 3 上有三个零点,求实数 m 的取值范围 . 8.已知函数 f x x 0 ax, a ln x (1)若函数 y f x 在 1, 上减函数,求实数 a 的最小值; (2)若存在 x 1 , x 2 e,e 2 ,使 f x 1 f x 2 a 成立,求实数 a 的取值范围 . 9.已知函数 f (x) x 3 ax 2 bx 1, a , b R . ( 1)若 a 2 b 0 , ①当 a 0 时,求函数 f(x)的极值(用 a 表示); ②若 f(x)有三个相异零点,问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列?若存在,试 求出 a 的值;若不存在,请说明理由; ( 2)函数 f( x)图象上点 A 处的切线 l 1 与 f(x)的图象相交于另一点 B ,在点 B 处的切线为 l 2 ,直线 l 1, l 2 的斜率分别为 k 1, k 2 ,且 k 2 =4k 1 ,求 a ,b 满足的关系式.

导数压轴题题型(学生版)

导数压轴题题型 引例 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. (I )讨论的单调性; (II )当时,证明对于任意的成立. ()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈()f x 1a =()3()'2 f x f x +>[]1,2x ∈

1. 高考命题回顾 例1.已知函数)f x =(a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 例2.(21)(本小题满分12分)已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点.

(I)求a 的取值范围; (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明:122x x +<. 例3.(本小题满分12分)

已知函数f (x )=31,()ln 4 x ax g x x ++=- (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线; (Ⅱ)用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数}{()min (),() (0)h x f x g x x => , 讨论h (x )零点的个数 例4.(本小题满分13分) 已知常数 ,函数 (Ⅰ)讨论 在区间上的单调性; (Ⅱ)若存在两个极值点且求的取值范围.

例5已知函数f(x)=e x-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0.

例6已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间; (2)若b ax x x f ++≥ 22 1)(,求b a )1(+的最大值。

高考导数压轴题---函数与导数核心考点(精编完美版)

导数与函数核心考点 目录 题型一切线型 1.求在某处的切线方程 2.求过某点的切线方程 3.已知切线方程求参数 题型二单调型 1.主导函数需“二次求导”型 2.主导函数为“一次函数”型 3.主导函数为“二次函数”型 4.已知函数单调性,求参数范围 题型三极值最值型 1.求函数的极值 2.求函数的最值 3.已知极值求参数 4.已知最值求参数 题型四零点型 1.零点(交点,根)的个数问题 2.零点存在性定理的应用 3.极值点偏移问题 题型五恒成立与存在性问题 1.单变量型恒成立问题 2.单变量型存在性问题 3.双变量型的恒成立与存在性问题 4.等式型恒成立与存在性问题 题型六与不等式有关的证明问题 1.单变量型不等式证明 2.含有e x与lnx的不等式证明技巧 3.多元函数不等式的证明 4.数列型不等式证明的构造方法

题型一 切线型 1.求在某处的切线方程 例1.【2015重庆理20】求函数f (x )=3x 2 e x 在点(1, f (1))处的切线方程. 解:由f (x )=3x 2e x ,得f ′(x )=6x -3x 2e x ,切点为(1,3e ) ,斜率为f ′(1)=3 e 由f (1)=3e ,得切点坐标为(1,3e ),由f ′(1)=3e ,得切线斜率为3 e ; ∴切线方程为y -3e =3 e (x -1),即3x -ey =0. 例2.求f (x )=e x (1 x +2)在点(1,f (1))处的切线方程. 解:由f (x )=e x (1x +2),得f ′(x )=e x (-1x 2+1 x +2) 由f (1)=3e ,得切点坐标为(1,3e ),由f ′(1)=2e ,得切线斜率为2e ; ∴切线方程为y -3e =2e (x -1),即2ex -y +e =0. 例3.求f (x )=ln 1-x 1+x 在点(0,f (0))处的切线方程. 解:由f (x )=ln 1-x 1+x =ln (1-x )-ln (1+x ),得f ′(x )=-11-x -1 1+x 由f (0)=0,得切点坐标为(0,0),由f ′(0)=-2,得切线斜率为-2; ∴切线方程为y =-2x ,即2x +y =0. 例4.【2015全国新课标理20⑴】在直角坐标系xoy 中,曲线C :y =x 2 4 与 直线l :y =kx +a (a >0)交于M ,N 两点,当k =0时,分别求C 在点M 与N 处的切线方程. 解:由题意得:a =x 2 4,则x =±2a ,即M (-2a ,a ),N (2a ,a ), 由f (x )=x 24,得f ′(x )=x 2, 当切点为M (-2a ,a )时,切线斜率为f ′(-2a )=-a , 此时切线方程为:ax +y +a =0; 当切点为N (2a ,a )时,切线斜率为f ′(2a )=a , 此时切线方程为:ax -y -a =0;

全国高考导数压轴题总汇编

2016全国各地导数压轴题汇编 1、(2016年全国卷I理数) 已知函数2 )1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点 (I )求a 的取值围 (II )设21,x x 是)(x f 的两个零点,求证:221<+x x

2、(2016年全国卷I文数) 已知函数2 )1()2()(-+-=x a e x x f x (I )讨论)(x f 的单调性 (II )若)(x f 有两个零点,求a 的取值围

3、(2016年全国卷II 理数) (I)讨论函数x x 2f (x)x 2 -=+e 的单调性,并证明当x >0时,(2)20;x x e x -++> (II)证明:当[0,1)a ∈ 时,函数2 x =(0)x e ax a g x x -->() 有最小值.设g (x )的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域.

4、(2016年全国卷II 文数) 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. (I )当4a =时,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程; (II)若当()1,x ∈+∞时,()0f x >,求a 的取值围. 5、(2016年全国卷III 理数) 设函数)1)(cos 1(2cos )(+-+=x a x a x f 其中a >0,记错误!未找到引用源。的最大值为A (Ⅰ)求)(x f '; (Ⅱ)求A ; (Ⅲ)证明错误!未找到引用源。A x f 2)(≤'

6、(2016年全国卷III 文数) 设函数()ln 1f x x x =-+. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)证明当(1,)x ∈+∞时,11ln x x x -<<; (Ⅲ)设1c >,证明当(0,1)x ∈时,1(1)x c x c +->.

导数压轴题双变量问题题型归纳总结

导数压轴题双变量问题题型 归纳总结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

导数应用之双变量问题 (一)构造齐次式,换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. (1)求实数,a b 的值; (2)设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点,求证:0F ' <. 【解析】(1)1,1a b ==-; (2)()2 ln f x x x x =+-,()()1ln F x m x x =+-,()11F x m x '=+- , 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点,所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? , 两式相减,得1212ln ln 1x x m x x -+=-, 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ,只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一:因为120x x << ,只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t = ,即证12ln 0t t t -+>. 令()()1 2ln 01h t t t t t =-+<<,则()()2 22 121 10t h t t t t -'=--=-<, 所以函数()h t 在()0,1上单调递减,()()10h t h >=,即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题,此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数,常把12,x x 的关系变形 为齐次式,设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -===-=等,构造函数来解决,可称之为构造比较函数法. 思路二:因为120x x << ,只需证12ln ln 0x x -, 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<,则 () 2 21 10Q x x x '= ==<, 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减,()()2 0Q x Q x >=,即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <.

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步,由不等式恒成立来求参数的取值范围问题,分析难度大,但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介: 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=; (2)在点a 的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0; (3)() () lim x a f x l g x →'=', 那么 () ()lim x a f x g x →=() () lim x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1)()lim 0x f x →∞ = 及()lim 0x g x →∞ =; (2)0A ? ,f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导,且g '(x)≠0; (3)()() lim x f x l g x →∞'=', 那么 ()() lim x f x g x →∞ =() () lim x f x l g x →∞'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞; (2)在点a 的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0; (3)() () lim x a f x l g x →'=', 那么 () ()lim x a f x g x →=() () lim x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: ○ 1将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→-∞,x a + →,x a - → 洛必达法则也成立。 ○ 2洛必达法则可处理00,∞∞ ,0?∞,1∞,0 ∞,00,∞-∞型。 ○ 3在着手求极限以前,首先要检查是否满足00,∞∞ ,0?∞,1∞,0 ∞,00,∞-∞型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。 二.高考题处理 1.(2010年全国新课标理)设函数2()1x f x e x ax =---。 (1) 若0a =,求()f x 的单调区间; (2) 若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围 原解:(1)0a =时,()1x f x e x =--,'()1x f x e =-. 当(,0)x ∈-∞时,'()0f x <;当(0,)x ∈+∞时,'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在 (0,)+∞单调增加 (II )'()12x f x e ax =-- 由(I )知1x e x ≥+,当且仅当0x =时等号成立.故 '()2(12)f x x ax a x ≥-=-, 从而当120a -≥,即1 2 a ≤ 时,'()0 (0)f x x ≥≥,而(0)0f =, 于是当0x ≥时,()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当1 2 a > 时, '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--, 故当(0,ln 2)x a ∈时,'()0f x <,而(0)0f =,于是当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <. 综合得a 的取值范围为1,2? ?-∞ ???

高考数学函数与导数相结合压轴题精选(含具体解答)

函数与导数相结合压轴题精选(二) 11、已知)0()(2 3 >+++=a d cx bx ax x f 为连续、可导函数,如果)(x f 既有极大值M ,又有极小值N ,求证:.N M > 证明:由题设有),)((323)(212 x x x x a c bx ax x f --=++='不仿设21x x <, 则由时当时当时当知),(,0)(),(,0)(),(:02211+∞∈<'∈>'-∞∈>x x x f x x x x f x x a 1)(,0)(x x f x f 在故>'处取极大值,在x 2处取极小值, )()()()()(212 221323121x x c x x b x x a x f x f -+-+-=- ])()()[(212122121c x x b x ax x x a x x +++-+-= )] 3(92 )[(]3232)32()[(22121ac b a x x c a b b a c a a b a x x ---=+-?+?-- ?-= 由方程0232 =++c bx ax 有两个相异根,有,0)3(412)2(2 2>-=-=?ac b ac b 又)()(,0)()(,0,0212121x f x f x f x f a x x >>-∴><-即,得证. 12、已知函数ax x x f +-=3 )(在(0,1)上是增函数. (1)求实数a 的取值集合A ; (2)当a 取A 中最小值时,定义数列}{n a 满足:)(21n n a f a =+,且b b a )(1,0(1=为常 数),试比较n n a a 与1+的大小; (3)在(2)的条件下,问是否存在正实数C ,使20<-+< c a c a n n 对一切N n ∈恒成立? (1)设))(()()(,102 2212 1122121a x x x x x x x f x f x x -++-=-<<<则 由题意知:0)()(21<-x f x f ,且012>-x x )3,0(,2 22121222121∈++<++∴x x x x a x x x x 则 }3|{,3≥=≥∴a a A a 即 (4分) (注:法2:)1,0(,03)(2 ∈>+-='x a x x f 对恒成立,求出3≥a ). (2)当a =3时,由题意:)1,0(,2 3 21131∈=+- =+b a a a a n n n 且

函数与导数经典例题--高考压轴题(含标准答案)

函数与导数 1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈,其中t R ∈. (Ⅰ)当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间; (Ⅲ)证明:对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点. 【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14分。 (Ⅰ)解:当1t =时,322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- (Ⅱ)解:22 ()1266f x x tx t '=+-,令()0f x '=,解得.2 t x t x =-= 或 因为0t ≠,以下分两种情况讨论: (1)若0,,t t t x <<-则 当变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表: 所以,()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ???的单调递减区间是,2t t ??- ??? 。 (2)若0,t t t >-< 则,当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表: 所以,()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ??-∞-+∞ ???的单调递减区间是,.2t t ??- ???

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知,当0t >时,()f x 在0,2t ?? ???内的单调递减,在,2t ?? +∞ ??? 内单调递增,以下分两种情况讨论: (1)当1,22 t t ≥≥即时,()f x 在(0,1)内单调递减, 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-?+?+< 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点。 (2)当01,022t t < <<<即时,()f x 在0,2t ?? ???内单调递减,在,12t ?? ??? 内单调递增,若33177(0,1],10.244t f t t t ?? ∈=-+-≤-< ??? 2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+> 所以(),12t f x ?? ???在内存在零点。 若()3377(1,2),110.24 4 t t f t t t ??∈=-+-<-+< ??? (0)10f t =-> 所以()0,2t f x ?? ??? 在内存在零点。 所以,对任意(0,2),()t f x ∈在区间(0,1)内均存在零点。 综上,对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点。 2. 已知函数21 ()32 f x x = +,()h x = (Ⅰ)设函数F (x )=18f (x )-x 2[h (x )]2,求F (x )的单调区间与极值; (Ⅱ)设a ∈R ,解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---; (Ⅲ)设*n ∈N ,证明:1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥. 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力. 解:(Ⅰ)223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥, 2()312F x x '∴=-+.

相关文档
最新文档