圆的方程

圆的方程
圆的方程

(1)掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程,也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.

(2)掌握圆的一般方程,了解圆的一般方程的结构特征,熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.

(3)了解参数方程的概念,理解圆的参数方程,能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化,能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.

(4)掌握直线和圆的位置关系,会求圆的切线.

(5)进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.

教学建议

教材分析

(1)知识结构

(2)重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导,根据条件求圆的方程,用圆的方程解决相关问题.

②本节的难点是圆的一般方程的结构特征,以及圆方程的求解和应用.

教法建议

(1)圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后,学习三大圆锥曲线之前,旨在熟悉曲线和方程的理论,为后继学习做好准备.同时,有关圆的问题,特别是直线与圆的位置关系问题,也是解析几何中的基本问题,这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习,使学生确实掌握这一单元的知识和方法.

(2)在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法,教学中应多总结.

(3)解决有关圆的问题,要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识,教师在教学中要注意多复习、多运用,培养学生运算能力和简化运算过程的意识.

(4)有关圆的内容非常丰富,有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.

教学设计示例

圆的一般方程

(1)掌握圆的一般方程及其特点.

(2能将圆的一般方程转化为圆的标准方程,从而求出圆心和半径

(3)能用待定系数法,由已知条件求出圆的一般方程.

4 通过本节课学习,进一步掌握配方法和待定系数法

教学重点:(1)用配方法,把圆的一般方程转化成标准方程,求出圆心和半径.

(2)用待定系数法求圆的方程.

(3)教学难点:圆的一般方程特点的研究.

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如

的方程

形如①的方程的曲线是否都是圆?

师生共同讨论分析

如果①表示圆,那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗?运用配方法,得

高一数学圆的方程经典例题

典型例题一 例1圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x上到直线0 11 4 3= - +y x的距离为1的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线 1 l、 2 l的方程,从代数计算中寻找解答.解法一:圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x的圆心为)3,3( 1 O,半径3 = r. 设圆心 1 O到直线0 11 4 3= - +y x的距离为d,则3 2 4 3 11 3 4 3 3 2 2 < = + - ? + ? = d. 如图,在圆心 1 O同侧,与直线0 11 4 3= - +y x平行且距离为1的直线 1 l与圆有两个交点, 这两个交点符合题意. 又1 2 3= - = -d r. ∴与直线0 11 4 3= - +y x平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.∴符合题意的点共有3个. 解法二:符合题意的点是平行于直线0 11 4 3= - +y x,且与之距离为1的直线和圆的交点. 设所求直线为0 4 3= + +m y x,则1 4 3 11 2 2 = + + = m d, ∴5 11± = + m,即6 - = m,或16 - = m,也即 6 4 3 1 = - +y x l:,或0 16 4 3 2 = - +y x l:. 设圆9 )3 ( )3 (2 2 1 = - + -y x O:的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d,则 3 4 3 6 3 4 3 3 2 2 1 = + - ? + ? = d,1 4 3 16 3 4 3 3 2 2 2 = + - ? + ? = d. ∴ 1 l与 1 O相切,与圆 1 O有一个公共点; 2 l与圆 1 O相交,与圆 1 O有两个公共点.即符合 题意的点共3个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解:

高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)

高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定。以下是圆的方程专题练习,请考生查缺补漏。 一、填空题 1.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0 和x轴都相切,则该圆的标准方程是________. [解析] 设圆心C(a,b)(a0,b0),由题意得b=1. 又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1, 解得a=2或a=-(舍). 所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. [答案] (x-2)2+(y-1)2=1 2.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,则圆C的圆心坐标为________. [解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上, 该直线过圆心,即圆心满足方程x+y-1=0, 因此-+1-1=0,解得a=0,所以圆心坐标为(0,1). [答案] (0,1) 3.已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),则该圆的方程是________. [解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x

联立可求得圆心为(1,-4). 半径r=2,所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. [答案] (x-1)2+(y+4)2=8 4.(2019江苏常州模拟)已知实数x,y满足 x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y|的最小值为________. [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1,令 x=2+cos , y=-3+sin ,则|2x-y|=|4+2cos +3-sin | =|7-sin (-7-(tan =2). [答案] 7- 5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0,b0)对称,则+的最小值是________. [解析] 由圆的对称性可得,直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4),所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9,由=,则a2=4b2,又由a+b=2,故当且仅当a=,b=时取等号. [答案] 9 6.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,若圆x2+(y-1)2=4上存在A,B两点关于点P(1,2)成中心对称,则直线AB的方程为________. [解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB,所以kOP==1,kAB=-1, 而直线AB过P点,所以直线AB的方程为y-2=-(x-1),即

圆的方程经典题目带答案

圆的方程经典题目 1.求满足下列条件的圆的方程 (1)过点A(5,2)和B(3,-2),且圆心在直线32-=x y 上;(2)圆心在835=-y x 上,且与两坐标轴相切;(3)过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;(4)与y 轴相切,圆心在直线03=-y x 上,且直线 x y =截圆所得弦长为72;(5)过原点,与直线1:=x l 相切,与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切;(6)以C(1,1)为圆心,截直线2-=x y 所得弦长为22;(7)过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点,且面积最小的圆的方程. (8)已知圆满足①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0,求该圆的方程. (9)求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆(1)求实数m 的取值范围 (2)求该圆半径r 的取值范围(3)求面积最大的圆的方程(4)求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值

(1)过)4,3(-的切线方程(2)过)7,5(的切线方程、切线长;切点弦方程、切点弦长 (3)以)2,1(为中点的弦的方程 (4)过)2,1(的弦的中点轨迹方程 (5)斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点,O 为坐标原点,若OQ OP ⊥,求实数m 的值. 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点,求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上,被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求: (1)通过圆心的反射线方程,(2)在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O (1)判断两圆的位置关系 (2)求它们的公共弦所在的方程 (3)求公共弦长 (4)求公共弦为直径的圆的方程. 题型五、最值问题 思路1:几何意义 思路2:参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x (1)求 x y 的最小值 (2)求2 2y x ++32-y 的最值;(3)求y x 2-的最值(4)|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++.(1)证明:不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交(2)求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A (1,0),B (-1,0)两点,已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点,PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线,A 、B 是切点, C 是圆心,那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的互相垂直的弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_________

圆与方程知识点总结典型例题

圆与方程 1. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系: (1).设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : a.点在圆内 d <r ; b.点在圆上 d=r ; c.点在圆外 d >r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? ( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? (3)涉及最值: ① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC ) 3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心??? ??--2,2E D C ,半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时,方程不表示任何图形.

注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1)无交点直线与圆相离??>r d ; 2)只有一个交点直线与圆相切??=r d ; 3)有两个交点直线与圆相交???时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交; (2)当0=?时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切; (3)当0r r d ; ② 条公切线外切321??+=r r d ; ③ 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; ④ 条公切线内切121??-=r r d ; ⑤ 无公切线内含??-<<210r r d ;

高中数学圆的方程专题复习

高二数学辅导资料(三) 内容:圆与方程 本章考试要求 考试内容 要求层次A B C 圆与方程 圆的标准方程与一般方程√ 直线与圆的位置关系 √ 两圆的位置关系√ 用直线和圆的方程解决简单的问 题 √空间直角坐标系 空间直角坐标系√ 空间两点间的距离公式√ 一、圆的方程 【知识要点】 圆心为,半径为的圆的标准方程为: 时,圆心在原点的圆的方程为:. 圆的一般方程,圆心为点,半径,其中. 圆系方程:过圆:与圆: 交点的圆系方程是 (不含圆), 当时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 【互动探究】 考点一求圆的方程 问题1.求满足下列各条件圆的方程: 以两点,为直径端点的圆的方程是 求经过,两点,圆心在直线上的圆的方程;

过点的圆与直线相切于点,则圆的方程是? 考点二圆的标准方程与一般方程 问题2.方程表示圆,则的取值范围是 考点三轨迹问题 问题3.点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是 问题4.设两点,,动点到点的距离与到点的距离的比为,求点的轨迹. 二、直线和圆、圆与圆的位置关系 【知识要点】 直线与圆的位置关系 位置关系相切相交相离 几何特征 代数特征 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式 为,圆的半径为,圆心到直线的距离为,则直线与 圆的位置关系满足以下关系: 直线截圆所得弦长的计算方法: 利用垂径定理和勾股定理:(其中为圆的半径,直线到圆心的距离). 圆与圆的位置关系:①设两圆的半径分别为和,圆心距为,则两圆的位置关系满足关系: 位置关系外离外切相交内切内含 几何特征 代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解 ②设两圆,,若两圆相交,则两圆的公共弦所在的直线方程 是 相切问题的解法:

必修二圆的方程

圆的方程 ()() 2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材119P 例2 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件 方程形式 圆心在原点 ()222 0x y r r +=≠ 过原点 ()()()2 2 2 2 2 20x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 2 2 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 2 2 0x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材122P 例r 4 2.2 2 40D E F +->常可用来求相关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值

高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结

高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一:巧用圆系求圆的过程 在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种: ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。 当时,得到两圆公共弦所在直线方程 例1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若,求实数的值。 分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。 解:过直线与圆的交点的圆系方程为: ,即 ………………….① 依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则,解之可得 又满足方程①,则故 例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解:圆和的公共弦方程为 ,即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ,即 依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心必在公共弦所在直线上。即,则 代回圆系方程得所求圆方程

例3:求证:m 为任意实数时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过一定点P ,并求P 点坐标。 分析:不论m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解:由原方程得 m(x +2y -1)-(x +y -5)=0,① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得, ∴直线过定点P (9,-4) 注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ). (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x +y -4)+m (2x +y -7)=0. 2x +y -7=0, x =3, x +y -4=0, y =1, 即l 恒过定点A (3,1). ∵圆心C (1,2),|AC |=5<5(半径), ∴点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点. (2)解:弦长最小时,l ⊥AC ,由k AC =- 2 1 , ∴l 的方程为2x -y -5=0. 评述:若定点A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢? 思考讨论 类型二:直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点,求实数m 的取值范围. 解:∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ,∴利用数形结合法,可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习:1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点,则k 的取值范围是___________. 解析:利用数形结合. 答案:-1<k ≤1或k=-2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r . 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?= d . 如图,在圆心1O 同侧,与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意. 又123=-=-d r . ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个. 解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点.设 所求直线为043=++m y x ,则14 3112 2 =++= m d , ∴511±=+m ,即6-=m ,或16-=m ,也即 06431=-+y x l :,或016432=-+y x l :. 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O : 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ,则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ,14 316 34332 2 2=+-?+?= d . ∴1l 与1O 相切,与圆1O 有一个公共点;2l 与圆1O 相交,与圆1O 有两个公共点.即符合题意的点共3个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解: ∵m ∈R ,∴ 得

高一数学圆的方程经典例题

典型例题一 例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r . 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?= d . 如图,在圆心1O 同侧,与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意. 又123=-=-d r . ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个. 解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点. 设所求直线为043=++m y x ,则14 3112 2 =++= m d , ∴511±=+m ,即6-=m ,或16-=m ,也即 06431=-+y x l :,或016432=-+y x l :. 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O : 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ,则 34 36 343322 1=+-?+?=d ,14 316 34332 2 2=+-?+?= d . ∴1l 与1O 相切,与圆1O 有一个公共点;2l 与圆1O 相交,与圆1O 有两个公共点.即符合题意的点共3个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解:

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?=d . ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个. 显然,上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离,r d <,只能说明此直线与圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1. 到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数,一般根据圆与直线的位置关系来判断,即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断. 典型例题三 例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为222)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 124-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为: 23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C

必修2圆与方程测试题(含答案)

《圆与方程》测试题 知识梳理: 1.圆心为),(b a C ,半径为r 的圆的标准方程为: 。特殊地,当0==b a 时,圆心在原点的圆的方程为: 2.圆的一般方程02 2=++++F Ey Dx y x ,圆心为点 ,半径 ,其中 。 3.点与圆的位置关系 圆的标准方程(x -a)2+(y -b)2=r 2,圆心A(a ,,b),半径r , 若点M(x 0,y 0)在圆上,则(x 0-a)2+(y 0-b)2 ; 若点M(x 0,y 0)在圆外,则x 0-a)2+(y 0-b)2 ; 若点M(x 0,y 0)在圆内,则x 0-a)2+(y 0-b)2 ; 一、选择题 标准方程:1、点M (3,-6)在圆:16)2()3(2 2=++-y x 的( ) A 、圆上 B 、圆外 C 、圆内 D 、以上都不是 2、圆心在),4,3(-C 且经过点M (5,1)的方程为( ) A.73)4()3(22=++-y x B.73)1()5(22=-+-y x C.73)4()3(22=-++y x D.73)1()5(22=+++y x 以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为: 3、过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A 、(x-3)2+(y+1)2=4 B 、(x+3)2+(y-1)2=4 C 、(x-1)2+(y-1)2=4 D 、(x+1)2+(y+1)2=4 分析:看选项找答案 4、圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是 ( ) A .x 2+(y -1)2=1 B .x 2+(y -2)2=1 C .(x -1)2+(y -3)2=1 D .x 2+(y -3)2=1 5、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为( C ) (A)22 (B)4 (C)24 (D)2 分析:涉及都弦长的要注意那个直角三角形(由半径、圆心距、弦长的一半组成的那个)。

圆的方程练习题

1 圆的方程练习题 1.圆x 2+y 2 -4x=1的圆心及半径分别是 ( ) A .(2,0),5 B . C . D .(2,2),5 2 .方程x 2+y 2 +2x-4y-6 =0表示的图形是 ( ) A .以(1,- 2)为圆心 B .以(1,2)为圆心 为半径的圆 C .以(-1, -2)为圆心 D .以( -1,2)为圆心 3.过点A (6,0),B (1,5),且圆心在直线2x-7y+8=0上的圆的方程为( ) A .(x+3)2+(y+2)2=13 B .(x+3)2+(y-2)2 =13 C .(x-3)2+(y-2)2=13 D .(x-3)2+(y+2)2 =13 4.方程(x-a )2+(y-b )2 =0的图形是 ( ) A .一个圆 B .两条直线 C .两条射线 D .一个点 5.已知点A (2,4),B (8,-2),以AB 为直径的圆的方程 ( ) A .(x-5)2+(y-1)2=18 B .(x-5)2+(y-1)2 =72 C .(x+5)2+(y+1)2=18 D .(x+5)2+(y+1)2 =72 6.与圆x 2+y 2 -2x+4y+3=0的圆心相同,半径是5的圆的方程是( ) A .(x-1)2+(y+2)2=25 B .(x-1)2+(y+2)2 =5 C .(x+1)2+(y-2)2=25 D .(x+1)2+(y-2)2 =5 7.已知圆x 2+y 2 +2x-4y-a=0的半径为3,则 ( ) A .a=8 B .a=4 C .a=2 D .a=14 8.圆心在C (-1,2),半径为 ( ) 11A. B.2213cos 1C. D.23sin 2x x y y x x y y θθ θθ θθ θθ ? ?=+=-+????=-=?????=-+=-+????=+?=+??

圆的方程总结

梗概: 1、关于圆与直线的三种位置关系的判定,分代数法和几何法。三种情况分别各有研究重点。相交时,研究弦长,中点弦,最长最短弦;相切时,研究切线方程,切线段长,切点所在直线方程;相离时,研究圆上动点到直线距离的最值(其它两种位置关系也可研究);直线和圆系方程及圆系方程。 2、圆与圆位置关系的判定,连心线性质(平分公共弦),公切线条数判断(实质及两圆位置关系判断),公共弦所在直线方程及公共弦长,两圆上动点距离的最值,圆系方程。 注:关注各种利用几何意义求最值 求圆的方程 一、已知圆上三点,求圆的方程 例1 、(1,0),1,1),(3,2). A B C -- 解法一:待定系数法,设出圆的标准方程或一般方程,求出a,b,r,或者D,E,F 解法二:垂直平方线的焦点为圆心,两点间距离求半 径。 二、已知两点和圆心所在直线 解法一:待定系数法,设出标准或一般方程。 解法二:垂直平分线与圆心所在直线的交点求圆心,两 点间距离求半径。 三、已知弦长求圆的方程 (2,4)Q3-1 P- 例2、过及(,)两点,且在x轴上 截得的弦长为6的圆的方程。 例3、圆心在直线30 x y -=上,与 x轴相切,且 被直线0 x y -=截得的弦长为,求圆的方程。(课 本132A6) 例4、求与x轴切于(5,0),并在y轴上截得 的弦长为10的圆的方程。 例5、已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的 正半轴上,直线被圆C所截得的弦长为 求过圆心且与直线l垂直的直线方程。 四、已知切点,求圆的方程 例6、直线43350 x y +-=与圆心在原点的圆C相 切,求圆的方程。 例7、圆心在y轴上,半径为5,且与直线6 y= 相切的圆的方程。(课本132A2(2)) 例8、圆心在直线2 y x =-上,且过点A(2,-1), 与直线1 x y +=相切的圆的方程。 五、过直线和圆的交点 直线与圆系方程 六、过两圆交点的圆的方程 圆系方程 例11、圆心在直线40 x y --=上,并且经过圆 22640 x y x ++-=与226280 x y y ++-=的交点的圆的 方程。 例12、经过点M(3,-1),且与圆C: 222650 x y x y ++-+=相切于N(1,2)的圆的方程。 例13、求过两圆222880 x y x y +++-=和 224420 x y x y +---=的交点且面积最小的圆的 方程。 解法一:解出两个交点 解法二 :连心线过圆心且圆心在某直线上,由此得出圆 心,然后设出一般方程,再利用三圆有公共 弦,直线重合求出m 解法三、圆系方程 七、最值问题 (1)点和圆

高中数学必修二-圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 解法一:(待定系数法) 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 例2 求半径为4,与圆04242 2=---+y x y x 相切,且和直线0=y 相切的圆的方程. 说明:圆相切有内切、外切两种. 例3 求经过点)5,0(A ,且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程. 分析:欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A ,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上. 例4、 设圆满足:(1)截y 轴所得弦长为2;(2)被x 轴分成两段弧,其弧长的比为1:3,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线02=-y x l :的距离最小的圆的方程. 分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方程.

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆42 2 =+y x O :,求过点()42, P 与圆O 相切的切线. 说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解. 本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0解决(也要注意漏解). 例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C :与02222 22=++++F y E x D y x C :相交于A 、B 两点,求它们的公共弦AB 所在直线的方程. 分析:首先求A 、B 两点的坐标,再用两点式求直线AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧. 例7、过圆12 2=+y x 外一点)3,2(M ,作这个圆的两条切线MA 、MB ,切点分别是A 、B ,求直线AB 的方程。 练习: 1.求过点(3,1)M ,且与圆2 2 (1)4x y -+=相切的直线l 的方程. 2、过坐标原点且与圆02 5 242 2 =+ +-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆022 2=+-y x x 相切,则a 的值为 . 类型三:弦长、弧问题 例8、求直线063:=--y x l 被圆042:2 2=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.

《圆的方程》专题

《圆的方程》专题 2019年( )月( )日 班级 姓名 1.圆的定义及方程 ?标准方程强调圆心坐标为(a ,b ),半径为r . ?(1)当D 2+E 2-4F =0时,方程表示一个点????-D 2,-E 2; (2)当D 2+E 2-4F <0时,方程不表示任何图形. 2.点与圆的位置关系 点M (x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的位置关系: (1)若M (x 0,y 0)在圆外,则(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2. (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2. 二、常用结论汇总——规律多一点 (1)二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是???? ? A =C ≠0, B =0,D 2+E 2-4AF >0. (2)以A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为直径端点的圆的方程为(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0.

三、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”,错的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程(x -a )2+(y -b )2=t 2(t ∈R )表示圆心为(a ,b ),半径为t 的一个圆.( ) (3)方程x 2+y 2+4mx -2y =0不一定表示圆.( ) (4)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,则x 20+y 2 0+Dx 0+Ey 0+F >0.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (二)选一选 1.圆x 2+y 2-4x +6y =0的圆心坐标是( ) A .(2,3) B .(-2,3) C .(-2,-3) D .(2,-3) 解析:选D 因为圆的方程可化为(x -2)2+(y +3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3). 2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A .(x -1)2+(y -1)2=1 B .(x +1)2+(y +1)2=1 C .(x +1)2+(y +1)2=2 D .(x -1)2+(y -1)2=2 解析:选D 因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径r =12+12=2,则该圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2,选D. 3.若坐标原点在圆(x -m )2+(y +m )2=4的内部,则实数m 的取值范围是( ) A .(-1,1) B .(-3,3) C .(-2,2) D.?? ? ? - 22, 22 解析:选C ∵点(0,0)在(x -m )2+(y +m )2=4的内部,∴(0-m )2+(0+m )2<4,解得-2<m < 2.故选C. (三)填一填 4.(2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________.

圆的方程及性质

教案 学生姓名 _______ 科目______ 年级_______ 编号_____ 授课老师______ 授课时间___________上课日期__________ 总课时 ______ 本次课时_____ 剩余课时______ 教学重难点: 1、圆的定义及方程 (1)圆的定义 (2)圆的标准方程 (3)圆的一般方程 2、点与圆的位置与关系 教学过程(内容): 1、课前基础知识梳理,(问答式、填空式、回顾式); 2、学生自行完成基础自测环节,旨在检验基础知识应用情况; 3、教师进行课堂考点讲解,使学生明确考点,有的放矢; 4、考题演练,难度系数较第二环节高,可检验本次课教学情况; 作业: 1、本节所学课后务必再多加练习以期全部掌握; 2、重在熟练解题思路、掌握解题模式、体会相关思想方法、习得突破口技能。 3、课时作业(四十五) 课堂反馈: 家长反馈意见: 学生签字:家长签字: 人的一生会经历风风雨雨,不是每一件事都由我们所控制,有些事的结果甚至会出乎我们的意料。无论结果怎样,这对我们都不是最重要的,重要的是我们曾为它而经历过、拼搏过,只要有这个过程,我们就不会后悔。

第四节 圆的方程 知识梳理 1、圆的定义及方程 ⑴标准方程:()()22 2r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ,半径为r . ⑵一般方程:022=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22D E --,半径为221 42r D E F =+-. 2、点与圆的位置与关系 第一部分 基础自测 1、方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆,则a 的取值范围是() A.2a <-或23a > B. 203a -<< C. 20a -<< D. 223 a -<< 2、当a 为任意实数时,直线(1)10a x y a --++=恒过定点C ,则以C 为圆心,5为半径的圆的方程为() A. 22240x y x y +-+= B. 22240x y x y +++= C. 22240x y x y ++-= D. 22240x y x y +--= 3、过点(1,1)A -,(1,1)B -,且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程( ) A. 22(3)(1)4x y -++= B. 22(3)(1)4x y ++-= C. 22(1)(1)4x y -+-= D. 22(1)(1)4x y +++= 4、圆22410x y x ++-=关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为_________. 5、已知直线:40l x y -+=与圆22:(1)(1)2C x y -+-=,则C 上各点到l 的距离的最小值为_________.

高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练)

专题:直线与圆 1.圆C 1 : x 2+y 2+2x +8y -8=0与圆C 2 : x 2+y 2-4x +4y -2=0的位置关系是( ). A .相交 B .外切 C .内切 D .相离 2.两圆x 2+y 2-4x +2y +1=0与x 2+y 2+4x -4y -1=0的公共切线有( ). A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 3.若圆C 与圆(x +2)2+(y -1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是( ). A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y +2)2=1 D .(x +1)2+(y -2)2=1 4.与直线l : y =2x +3平行,且与圆x 2+y 2-2x -4y +4=0相切的直线方程是( ). A .x -y ±5=0 B .2x -y +5=0 C .2x -y -5=0 D .2x -y ±5=0 5.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于( ). A .2 B .2 C .22 D .42 6.一圆过圆x 2+y 2-2x =0与直线x +2y -3=0的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是( ). A .x 2+y 2+4y -6=0 B .x 2+y 2+4x -6=0 C .x 2+y 2-2y =0 D .x 2+y 2+4y +6=0 7.圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是( ). A .30 B .18 C .62 D .52 8.两圆(x -a )2+(y -b )2=r 2和(x -b )2+(y -a )2=r 2相切,则( ). A .(a -b )2=r 2 B .(a -b )2=2r 2 C .(a +b )2=r 2 D .(a +b )2=2r 2 9.若直线3x -y +c =0,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆x 2+y 2=10相切,则c 的值为( ). A .14或-6 B .12或-8 C .8或-12 D .6或-14 10.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | =( ). A . 4 53 B . 2 53 C . 2 53 D .213 11.若直线3x -4y +12=0与两坐标轴的交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________. 12.已知直线x =a 与圆(x -1)2+y 2=1相切,则a 的值是_________. 13.直线x =0被圆x 2+y 2―6x ―2y ―15=0所截得的弦长为_________. 14.若A (4,-7,1),B (6,2,z ),|AB |=11,则z =_______________. 15.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点,P A ,PB 是圆(x -1)2+(y -1)2=1的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,则四边形P ACB 面积的最小值为 . 三、解答题 16.求下列各圆的标准方程: (1)圆心在直线y =0上,且圆过两点A (1,4),B (3,2);(2)圆心在直线2x +y =0上,且圆与直线x +y -1=0切于点M (2,-1).

圆的一般方程练习题

课时作业23 圆的一般方程 (限时:10分钟) 1.若圆x 2+y 2-2x -4y =0的圆心到直线x -y +a =0的距离为2 2,则a 的值为( ) A .-2或2 或32 C .2或0 D .-2或0 解析:圆的标准方程为(x -1)2+(y -2)2=5,圆心为(1,2),圆心到 直线的距离|1-2+a |12+-1 2=22,解得a =0或2. 答案:C 2.若圆x 2+y 2-2ax +3by =0的圆心位于第三象限,那么直线x +ay +b =0一定不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解析:圆心为? ?? ??a ,-32b ,则有a <0,b >0.直线x +ay +b =0变为y =-1a x -b a .由于斜率-1a >0,在y 轴上截距-b a >0,故直线不经过第四象限. 答案:D 3.直线y =2x +b 恰好平分圆x 2+y 2+2x -4y =0,则b 的值为 ( ) A .0 B .2 C .4 D .1 解析:由题意可知,直线y =2x +b 过圆心(-1,2), ∴2=2×(-1)+b ,b =4. 答案:C 4.M (3,0)是圆x 2+y 2-8x -2y +10=0内一点,过M 点最长的弦所在的直线方程为________,最短的弦所在的直线方程是________. 解析:由圆的几何性质可知,过圆内一点M 的最长的弦是直径,最短的弦是与该点和圆心的连线CM 垂直的弦.易求出圆心为C (4,1), k CM =1-04-3=1,∴最短的弦所在的直线的斜率为-1,由点斜式,分

别得到方程:y=x-3和y=-(x-3),即x-y-3=0和x+y-3=0. 答案:x-y-3=0x+y-3=0 5.求经过两点A(4,7),B(-3,6),且圆心在直线2x+y-5=0上的圆的方程. 解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其圆心为? ? ? ? ? - D 2,- E 2, 由题意得 ?? ? ??42+72+4D+7E+F=0, -32+62-3D+6E+F=0, 2· ? ? ? ? ? - D 2+? ? ? ? ? - E 2-5=0. 即 ?? ? ??4D+7E+F=-65, 3D-6E-F=45, 2D+E=-10, 解得 ?? ? ??D=-2, E=-6, F=-15. 所以,所求的圆的方程为x2+y2-2x-6y-15=0. (限时:30分钟) 1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别为() A.(2,-3);16B.(-2,3);4 C.(4,-6);16 D.(2,-3);4 解析:配方,得(x+2)2+(y-3)2=16,所以,圆心为(-2,3),半径为4. 答案:B 2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆的条件是() 1 C.m< 1 4D.m<1 解析:由42+(-2)2-4×5m>0解得m<1. 答案:D 3.过坐标原点,且在x轴和y轴上的截距分别是2和3的圆的方程为() A.x2+y2-2x-3y=0 B.x2+y2+2x-3y=0 C.x2+y2-2x+3y=0

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